Çemberin Analitik İncelenmesi

Bu konuda neler var?

• Çember Denklemi
• Denklemleri Verilen Doğru ile Çemberin Birbirine Göre Durumları

1. Kolay

   1Bir parkta yarıçapı 5 m olan dairesel bir havuz var ve havuzun merkezinin düz bir yürüyüş yoluna (d doğrusuna) uzaklığı 3 m'dir. Görevli, yolun havuzun içinden geçip geçmediğini belirlemek istiyor. d doğrusu ile havuzun sınırını gösteren çember için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Doğru çembere teğettir.
   • BB) Ortak noktaları yoktur.
   • CC) Doğru çemberi iki noktada keser.
   • DD) Doğru merkezden geçer.
   • EE) Doğru çemberi tek noktada keser.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) Doğru çemberi iki noktada keser.

   Merkezin doğruya uzaklığı (3) yarıçaptan (5) küçük olduğundan doğru çemberi iki noktada keser. Teğet seçeneği, uzaklık ile yarıçapın karşılaştırılması yerine yalnızca uzaklığın pozitif olmasına bakılmasından doğar; teğetlik için uzaklık yarıçapa eşit olmalıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir radar istasyonu orijine yerleştirilmiş ve 3 km yarıçaplı dairesel bir alanı tarıyor; birimler kilometredir. Teknisyen, tarama alanının sınırını haritada gösteren denklemi yazılıma girecek. Tarama alanının sınırını gösteren çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) x² + y² = 3
   • BB) x² + y² = 6
   • CC) (x − 3)² + (y − 3)² = 9
   • DD) (x − 3)² + y² = 9
   • EE) x² + y² = 9
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) x² + y² = 9

   Merkezi orijin, yarıçapı r olan çemberin denklemi x² + y² = r²'dir: x² + y² = 9. x² + y² = 3 seçeneği, eşitliğin sağına r² yerine r yazılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir kampüs haritası koordinat düzlemine yerleştirilmiş ve birimler yüz metre olarak alınmıştır. Kütüphane A(1, 2), spor salonu B(4, 6) noktasındadır ve iki yapı arasına düz bir yürüyüş yolu yapılacaktır. İki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?

   

   • AA) 7
   • BB) 25
   • CC) √7
   • DD) 5
   • EE) √17
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 5

   |AB| = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = 5 birimdir. 7 seçeneği, yatay ve dikey farkların (3 ve 4) doğrudan toplanmasından; 25 ise karekök almanın unutulmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir sulama sistemindeki döner fıskiyenin ıslattığı alanın sınırı, koordinat düzlemine yerleştirilmiş bahçe planında (x − 3)² + (y + 2)² = 16 çemberiyle gösteriliyor; birimler metredir. Bahçıvan, fıskiyenin konumunu ve suyun ulaştığı en uzak mesafeyi belirlemek istiyor. Çemberin merkezi ve yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) M(3, −2), r = 4
   • BB) M(−3, 2), r = 4
   • CC) M(3, −2), r = 16
   • DD) M(−3, 2), r = 16
   • EE) M(−3, −2), r = 4
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) M(3, −2), r = 4

   (x − a)² + (y − b)² = r² biçiminde merkez (a, b), yarıçap r'dir: merkez (3, −2), r = √16 = 4. M(−3, 2) seçeneği, parantez içindeki sayıların işaretleriyle birlikte doğrudan alınmasından; r = 16 ise r² değerinin yarıçap sanılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir mahallenin oyun alanının sınırı x² + y² + 10x − 2y + 1 = 0 denklemiyle veriliyor. Bu çemberin merkezi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (5, −1)
   • BB) (−5, 1)
   • CC) (10, −2)
   • DD) (−10, 2)
   • EE) (−5, −1)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) (−5, 1)

   Genel denklemde merkez (−D/2, −E/2) olduğundan D = 10, E = −2 için merkez (−5, 1)'dir. (5, −1) yanıtı, işaret değiştirmeyi unutmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir öğrenci, bir doğru ile bir çemberin denklemlerini ortak çözerek ikinci dereceden bir denklem elde ediyor ve bu denklemin diskriminantını negatif buluyor. Buna göre doğru ile çember için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Doğru çembere teğettir.
   • BB) Doğru çemberi iki noktada keser.
   • CC) Doğru çemberin merkezinden geçer.
   • DD) Doğru çemberi tek noktada keser.
   • EE) Ortak noktaları yoktur.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) Ortak noktaları yoktur.

   Δ < 0 ise ortak çözüm yoktur, yani doğru ile çember kesişmez. Teğetlik Δ = 0, iki noktada kesme Δ > 0 durumuna karşılık gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir saat kadranının çevresi koordinat düzleminde x² + y² = 10 çemberiyle gösteriliyor. Aşağıdaki noktalardan hangisi bu çemberin üzerindedir?

   • AA) (2, 2)
   • BB) (3, 0)
   • CC) (1, 3)
   • DD) (−2, 3)
   • EE) (0, −2)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) (1, 3)

   Çember üzerindeki noktalar denklemi sağlar: 1² + 3² = 10'dur. (2, 2) için toplam 8, (−2, 3) için 13 çıktığından bu noktalar çemberin üzerinde değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bir radar orijine yerleştirilmiş ve düz bir yol 3x + 4y − 10 = 0 doğrusu boyunca uzanıyor; birimler kilometredir. Radarın bu yola uzaklığı kaç km'dir?

   • AA) 10
   • BB) 2
   • CC) 5
   • DD) 1
   • EE) 10/7
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 2

   Noktanın doğruya uzaklığı |3 · 0 + 4 · 0 − 10|/√(3² + 4²) = 10/5 = 2 km'dir. 10/7 yanıtı, paydada karekök yerine katsayıların toplamını kullanmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir parkın planında dairesel bir çiçek tarhının sınırı (x + 2)² + (y − 5)² = 49 çemberiyle gösteriliyor. Bu çemberin merkezi ve yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) M(2, −5), r = 7
   • BB) M(−2, 5), r = 49
   • CC) M(2, 5), r = 7
   • DD) M(−2, −5), r = 7
   • EE) M(−2, 5), r = 7
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) M(−2, 5), r = 7

   (x − a)² + (y − b)² = r² biçiminde a = −2, b = 5 ve r² = 49 olduğundan r = 7'dir. r = 49 yanıtı, sağ taraftaki sayının r² olduğunu unutmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Merkezi M(0, 3) ve yarıçapı 2 birim olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) x² + (y + 3)² = 4
    • BB) x² + (y − 3)² = 2
    • CC) x² + (y − 3)² = 4
    • DD) (x − 3)² + y² = 4
    • EE) x² + y² − 3 = 4
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) x² + (y − 3)² = 4

    Standart denklemde a = 0, b = 3 ve r² = 4 yazılır. x² + (y + 3)² = 4 yanıtı, merkezin ordinatının işaretini ters almaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir harita uygulamasında merkezi M(2, 1) olan bir çember çizilmiş ve çember orijinden geçiyor. Bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    

    • AA) (x − 2)² + (y − 1)² = 5
    • BB) (x − 2)² + (y − 1)² = √5
    • CC) (x + 2)² + (y + 1)² = 5
    • DD) (x − 2)² + (y − 1)² = 3
    • EE) x² + y² = 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) (x − 2)² + (y − 1)² = 5

    Yarıçap merkezin orijine uzaklığıdır: r² = 2² + 1² = 5. √5 yanıtı sağ tarafa r² yerine r yazmaktan, 3 ise karelerin yerine koordinatları toplamaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir döner kavşağın sınırı x² + y² = 16 çemberiyle gösteriliyor; birimler metredir. Kavşağın çapı kaç metredir?

    • AA) 4
    • BB) 16
    • CC) 2
    • DD) 8
    • EE) 32
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 8

    r² = 16 olduğundan r = 4 ve çap 2r = 8 metredir. 16 yanıtı, r² değerini çap sanmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Zeynep, bir ipin bir ucunu yere çaktığı kazığa bağlıyor ve ipi gergin tutarak diğer ucuyla yere bir şekil çiziyor. Zeynep'in çizdiği şeklin matematiksel tanımı aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) Sabit bir doğruya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi
    • BB) İki sabit noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi
    • CC) Sabit bir noktadan geçen doğruların kümesi
    • DD) Sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi
    • EE) Sabit bir noktaya uzaklığı değişen noktaların kümesi
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) Sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi

    İp boyu sabit olduğundan çizilen noktalar kazığa eşit uzaklıktadır; bu çemberin tanımıdır. İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar ise bir doğru (orta dikme) oluşturur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Dairesel bir sulama alanının sınırı (x − 2)² + (y − 3)² = 9 çemberidir. Bir fidan P(1, 1) noktasına dikiliyor. P noktası çembere göre nerededir?

    • AA) Çemberin iç bölgesindedir.
    • BB) Çemberin üzerindedir.
    • CC) Çemberin dış bölgesindedir.
    • DD) Çemberin merkezindedir.
    • EE) Çemberin teğeti üzerindedir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Çemberin iç bölgesindedir.

    P'nin merkeze uzaklığının karesi (1 − 2)² + (1 − 3)² = 5'tir ve 9'dan küçük olduğundan P iç bölgededir. Üzerinde olması için bu değerin tam 9 olması gerekirdi.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15(x − 1)² + (y + 2)² = 4 çember denkleminin genel biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0
    • BB) x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0
    • CC) x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0
    • DD) x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0
    • EE) x² + y² − x + 2y + 1 = 0
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0

    Açılım x² − 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 4 olur ve düzenlenince x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0 bulunur. +5 yanıtı, sağ taraftaki 4'ü sola geçirmeyi unutmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16(x − 3)² + (y + 1)² = 25 çemberinin y eksenini kestiği noktalar aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (0, 3) ve (0, −5)
    • BB) (0, 5) ve (0, −3)
    • CC) (3, 0) ve (−5, 0)
    • DD) (0, 4) ve (0, −4)
    • EE) (0, 1) ve (0, −1)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) (0, 3) ve (0, −5)

    y ekseni üzerinde x = 0'dır: 9 + (y + 1)² = 25 ise y + 1 = ±4 ve y = 3 ya da y = −5 bulunur. (0, 4) ve (0, −4) yanıtı, merkezin ordinatını hesaba katmamaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir kamp alanı planında dairesel bir ateş alanının merkezi M(3, −4) noktasındadır. Alanın sınırı olan çember, x ekseni boyunca uzanan düz yola yalnız bir noktada değiyor. Bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (x − 3)² + (y + 4)² = 9
    • BB) (x − 3)² + (y + 4)² = 16
    • CC) (x + 3)² + (y − 4)² = 16
    • DD) (x − 3)² + (y + 4)² = 25
    • EE) (x − 3)² + (y + 4)² = 4
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) (x − 3)² + (y + 4)² = 16

    Çember x eksenine teğet olduğundan yarıçap, merkezin x eksenine uzaklığına, yani ordinatın mutlak değerine eşittir: r = |−4| = 4. Denklem (x − 3)² + (y + 4)² = 16 olur. 9, çemberin y eksenine teğet olduğu durumun değeridir. 25, çemberin orijinden geçtiği durumdur. 4 ise sağ tarafa r² yerine r yazılınca çıkar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir çizim programı, girilen denklemin gerçekten bir çember belirtip belirtmediğini denetliyor. Aşağıdaki denklemlerden hangisi bir çember belirtir?

    • AA) x² + y² + 2x + 2y + 5 = 0
    • BB) x² + y² − 4x + 4 = 0
    • CC) x² + 2y² − 4x + 2y = 0
    • DD) x² − y² − 4x + 2y − 4 = 0
    • EE) x² + y² − 6x + 2y + 1 = 0
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) x² + y² − 6x + 2y + 1 = 0

    x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denkleminde x² ile y²'nin katsayıları eşit olmalı ve D² + E² − 4F > 0 olmalıdır. Son denklemde 36 + 4 − 4 = 36 > 0'dır; merkez (3, −1), yarıçap 3'tür. x² + y² + 2x + 2y + 5 = 0'da 4 + 4 − 20 < 0'dır, gerçek nokta yoktur. x² + y² − 4x + 4 = 0'da 16 − 16 = 0 olur, denklem yalnız (2, 0) noktasını belirtir. Öteki iki denklemde x² ile y²'nin katsayıları eşit değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir oyun haritasında hazine sandığı M(2, −3) noktasındadır ve sandığın çevresindeki tehlike bölgesinin sınırı, merkezi M olan bir çemberdir. Bu çember, haritada sahil şeridini gösteren x eksenine teğettir. Tehlike bölgesinin sınırını gösteren çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (x − 2)² + (y + 3)² = 4
    • BB) (x + 2)² + (y − 3)² = 9
    • CC) (x − 2)² + (y + 3)² = 9
    • DD) (x − 2)² + (y + 3)² = 3
    • EE) (x − 2)² + (y − 3)² = 9
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) (x − 2)² + (y + 3)² = 9

    x eksenine teğet çemberin yarıçapı, merkezin ordinatının mutlak değeridir: r = |−3| = 3 ve r² = 9. (x − 2)² + (y + 3)² = 4 seçeneği, yarıçap olarak merkezin apsisinin alınmasından, yani x eksenine teğetlik ile y eksenine teğetliğin karıştırılmasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir sirk çadırının tabanı, koordinat düzleminde (x − 1)² + (y − 3)² = 25 çemberiyle gösteriliyor; x ekseni çadırın yanından geçen düz bir çittir ve birimler metredir. Çit, çadırın tabanını iki noktada kesiyor. Bu iki kesim noktası arasındaki uzaklık kaç metredir?

    • AA) 8
    • BB) 10
    • CC) 6
    • DD) 4
    • EE) 16
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 8

    y = 0 alınırsa (x − 1)² = 16 ve x = 5 veya x = −3 olur; iki nokta arasındaki uzaklık 8 m'dir. 10 seçeneği, kirişin çapa eşit sanılmasından doğar; merkez x ekseninden 3 birim uzakta olduğu için kiriş çaptan kısadır.

    Hata mı var? Düzeltme öner