12. Sınıf Matematik · İntegral

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

belirli integral
alan hesabı
iki eğri arasındaki alan
kesim noktası
x ekseni
birimkare

Belirli integral ile alan nasıl hesaplanır?

Belirli integral ile alan, f(x) ≥ 0 iken y = f(x) eğrisi, x = a ve x = b doğruları ile x ekseni arasındaki bölge için A = ∫ₐᵇ f(x) dx formülüyle bulunur. Fonksiyon x ekseninin altında kalıyorsa, yani f(x) ≤ 0 ise, alan negatif olamayacağı için A = −∫ₐᵇ f(x) dx alınır. Fonksiyon aralıkta işaret değiştiriyorsa aralık, eğrinin x eksenini kestiği noktadan bölünür ve parçalar ayrı hesaplanır. Örneğin f(x) = x + 2 doğrusu, x ekseni ve x = 2 doğrusu arasındaki alan 8 birimkaredir; tabanı 4, yüksekliği 4 olan üçgenin alanı da 8'dir. İki eğri arasındaki alanda önce kesim noktaları bulunur, sonra üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılarak integral alınır. y = x ile y = x² arasındaki alan, kesim noktaları 0 ve 1 olduğundan ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 birimkaredir. Eksenin altındaki parçaların mutlak değeri alınmazsa alanlar birbirini götürür.

Belirli İntegral ile Alan Hesabı: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, belirli integral yardımıyla bir eğri ile x ekseni arasındaki ve iki eğri arasındaki sınırlı bölgelerin alanını hesaplamayı anlatıyor.

f(x) ≥ 0 ise y = f(x) eğrisi, x = a ve x = b doğruları ile x ekseni arasındaki alan A = ∫ₐᵇ f(x) dx'tir.
f(x) ≤ 0 ise bölge x ekseninin altında kalır ve alan A = −∫ₐᵇ f(x) dx olur, çünkü alan negatif olamaz.
Fonksiyon aralıkta işaret değiştiriyorsa aralık, eğrinin x eksenini kestiği c noktasından bölünür: A = ∫ₐᶜ f(x) dx − ∫ᶜᵇ f(x) dx (f, [a, c]'de pozitif, [c, b]'de negatifken).
Örnek: f(x) = x + 2 doğrusu, x ekseni ve x = 2 doğrusu arasındaki alan ∫₋₂² (x + 2) dx = 8 birimkaredir. Kontrol: Tabanı 4, yüksekliği 4 olan üçgenin alanı 4 · 4 / 2 = 8.
İki eğri arasındaki alan için önce kesim noktaları bulunur. Sonra üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılarak integral alınır: A = ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx.
Örnek: y = x ile y = x² arasındaki alan, kesim noktaları 0 ve 1 olduğundan ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 birimkaredir.
y = x ile y = x² arasında, x = 0 ile x = 1 kesim noktaları arasındaki taralı bölgenin alanı 1/6 birimkare

Unutma: x ekseninin altında kalan parçaların integrali negatif çıkar. Toplam alanı bulurken bu parçaların mutlak değerini al, aksi hâlde alanlar birbirini götürür.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Alan hesabına başlamadan önce eğrinin kabaca çizimini yap; integral her zaman alanı doğrudan vermez.

y = x doğrusunu [−1, 1] aralığında düşün. ∫₋₁¹ x dx = 0 çıkar, ama aradaki bölge boş değildir.
Neden? Eksenin altındaki parça negatif, üstündeki pozitif sayılır ve birbirini götürür.
Doğrusu: Aralığı eğrinin ekseni kestiği x = 0'da böl. Alttaki parçanın integralinin işaretini değiştir: 1/2 + 1/2 = 1 birimkare.
İki eğri arasındaki alanda "üstteki eksi alttaki" fonksiyonun integralini al; hangisinin üstte olduğunu bir sayı deneyerek bul.

Günlük hayattan: Haritada düzensiz biçimli bir gölün alanını tahmin etmek için kıyı çizgisini eğriler hâlinde modelleyip aradaki alanı hesaplamak bu yöntemin uygulamasıdır.

Sık yapılan hata: İşaret değiştiren bir fonksiyonun integralini tek parça alıp alan diye yazmak.

Derinleş

Kareli kâğıda ya da bir harita görüntüsüne düzensiz biçimli bir park veya göl çiz. Alanı önce kareleri sayarak, sonra sınırı iki fonksiyonla yaklaşık modelleyip integralle hesapla. İki yöntemin sonuçları arasındaki farkı yüzde olarak bul. Hangi yöntem daha güvenilir ve neden? Bir belediye yeşil alan ölçümü yaparken hangi hata payını kabul edilebilir saymalı?

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir harita uygulamasında bir göletin kesiti, [a, b] aralığında x ekseninin altında kalan y = f(x) eğrisiyle gösteriliyor; yani bu aralıkta f(x) ≤ 0'dır. Uygulama, eğri, x ekseni, x = a ve x = b doğruları arasındaki alanı pozitif bir sayı olarak göstermek zorunda. Bu alan aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ∫ₐᵇ f(x) dx
- B) ∫ᵇₐ −f(x) dx
- C) (∫ₐᵇ f(x) dx)²
- D) f(b) − f(a)
- E) −∫ₐᵇ f(x) dx
Cevabı göster
Doğru cevap: E) −∫ₐᵇ f(x) dx
f(x) ≤ 0 iken ∫ₐᵇ f(x) dx negatif ya da sıfır çıkar; alan bunun ters işaretlisi olan −∫ₐᵇ f(x) dx'tir. ∫ᵇₐ −f(x) dx seçeneği çekicidir ama sınırların yer değiştirmesi bir kez daha işaret değiştirdiği için ∫ₐᵇ f(x) dx'e, yani negatif bir değere eşittir.
Kolay
2Bir rampanın yan yüzü, koordinat düzleminde y = 2x doğrusu, x ekseni ve x = 3 doğrusu arasında kalan bölge biçimindedir; birimler metredir. Usta, bu yüzü boyamak için alanını hesaplıyor. Bu yan yüzün alanı kaç metrekaredir?
- A) 6
- B) 18
- C) 9
- D) 3
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9
Alan ∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = 9 m²'dir; bu, tabanı 3, yüksekliği 6 olan dik üçgenin alanıdır. 18 seçeneği, üçgen alanında 2'ye bölmenin unutulmasından; 6 ise x = 3'teki yüksekliğin alan sanılmasından doğar.
Kolay
3Bir peyzaj mimarı, iki farklı eğri biçimli yürüyüş yolunun arasında kalan alanı çiçeklendirecek. Bu alanı belirli integralle hesaplamak için izleyeceği yolu planlıyor. İki eğri arasında kalan bölgenin alanı hesaplanırken izlenecek doğru yol aşağıdakilerden hangisidir?
- A) İki fonksiyonun integrallerini ayrı ayrı alıp toplamak
- B) Alttaki eğriden üstteki eğriyi çıkararak integral almak
- C) İki fonksiyonu çarpıp çarpımın integralini almak
- D) Kesim noktalarını bulup üstteki eğriden alttakini çıkararak integral almak
- E) Yalnızca üstteki eğrinin integralini alıp sonucu ikiye bölmek
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Kesim noktalarını bulup üstteki eğriden alttakini çıkararak integral almak
Kesim noktaları integralin sınırlarını verir; integrali alınan fark (üstteki − alttaki) her noktada iki eğri arasındaki dikey uzaklıktır. İntegralleri toplamak, iki bölgenin x eksenine kadar olan alanlarını birleştirir; aradaki bölgeyi değil.
Kolay
4Bir park alanının planında, y = 3 doğrusu, x ekseni, x = 1 ve x = 5 doğruları arasında kalan bölge çimlendirilecek; birimler metredir. Bahçıvan, gereken çim rulosunu belirlemek için bölgenin alanını belirli integralle hesaplıyor. Çimlendirilecek bölgenin alanı kaç metrekaredir?
- A) 15
- B) 12
- C) 9
- D) 4
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 12
Alan ∫₁⁵ 3 dx = 3 · (5 − 1) = 12 m²'dir; bölge 4 m'ye 3 m'lik bir dikdörtgendir. 15 seçeneği, genişlik olarak 4 yerine üst sınır olan 5'in alınmasından doğar.
Kolay
5y = 1/x² eğrisi, x ekseni, x = 1 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 1
- B) 3/4
- C) 1/4
- D) 2
- E) 1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 1/2
Ters türev −1/x'tir: (−1/2) − (−1) = 1/2 birimkare olur. 3/4 yanıtı, sınırlardaki fonksiyon değerlerinin ortalamasını alan sanmaktan gelir.
Kolay
6y = −x² eğrisi, x ekseni ve x = 3 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) −9
- B) 3
- C) 9
- D) 27
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9
∫₀³ (−x²) dx = −9 çıkar; bölge x ekseninin altında olduğundan alan 9 birimkaredir. 27 yanıtı, 3'e bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
7Bir rampanın yan yüzü, y = x + 1 doğrusu, x ekseni, x = 1 ve x = 3 doğruları arasında kalan bölge biçimindedir; birimler metredir. Bu yüzün alanı kaç m²'dir?
- A) 4
- B) 8
- C) 12
- D) 6
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 6
∫₁³ (x + 1) dx = (9/2 + 3) − (1/2 + 1) = 6 m²'dir; bu, paralel kenarları 2 ve 4, yüksekliği 2 olan yamuğun alanıdır. 12 yanıtı, yamuk alanında 2'ye bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
8y = x² eğrisi ile y = 2x doğrusu arasında kalan kapalı bölgenin alanı hesaplanacak. Bu alanı veren integralin sınırları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 0 ve 4
- B) −2 ve 2
- C) 1 ve 2
- D) 0 ve 2
- E) 0 ve 1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 0 ve 2
Sınırlar kesim noktalarıdır: x² = 2x ise x(x − 2) = 0 ve x = 0, x = 2 bulunur. 0 ve 4 yanıtı, kesim noktasının ordinatını apsis sanmaktan gelir.
Kolay
9y = x² ve y = x² + 3 eğrileri, x = 0 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 3
- B) 6
- C) 9
- D) 12
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
Üstteki ile alttakinin farkı her yerde 3'tür: ∫₀² 3 dx = 6 birimkare olur. 3 yanıtı, farkı aralık uzunluğuyla çarpmayı unutmaktan gelir.
Kolay
10y = 3x² eğrisi, x ekseni, x = 0 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 8
- B) 12
- C) 24
- D) 4
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 8
Alan ∫₀² 3x² dx = 2³ − 0 = 8 birimkaredir. 12 yanıtı, ters türev yerine türev 6x'in 2'deki değerinden gelir.
Kolay
11y = x³ eğrisi, x ekseni, x = 0 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 8
- B) 2
- C) 16
- D) 6
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 4
Alan ∫₀² x³ dx = 2⁴/4 = 4 birimkaredir. 16 yanıtı, 4'e bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
12[a, b] aralığında g(x) ≥ f(x) olmak üzere y = f(x) ve y = g(x) eğrileri, x = a ve x = b doğruları arasında kalan bölgenin alanı hesaplanacak. Bu alanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx
- B) ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
- C) ∫ₐᵇ [f(x) + g(x)] dx
- D) ∫ₐᵇ f(x) dx · ∫ₐᵇ g(x) dx
- E) ∫ₐᵇ g(x) dx
Cevabı göster
Doğru cevap: A) ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttakinin çıkarılmasıyla bulunur. Ters sıralı fark negatif sonuç verir; yalnız ∫ g ise alttaki eğrinin altındaki bölgeyi de katar.
Kolay
13Bir bahçe planında y = 2x + 1 doğrusu, x ekseni, x = 0 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölge çiçeklendirilecek; birimler metredir. Bu bölgenin alanı kaç m²'dir?
- A) 5
- B) 4
- C) 6
- D) 8
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6
Doğru bu aralıkta x ekseninin üstündedir; alan ∫₀² (2x + 1) dx = 4 + 2 = 6 m²'dir. 4 yanıtı, sabit 1'in integralini unutmaktan gelir.
Kolay
14y = x² eğrisi, x ekseni, x = 1 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 8/3
- B) 7/3
- C) 3
- D) 1/3
- E) 3/2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 7/3
Alan ∫₁² x² dx = 8/3 − 1/3 = 7/3 birimkaredir. 8/3 yanıtı, alt sınırdaki 1/3 değerini çıkarmayı unutmaktan gelir.
Kolay
15Bir göletin kesiti, [0, 2] aralığında x ekseninin altında kalan y = x − 3 doğrusuyla gösteriliyor. Bu doğru, x ekseni, x = 0 ve x = 2 doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) −4
- B) 2
- C) 6
- D) 4
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4
∫₀² (x − 3) dx = 2 − 6 = −4 çıkar; bölge x ekseninin altında olduğundan alan bu değerin mutlak değeri olan 4'tür. −4 yanıtı, alanın negatif olamayacağını gözden kaçırır.
Kolay
16Bir köprü kemerinin altındaki boşluk, y = x² + 2 eğrisi, x ekseni, x = −1 ve x = 1 doğruları arasında kalan bölgedir. Bu bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 14/3
- B) 4
- C) 8/3
- D) 2/3
- E) 16/3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 14/3
∫₋₁¹ (x² + 2) dx = (1/3 + 2) − (−1/3 − 2) = 14/3 olur. 2/3 yanıtı, sabit 2'nin integralini unutmaktan gelir.
Kolay
17Yarım daire biçimli bir pencerenin kesiti, y = √(9 − x²) eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgedir. Bir öğrenci ∫₋₃³ √(9 − x²) dx integralinin değerini, ters türev aramadan bölgenin geometrik biçiminden buluyor. Bu integralin değeri kaçtır?
- A) 3π/2
- B) 9π/4
- C) 3π
- D) 9π/2
- E) 9π
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 9π/2
y = √(9 − x²) ifadesinin karesi alınırsa x² + y² = 9 olur ve y ≥ 0'dır; yani eğri, yarıçapı 3 olan çemberin üst yarısıdır. Eğri x ekseninin üstünde olduğundan integral bölgenin alanına eşittir: π · 3²/2 = 9π/2. 9π dairenin tamamının alanıdır; 9π/4 çeyrek dairenin alanıdır; 3π ise çemberin yarısının uzunluğudur.
Kolay
18Sürekli bir f fonksiyonunun grafiği, [a, c] aralığında x ekseninin üstünde, [c, b] aralığında x ekseninin altında kalıyor. Bu grafik ile x ekseni arasında kalan iki bölgenin alanları toplamı 8 birimkare, ∫ₐᵇ f(x) dx integralinin değeri ise 2'dir. x ekseninin üstündeki bölgenin alanı kaç birimkaredir?
- A) 2
- B) 3
- C) 5
- D) 6
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5
Üstteki alan A₁, alttaki alan A₂ olsun. İntegralde alttaki bölge eksi işaretle girdiğinden A₁ − A₂ = 2'dir. Alanlar toplamı A₁ + A₂ = 8'dir. İki eşitlik toplanırsa 2A₁ = 10 ve A₁ = 5 bulunur. A₂ = 3'tür. Bu alt bölgenin alanı üsttekiyle karıştırılınca 3 yanıtı çıkar.
Orta
19Bir köprü ayağının kesiti, y = x² eğrisi ile y = 1 doğrusu arasında kalan kapalı bölge biçiminde tasarlanıyor; birimler metredir. Mühendis, betonun miktarını hesaplamak için bu kesitin alanını buluyor. Bu kapalı bölgenin alanı kaç metrekaredir?
- A) 2/3
- B) 2
- C) 4/3
- D) 8/3
- E) 1/3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4/3
Kesim noktaları x = −1 ve x = 1'dir; alan ∫₋₁¹ (1 − x²) dx = 2 − 2/3 = 4/3'tür. 2/3 seçeneği, x² eğrisinin altındaki alanın (∫₋₁¹ x² dx) istenen alan sanılmasından doğar.
Orta
20Bir okul, bahçesinin köşesinde koordinat eksenleri ile y = 6 − 2x doğrusu arasında kalan üçgen biçimli bölgeyi oyun alanı yapacak; birimler metredir. Müdür yardımcısı, zemin kaplaması için bölgenin alanını hesaplıyor. Bu bölgenin alanı kaç metrekaredir?
- A) 18
- B) 6
- C) 9
- D) 12
- E) 36
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9
Doğru x eksenini x = 3'te, y eksenini y = 6'da keser; alan ∫₀³ (6 − 2x) dx = 18 − 9 = 9 m²'dir. 18 seçeneği, dik kenarların çarpımının 2'ye bölünmeden alınmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.