Bayes Teoremi

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.10.7.2Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu

  • a) Bayes teoreminin kullanıldığı gerçek yaşam durumlarına ilişkin mevcut bilgileri kullanır.
  • b) Mevcut bilgileri kullanarak Bayes teoremine dayalı hesaplama yapar.
  • c) Bayes teoreminin kullanıldığı gerçek yaşam durumlarına ilişkin ileriye yönelik yargıda bulunur.

1. Kolay

   1Bir kafenin müşterilerinin %25'i öğrencidir. Öğrencilerin %80'i kampanyalı menüyü seçiyor; tüm müşteriler arasında ise kampanyalı menüyü seçenlerin oranı %40'tır. Kampanyalı menüyü seçtiği bilinen bir müşterinin öğrenci olma olasılığı kaçtır?

   • AA) 0,2
   • BB) 0,32
   • CC) 0,8
   • DD) 0,1
   • EE) 0,5
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 0,5

   P(öğrenci | kampanya) = P(kampanya | öğrenci) · P(öğrenci) / P(kampanya) = 0,8 · 0,25 / 0,4 = 0,2 / 0,4 = 0,5'tir. 0,2 seçeneği, paydaki çarpımın P(kampanya) değerine bölünmemesinden doğar; bu değer öğrenci olup kampanyayı seçme olasılığıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir fabrikada ürünlerin bir kısmı gece vardiyasında (A) üretiliyor. Kalite sorumlusu, rastgele seçilen bir ürünün kusurlu (B) olma olasılığını P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|A') · P(A') eşitliğiyle hesaplıyor. Bu eşitlikte P(A') neyi ifade eder?

   • AA) Ürünün kusurlu olmama olasılığını
   • BB) Ürünün gece vardiyasında üretilmemiş olma olasılığını
   • CC) Ürünün gece üretilip kusurlu olma olasılığını
   • DD) Kusurlu ürünün gece vardiyasında üretilmiş olma olasılığını
   • EE) Ürünün gece vardiyasında üretilmiş olma olasılığını
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) Ürünün gece vardiyasında üretilmemiş olma olasılığını

   A', A olayının tümleyenidir: P(A') = 1 − P(A), yani ürünün gece vardiyasında üretilmemiş olma olasılığıdır. "Ürünün kusurlu olmama olasılığını" seçeneği B'nin tümleyenidir (P(B')); tümleyen işaretinin hangi olayın üzerinde olduğuna dikkat edilmemiştir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir uygulama mağazası, bir oyunu indirdiği (B) bilinen bir kullanıcının öğrenci (A) olma olasılığını tahmin etmek istiyor. Mağazanın elinde öğrencilerin bu oyunu indirme olasılığı P(B|A), kullanıcılar içindeki öğrenci oranı P(A) ve oyunun tüm kullanıcılar arasındaki indirilme oranı P(B) var. Bayes teoremine göre P(A|B) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

   • AA) P(B|A) · P(B) / P(A)
   • BB) P(B|A) · P(A) / P(B)
   • CC) P(A) · P(B)
   • DD) P(B|A) / P(A)
   • EE) P(B|A) · P(A)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) P(B|A) · P(A) / P(B)

   Bayes teoremi bilinen P(B|A) olasılığından ters yöndeki P(A|B)'ye geçer: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(B|A) · P(A) / P(B). P(B|A) · P(A) seçeneği yalnızca kesişim olasılığını verir; koşul olan B olayına bölme unutulmuştur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir okulda öğrencilerin %20'si okul takımlarında oynuyor. Takımda oynayanların %50'si, oynamayanların ise %25'i okula bisikletle geliyor. Rastgele seçilen bir öğrencinin okula bisikletle geliyor olma olasılığı kaçtır?

   • AA) 0,75
   • BB) 0,125
   • CC) 0,3
   • DD) 0,1
   • EE) 0,375
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 0,3

   Takımda oynamayanların oranı 0,8'dir. P(bisiklet) = 0,5 · 0,2 + 0,25 · 0,8 = 0,1 + 0,2 = 0,3'tür. 0,375 seçeneği, iki grubun oranlarının (%50 ve %25) grupların büyüklüğü dikkate alınmadan ortalamasının alınmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Elif'in iki kalemliği vardır. Birinci kalemlikte 3 kırmızı ve 1 mavi, ikinci kalemlikte 1 kırmızı ve 3 mavi kalem bulunuyor. Elif kalemliklerden birini rastgele seçip içinden bakmadan bir kalem alıyor ve kalemin kırmızı olduğunu görüyor. Bu kalemin birinci kalemlikten alınmış olma olasılığı kaçtır?

   • AA) 1/4
   • BB) 3/8
   • CC) 1/2
   • DD) 3/4
   • EE) 5/6
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 3/4

   P(kırmızı) = 1/2 · 3/4 + 1/2 · 1/4 = 1/2 ve P(birinci ∩ kırmızı) = 3/8 olduğundan istenen olasılık (3/8) / (1/2) = 3/4 olur. 3/8 yalnızca kesişimin olasılığıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir alışveriş merkezinin otoparkına bir günde giren 1000 aracın 300'ü elektriklidir. Otoparkta 2 saatten fazla kalan araçların 90'ı elektrikli, 110'u elektrikli olmayan araçlardır. 2 saatten fazla kaldığı bilinen bir aracın elektrikli olma olasılığı kaçtır?

   • AA) 0,09
   • BB) 0,30
   • CC) 0,45
   • DD) 0,55
   • EE) 0,90
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 0,45

   2 saatten fazla kalan 90 + 110 = 200 aracın 90'ı elektriklidir: 90/200 = 0,45. 0,30 ise 90/300, yani bir elektrikli aracın 2 saatten fazla kalma olasılığıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Zeynep bir gazetede “Kar yağan günlerin %90'ında hava sıcaklığı 0 °C'nin altındadır.” bilgisini okuyor ve “Demek ki sıcaklık 0 °C'nin altındayken %90 olasılıkla kar yağar.” diyor. Zeynep'in çıkarımıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Yanlıştır; bu iki koşullu olasılık farklıdır ve ek bilgi gerekir.
   • BB) Doğrudur; koşullu olasılıkta olayların yeri değiştirilebilir.
   • CC) Doğrudur; iki olay birlikte gerçekleştiği için olasılıklar eşittir.
   • DD) Yanlıştır; bu durumda kar yağma olasılığı her zaman %10 olur.
   • EE) Yanlıştır; bu durumda kar yağma olasılığı %90'dan büyük olur.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) Yanlıştır; bu iki koşullu olasılık farklıdır ve ek bilgi gerekir.

   Verilen P(soğuk | kar) olasılığıdır; P(kar | soğuk) için Bayes teoremine göre karlı ve soğuk günlerin genel oranları da gerekir. Koşullu olasılıkta olayların yeri değiştirilemez.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bir tamirciye gelen telefonların %80'inde ekran kırık, %20'sinde batarya arızalıdır ve her telefonda bu iki arızadan yalnızca biri vardır. Ekranı kırık olanların %25'i, bataryası arızalı olanların %50'si aynı gün teslim ediliyor. Aynı gün teslim edilen bir telefonun bataryası arızalı olma olasılığı kaçtır?

   • AA) 1/5
   • BB) 1/4
   • CC) 1/3
   • DD) 1/2
   • EE) 2/3
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 1/3

   P(aynı gün) = 0,8 · 0,25 + 0,2 · 0,5 = 0,3 ve P(batarya ∩ aynı gün) = 0,1 olduğundan sonuç 0,1 / 0,3 = 1/3 olur. 1/2, bataryası arızalı bir telefonun aynı gün teslim edilme olasılığıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir mahalledeki evlerin %20'sinde güneş paneli vardır. Paneli olan evlerin %90'ının, paneli olmayan evlerin %30'unun aylık elektrik faturası 500 TL'nin altındadır. A: “evde panel var”, B: “fatura 500 TL'nin altında” olaylarıdır. Verilen %30 değeri aşağıdaki olasılıklardan hangisidir?

   • AA) P(B|A)
   • BB) P(B|A')
   • CC) P(A'|B)
   • DD) P(A|B)
   • EE) P(B'|A')
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) P(B|A')

   %30, paneli olmayan (A') evler içinde faturası düşük (B) olanların oranıdır; bu P(B|A') olur. P(A'|B) ise faturası düşük evler içinde panelsiz olanların oranıdır ve farklı bir olasılıktır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Defne, bir testin sonucu pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığını hesaplamak istiyor. Testin hastalarda pozitif çıkma oranını ve sağlıklı kişilerde yanlışlıkla pozitif çıkma oranını biliyor. Defne'nin hesabı yapabilmesi için aşağıdaki bilgilerden hangisine kesinlikle ihtiyacı vardır?

    • AA) Testi yaptıran kişilerin toplam sayısı
    • BB) Testi negatif çıkan kişilerin sayısı
    • CC) Hastalığın ortalama tedavi süresi
    • DD) Testin aynı kişiye kaç kez uygulandığı
    • EE) Hastalığın toplumda görülme oranı
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) Hastalığın toplumda görülme oranı

    Bayes hesabında P(hasta) başlangıç olasılığı olarak gerekir; bu da hastalığın toplumdaki görülme oranıdır. Toplam kişi sayısı gerekmez, çünkü oranlarla da aynı sonuç bulunur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir müzik okulunun kayıtları aşağıdaki tabloda verilmiştir. | | Hafta içi | Hafta sonu | |---|---|---| | Gitar | 18 | 12 | | Piyano | 20 | 10 | Hafta sonu kursuna geldiği bilinen bir öğrencinin gitar öğrencisi olma olasılığı kaçtır?

    • AA) 6/11
    • BB) 5/11
    • CC) 2/5
    • DD) 1/5
    • EE) 11/30
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 6/11

    Hafta sonu gelen 12 + 10 = 22 öğrencinin 12'si gitar öğrencisidir: 12/22 = 6/11. 2/5 ise 12/30, yani bir gitar öğrencisinin hafta sonu gelme olasılığıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir okulun 200 öğrencisinden 80'i satranç kulübüne üyedir. Matematik olimpiyatına başvuran öğrencilerin 20'si satranç kulübünden, 30'u ise kulüp dışındandır. Olimpiyata başvurduğu bilinen bir öğrencinin satranç kulübü üyesi olma olasılığı kaçtır?

    • AA) 0,25
    • BB) 0,40
    • CC) 0,50
    • DD) 0,60
    • EE) 0,80
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 0,40

    Başvuran 20 + 30 = 50 öğrencinin 20'si kulüp üyesidir; olasılık 20/50 = 0,40 olur. 0,25 ise 20/80 yani bir kulüp üyesinin başvurma olasılığıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir kütüphanede ödünç verilen kitapların bir kısmı romandır (R). Kütüphaneci, geç iade edildiği (G) bilinen bir kitabın roman olma olasılığını Bayes teoremiyle bulmak istiyor. Bu olasılık aşağıdaki eşitliklerden hangisiyle hesaplanır?

    • AA) P(G|R) · P(R) / P(G)
    • BB) P(R|G) · P(G) / P(R)
    • CC) P(G|R) · P(G) / P(R)
    • DD) P(G|R) · P(R)
    • EE) P(R) · P(G) / P(G|R)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) P(G|R) · P(R) / P(G)

    İstenen P(R|G)'dir ve Bayes teoremine göre P(R|G) = P(G|R) · P(R) / P(G) olur. P(G|R) · P(R) yalnızca kesişimin olasılığıdır; P(G)'ye bölünmeden istenen olasılık bulunmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir dondurmacının kayıtlarına göre günlerin %40'ı güneşli geçiyor. Güneşli günlerin %75'inde, diğer günlerin ise %25'inde akşam olmadan dondurma stoku tükeniyor. Rastgele seçilen bir günde stokun tükenme olasılığı kaçtır?

    • AA) 0,30
    • BB) 0,40
    • CC) 0,45
    • DD) 0,50
    • EE) 0,55
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 0,45

    Ağacın stok tükenen dalları toplanır: 0,4 · 0,75 + 0,6 · 0,25 = 0,30 + 0,15 = 0,45. Yalnız güneşli dal alınırsa 0,30 bulunur ve bu eksik bir hesaptır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir futbol maçı için kurulan ağaç şemasında ilk dallar “yağmur yağar (Y)” ve “yağmur yağmaz (Y')” durumlarını, ikinci dallar ise “maç ertelenir (E)” ve “maç ertelenmez” durumlarını gösteriyor. Maçın ertelenme olasılığı P(E) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    • AA) P(E|Y) + P(E|Y')
    • BB) P(E|Y) · P(Y)
    • CC) P(E|Y) · P(E|Y')
    • DD) P(E|Y) · P(Y) + P(E|Y') · P(Y')
    • EE) P(Y) + P(E|Y) · P(E|Y')
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) P(E|Y) · P(Y) + P(E|Y') · P(Y')

    E'ye götüren iki dal vardır ve her dalın olasılığı dal üzerindeki olasılıkların çarpımıdır; bu iki çarpım toplanır. Yalnız P(E|Y) · P(Y) alınırsa yağmursuz günlerde ertelenme durumu unutulmuş olur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir kursa katılanların yarısı sabah, yarısı akşam grubundadır. Deneme sınavında sabah grubundakilerin %30'u, akşam grubundakilerin %10'u tam puan almıştır. Tam puan aldığı bilinen bir kursiyerin sabah grubunda olma olasılığı kaçtır?

    • AA) 0,15
    • BB) 0,25
    • CC) 0,30
    • DD) 0,60
    • EE) 0,75
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 0,75

    P(tam puan) = 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,1 = 0,20 olduğundan P(sabah | tam puan) = 0,15 / 0,20 = 0,75 olur. 0,30 ise ters yöndeki P(tam puan | sabah) olasılığıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir fırında ekmeklerin %75'i taş fırında, %25'i elektrikli fırında pişiriliyor. Taş fırında pişen ekmeklerin %4'ü, elektrikli fırında pişen ekmeklerin %12'si fazla kızarmış çıkıyor. Fırıncı, bu bilgilerle bir olasılığı Bayes teoremini kullanarak hesaplamak istiyor. Aşağıdaki olasılıklardan hangisi, gözlenen sonuçtan nedene doğru giden ve Bayes teoremiyle hesaplanan olasılıktır?

    • AA) Fazla kızarmış bir ekmeğin taş fırında pişmiş olma olasılığı
    • BB) Taş fırında pişen bir ekmeğin fazla kızarmış olma olasılığı
    • CC) Rastgele seçilen bir ekmeğin fazla kızarmış olma olasılığı
    • DD) Rastgele seçilen bir ekmeğin elektrikli fırında pişmiş olma olasılığı
    • EE) Elektrikli fırında pişen bir ekmeğin fazla kızarmamış olma olasılığı
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Fazla kızarmış bir ekmeğin taş fırında pişmiş olma olasılığı

    Bu durumda neden ekmeğin piştiği fırın, sonuç ise ekmeğin fazla kızarmasıdır. Verilen %4 ve %12 değerleri nedenden sonuca giden koşullu olasılıklardır: P(kızarmış | taş) = 0,04 ve P(kızarmış | elektrikli) = 0,12. Bayes teoremi bu bilgiden ters yöne geçer: P(taş | kızarmış) = P(kızarmış | taş) · P(taş) / P(kızarmış). Bu nedenle fazla kızarmış olduğu görülen bir ekmeğin taş fırında pişmiş olma olasılığı Bayes teoremiyle bulunur. Taş fırında pişen ekmeğin kızarma olasılığı (%4) ve elektrikli fırında pişme olasılığı (%25) doğrudan verilmiştir. Elektrikli fırında pişenin kızarmama olasılığı tümleyenle bulunur (1 − 0,12 = 0,88). Rastgele bir ekmeğin fazla kızarmış olma olasılığı ise koşullu bir olasılık değildir; dalların toplamıyla bulunur (0,75 · 0,04 + 0,25 · 0,12 = 0,06).

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Efe, bir tarama testinin sonuçlarını alan modeliyle göstermek için kenar uzunluğu 10 birim olan bir kare çiziyor. Kareyi düşey bir doğru parçasıyla iki dikdörtgene ayırıyor: genişliği 2 birim olan soldaki dikdörtgen hasta olanları, genişliği 8 birim olan sağdaki dikdörtgen sağlıklı olanları temsil ediyor. Sonra soldaki dikdörtgenin tabandan 9 birim yüksekliğe kadar olan bölümünü, sağdaki dikdörtgenin ise tabandan 1 birim yüksekliğe kadar olan bölümünü boyuyor. Boyalı bölgeler testi pozitif çıkanları temsil ediyor ve her bölgenin alanının karenin alanına oranı, o gruptaki kişilerin oranını veriyor. Bu modele göre testi pozitif çıkan birinin hasta olma olasılığı kaçtır?

    • AA) 9/50
    • BB) 1/5
    • CC) 13/50
    • DD) 9/13
    • EE) 9/10
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 9/13

    Soldaki boyalı bölge hasta olup testi pozitif çıkanları gösterir; alanı 2 · 9 = 18 birim karedir. Sağdaki boyalı bölge sağlıklı olduğu hâlde testi pozitif çıkanları gösterir; alanı 8 · 1 = 8 birim karedir. Testi pozitif çıkanların tamamı 18 + 8 = 26 birim karelik boyalı alandır. Testin pozitif çıktığı bilindiğine göre yalnız boyalı alana bakılır: istenen olasılık 18/26 = 9/13 olur. 9/50 (18/100) hasta ve pozitif olanların bütün kareye oranıdır; 13/50 (26/100) testin pozitif çıkma olasılığıdır; 1/5 hastaların oranı, 9/10 ise hastalarda testin pozitif çıkma oranıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir havalimanında, çok nadir görülen yasak bir maddeyi arayan ve doğruluğu yüksek bir tarama cihazı kullanılıyor. Bir yıllık kayıtlar, cihazın alarm verdiği yolcuların büyük çoğunluğunun çantasında aslında bu maddenin bulunmadığını gösteriyor. Bu durumun temel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) Cihazın maddeyi taşıyanların çoğunu fark edememesi
    • BB) Maddenin yolcular arasında görülme oranının çok düşük olması
    • CC) Alarm verme olasılığının her yolcu için %50 olması
    • DD) Bayes teoreminin nadir durumlarda geçersiz olması
    • EE) Yolcu sayısının olasılık hesabı için çok az olması
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Maddenin yolcular arasında görülme oranının çok düşük olması

    Madde nadir olduğunda temiz yolcu sayısı çok büyüktür; küçük bir yanlış alarm oranı bile gerçek alarmlardan daha çok yanlış alarm üretir. Bu yüzden başlangıç oranı hesaba katılmalıdır. "Cihazın maddeyi taşıyanların çoğunu fark edememesi" seçeneği yanlıştır; bu durum yanlış alarmları değil, kaçırılan vakaları artırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir ilçede 1000 kişiyle yapılan ankette katılımcıların 200'ünün lisanslı sporcu olduğu belirleniyor. Sporcuların %60'ı, sporcu olmayanların ise %15'i her sabah koşuya çıkıyor. Her sabah koşuya çıktığı bilinen bir katılımcının lisanslı sporcu olma olasılığı kaçtır?

    • AA) 1/2
    • BB) 3/5
    • CC) 1/5
    • DD) 3/20
    • EE) 4/5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 1/2

    Koşan sporcu 200 · 0,6 = 120, koşan sporcu olmayan 800 · 0,15 = 120 kişidir; koşan 240 kişinin 120'si sporcudur: 1/2. 4/5 seçeneği, yalnızca yüzdeler oranlanarak (60 / (60 + 15)) bulunur; sporcuların toplumdaki payının küçük olduğu, yani başlangıç oranı göz ardı edilmiştir.

    Hata mı var? Düzeltme öner