İçeriğe geç
dershanede

Influencer ortaklığı

Takipçilerine indirim, sana kazanç

Yükleniyor…

12. Sınıf Matematik · Diziler

Gerçek Sayı Dizileri

  • dizi
  • genel terim
  • indirgeme bağıntısı
  • aritmetik dizi
  • geometrik dizi
  • ortak fark
  • ortak çarpan

Aritmetik ve geometrik dizi nedir, genel terimi nasıl bulunur?

Gerçek sayı dizisi, pozitif tam sayılar kümesinden gerçek sayılara tanımlanan fonksiyondur ve (aₙ) ile gösterilir; aritmetik ve geometrik diziler bunun en önemli türleridir. Genel terimi verilmeyen bir sayı listesi dizi belirtmez. Dizi indirgeme bağıntısıyla da verilebilir: a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = aₙ + 3 ise terimler 2, 5, 8, 11 olur. Aritmetik dizide ardışık terimlerin farkı sabittir; genel terim aₙ = a₁ + (n − 1) · d, ilk n terimin toplamı Sₙ = n · (a₁ + aₙ)/2'dir. Örneğin 3, 7, 11 dizisinde a₁₀ = 39 ve S₁₀ = 210 bulunur. Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı sabittir; genel terim aₙ = a₁ · r^(n−1) şeklindedir. 2, 6, 18 dizisinde a₅ = 162 ve S₅ = 242 olur. Faiz, nüfus ve sekme yüksekliği gibi gerçek hayat problemleri bu dizilerle modellenir. Genel terim formülünde üs ya da çarpan n değil, (n − 1)'dir, çünkü birinci terimden n. terime (n − 1) adım vardır.

Gerçek Sayı Dizileri: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, dizilerin aslında tanım kümesi pozitif tam sayılar olan fonksiyonlar olduğunu gösteriyor. Ardından aritmetik ve geometrik dizileri, bu dizilerin genel terim ve toplam formüllerini anlatıyor.

  • Z⁺'dan R'ye tanımlı her fonksiyon bir gerçek sayı dizisidir ve (aₙ) ile gösterilir; aₙ genel terimdir. Genel terimi verilmeyen bir sayı listesi dizi belirtmez.
  • Dizi, indirgeme bağıntısıyla da verilebilir. Örnek: a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = aₙ + 3 ise terimler 2, 5, 8, 11 olur, yani a₄ = 11.
  • Aritmetik dizide ardışık terimlerin farkı sabittir (ortak fark d). Genel terim aₙ = a₁ + (n − 1) · d, ilk n terimin toplamı Sₙ = n · (a₁ + aₙ)/2'dir.
  • Örnek: 3, 7, 11, ... dizisinde a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39, S₁₀ = 10 · (3 + 39)/2 = 210 olur.
  • Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı sabittir (ortak çarpan r). Genel terim aₙ = a₁ · r^(n−1), toplam Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1) şeklindedir.
  • Örnek: 2, 6, 18, ... dizisinde a₅ = 2 · 3⁴ = 162 ve S₅ = 2 · (243 − 1)/2 = 242 bulunur.
  • Faiz, nüfus ve sekme yüksekliği gibi gerçek hayat problemleri bu dizilerle modellenir.

Unutma: Genel terim formülünde üs ya da çarpan (n − 1)'dir, n değil. Birinci terimden n. terime (n − 1) adım vardır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:

Önce temeli pekiştir

Bir dizinin türünü anlamak için ardışık terimler arasında iki soru sor.

  1. Fark sabit mi? 5, 8, 11, 14 … dizisinde her terim öncekinden 3 fazladır; bu bir aritmetik dizidir (d = 3).
  2. Oran sabit mi? 3, 6, 12, 24 … dizisinde her terim öncekinin 2 katıdır; bu bir geometrik dizidir (r = 2).
  3. Genel terimi bulmak için ilk terimden kaç adım ilerlediğini say: 5, 8, 11 … dizisinin 5. terimine 4 adımda ulaşılır, a₅ = 5 + 4 · 3 = 17.

Günlük hayattan: Kumbaraya her hafta 20 TL atmak aritmetik bir dizi oluşturur. Bir bitkinin boyunun her hafta %10 uzaması ise geometrik bir dizidir.

Sık yapılan hata: aₙ = a₁ + n · d yazmak. Doğrusu: İlk terim zaten sayıldığı için n. terime n − 1 adımda ulaşılır, aₙ = a₁ + (n − 1) · d.

Derinleş

Bir rivayete göre küçük yaştaki Gauss 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını terimleri baştan ve sondan eşleyerek hızla bulmuştur. Bu fikri kullanarak toplamı kendin hesapla ve aritmetik dizi toplam formülüyle ilişkilendir. Ardından bir ayçiçeği ya da çam kozalağındaki sarmalları say ve Fibonacci dizisiyle karşılaştır. Bu dizi aritmetik mi, geometrik mi, yoksa ikisi de değil mi? Ardışık terimlerin oranı neye yaklaşıyor?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

  • MAT.12.1.1Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerine ilişkin muhakeme yapabilme

    • a) Sayı örüntülerinin ardışık terimlerini belirler.
    • b) Ardışık terimler arasındaki ortak fark/oran (çarpan) ilişkisini belirler.
    • c) Sayı örüntülerinin her bir terimini belirlediği ortak farkı/oranı kullanarak ifade eder.
    • ç) Ortak farkı/oranı kullanarak örüntülerin genel terimini belirler.
    • e) Varsayımlarından yararlanıp aritmetik/geometrik dizilerin sonlu toplamları ile ilgili örüntüleri geneller.

  • MAT.12.1.2Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar ile gerçek sayı dizilerini karşılaştırabilme

    • a) Gerçek sayı dizileri ve gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özelliklerini belirler.
    • c) Gerçek sayı dizileri ve gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özelliklerine ilişkin farklılıkları listeler.

Bu konuda neler var?

  • Dizi ve Fonksiyon Kavramları Arasındaki İlişki
  • Genel Terimi veya İndirgeme Bağıntısı Verilen Bir Sayı Dizisinin Terimleri
  • Aritmetik, Geometrik Diziler ve Özellikleri
  • Gerçek Hayat Durumları ile İlgili Dizi Problemleri

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalışKonu testini çöz

  1. Kolay

    1Dört arkadaş haftalık biriktirme planı yapıyor; n. haftada kumbaraya atacakları para (TL) her planda farklı bir kurala bağlı. Ebru, hangi arkadaşının kumbarasına her hafta bir önceki haftadan aynı miktar fazla para attığını bulmak istiyor. Planlardan hangisi bir aritmetik dizi oluşturur?

    • A) aₙ = n² + 1
    • B) aₙ = 2ⁿ
    • C) aₙ = 4n + 1
    • D) aₙ = 10/n
    • E) aₙ = (−1)ⁿ + 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) aₙ = 4n + 1

    aₙ₊₁ − aₙ = 4(n + 1) + 1 − (4n + 1) = 4 sabit olduğundan aₙ = 4n + 1 aritmetik dizidir. aₙ = n² + 1'de terimler düzenli artar ama farklar 3, 5, 7… diye değişir; düzenli artış aritmetik dizi için yetmez, farkın sabit olması gerekir.

  2. Kolay

    2Bir okul kulübünün duyurusu bir mesaj zinciriyle yayılıyor: ilk gün 3 kişi duyuruyu alıyor, sonraki her gün duyuruyu alan kişi sayısı bir önceki günün 2 katı oluyor. Kulüp başkanı 4. gün duyuruyu kaç kişinin alacağını hesaplıyor. 4. gün duyuruyu kaç kişi alır?

    • A) 48
    • B) 24
    • C) 12
    • D) 9
    • E) 16
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 24

    Kişi sayıları ilk terimi 3, ortak çarpanı 2 olan geometrik dizi oluşturur: a₄ = 3 · 2³ = 24. 48, üssü 4 alıp 3 · 2⁴ hesaplamaktan doğar; ilk terimden 4. terime 3 adım vardır.

  3. Kolay

    3Bir tiyatro salonunda koltuklar sahneden geriye doğru sıralanmış ve n. sıradaki koltuk sayısı aₙ = 3n − 1 kuralıyla belirlenmiş. Görevli Zehra, 5. sıradaki seyircilere program dağıtmak için o sıradaki koltuk sayısını hesaplıyor. 5. sırada kaç koltuk vardır?

    • A) 15
    • B) 14
    • C) 11
    • D) 17
    • E) 12
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 14

    a₅ = 3 · 5 − 1 = 14 bulunur. 11, 4. sıranın koltuk sayısıdır (a₄); 17 ise 6. sıraya aittir. Genel terimde n yerine doğrudan sıra numarası yazılmalıdır.

  4. Kolay

    4Bir kış sabahı saat 06.00'da hava sıcaklığı 5 °C ölçülüyor ve sonraki her saat sıcaklık bir önceki ölçüme göre 2 °C düşüyor. Ölçümler a₁ = 5 ve aₙ₊₁ = aₙ − 2 indirgeme bağıntısıyla kaydediliyor. 4. ölçümde hava sıcaklığı kaç °C'dir?

    • A) 1
    • B) −1
    • C) −3
    • D) 3
    • E) −5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) −1

    a₂ = 3, a₃ = 1, a₄ = −1 bulunur. −3, a₁'den 4 kez 2 çıkarmaktan doğar (5 − 8); a₁'den a₄'e yalnızca 3 adım vardır.

  5. Kolay

    5Bir mumun boyu her saat sonunda ölçülüyor ve ölçümler 20, 17, 14, ... cm biçiminde ilerliyor. Bu aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

    • A) 3
    • B) 20
    • C) −3
    • D) −20
    • E) 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) −3

    Ortak fark ardışık terimlerin farkıdır: 17 − 20 = −3. 3 sonucu farkı ters sırayla alıp boyun azaldığını gözden kaçırmaktan gelir.

  6. Kolay

    6Zeynep bir kumbara planı yapıyor: 1. ay 1000 TL, sonraki her ay bir önceki aydan 200 TL fazla para biriktirecek. Zeynep 6. ayda kaç TL biriktirir?

    • A) 2200
    • B) 2000
    • C) 1200
    • D) 1800
    • E) 6000
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 2000

    a₆ = 1000 + (6 − 1) · 200 = 2000 TL olur. 2200 sonucu (n − 1) yerine n kullanıp artışı 6 kez eklemekten gelir.

  7. Kolay

    7Bir hücre kültüründe günlük ölçümler a₁ = 3 ve aₙ₊₁ = 2 · aₙ indirgeme bağıntısıyla kaydediliyor. 4. ölçümün değeri kaçtır?

    • A) 24
    • B) 12
    • C) 48
    • D) 9
    • E) 16
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 24

    a₂ = 6, a₃ = 12, a₄ = 24 bulunur. 48 sonucu 2 ile çarpmayı bir kez fazla, 12 ise bir kez eksik uygulamaktan gelir.

  8. Kolay

    8Bir kâğıt katlama etkinliğinde kat sayıları 3, 6, 12, ... biçiminde iki katına çıkarak ilerliyor. Bu geometrik dizinin genel terimi hangisidir?

    • A) aₙ = 3 · 2^(n − 1)
    • B) aₙ = 3 · 2ⁿ
    • C) aₙ = 2 · 3^(n − 1)
    • D) aₙ = 6n − 3
    • E) aₙ = 3ⁿ
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) aₙ = 3 · 2^(n − 1)

    a₁ = 3 ve r = 2 olduğundan aₙ = 3 · 2^(n − 1) olur. 3 · 2ⁿ seçeneği ilk terim için 6 verir; üs n − 1 olmalıdır.

  9. Kolay

    9Bir duvar deseninde 1. sırada 2, 2. sırada 5, 3. sırada 8 tuğla vardır ve her sıra bir öncekinden aynı sayıda fazla tuğla içerir. n. sıradaki tuğla sayısını veren genel terim hangisidir?

    • A) aₙ = 3n + 2
    • B) aₙ = 2n + 3
    • C) aₙ = n + 3
    • D) aₙ = 3n
    • E) aₙ = 3n − 1
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) aₙ = 3n − 1

    a₁ = 2, d = 3 olduğundan aₙ = 2 + (n − 1) · 3 = 3n − 1 bulunur. 3n + 2 seçeneği (n − 1) yerine n kullanmaktan gelir ve 1. sıra için 5 verir.

  10. Kolay

    10Bir bilgisayar oyununda n. seviyedeki düşman sayısı aₙ = n² − 1 kuralıyla belirleniyor. Oyuncu 4. seviyeye ulaştığında kaç düşmanla karşılaşır?

    • A) 15
    • B) 7
    • C) 16
    • D) 9
    • E) 17
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 15

    a₄ = 4² − 1 = 16 − 1 = 15 olur. 7 sonucu n²'yi 2n gibi hesaplamaktan, 16 ise 1'i çıkarmayı unutmaktan gelir.

  11. Kolay

    11Öğretmen, f(x) = 2x fonksiyonu ile aₙ = 2n dizisini karşılaştırırken iki kuralın aynı göründüğünü ama farklı kümelerde tanımlandığını söylüyor. Bir gerçek sayı dizisinin tanım kümesi hangisidir?

    • A) Pozitif tam sayılar kümesi (Z⁺)
    • B) Gerçek sayılar kümesi (R)
    • C) Tam sayılar kümesi (Z)
    • D) Rasyonel sayılar kümesi (Q)
    • E) Negatif olmayan gerçek sayılar
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Pozitif tam sayılar kümesi (Z⁺)

    Dizi, Z⁺'dan R'ye tanımlı bir fonksiyondur. f(x) = 2x ise bütün gerçek sayılarda tanımlıdır; dizinin tanım kümesini R sanmak bu iki kavramı karıştırmaktır.

  12. Kolay

    12Bir sayı oyununda öğrencilere dört terimli beş liste veriliyor. Aşağıdaki listelerden hangisi bir geometrik dizinin ardışık terimleri olabilir?

    • A) 1, 4, 9, 16
    • B) 2, 4, 6, 8
    • C) 1, 2, 4, 7
    • D) 3, 6, 12, 15
    • E) 2, 6, 18, 54
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 2, 6, 18, 54

    2, 6, 18, 54'te ardışık terimlerin oranı hep 3'tür. 2, 4, 6, 8'de oran değil fark sabittir; bu bir aritmetik dizidir.

  13. Kolay

    13Selin bir grafik programında f(x) = 2x fonksiyonunu ve aₙ = 2n dizisini aynı koordinat düzleminde gösteriyor. İki grafik arasındaki fark hangisidir?

    • A) Dizinin grafiği kesintisiz doğru, fonksiyonun grafiği ayrık noktalardır.
    • B) İki grafik de yalnızca pozitif tam sayılarda nokta içerir.
    • C) Dizinin grafiği ayrık noktalardan, fonksiyonunki kesintisiz bir doğrudan oluşur.
    • D) Dizinin grafiği orijinden geçer, fonksiyonunki geçmez.
    • E) Dizinin grafiği y eksenini keser, fonksiyonunki kesmez.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) Dizinin grafiği ayrık noktalardan, fonksiyonunki kesintisiz bir doğrudan oluşur.

    Dizi yalnız n = 1, 2, 3, ... için tanımlı olduğundan grafiği (1, 2), (2, 4), ... gibi ayrık noktalardır; f(x) = 2x ise her gerçek sayıda tanımlı olduğundan bir doğrudur. Orijin f'nin grafiğinde vardır ama dizide n = 0 tanımlı değildir.

  14. Kolay

    14Bir haber, her gün bir önceki günün 3 katı kişiye ulaşıyor: 1. gün 5, 2. gün 15, 3. gün 45 kişi. Bu düzen sürerse 5. gün kaç kişiye ulaşılır?

    • A) 135
    • B) 1215
    • C) 75
    • D) 225
    • E) 405
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 405

    Ortak çarpan 3 olduğundan a₅ = 5 · 3⁴ = 5 · 81 = 405 olur. 1215 sonucu üssü n − 1 yerine n almaktan gelir.

  15. Kolay

    15Bir öğretmen, pozitif tam sayılarda tanımlı olmayan kuralların dizi belirtmediğini hatırlatıyor ve tahtaya beş kural yazıyor. Aşağıdakilerden hangisi bir gerçek sayı dizisinin genel terimi olabilir?

    • A) aₙ = 1/(n − 2)
    • B) aₙ = √(n − 4)
    • C) aₙ = 2n − 1
    • D) aₙ = (n + 1)/(n − 5)
    • E) aₙ = log(n − 1)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) aₙ = 2n − 1

    Dizi, her pozitif tam sayıya bir gerçek sayı karşılık getirmelidir; 2n − 1 her n için tanımlıdır. 1/(n − 2) kuralı n = 2'de tanımsız olduğu için dizi belirtmez.

  16. Kolay

    16Defne bir kitabı okumaya başlıyor: 1. gün 1 sayfa, 2. gün 2 sayfa, 3. gün 3 sayfa okuyor ve her gün bir önceki günden 1 sayfa fazla okuyor. 20. günün sonunda toplam kaç sayfa okumuş olur?

    • A) 210
    • B) 200
    • C) 420
    • D) 190
    • E) 220
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 210

    Toplam S₂₀ = 20 · (1 + 20)/2 = 210 sayfadır. 420 sonucu toplam formülünde 2'ye bölmeyi unutmaktan gelir.

  17. Kolay

    17Bir öğretmen, ardışık terimlerinin farkı da oranı da sabit olan bir dizi örneği istiyor. Aşağıdaki genel terimlerden hangisi bu şartı sağlayan diziyi verir?

    • A) aₙ = 7n
    • B) aₙ = 7
    • C) aₙ = 7ⁿ
    • D) aₙ = n + 7
    • E) aₙ = 7/n
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) aₙ = 7

    aₙ = 7 sabit dizisinde ardışık terimlerin farkı 0, oranı 1'dir; dizi hem aritmetik hem geometriktir. aₙ = 7n ve aₙ = n + 7 dizilerinde fark sabit, oran sabit değildir (7n için 14/7 = 2, 21/14 = 3/2). aₙ = 7ⁿ dizisinde oran sabit, fark sabit değildir. aₙ = 7/n dizisinde ikisi de sabit değildir.

  18. Kolay

    18Bir robot düz bir ray üzerinde ilerliyor: tek numaralı adımlarda adım numarası kadar geri, çift numaralı adımlarda adım numarası kadar ileri gidiyor. Yani n. adımdaki yer değiştirmesi aₙ = (−1)ⁿ · n birimdir. İlk 20 adımın sonunda robot başlangıç noktasının kaç birim ilerisindedir?

    • A) 10
    • B) 20
    • C) 105
    • D) 190
    • E) 210
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 10

    Terimler ikişer ikişer gruplanır: (−1 + 2) + (−3 + 4) + ... + (−19 + 20). Her grubun toplamı 1, grup sayısı 20/2 = 10'dur; sonuç 10 bulunur. 210, işaretler dikkate alınmadan 1 + 2 + ... + 20 toplamını almaktan; 20 ise her grubun 2 verdiğini sanmaktan doğar.

  19. Orta

    19Bir koşu programında sporcu n. gün aₙ = 3n + 1 tur atıyor; yani ilk gün 4 tur atıp her gün bir önceki günden 3 tur fazla koşuyor. Antrenör, programın ilk 20 gününde atılan toplam tur sayısını hesaplıyor. İlk 20 günde toplam kaç tur atılır?

    • A) 610
    • B) 630
    • C) 670
    • D) 650
    • E) 1300
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 650

    Dizi aritmetiktir: a₁ = 4, a₂₀ = 61 ve S₂₀ = 20 · (4 + 61)/2 = 650 olur. 1300, ilk ve son terimin toplamını 2'ye bölmeyi unutmaktan doğar.

  20. Orta

    20Bir laboratuvarda bir kültürde her gün yapılan ölçümler, terimleri pozitif olan bir geometrik dizi oluşturuyor. Kayıt defterinde 3. günün ölçümü silinmiş; ancak 1. ve 5. günlerin ölçümlerinin (bin hücre) çarpımının 36 olduğu not edilmiş. Silinen 3. gün ölçümü kaç bin hücredir?

    • A) 18
    • B) 12
    • C) 9
    • D) 3
    • E) 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 6

    a₁ · a₅ = a₁ · a₁r⁴ = (a₁r²)² = a₃² olur; a₃² = 36 ve terimler pozitif olduğundan a₃ = 6'dır. 18, çarpımın yarısını almaktan doğar; geometrik dizide ortadaki terim, uç terimlerin çarpımının kareköküdür.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.