İçeriğe geç
dershanede

Influencer ortaklığı

Takipçilerine indirim, sana kazanç

Yükleniyor…

12. Sınıf Matematik · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler

  • üstel denklem
  • logaritmik denklem
  • logaritmik eşitsizlik
  • değişken değiştirme
  • çözüm kümesi
  • bileşik faiz

Üstel ve logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Üstel ve logaritmik denklemler, bilinmeyenin üste ya da logaritmanın içinde bulunduğu denklemlerdir ve üslü sayıların ya da logaritmanın özellikleri kullanılarak çözülür. Üstel denklemde önce tabanlar eşitlenir: 4^x = 8 için 2^(2x) = 2³ yazılır ve x = 3/2 bulunur. Tabanlar eşitlenemiyorsa logaritma alınır: 3^x = 5 ise x = log₃ 5 olur. Değişken değiştirmede 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0 denkleminde t = 2^x denirse t² − 3t − 4 = 0 elde edilir; t = −1 atılır ve 2^x = 4'ten x = 2 bulunur. Logaritmik denklemde log₂(x − 1) = 3 ise x − 1 = 2³ ve x = 9 olur. Eşitsizliklerde taban 1'den büyükse yön korunur, taban 0 ile 1 arasındaysa yön değişir. Bileşik faiz A = A₀ · (1 + r)ⁿ ile hesaplanır: 10 000 TL yıllık %10 faizle 2 yıl sonra 12 100 TL olur. Logaritmik denklemde bulunan her kök, içteki ifadenin pozitif olması şartıyla kontrol edilmelidir.

Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, bilinmeyenin üste ya da logaritmanın içinde olduğu denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi, bunları faiz ve büyüme gibi gerçek hayat problemlerine uygulamayı anlatıyor.

  • Üstel denklemde önce tabanları eşitlemeye çalış. Örnek: 4^x = 8 için 2^(2x) = 2³ yazılır, buradan x = 3/2 bulunur. Tabanlar eşitlenemiyorsa logaritma al: 3^x = 5 ise x = log₃ 5.
  • Değişken değiştirme: 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0 denkleminde t = 2^x (t > 0) dersen t² − 3t − 4 = 0 olur. Kökler t = 4 ve t = −1'dir; t = −1 atılır, 2^x = 4'ten x = 2 bulunur.
  • Logaritmik denklem: log₂(x − 1) = 3 ise x − 1 = 2³, buradan x = 9 olur. Kökü logaritmanın tanım şartında mutlaka dene.
  • Eşitsizliklerde taban 1'den büyükse yön korunur, 0 < a < 1 ise yön değişir. Örnek: log_{1/2} x > 2 eşitsizliğinden 0 < x < 1/4 bulunur.
  • Logaritmik eşitsizliğin çözümü, logaritmanın tanım aralığıyla kesiştirilerek yazılır.
  • Bileşik faiz A = A₀ · (1 + r)ⁿ ile hesaplanır. Örnek: 10 000 TL yıllık %10 bileşik faizle 2 yıl sonra 10 000 · 1,1² = 12 100 TL olur.

Unutma: Logaritmik denklemde bulduğun her kök için logaritmanın içinin pozitif, tabanın da pozitif ve 1'den farklı olduğunu kontrol et. Şartı sağlamayan kök çözüm kümesine girmez.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:

Önce temeli pekiştir

Bu tür denklemlerde amaç, bilinmeyeni üsten ya da logaritmanın içinden dışarı çıkarmaktır.

  1. Önce tabanları aynı yapmayı dene: 9^x = 27 ise 3^(2x) = 3³, buradan 2x = 3 ve x = 3/2.
  2. Tabanlar eşitlenemiyorsa iki tarafın logaritmasını al: 1,1^n = 2 ise n = log 2 / log 1,1 ≈ 7,27.
  3. Logaritmalı denklemde bulduğun her kökü tanım şartında dene: log₂ x + log₂(x − 2) = 3 ise x(x − 2) = 8, kökler 4 ve −2'dir. x = −2 için log₂(−2) tanımsız olduğundan yalnız x = 4 kalır.

Günlük hayattan: Bankaya yıllık %10 bileşik faizle yatırılan 1000 TL'nin ikiye katlanması için 2. adımdaki hesap gerekir; 7 yıl sonunda yaklaşık 1949 TL, 8 yıl sonunda yaklaşık 2144 TL olur.

Sık yapılan hata: Eşitsizlikte tabanın 1'den küçük olduğunu gözden kaçırmak. (1/2)^x > 1/8 ise x < 3'tür; taban 1'den küçük olduğu için yön değişir.

Derinleş

Bir ilacın ya da kafeinin vücuttaki "yarılanma süresi"ni güvenilir bir sağlık kaynağından araştır. Bir fincan içecekteki kafeinin vücutta ne kadar süre etkili kalacağını üstel bir modelle yaz ve kalan miktarın başlangıcın onda birine düşmesi için gereken süreyi logaritmayla hesapla. Bu sonuç, akşam saatlerinde kafeinli içecek tüketmeye karar verirken nasıl bir ölçüt sağlayabilir?

Bu konuda neler var?

  • Üstel, Logaritmik Denklemlerin ve Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri
  • Gerçek Hayat Durumları ile İlgili Üstel ve Logaritmik Fonksiyon Problemleri

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalışKonu testini çöz

  1. Kolay

    1Bir deneyde maya hücrelerinin sayısı her saat 8 katına çıkıyor ve artış sürekli gerçekleşiyor. Araştırmacı, hücre sayısının başlangıcın 4 katına çıkması için geçen süreyi bulmak için 8^x = 4 denklemini kuruyor. Bu süre kaç saattir?

    • A) 3/2
    • B) 2/3
    • C) 1/2
    • D) 2
    • E) 1/3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 2/3

    8^x = 2^(3x) ve 4 = 2² olduğundan 3x = 2 ve x = 2/3 saat bulunur. 3/2 sonucu, üsleri ters oranlamaktan doğar; 4 kat artış 8 kat artıştan az olduğu için süre 1 saatten kısa olmalıdır.

  2. Kolay

    2Bir sınıf deneyinde bir çözeltiye eklenen boya damlası sayısı x olmak üzere rengin koyuluk düzeyi log₃(x + 1) ile hesaplanıyor. Öğrenciler koyuluk düzeyi tam 2 olduğunda damla eklemeyi bırakıyor. Öğrenciler kaç damla eklemiştir?

    • A) 5
    • B) 9
    • C) 7
    • D) 6
    • E) 8
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 8

    log₃(x + 1) = 2 ise x + 1 = 3² = 9 ve x = 8 olur; 8 + 1 > 0 olduğundan kök geçerlidir. 9 bulan öğrenci logaritmanın içindeki x + 1'i x sanmıştır.

  3. Kolay

    3Bir laboratuvarda bir mikroorganizma türünün sayısı her saat 2 katına çıkıyor ve artış sürekli gerçekleşiyor. Araştırmacı, sayının başlangıçtakinin 7 katına ulaşması için geçen x saati bulmak istiyor; ancak 7, 2'nin tam sayı kuvveti değil. 2^x = 7 denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) log₇ 2
    • B) 7/2
    • C) log₂ 7
    • D) log 5
    • E) log 7
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) log₂ 7

    Tabanlar eşitlenemediği için logaritma tanımı kullanılır: 2^x = 7 ise x = log₂ 7'dir. log₇ 2, taban ile sonucu yer değiştirmekten doğar; o ifade 7'nin hangi kuvvetinin 2 ettiğini gösterir.

  4. Kolay

    4Bir bakteri kültürü her saat 3 katına çıkıyor; x saat sonra bakteri sayısı başlangıçtakinin 3^x katı oluyor. Araştırmacı, kültürün başlangıcın 9 katını aştığı zamanları x'i gerçek sayı kabul ederek bulmak için 3^x > 9 eşitsizliğini çözüyor. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (−∞, 2)
    • B) (3, ∞)
    • C) (0, 2)
    • D) (2, ∞)
    • E) [2, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) (2, ∞)

    9 = 3² ve taban 1'den büyük olduğundan eşitsizliğin yönü korunur: x > 2 bulunur. [2, ∞) aralığı x = 2'yi de içerir; oysa 3² = 9 olduğu için bu anda bakteri sayısı 9 katı aşmamış, ona eşit olmuştur.

  5. Kolay

    5Bir hesaplama ödevinde 3^x = 1/9 denkleminin çözümü isteniyor. Bu denklemi sağlayan x kaçtır?

    • A) 2
    • B) −2
    • C) −3
    • D) 1/2
    • E) −1/2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) −2

    1/9 = 3^(−2) olduğundan x = −2 bulunur. 2 sonucu, 1/9'un 3'ün negatif kuvveti olduğunu gözden kaçırmaktan gelir.

  6. Kolay

    6Bir bulmacada log₄ x = 3/2 eşitliğini sağlayan x sayısı soruluyor. Gizem logaritmanın tanımını kullanarak x'i buluyor. x kaçtır?

    • A) 6
    • B) 12
    • C) 64
    • D) 8
    • E) 3/8
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 8

    log₄ x = 3/2 ise x = 4^(3/2) = (√4)³ = 8 olur. 6 sonucu 4 ile 3/2'yi çarpmaktan gelir; logaritmanın tanımı üs almayı gerektirir.

  7. Kolay

    7Bir kodlama yarışmasında bir sorunun cevabı 2^(x − 1) = 16 denklemini sağlayan x sayısıdır. Yarışmacı her iki tarafı 2'nin kuvveti olarak yazıyor. Cevap kaçtır?

    • A) 4
    • B) 3
    • C) 5
    • D) 8
    • E) 17
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 5

    16 = 2⁴ olduğundan x − 1 = 4 ve x = 5 olur. 4 sonucu, üssü bulup 1 eklemeyi unutmaktan gelir.

  8. Kolay

    8Bir veri dosyasının sıkıştırma düzeyi log₂ x ile hesaplanıyor (x dosya boyutu, MB). Düzeyin 3'ten küçük olması isteniyor. log₂ x < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?

    • A) (−∞, 8)
    • B) (8, ∞)
    • C) (0, 6)
    • D) (0, 3)
    • E) (0, 8)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) (0, 8)

    Taban 1'den büyük olduğundan yön korunur: x < 2³ = 8; tanım şartından da x > 0'dır, çözüm (0, 8) olur. (−∞, 8) seçeneği logaritmanın tanım şartını gözden kaçırır.

  9. Kolay

    9Bir fen etkinliğinde log₃ x = −1 eşitliğini sağlayan x değeri aranıyor. Bu x değeri kaçtır?

    • A) −3
    • B) 3
    • C) −1/3
    • D) 1/3
    • E) 0
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 1/3

    log₃ x = −1 ise x = 3^(−1) = 1/3 olur. −3 sonucu üssü katsayı gibi kullanmaktan gelir; ayrıca logaritmanın içi negatif olamaz.

  10. Kolay

    10Bir biyoloji modelinde e^(2x) = e⁶ eşitliği elde ediliyor. Araştırmacı üstel fonksiyonun bire bir olmasından yararlanıyor. x kaçtır?

    • A) 6
    • B) 3
    • C) 4
    • D) 12
    • E) e³
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 3

    Üstel fonksiyon bire bir olduğundan 2x = 6 ve x = 3'tür. 12 sonucu 6'yı 2 ile bölmek yerine çarpmaktan gelir.

  11. Kolay

    11Bir öğrenci 7^(x²) = 7⁴ denkleminin çözüm kümesini yazıyor. Çözüm kümesi hangisidir?

    • A) {2}
    • B) {4}
    • C) {−4, 4}
    • D) {16}
    • E) {−2, 2}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) {−2, 2}

    Üsler eşit olmalıdır: x² = 4'ten x = −2 ya da x = 2 bulunur. Yalnız {2} yazan öğrenci negatif kökü unutmuştur.

  12. Kolay

    12Bir banka hesabındaki para n yıl sonra A = 4000 · (1,05)ⁿ TL bağıntısıyla hesaplanıyor; faiz yıllık bileşik faizdir. Hesaba yatırılan başlangıç parası ve yıllık faiz oranı hangisidir?

    • A) 4000 TL ve %105
    • B) 4000 TL ve %5
    • C) 4000 TL ve %0,05
    • D) 4200 TL ve %5
    • E) 4000 TL ve %50
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 4000 TL ve %5

    A = A₀ · (1 + r)ⁿ bağıntısında A₀ = 4000 ve 1 + r = 1,05 olduğundan r = 0,05, yani %5'tir. %105 seçeneği çarpanın tamamını faiz oranı sanmaktan gelir.

  13. Kolay

    13Bir videonun izlenme sayısı her gün bir önceki günün 3 katına çıkıyor. İzlenme sayısının başlangıçtakinin 81 katı olması için kaç gün geçmesi gerekir?

    • A) 4
    • B) 3
    • C) 27
    • D) 9
    • E) 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 4

    3^x = 81 = 3⁴ olduğundan x = 4 gündür. 27 sonucu 81'i 3'e bölmekten gelir; kaç kez 3 ile çarpıldığı sorulmaktadır.

  14. Kolay

    14Bir oyunda karakterin enerjisi 2^(x + 1) birimdir ve enerji 64 birimi aşamıyor. x bir doğal sayı olmak üzere 2^(x + 1) ≤ 64 koşulunu sağlayan kaç x değeri vardır?

    • A) 5
    • B) 7
    • C) 4
    • D) 6
    • E) 32
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 6

    64 = 2⁶ ve taban 1'den büyük olduğundan x + 1 ≤ 6, yani x ≤ 5'tir; 0, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 6 doğal sayı vardır. 5 sonucu 0'ı saymamaktan gelir.

  15. Kolay

    15Umut, 4^x − 5 · 2^x + 4 = 0 denklemini çözmek için t = 2^x değişken değiştirmesini yapıyor. Bu değişikliğin ardından elde edeceği denklem hangisidir?

    • A) 2t − 5t + 4 = 0
    • B) t⁴ − 5t + 4 = 0
    • C) t² − 5t + 4 = 0
    • D) t² − 10t + 4 = 0
    • E) t − 5t² + 4 = 0
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) t² − 5t + 4 = 0

    4^x = (2²)^x = (2^x)² = t² olduğundan denklem t² − 5t + 4 = 0 olur. 2t − 5t + 4 = 0 seçeneği 4^x'i 2 · 2^x sanmaktan gelir.

  16. Kolay

    16Bir öğrenci log₂ x = log₂ 6 − log₂ 2 denklemini çözüyor. Önce sağ tarafı tek bir logaritma olarak yazıyor. x kaçtır?

    • A) 3
    • B) 4
    • C) 12
    • D) 8
    • E) 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 3

    log₂ 6 − log₂ 2 = log₂(6 / 2) = log₂ 3 olduğundan x = 3 bulunur. 4 sonucu, logaritmaların farkını içlerin farkı sanmaktan gelir.

  17. Kolay

    17Bir sayı bulmacasında 5^(x² − 5x + 6) = 1 eşitliğini sağlayan x değerleri aranıyor. Bu denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) {2, 3}
    • B) {−3, −2}
    • C) {1, 6}
    • D) {−1, 6}
    • E) {0}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) {2, 3}

    1 = 5⁰ yazılır; üstel fonksiyon bire bir olduğundan x² − 5x + 6 = 0 olmalıdır. (x − 2)(x − 3) = 0'dan x = 2 ya da x = 3 bulunur. {−3, −2} kökleri işaret hatasından, {1, 6} ve {−1, 6} ise ifadeyi yanlış çarpanlara ayırmaktan doğar; x = 0 için sonuç 5⁶ olur, 1 değildir.

  18. Kolay

    18Bir cihazın değeri her yıl bir önceki yıldaki değerine göre aynı oranda azalıyor. Cihaz 50.000 TL'ye alınıyor ve 2 yıl sonra değeri 32.000 TL oluyor. Cihazın değeri her yıl yüzde kaç azalmıştır?

    • A) %9
    • B) %16
    • C) %18
    • D) %20
    • E) %36
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) %20

    Yıllık azalma oranı r ise 50.000 · (1 − r)² = 32.000 olur. Buradan (1 − r)² = 0,64 ve 1 − r > 0 olduğundan 1 − r = 0,8 yani r = 0,2 bulunur. Azalma her yıl %20'dir. %36 iki yıldaki toplam azalmadır; %18 bu toplamı ikiye bölmekten doğar, oysa ikinci yılın azalması daha küçük bir değer üzerinden hesaplanır.

  19. Orta

    19Ayşe ve Can aynı üstel denklemi farklı yollarla çözüyor: Ayşe t = 2^x yazarak ikinci dereceden bir denkleme geçiyor, Can ise köklerin bir kısmını deneme yoluyla arıyor. Çözdükleri denklem 2^x + 2^(3 − x) = 9'dur. Bu denklemin köklerinin toplamı kaçtır?

    • A) 9
    • B) 3
    • C) 8
    • D) 0
    • E) 4
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 3

    t = 2^x dersek 2^(3 − x) = 8/t olur ve t² − 9t + 8 = 0 bulunur. t = 1 için x = 0, t = 8 için x = 3 olduğundan kökler toplamı 3'tür. 9, t'nin değerlerinin toplamını (1 + 8) x'in kökleri sanmaktan doğar; t'den x'e geri dönmek gerekir.

  20. Orta

    20Defne, biriktirdiği 20.000 TL'yi yıllık %20 bileşik faizle bankaya yatırıyor; faiz her yılın sonunda anaparaya ekleniyor. Defne bu parayla 2 yıl sonra bir dizüstü bilgisayar almayı planlıyor. 2 yıl sonra Defne'nin hesabındaki toplam para kaç TL olur?

    • A) 28.000
    • B) 24.000
    • C) 48.000
    • D) 34.560
    • E) 28.800
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 28.800

    Bileşik faizde A = A₀ · (1 + r)ⁿ kullanılır: 20.000 · 1,2² = 20.000 · 1,44 = 28.800 TL. 28.000 TL basit faizle bulunan değerdir; bileşik faizde ikinci yılın faizi 24.000 TL üzerinden hesaplanır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.