12. Sınıf Matematik · Dönüşümler

Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler

öteleme
dönme
simetri
dönüşüm
bileşke dönüşüm
analitik düzlem
orijin

Analitik düzlemde öteleme, dönme ve simetri nasıl yapılır?

Analitik düzlemde temel dönüşümler, bir noktanın ya da şeklin koordinatlarını değiştiren öteleme, dönme ve simetri dönüşümleridir. Öteleme, noktanın belli bir doğrultuda yer değiştirmesidir: A(x, y) noktası x ekseni boyunca a birim, y ekseni boyunca b birim ötelenirse A'(x + a, y + b) olur. Simetride x eksenine göre (x, −y), y eksenine göre (−x, y), orijine göre (−x, −y), y = x doğrusuna göre (y, x) elde edilir. Orijin etrafında pozitif yönde, yani saatin tersine 90° dönmede nokta (−y, x), 180° dönmede (−x, −y), 270° dönmede (y, −x) olur; örneğin (2, 5) noktası 90° döndürülünce (−5, 2) bulunur. Bileşke dönüşümde işlemler sırayla uygulanır: P(1, 2) önce 3 birim sağa ötelenip sonra orijine göre simetriği alınınca (−4, −2) olur, sıra tersine çevrilirse (2, −2) bulunur. Bu dönüşümler uzunlukları ve açı ölçülerini korur. Negatif yönde 90° dönme, pozitif yönde 270° dönmeyle aynıdır.

Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, koordinatları verilen bir noktanın ya da şeklin analitik düzlemde ötelenmesini, döndürülmesini ve simetriğinin alınmasını anlatıyor. Bu dönüşümlerin art arda uygulanmasıyla oluşan bileşkeler de inceleniyor.

Öteleme: A(x, y) noktası x ekseni boyunca a birim, y ekseni boyunca b birim ötelenirse A'(x + a, y + b) olur. Pozitif yön sağ ve yukarıdır.
Simetri: x eksenine göre (x, −y), y eksenine göre (−x, y), orijine göre (−x, −y), y = x doğrusuna göre (y, x), y = −x doğrusuna göre (−y, −x) elde edilir.
Bir A(x, y) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği (2a − x, 2b − y)'dir.
Orijin etrafında pozitif yönde (saatin tersi) α açısı kadar dönme: P'(x · cos α − y · sin α, x · sin α + y · cos α).
Özel açılar: 90° için (−y, x), 180° için (−x, −y), 270° için (y, −x) bulunur. Örnek: (2, 5) noktası 90° döndürülünce (−5, 2) olur.
A(2, 5) noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülünce A′(−5, 2) olur
Bileşke dönüşümde işlemler sırayla uygulanır. Örnek: P(1, 2) önce 3 birim sağa ötelenip (4, 2) olur, sonra orijine göre simetriği alınınca (−4, −2) bulunur. Sıra tersine çevrilirse sonuç (2, −2) olur.
Bu üç dönüşüm uzunlukları ve açı ölçülerini korur; şeklin büyüklüğü değişmez.

Unutma: Negatif yönde dönme saat yönündedir. Negatif yönde 90° dönme, pozitif yönde 270° dönmeyle aynıdır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Her dönüşümde noktaya ne olduğunu küçük bir örnek noktayla sına.

Öteleme: (2, 1) noktasını 3 birim sağa, 2 birim aşağı kaydır: (5, −1). Şeklin boyutu ve yönü değişmez.
Yansıma: x eksenine göre y'nin, y eksenine göre x'in işareti değişir. (2, 1) → (2, −1) ve (−2, 1).
Dönme: Orijin etrafında saatin tersine 90° döndürmede (x, y) → (−y, x) olur. (2, 1) → (−1, 2).
Emin olamazsan noktayı kareli kâğıda çizip dönüşümü elle yap.

Günlük hayattan: Telefonundaki fotoğraf düzenleme uygulamasında "aynala" düğmesi yansıma, "döndür" düğmesi 90°'lik dönme, fotoğrafı sürüklemek ise ötelemedir.

Sık yapılan hata: 90° dönmede (y, −x) yazmak. Bunu (1, 0) ile sına: saatin tersine 90° dönen nokta (0, 1)'e gelmelidir; (y, −x) kuralı ise (0, −1) verir, bu saat yönünde dönmedir.

Derinleş

Bir çini, kilim ya da Selçuklu yıldız deseninin fotoğrafını incele. Desende hangi öteleme, yansıma ve dönme dönüşümlerinin kullanıldığını belirle; dönme varsa açısını tahmin et. Kareli kâğıtta tek bir temel motif çiz ve en az iki dönüşümü art arda uygulayarak kendi desenini oluştur. Dönüşümlerin sırasını değiştirdiğinde aynı desene ulaşıyor musun?

Bu konuda neler var?

Analitik Düzlemde Koordinatları Verilen Bir Noktanın Öteleme, Dönme ve Simetri Dönüşümleri
Temel Dönüşümlerin Bileşkeleri ve Bu Bileşkeleri İçeren Uygulamalar

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir mobilya yerleştirme uygulamasında Gökçe, oda planındaki kanepe çizimini önce kaydırıyor (öteleme), sonra çeviriyor (dönme), en sonda da ayna görüntüsünü alıyor (simetri). Kanepenin boyutlarının değişip değişmediğini merak ediyor. Bu üç dönüşüm için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Uzunlukları ve açı ölçülerini korur.
- B) Şeklin alanını iki katına çıkarır.
- C) Yalnızca açı ölçülerini korur.
- D) Uzunlukları yarıya indirir.
- E) Şeklin yönünü asla değiştirmez.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Uzunlukları ve açı ölçülerini korur.
Öteleme, dönme ve simetri şekli yalnızca yer veya yön bakımından değiştirir; uzunluklar, açı ölçüleri ve alan korunur. "Yalnızca açı ölçülerini korur" yargısı benzerlik dönüşümlerine aittir; bu üç dönüşüm uzunlukları da korur.
Kolay
2Bir desen tasarımcısı, ortası orijinde olan dairesel bir halı motifi hazırlıyor. Motifteki her şeklin orijine göre simetriğini de çizerek deseni tamamlıyor; bir yıldızın merkezi C(2, 7) noktasında. İkinci yıldızın merkezi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (7, 2)
- B) (−7, −2)
- C) (2, −7)
- D) (−2, 7)
- E) (−2, −7)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (−2, −7)
Orijine göre simetride iki koordinatın da işareti değişir: (−2, −7). (2, −7) yalnızca x eksenine göre simetridir; orijine göre simetri, iki eksene göre simetrinin art arda uygulanmasıdır.
Kolay
3Bir ressam, göl kenarındaki bir ağacı çizerken su yüzeyini x ekseni kabul eden bir koordinat sistemi kullanıyor. Suya düşen yansımada ağacın tepesi A(3, −2) noktasında görünüyor; ressam ağacın gerçek tepesini A'nın x eksenine göre simetriği olarak işaretliyor. İşaretlenen nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−3, −2)
- B) (−3, 2)
- C) (−2, 3)
- D) (3, 2)
- E) (2, −3)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (3, 2)
x eksenine göre simetride apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir: (3, 2). (−3, −2), y eksenine göre simetridir; bu dönüşümde ordinat değil apsis işaret değiştirir.
Kolay
4Bir bilgisayar oyununda karakter, kareli haritada B(−1, 4) noktasında duruyor. Oyuncu önce karakteri x ekseni boyunca 5 birim sağa, sonra y ekseni boyunca 2 birim aşağı hareket ettiriyor. Karakterin yeni konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (4, 2)
- B) (−6, 6)
- C) (4, 6)
- D) (−6, 2)
- E) (6, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (4, 2)
Sağa öteleme apsise 5 ekler, aşağı öteleme ordinattan 2 çıkarır: (−1 + 5, 4 − 2) = (4, 2). (4, 6), aşağı yönü pozitif sanıp ordinata 2 eklemekten doğar.
Kolay
5Bir döner tablada (−4, 1) noktasındaki bir figür, orijin etrafında 180° döndürülüyor. Figürün yeni konumu hangi noktadır?
- A) (4, −1)
- B) (−4, −1)
- C) (4, 1)
- D) (1, −4)
- E) (−1, 4)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (4, −1)
Orijin etrafında 180° dönmede (x, y) noktası (−x, −y) olur; sonuç (4, −1)'dir. (−1, 4) seçeneği 90°'lik dönmenin kuralını uygulamaktan gelir.
Kolay
6Bir robot (−1, 4) noktasında duruyor ve orijin etrafında saat yönünde, yani negatif yönde 90° dönüyor. Robotun yeni konumu hangisidir?
- A) (−4, −1)
- B) (1, −4)
- C) (−4, 1)
- D) (4, −1)
- E) (4, 1)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (4, 1)
Negatif yönde 90° dönme pozitif yönde 270° dönmeyle aynıdır ve (x, y) noktası (y, −x) olur: (4, 1). (−4, −1) seçeneği pozitif yönde 90° dönmenin sonucudur.
Kolay
7Bir oyun haritasında hazine B(5, −2) noktasındadır. Deprem sonrası harita güncelleniyor ve hazine 3 birim aşağı öteleniyor. Hazinenin yeni konumu hangisidir?
- A) (5, 1)
- B) (2, −2)
- C) (8, −2)
- D) (2, −5)
- E) (5, −5)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (5, −5)
Aşağı öteleme y koordinatını azaltır: (5, −2 − 3) = (5, −5). (5, 1) seçeneği aşağıyı pozitif yön sanmaktan gelir.
Kolay
8Bir oyunda “ışınlanma” tuşu, karakteri (x, y) noktasından (x − 4, y + 5) noktasına taşıyor. Tuşa bir kez basıldıktan sonra karakter (1, 1) noktasında görünüyor. Karakter tuşa basılmadan önce hangi noktadaydı?
- A) (−3, 6)
- B) (5, 6)
- C) (5, −4)
- D) (−3, −4)
- E) (4, −5)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (5, −4)
x − 4 = 1 ve y + 5 = 1'den x = 5, y = −4 bulunur. (−3, 6) seçeneği ötelemeyi geri almak yerine bir kez daha uygulamaktan gelir.
Kolay
9Bir noktaya önce y eksenine göre, ardından x eksenine göre simetri uygulanıyor. (a, b) noktası önce (−a, b), sonra (−a, −b) olur. Bu iki dönüşümün bileşkesi tek başına hangi dönüşüme eşittir?
- A) y = x doğrusuna göre simetri
- B) Pozitif yönde 90° dönme
- C) Orijine göre simetri
- D) x eksenine göre simetri
- E) y = −x doğrusuna göre simetri
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Orijine göre simetri
(a, b) noktasının (−a, −b) olması orijine göre simetridir; bu aynı zamanda 180° dönmedir. y = −x doğrusuna göre simetri ise (−b, −a) verir, koordinatların yerini değiştirir.
Kolay
10Bir kelebek çiziminde gövde y ekseni üzerinde duruyor ve sol kanattaki bir benek (−3, 6) noktasında. Sağ kanattaki benek, bu noktanın y eksenine göre simetriğidir. Sağ kanattaki benek hangi noktadadır?
- A) (−3, −6)
- B) (3, 6)
- C) (3, −6)
- D) (6, −3)
- E) (6, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (3, 6)
y eksenine göre simetride (x, y) noktası (−x, y) olur; (−3, 6)'nın simetriği (3, 6)'dır. (−3, −6) seçeneği x eksenine göre simetridir.
Kolay
11Bir animasyonda P(0, 3) noktasındaki bir top önce orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor, sonra 2 birim sağa öteleniyor. Topun son konumu hangisidir?
- A) (−3, 2)
- B) (2, 3)
- C) (−5, 0)
- D) (−1, 0)
- E) (1, 0)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (−1, 0)
90° dönme ile (0, 3) noktası (−3, 0) olur; 2 birim sağa ötelemeyle (−1, 0) bulunur. (−5, 0) seçeneği ötelemeyi sola yapmaktan gelir.
Kolay
12Bir saat tasarımında (3, 1) noktasındaki bir işaret, orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor. İşaretin yeni konumu hangisidir?
- A) (1, −3)
- B) (−3, 1)
- C) (1, 3)
- D) (−1, 3)
- E) (−3, −1)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (−1, 3)
Pozitif yönde 90° dönmede (x, y) noktası (−y, x) olur; (3, 1)'in görüntüsü (−1, 3)'tür. (1, −3) seçeneği negatif yönde (saat yönünde) 90° dönmedir.
Kolay
13Bir tasarımcı 5 cm uzunluğundaki AB çubuğunu orijin etrafında 90° döndürüyor ve A'B' görüntüsünü elde ediyor. A'B' kaç cm'dir?
- A) 10
- B) 2,5
- C) 5√2
- D) 25
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 5
Dönme dönüşümü uzunlukları korur; bu yüzden A'B' = AB = 5 cm'dir. 5√2 seçeneği 90°'lik dönmenin uzunluğu değiştirdiğini sanmaktan gelir.
Kolay
14Bir çizim programında bir üçgen, kâğıt üzerinde 5 birim sağa ve 2 birim aşağı kaydırılıyor. Aşağıdakilerden hangisi bu öteleme sonucunda değişir?
- A) Kenar uzunlukları
- B) İç açıların ölçüleri
- C) Üçgenin alanı
- D) Köşelerin koordinatları
- E) Üçgenin çevresi
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Köşelerin koordinatları
Öteleme şeklin yerini değiştirir, uzunlukları ve açıları korur; bu yüzden yalnız koordinatlar değişir. Alan ve çevre uzunluklara bağlı olduğundan değişmez.
Kolay
15Bir satranç uygulamasında bir taş A(1, 2) karesinden A'(4, −1) karesine kaydırılıyor. Bu hareket bir öteleme olduğuna göre taş nasıl hareket etmiştir?
- A) 3 birim sola, 3 birim yukarı
- B) 3 birim sağa, 3 birim aşağı
- C) 3 birim sağa, 3 birim yukarı
- D) 4 birim sağa, 1 birim aşağı
- E) 3 birim sola, 3 birim aşağı
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3 birim sağa, 3 birim aşağı
x koordinatı 1'den 4'e (3 birim sağa), y koordinatı 2'den −1'e (3 birim aşağı) değişmiştir. 4 birim sağa, 1 birim aşağı seçeneği yeni koordinatları öteleme miktarı sanmaktan gelir.
Kolay
16Öğretmen, analitik düzlemde orijin etrafındaki dönmelerde “pozitif yön” kavramını soruyor. Pozitif yönde dönme hangi yöndedir?
- A) Saatin dönme yönü
- B) Her zaman sağa doğru
- C) Saatin dönme yönünün tersi
- D) Her zaman yukarı doğru
- E) Orijinden uzaklaşan yön
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Saatin dönme yönünün tersi
Analitik düzlemde pozitif yön, saat ibrelerinin dönüş yönünün tersidir. Saat yönündeki dönme negatif yönlü dönmedir.
Kolay
17Bir oyun haritasında y = x doğrusu ayna gibi çalışıyor: doğrunun bir yanındaki nesnenin yansıması öbür yanda görünüyor. Bazı nesneler ise yansıdığında yerinde kalıyor. Aşağıdaki noktalardan hangisi y = x doğrusuna göre simetriği kendisi olan bir noktadır?
- A) (−3, 3)
- B) (3, 0)
- C) (0, 3)
- D) (−3, −3)
- E) (2, −2)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (−3, −3)
y = x doğrusuna göre (x, y) noktasının simetriği (y, x)'tir. (y, x) = (x, y) olması için x = y gerekir; bu yüzden yalnız doğrunun üzerindeki noktalar yerinde kalır. (−3, −3) bu şartı sağlar. (−3, 3) ve (2, −2) y = −x doğrusunun üzerindedir ve simetrikleri (3, −3) ile (−2, 2)'dir; (3, 0) ile (0, 3) ise birbirinin simetriğidir.
Kolay
18Bir çizim programında bir dönüşüm uygulanınca P(1, 4) noktası (−4, 1) noktasına, Q(−2, 3) noktası (−3, −2) noktasına gidiyor. Uygulanan dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Orijin etrafında pozitif yönde 90° dönme
- B) Orijin etrafında negatif yönde 90° dönme
- C) y = x doğrusuna göre simetri
- D) y = −x doğrusuna göre simetri
- E) Orijine göre simetri
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Orijin etrafında pozitif yönde 90° dönme
İki nokta da (x, y) → (−y, x) kuralına uyar: (1, 4) → (−4, 1) ve (−2, 3) → (−3, −2). Bu, orijin etrafında pozitif yönde 90° dönmedir. Negatif yönde 90° dönme (y, −x) verir: P için (4, −1). y = x simetrisi (4, 1), y = −x simetrisi (−4, −1), orijine göre simetri (−1, −4) verir.
Orta
19Bir robot süpürgenin şarj istasyonu bir koordinat sisteminin orijininde duruyor. Süpürge P(2, 0) noktasındayken istasyonun etrafında, pozitif yönde 60° dönerek yeni konumuna geçiyor. Süpürgenin yeni konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (√3, 1)
- B) (−1, √3)
- C) (1, −√3)
- D) (1, √3)
- E) (2, √3)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (1, √3)
Dönme sonucu (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α) = (2 · 1/2, 2 · √3/2) = (1, √3) olur. (√3, 1), 30°'lik dönmeye karşılık gelir; sinüs ile kosinüsün yerini karıştırmaktan doğar.
Orta
20Yiğit, bir grafik programında y = 2x + 1 doğrusunu fareyle y ekseni boyunca 3 birim yukarı sürüklüyor. Programın ekrana yazdığı yeni denklemin doğru olup olmadığını kendi hesabıyla kontrol etmek istiyor. Elde edilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) y = 2x − 2
- B) y = 2x + 7
- C) y = 2x + 4
- D) y = 5x + 1
- E) y = 2x − 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) y = 2x + 4
Doğru üzerindeki her noktanın ordinatı 3 artar, eğim değişmez: y = 2x + 1 + 3 = 2x + 4. y = 2x + 7, yukarı ötelemeyi x yerine x + 3 yazarak yapmaktan doğar; o işlem doğruyu yatayda kaydırır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.