12. Sınıf Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Denklemler

trigonometrik denklem
çözüm kümesi
kök
periyot
sinüs
kosinüs
tanjant

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi nasıl bulunur?

Trigonometrik denklem, içinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonu bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliktir; denklemi sağlayan değerlere kök denir. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan bu denklemlerin çoğunlukla sonsuz sayıda kökü vardır. cos x = a denkleminin bir kökü θ ise çözüm x = θ + 2kπ veya x = −θ + 2kπ'dir. sin x = a için çözüm x = θ + 2kπ veya x = π − θ + 2kπ'dir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu π olduğundan tan x = a için çözüm x = θ + kπ olur. Örneğin cos x = 1/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökleri π/3 ve 5π/3'tür. 2sin²x − sin x = 0 denklemi sin x · (2sin x − 1) = 0 biçiminde çarpanlara ayrılır; sin x = 0'dan x = kπ, sin x = 1/2'den x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ bulunur. |a| > 1 ise sin x = a ve cos x = a denklemlerinin çözümü yoktur. Aralık verildiğinde k'ya tam sayı değerleri verilir.

Trigonometrik Denklemler: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonların içinde olduğu denklemleri ve bu denklemlerin çözüm kümelerini bulmayı anlatıyor. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan bu denklemlerin çoğunlukla sonsuz sayıda kökü vardır.

Bazı değerler için doğru olan ve içinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonu bulunan eşitliğe trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerler köklerdir.
cos x = a (−1 ≤ a ≤ 1) denkleminin [0, 2π) aralığındaki bir kökü θ ise çözüm kümesi x = θ + 2kπ veya x = −θ + 2kπ'dir (k tam sayı).
sin x = a için çözüm kümesi x = θ + 2kπ veya x = π − θ + 2kπ'dir.
tan x = a ve cot x = a denklemlerinin periyodu π olduğundan çözüm x = θ + kπ'dir.
Örnek: cos x = 1/2 için x = π/3 + 2kπ veya x = −π/3 + 2kπ olur. [0, 2π) aralığındaki kökler π/3 ve 5π/3'tür.
Birim çemberde x = 1/2 doğrusu çemberi π/3 ve 5π/3 (−π/3) açılarına karşılık gelen iki noktada keser
Örnek: 2sin²x − sin x = 0 denklemi sin x · (2sin x − 1) = 0 biçiminde çarpanlara ayrılır. sin x = 0'dan x = kπ; sin x = 1/2'den x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ bulunur.
|a| > 1 ise sin x = a ve cos x = a denklemlerinin çözümü yoktur.

Unutma: Soruda bir aralık verildiyse k'ya sırayla tam sayı değerleri ver ve yalnızca aralığa düşen kökleri yaz.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Trigonometrik denklemi çözerken birim çemberi önüne koy.

sin x = 1/2 denkleminde sinüs, birim çemberdeki noktanın y koordinatıdır. y = 1/2 yatay doğrusunu çiz.
Bu doğru çemberi iki noktada keser: 30° ve 180° − 30° = 150°.
Fonksiyon her 360°'de kendini tekrarladığı için çözüm x = 30° + k · 360° veya x = 150° + k · 360° olur (k tam sayı).
Soruda bir aralık verilmişse yalnız o aralığa düşen kökleri seç.

Günlük hayattan: Dönme dolaptaki bir kabin, bir turda belirli bir yüksekliğe biri çıkarken biri inerken olmak üzere iki kez gelir. Denklemin iki kök ailesi bu iki anı gösterir.

Sık yapılan hata: Hesap makinesinin verdiği tek açıyı yazıp durmak. sin x = 1/2 için yalnız 30° yazılırsa 150° ve periyodik tekrarlar kaybolur.

Derinleş

Bir limandaki su yüksekliğinin gün içinde yaklaşık 12 saat 25 dakika periyotla inip çıktığını varsay. Ortalama yüksekliği ve gelgit genliğini kendin seçerek sinüslü bir model yaz. Derin su isteyen bir teknenin limana güvenle girebileceği saat aralıklarını trigonometrik eşitsizlikle bul. Modelinin gerçek gelgit tablolarından hangi yönlerden ayrılabileceğini tartış.

Bu konuda neler var?

Trigonometrik Denklemlerin Çözüm Kümeleri

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Kodlama kulübünden Arda, bir sarkacın açısını hesaplayan programında cos x = 2 eşitliğini sağlayan x değerini arıyor. Program bütün açıları taradığı hâlde hiçbir sonuç döndürmüyor ve Arda programında hata olduğunu düşünüyor. cos x = 2 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) {0}
- B) {π}
- C) ∅
- D) {2}
- E) {2π}
Cevabı göster
Doğru cevap: C) ∅
Her x için −1 ≤ cos x ≤ 1 olduğundan cos x = 2 denkleminin çözümü yoktur; programda hata yoktur, çözüm kümesi boştur. {0} cevabı cos 0'ın en büyük değer olduğunu bilip onu 2 sanmaktan doğar; cos 0 = 1'dir.
Kolay
2Orijinde duran ve dönebilen bir lazer, ışını y = x doğrusu boyunca uzandığında bir sinyal veriyor. Lazerin pozitif x ekseniyle yaptığı açı x için bu durum tan x = 1 demektir; lazer durmadan dönüp birçok tur atıyor. Lazerin sinyal verdiği bütün açıları veren genel çözüm aşağıdakilerden hangisidir? (k bir tam sayıdır.)
- A) x = π/4 + 2kπ
- B) x = π/2 + kπ
- C) x = π/4 + kπ
- D) x = kπ
- E) x = π/4 + kπ/2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x = π/4 + kπ
tan π/4 = 1'dir ve tanjantın periyodu π olduğundan bütün kökler x = π/4 + kπ biçimindedir; ışın y = x doğrusunun iki ucunda da sinyal verir. π/4 + 2kπ yazılırsa 5π/4 gibi kökler atlanır.
Kolay
3Bir dönme dolapta kabinin yerden yüksekliği h(x) = 10 + 20 · sin x metre (0 ≤ x < 2π) ile veriliyor. Kabin 20 m yükseklikten geçerken bir fotoğraf makinesi otomatik olarak çekim yapıyor. Çekim yapılan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) {π/6, 11π/6}
- B) {π/3, 2π/3}
- C) {π/6, 7π/6}
- D) {5π/6, 7π/6}
- E) {π/6, 5π/6}
Cevabı göster
Doğru cevap: E) {π/6, 5π/6}
10 + 20 sin x = 20 ise sin x = 1/2 olur; [0, 2π) aralığında kökler π/6 ve π − π/6 = 5π/6'dır. {π/6, 11π/6} kosinüs denklemindeki simetriyi uygulamaktan doğar; 11π/6'da sinüs negatiftir.
Kolay
4Bir dönme dolapta kabinin yerden yüksekliği, dönme açısı x (radyan) olmak üzere h(x) = 12 + 10 · sin x metre ile veriliyor. Kabin bir tam turda (0 ≤ x < 2π) en yüksek noktaya yalnızca bir kez ulaşıyor. Kabinin en yüksek noktada olduğu x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) π
- B) 0
- C) 3π/2
- D) π/2
- E) π/4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) π/2
h en büyük değerini sin x = 1 olduğunda alır; [0, 2π) aralığında bu yalnızca x = π/2'de olur. 3π/2'de sin x = −1 olduğundan kabin en alçak noktadadır.
Kolay
5Bir salıncağın denge konumuna göre yatay uzaklığı sin x ile orantılıdır. sin x = −1 denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökü hangisidir?
- A) π/2
- B) 3π/2
- C) π
- D) −π/2
- E) 2π
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3π/2
Birim çemberde ordinatı −1 olan nokta 3π/2 açısına karşılık gelir. −π/2 de bir köktür ama [0, 2π) aralığında değildir.
Kolay
6Bir dalganın denge çizgisini kestiği anlar sin x = 0 denklemiyle bulunuyor. Bu denklemin [0, 2π] kapalı aralığında kaç kökü vardır?
- A) 2
- B) 1
- C) 3
- D) 4
- E) Sonsuz
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
sin x = 0 için x = kπ'dir; [0, 2π] aralığında 0, π ve 2π kökleri vardır. 2 sonucu aralığın uç noktası olan 2π'yi saymamaktan gelir.
Kolay
7Bir öğrenci 2cos x − 1 = 0 denkleminin köklerini kontrol ediyor. Aşağıdakilerden hangisi bu denklemin bir köküdür?
- A) π/3
- B) π/6
- C) π/2
- D) 2π/3
- E) π
Cevabı göster
Doğru cevap: A) π/3
Denklem cos x = 1/2'dir ve cos π/3 = 1/2'dir. π/6 seçeneği sin x = 1/2 denkleminin köküdür, kosinüsle karıştırılmıştır.
Kolay
8Bir dişlinin işaretli dişi, dönme açısı x için cos x = 1 olduğunda en sağ konumda bulunuyor. [0, 2π) aralığında bu denklemin çözüm kümesi hangisidir?
- A) {0, 2π}
- B) {π}
- C) {π/2}
- D) {0}
- E) {0, π}
Cevabı göster
Doğru cevap: D) {0}
cos x = 1 için x = 2kπ'dir; [0, 2π) aralığına yalnız 0 düşer. 2π aralığın dışında kaldığından {0, 2π} yanlıştır; π'de ise cos x = −1'dir.
Kolay
9Bir öğretmen tahtaya beş trigonometrik denklem yazıyor ve gerçek sayılarda çözümü olmayanı bulmalarını istiyor. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözümü yoktur?
- A) cos x = −1
- B) tan x = 5
- C) sin x = 3/2
- D) sin x = −0,5
- E) cos x = 0,9
Cevabı göster
Doğru cevap: C) sin x = 3/2
Sinüsün değerleri [−1, 1] aralığındadır; 3/2 bu aralıkta olmadığından sin x = 3/2'nin çözümü yoktur. tan x = 5 denkleminin çözümü vardır, çünkü tanjant her gerçek değeri alabilir.
Kolay
10Bir öğrenci sin x = 0 denkleminin bütün çözümlerini yazıyor (k bir tam sayı). Genel çözüm hangisidir?
- A) x = 2kπ
- B) x = π/2 + kπ
- C) x = kπ/2
- D) x = kπ
- E) x = π + 2kπ
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x = kπ
Sinüsün sıfır olduğu açılar 0, π, 2π, ... ve negatif karşılıklarıdır; yani x = kπ'dir. x = 2kπ seçeneği π gibi kökleri dışarıda bırakır.
Kolay
11Bir robot kolunun eğimi tan x ile hesaplanıyor ve eğimin √3 olduğu bütün x açıları aranıyor (k bir tam sayı). Genel çözüm hangisidir?
- A) x = π/3 + 2kπ
- B) x = π/6 + kπ
- C) x = ±π/3 + 2kπ
- D) x = π/3 + kπ
- E) x = π/3 + kπ/2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x = π/3 + kπ
tan π/3 = √3'tür ve tanjantın periyodu π olduğundan x = π/3 + kπ yazılır. π/3 + 2kπ seçeneği periyodu 2π alıp 4π/3 gibi kökleri kaçırır.
Kolay
12Bir öğrenci cos x = 0 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerini birim çemberde apsisi 0 olan noktalardan buluyor. Çözüm kümesi hangisidir?
- A) {π/2, 3π/2}
- B) {0, π}
- C) {π/2}
- D) {0}
- E) {π/2, π}
Cevabı göster
Doğru cevap: A) {π/2, 3π/2}
Birim çemberde apsisi 0 olan noktalar π/2 ve 3π/2 açılarına karşılık gelir. {0, π} seçeneği sin x = 0 denkleminin kökleridir.
Kolay
13Bir eğim sensörü tan x = −1 olduğunda uyarı veriyor. [0, π) aralığında bu denklemin kökü hangisidir?
- A) π/4
- B) 5π/4
- C) 3π/4
- D) π/2
- E) 7π/4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3π/4
tan 3π/4 = −1'dir ve 3π/4 [0, π) aralığındadır. π/4 için tanjant 1'dir; 7π/4 de bir kök olsa da aralığın dışındadır.
Kolay
14Bir rampanın yatayla yaptığı x dar açısı için sin x = √2/2 olarak ölçülüyor. Bu açı kaç derecedir?
- A) 30°
- B) 60°
- C) 45°
- D) 90°
- E) 135°
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 45°
sin 45° = √2/2'dir ve 45° dar açıdır. 135° için de sinüs √2/2 olur ama 135° dar açı değildir.
Kolay
15Bir öğrenci birim çemberde ordinatı 1/2 olan noktaları işaretleyerek sin x = 1/2 denklemini [0, 2π) aralığında çözüyor. Çözüm kümesi hangisidir?
- A) {π/6}
- B) {π/6, 7π/6}
- C) {π/3, 2π/3}
- D) {π/6, 5π/6}
- E) {π/6, 11π/6}
Cevabı göster
Doğru cevap: D) {π/6, 5π/6}
sin x = 1/2 için x = π/6 ya da x = π − π/6 = 5π/6'dır. {π/6, 11π/6} seçeneği sinüs denklemine kosinüs denkleminin x = −θ köklerini uygulamaktan gelir.
Kolay
16Birim çemberde apsisi −1/2 olan noktaları arayan Ece, cos x = −1/2 denklemini [0, 2π) aralığında çözüyor. Çözüm kümesi hangisidir?
- A) {π/3, 5π/3}
- B) {2π/3, 5π/3}
- C) {π/6, 5π/6}
- D) {4π/3}
- E) {2π/3, 4π/3}
Cevabı göster
Doğru cevap: E) {2π/3, 4π/3}
cos x = −1/2 için kökler ikinci ve üçüncü bölgededir: 2π/3 ve 4π/3. {π/3, 5π/3} seçeneği cos x = 1/2'nin kökleridir.
Kolay
17Bir öğrenci sin²x − 3sin x + 2 = 0 denklemini sin x'e göre çarpanlarına ayırıyor ve sin x için iki değer buluyor. Denklemin [0, 2π) aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) {π/2}
- B) {3π/2}
- C) {π/2, 3π/2}
- D) {0, π/2}
- E) ∅
Cevabı göster
Doğru cevap: A) {π/2}
(sin x − 1)(sin x − 2) = 0'dan sin x = 1 ya da sin x = 2 bulunur. |sin x| ≤ 1 olduğundan sin x = 2 denkleminin çözümü yoktur. sin x = 1 için [0, 2π) aralığındaki tek kök π/2'dir. 3π/2 noktasında sin x = −1 olur; bu yüzden {π/2, 3π/2} yanlıştır.
Kolay
18Bir sinyal üretecinin çıkışı f(x) = 4 · sin x volttur; x radyandır. Cihaz ikinci periyotta, yani [2π, 4π) aralığında, çıkışın 2 volt olduğu ilk x değerini işaretliyor. İşaretlenen x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) π/6
- B) 5π/6
- C) 13π/6
- D) 17π/6
- E) 25π/6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 13π/6
4 · sin x = 2'den sin x = 1/2 bulunur. Genel çözüm x = π/6 + 2kπ ya da x = 5π/6 + 2kπ'dir. k = 1 için köklerin 13π/6 ve 17π/6 olduğu görülür; ikisi de [2π, 4π) aralığındadır ve küçüğü 13π/6'dır. π/6 ve 5π/6 ilk periyottaki köklerdir; 25π/6 ise 4π'den büyüktür.
Orta
19Bir ışık sensörünün ölçtüğü değer, dönen bir aynanın açısı x olmak üzere cos 2x ile orantılıdır. Ayna bir tam tur (0 ≤ x < 2π) dönerken sensörün değeri sıfır olduğunda bir lamba yanıyor. Bir tam turda lamba kaç kez yanar?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 8
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
2x = π/2 + kπ ise x = π/4 + kπ/2 olur; [0, 2π) aralığındaki kökler π/4, 3π/4, 5π/4 ve 7π/4'tür. 2 bulan öğrenci cos x = 0'ın köklerini saymıştır; açı 2x olduğunda kök sayısı iki katına çıkar.
Orta
20Bir mühendis, bir kapının açılma açısı x için (0 ≤ x ≤ π) menteşeye gelen ek yükün cos x · (2 sin x − 1) ifadesiyle orantılı olduğunu hesaplıyor. Ek yükün sıfır olduğu açılarda kapı kendiliğinden dengede duruyor. Bu aralıkta kapının dengede durduğu kaç farklı açı vardır?
- A) 2
- B) 4
- C) 3
- D) 1
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
Çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır: cos x = 0 ise x = π/2; sin x = 1/2 ise x = π/6 veya 5π/6 olur; toplam 3 kök vardır. 2 bulan öğrenci sin x = 1/2'nin ikinci kökü olan 5π/6'yı atlamıştır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.