12. Sınıf Matematik · Türev

Bir Fonksiyonun Bir Noktadaki Limiti ile Soldan ve Sağdan Limit Kavramları

limit
soldan limit
sağdan limit
yaklaşım
parçalı fonksiyon
fonksiyon

Bir fonksiyonun soldan ve sağdan limiti nedir?

Limit, x bir sayıya yaklaşırken fonksiyonun değerlerinin yaklaştığı sayıdır; soldan limit x'in a'ya a'dan küçük, sağdan limit ise a'dan büyük değerlerle yaklaşmasıyla bulunur. Soldan yaklaşım 1,9; 1,99; 1,999 gibi değerlerle olur ve x → a⁻ ile gösterilir; sağdan yaklaşım x → a⁺ ile yazılır. Bir noktada limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin ikisinin de olması ve birbirine eşit olması gerekir. Limit, fonksiyonun a noktasındaki değerinden bağımsızdır; f(a) farklı olabilir ya da fonksiyon a'da tanımsız olabilir. Örneğin x < 2 için f(x) = x + 1, x ≥ 2 için f(x) = 2x − 1 ise iki yönden limit de 3 olduğundan x → 2 iken limit 3'tür. x < 1 için g(x) = x, x ≥ 1 için g(x) = x + 2 ise soldan limit 1, sağdan limit 3 olur ve limit yoktur. Grafikteki boş ya da dolu nokta limiti değiştirmez. Limit, türevin ve sürekliliğin temelidir.

Bir Fonksiyonun Bir Noktadaki Limiti ile Soldan ve Sağdan Limit Kavramları: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, x bir sayıya yaklaşırken fonksiyonun değerlerinin hangi sayıya yaklaştığını, yani limit kavramını anlatıyor. Limit, türevin ve sürekliliğin temelidir.

x'in a'ya a'dan küçük değerlerle (1,9; 1,99; 1,999 ... gibi) yaklaşmasına soldan yaklaşım denir ve x → a⁻ ile gösterilir. a'dan büyük değerlerle yaklaşmasına sağdan yaklaşım denir ve x → a⁺ yazılır.
x → a⁻ iken f(x)'in yaklaştığı değer soldan limit, x → a⁺ iken yaklaştığı değer sağdan limittir.
Bir noktada limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin ikisi de olmalı ve birbirine eşit olmalıdır.
Limit, fonksiyonun a noktasındaki değerinden bağımsızdır. f(a) farklı olabilir ya da f, a'da tanımsız olabilir.
Örnek: x < 2 için f(x) = x + 1, x ≥ 2 için f(x) = 2x − 1 olsun. Soldan limit 2 + 1 = 3, sağdan limit 2 · 2 − 1 = 3 olduğundan x → 2 iken limit 3'tür.
Örnek: x < 1 için g(x) = x, x ≥ 1 için g(x) = x + 2 olsun. Soldan limit 1, sağdan limit 3'tür; limitler farklı olduğundan x → 1 iken limit yoktur.
x < 1 için g(x) = x, x ≥ 1 için g(x) = x + 2: x = 1’de soldan limit 1, sağdan limit 3 olduğundan limit yoktur
Grafikten limit okurken a'nın solundan ve sağından eğri boyunca ilerleyip y değerinin nereye yaklaştığına bakılır.

Unutma: Limit sorulduğunda f(a)'yı değil, a'nın çok yakınındaki davranışı düşün. Grafikteki boş ya da dolu nokta limiti değiştirmez.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Limiti anlamak için noktaya iki yönden yürü ve fonksiyonun değerlerini bir tabloya yaz.

Soldan yaklaş: x = 1,9; 1,99; 1,999 … için f(x) değerlerini hesapla.
Sağdan yaklaş: x = 2,1; 2,01; 2,001 … için aynısını yap.
İki satır aynı sayıya yaklaşıyorsa limit o sayıdır; farklı sayılara yaklaşıyorsa o noktada limit yoktur.
f(2)'nin kaç olduğu bu kararı değiştirmez; limit noktanın kendisine değil, çevresine bakar.

Günlük hayattan: Bir otopark ilk 2 saat için 40 TL, 2 saati geçince 55 TL alıyor olsun. 2. saate soldan yaklaşırken ücret 40 TL'de, sağdan yaklaşırken 55 TL'de kalır. İki yön farklı olduğundan x = 2'de ücret fonksiyonunun limiti yoktur.

Sık yapılan hata: Limiti doğrudan f(a) sanmak. Bir fonksiyon a'da tanımsız olsa da limiti olabilir; f(a) tanımlı olsa da limiti olmayabilir.

Derinleş

Kargo şirketleri ve elektrik tarifeleri çoğu zaman basamaklı ücret kullanır. Bir kargo şirketinin ağırlığa göre fiyat tablosunu bul ve ücret-ağırlık grafiğini çiz. Hangi ağırlıklarda soldan ve sağdan limit farklı? Basamağın hemen üstündeki bir paketi gönderen kişi için bu durum adil mi? Daha adil bir fiyatlandırmayı nasıl tasarlardın; şirket için hangi sakıncaları olurdu?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.12.4.1Fonksiyonların belirli bir nokta civarındaki veya sonsuzdaki davranışını limit
- a) Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki veya sonsuzdaki davranışını grafiği üzerinden inceler.
- b) Grafikten elde ettiği bilgileri tablo veya sözel temsiller yoluyla yaklaşma fikrine ulaşacak şekilde dönüştürür.
- c) Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki veya sonsuzdaki limitini sözel olarak yeniden ifade eder.
MAT.12.4.2Cebirsel temsili verilen bir fonksiyonun belirli bir noktadaki veya sonsuzdaki
- a) Bir fonksiyonun tablo, grafik ve cebirsel temsili üzerinde belirli bir nokta civarında veya sonsuzda aldığı değerleri belirler.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Ahmet, bir f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin olup olmadığına karar vermek için yalnızca f(a)'yı hesaplıyor; f(a) tanımsız çıkınca "Limit yok." diyor. Öğretmeni, limitin varlığı için neye bakılması gerektiğini soruyor. f'nin x = a'da limitinin var olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?
- A) f(a) tanımlı olmalıdır.
- B) Soldan ve sağdan limitler var ve eşit olmalıdır.
- C) Soldan limit sağdan limitten büyük olmalıdır.
- D) f(a) değeri sıfır olmalıdır.
- E) f, a noktasında sürekli olmalıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Soldan ve sağdan limitler var ve eşit olmalıdır.
Limitin varlığı için iki yönlü limitlerin bulunması ve birbirine eşit olması gerekir; limit, f(a)'nın tanımlı olup olmamasından bağımsızdır. Bu yüzden Ahmet'in yaptığı gibi f(a)'ya bakmak yetmez; süreklilik ise limitten daha güçlü bir şarttır, limitin varlığı için gerekmez.
Kolay
2Bir ölçüm deneyinde f fonksiyonu için şu değerler kaydediliyor: f(0,9) = 2,9; f(0,99) = 2,99; f(0,999) = 2,999; f(1,001) = 3,001; f(1,01) = 3,01. Fonksiyonun x = 1'deki değeri ise ölçülememiş. Bu değerlere göre x → 1 iken f(x)'in limiti için en uygun tahmin aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2,999
- B) 3
- C) 1
- D) 2
- E) Limit yoktur.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
x soldan ve sağdan 1'e yaklaşırken f(x) değerleri her iki yönde de 3'e yaklaşmaktadır. 2,999 tablodaki bir değerdir, limit değil; limit değerlerin yaklaştığı sayıdır.
Kolay
3Bir su deposuna dolan suyun miktarı, x saat sonra f(x) = 3x − 1 ton olarak hesaplanıyor. Öğrenciler x'in 1,9; 1,99 ve 2,1; 2,01 gibi 2'ye yakın değerleri için bir tablo hazırlayarak su miktarının hangi değere yaklaştığını inceliyor. x → 2 iken f(x)'in limiti kaçtır?
- A) 6
- B) 7
- C) 3
- D) 5
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 5
x, 2'ye soldan da sağdan da yaklaşırken 3x − 1 değerleri 3 · 2 − 1 = 5'e yaklaşır. 6, sabit terimi çıkarmayı unutup yalnızca 3x'in limitini almaktan doğar.
Kolay
4Emre, matematik defterinde bir fonksiyonun davranışını incelerken x → 3⁻ yazmış. Arkadaşı Lale bu gösterimi "x, eksi 3'e gidiyor" diye okuyor; Emre ise üstteki işaretin başka bir anlamı olduğunu söylüyor. x → 3⁻ gösterimi aşağıdakilerden hangisini ifade eder?
- A) x'in 3'e, 3'ten küçük değerlerle yaklaşmasını
- B) x'in 3'e, 3'ten büyük değerlerle yaklaşmasını
- C) x'in 3'e eşit olmasını
- D) x'in −3'e yaklaşmasını
- E) x'in 3'ten küçük her değeri almasını
Cevabı göster
Doğru cevap: A) x'in 3'e, 3'ten küçük değerlerle yaklaşmasını
Üstteki eksi işareti soldan yaklaşımı gösterir; x, 2,9; 2,99; 2,999… gibi 3'ten küçük değerlerle 3'e yaklaşır. Lale'nin okuduğu "−3'e yaklaşma" yanılgıdır; işaret sayının değil yaklaşma yönünün işaretidir.
Kolay
5Bir deneyde f(0) değeri ölçülemiyor ama yakın değerler kaydediliyor: f(−0,1) = 0,998; f(−0,01) = 0,99998; f(0,01) = 0,99998; f(0,1) = 0,998. Bu tabloya göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) f(0) ölçülemediği için limit yoktur.
- B) x → 0 iken f(x)'in limiti 0,998'dir.
- C) Soldan limit 1, sağdan limit 0'dır.
- D) x → 0 iken f(x)'in limiti 1'dir.
- E) x → 0 iken f(x)'in limiti 0'dır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x → 0 iken f(x)'in limiti 1'dir.
x iki yandan 0'a yaklaşırken değerler 1'e yaklaşıyor; limit 1'dir. Limit, f(0)'ın tanımlı olup olmamasından bağımsızdır; bu yüzden “limit yoktur” yargısı yanlıştır.
Kolay
6Bir öğretmen, bir f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin var olup olmadığına nasıl karar verileceğini soruyor. Doğru ölçüt hangisidir?
- A) Soldan ve sağdan limitler var ve birbirine eşittir.
- B) f(a) tanımlıdır ve bir gerçek sayıdır.
- C) Soldan limit vardır ve f(a)'ya eşittir.
- D) Sağdan limit vardır ve f(a) tanımlıdır.
- E) f(a) tanımlıdır ve pozitif bir sayıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Soldan ve sağdan limitler var ve birbirine eşittir.
Bir noktada limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin ikisinin de olması ve eşit olması gerekir. f(a)'nın tanımlı olması limit için gerekli değildir.
Kolay
7g fonksiyonu x < 3 için g(x) = x², x ≥ 3 için g(x) = x + 6 olarak tanımlanıyor. Bir öğrenci x = 3'te soldan ve sağdan limitleri karşılaştırıyor. x → 3 iken g(x)'in limiti kaçtır?
- A) 6
- B) 9
- C) 3
- D) 12
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9
Soldan limit 3² = 9, sağdan limit 3 + 6 = 9'dur; ikisi eşit olduğundan limit 9'dur. 6 sonucu x + 6 ifadesinde x'i 0 almaktan gelir.
Kolay
8Bir fonksiyon x < 0 için f(x) = 1 + x kuralıyla veriliyor. Bir öğrenci x'e −0,1; −0,01; −0,001 değerlerini vererek soldan yaklaşımı inceliyor. x → 0⁻ iken f(x)'in limiti kaçtır?
- A) 0
- B) 0,9
- C) −1
- D) 1
- E) 1,1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1
Değerler 0,9; 0,99; 0,999 olup 1'e yaklaşır; soldan limit 1'dir. 0,9 tablodaki ilk değerdir, değerlerin yaklaştığı sayı değildir.
Kolay
9Bir kuryenin kazancı f fonksiyonuyla veriliyor: x < 2 için f(x) = 3x, x > 2 için f(x) = x + 5. Kurye x'in 2'ye sağdan yaklaştığı durumu hesaplıyor. x → 2⁺ iken f(x)'in limiti kaçtır?
- A) 6
- B) 5
- C) 13
- D) 7
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
Sağdan yaklaşırken x + 5 kuralı kullanılır ve limit 2 + 5 = 7'dir. 6 sonucu soldaki 3x kuralını kullanmaktan gelir.
Kolay
10Bir sporcunun nabız modeli f fonksiyonuyla veriliyor: x < 1 için f(x) = x + 3, x ≥ 1 için f(x) = 2x. Antrenör x'in 1'e soldan yaklaştığı durumu inceliyor. x → 1⁻ iken f(x)'in limiti kaçtır?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 1
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
Soldan yaklaşırken x < 1 olduğundan f(x) = x + 3 kuralı kullanılır ve limit 1 + 3 = 4'tür. 2 sonucu sağdaki 2x kuralını kullanmaktan gelir; o değer sağdan limittir.
Kolay
11Bir depoya dolan su miktarı t saat sonra f(t) = 2t + 1 ton ile modelleniyor. Mühendis “t 3 saate yaklaştıkça depodaki su miktarı ... tona yaklaşır.” cümlesini tamamlamak istiyor. Boşluğa hangi sayı gelmelidir?
- A) 6
- B) 7
- C) 3
- D) 9
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 7
t 3'e yaklaşırken 2t + 1 değeri 2 · 3 + 1 = 7'ye yaklaşır. 6 sonucu sabit terimi eklemeyi unutmaktan gelir.
Kolay
12Bir müzik platformu, dinleme süresi x ne olursa olsun aylık f(x) = 7 yüz TL sabit ücret alıyor. Dinleme süresi 3'e yaklaşırken ücretin limiti kaçtır?
- A) 3
- B) 21
- C) 0
- D) 10
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 7
Sabit fonksiyonun her noktadaki limiti o sabittir; limit 7'dir. 3 sonucu x'in yaklaştığı sayıyı limit sanmaktan gelir.
Kolay
13Bir sınıf tartışmasında öğrenciler, fonksiyonun bir noktada tanımsız olmasıyla o noktadaki limiti arasındaki ilişkiyi konuşuyor. Aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?
- A) f, a'da tanımsızsa x → a iken limit yoktur.
- B) Limit her zaman f(a)'ya eşittir.
- C) f(a) tanımlıysa limit kesinlikle vardır.
- D) Soldan limit varsa limit de vardır.
- E) f, a'da tanımsız olsa da x → a iken limiti olabilir.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) f, a'da tanımsız olsa da x → a iken limiti olabilir.
Limit, a'nın çok yakınındaki davranışa bakar; f(a)'nın tanımlı olması gerekmez. f(a) tanımlı olsa bile soldan ve sağdan limitler farklıysa limit yoktur.
Kolay
14Bir oda termostatı, x dakikadaki ayar değerini x < 5 için 2, x ≥ 5 için 3 olarak gösteriyor. Teknisyen x'in 5'e sağdan yaklaştığı anları inceliyor. x → 5⁺ iken ayar değerinin limiti kaçtır?
- A) 3
- B) 2
- C) 5
- D) 2,5
- E) Limit yoktur
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3
Sağdan yaklaşırken x > 5'tir ve değer sürekli 3'tür; sağdan limit 3'tür. 2 soldan limittir; tek yönlü limit sorulduğu için iki yanın farklı olması sağdan limitin varlığını etkilemez.
Kolay
15h fonksiyonu x < 0 için h(x) = −x, x ≥ 0 için h(x) = x² olarak tanımlanıyor. x → 0 iken h(x)'in limiti kaçtır?
- A) 1
- B) −1
- C) 0
- D) 2
- E) Limit yoktur
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0
Soldan limit −0 = 0, sağdan limit 0² = 0'dır; limitler eşit olduğundan limit 0'dır. “Limit yoktur” seçeneği iki parçanın kurallarının farklı olmasını limitlerin farklı olması sanmaktan gelir.
Kolay
16Bir öğrenci x'in 5'e soldan yaklaştığını göstermek için bir hesap tablosuna x değerleri yazacak. Aşağıdaki değer listelerinden hangisi x → 5⁻ yaklaşımını gösterir?
- A) 4,9; 4,99; 4,999
- B) 5,1; 5,01; 5,001
- C) −4,9; −4,99; −4,999
- D) 4,9; 5,01; 4,999
- E) 5; 5; 5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4,9; 4,99; 4,999
Soldan yaklaşımda x, 5'ten küçük değerlerle 5'e giderek yaklaşır. 5,1; 5,01; 5,001 listesi sağdan yaklaşımı gösterir.
Kolay
17Bir su sayacında aylık ücret, x ton tüketim için x < 1 iken f(x) = 2x, x ≥ 1 iken f(x) = x² + 4 yüz TL olarak hesaplanıyor. Bir öğrenci kuralların değiştiği x = 1 noktasından uzakta, x = 3 civarında fonksiyonun davranışını inceliyor. x → 3 iken f(x)'in limiti kaçtır?
- A) 6
- B) 13
- C) 19
- D) 26
- E) Limit yoktur
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 13
x, 3'e iki yönden de yaklaşırken değerleri 1'den büyük kalır; bu yüzden hem soldan hem sağdan x² + 4 kuralı geçerlidir. Soldan ve sağdan limit 3² + 4 = 13 olur, limit 13'tür. 6, x < 1 için geçerli kuralı kullanmaktan; 19 iki kuralın sonuçlarını toplamaktan doğar. Bu fonksiyonda limitin olmaması ancak kuralların değiştiği x = 1 noktasında söz konusu olabilir.
Kolay
18Bir deneyde f fonksiyonunun x = 2 yakınındaki değerleri kaydediliyor: f(1,9) = 3,9; f(1,99) = 3,99; f(1,999) = 3,999; f(2,001) = 6,001; f(2,01) = 6,01; f(2,1) = 6,1. x, 2'ye yaklaştıkça değerler bu düzeni sürdürüyor. Bu değerlere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Soldan limit 4, sağdan limit 6'dır; limit yoktur.
- B) Soldan limit 6, sağdan limit 4'tür; limit yoktur.
- C) x → 2 iken f(x)'in limiti 5'tir.
- D) x → 2 iken f(x)'in limiti 4'tür.
- E) x → 2 iken f(x)'in limiti 6'dır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Soldan limit 4, sağdan limit 6'dır; limit yoktur.
2'den küçük x değerlerinde f(x) 4'e, 2'den büyük x değerlerinde 6'ya yaklaşıyor. Soldan limit 4, sağdan limit 6'dır. Limitin var olması için ikisi eşit olmalıdır; eşit olmadıkları için x → 2 iken limit yoktur. 5, iki limitin ortalamasıdır; limit ortalama alınarak bulunmaz.
Orta
19Bir sıcaklık sensörü, x. dakikadaki ölçümü f(x) = x + 4 kuralıyla kaydediyor. Ancak tam 2. dakikada bir parazit nedeniyle cihaz 10 değerini kaydetmiş; yani f(2) = 10 olmuş. Teknisyen, sensörün 2. dakika civarındaki gerçek eğilimini bulmak istiyor. x → 2 iken f(x)'in limiti aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 10
- B) 8
- C) 4
- D) 6
- E) Limit yoktur.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 6
Limit, fonksiyonun 2'deki değerine değil 2'nin yakınındaki davranışına bağlıdır; 2'ye yaklaşırken x + 4 değerleri 6'ya yaklaşır. 10, limiti fonksiyonun o noktadaki değeriyle karıştırmaktan doğar.
Orta
20Nil, bir hesap tablosunda x < 0 için f(x) = x − 2, x ≥ 0 için f(x) = x + 2 kurallarıyla tanımlı fonksiyonun değerlerini x = −0,1; −0,01 ve x = 0,01; 0,1 için hesaplıyor. Tablodaki iki sütunun hangi sayılara yaklaştığını karşılaştırıyor. x → 0⁻ ve x → 0⁺ iken f(x)'in limitleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −2 ve 2
- B) 2 ve −2
- C) −2 ve −2
- D) 2 ve 2
- E) 0 ve 0
Cevabı göster
Doğru cevap: A) −2 ve 2
Soldan yaklaşırken x − 2 kuralı kullanılır ve limit −2 olur; sağdan yaklaşırken x + 2 kuralıyla limit 2 bulunur. "2 ve −2" cevabı, soldan yaklaşımda x ≥ 0 kuralını kullanmaktan doğar; sol, 0'dan küçük değerler demektir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.