Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi

eğim
eğim açısı
doğru denklemi
paralel doğrular
dik doğrular
dik koordinat sistemi
kesim noktası

Doğrunun eğimi ve denklemi nasıl bulunur?

Doğrunun eğimi, doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır (m = tan α) ve iki noktadan geçen doğru için m = (y2 − y1)/(x2 − x1) ile hesaplanır. A(1, 2) ve B(3, 8) noktalarından geçen doğrunun eğimi 3'tür. Eğimi m olan ve (x1, y1) noktasından geçen doğrunun denklemi y − y1 = m(x − x1) biçimindedir; aynı örnekte denklem y = 3x − 1 olur. y = mx + n yazılışında m eğimi, n ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatını gösterir. Açı 45° ise eğim 1, geniş açıysa eğim negatiftir. Paralel doğruların eğimleri eşittir, dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir. 2x + 3y = 12 doğrusu x eksenini (6, 0), y eksenini (0, 4) noktasında keser; iki doğrunun kesim noktası denklemlerin ortak çözümüdür. Bir doğru, eğimi ve üzerindeki bir noktayla tamamen belirlenir. Dikey doğrunun eğimi 0 değil, tanımsızdır; eğimi 0 olan doğru yataydır.

Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi: konu anlatımı ve özeti

Bir doğru, eğimi ve üzerindeki bir noktayla tamamen belirlenir. Bu konuda eğim, doğru denklemleri ve iki doğrunun birbirine göre konumu analitik olarak incelenir.

Eğim açısı, doğrunun x ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersine) yaptığı açıdır; eğim m = tan α. α = 45° ise m = 1, α geniş açıysa eğim negatiftir.
İki noktadan geçen doğrunun eğimi m = (y2 − y1)/(x2 − x1)'dir. A(1, 2) ve B(3, 8) için m = 6/2 = 3.
Eğimi m olan ve (x1, y1) noktasından geçen doğrunun denklemi y − y1 = m(x − x1)'dir. A(1, 2) ve m = 3 için y = 3x − 1.
y = mx + n biçiminde m eğim, n doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. y = k yatay doğrudur (eğim 0); x = k dikey doğrudur (eğim tanımsız).
Paralel doğruların eğimleri eşittir; dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir. y = 2x + 1 doğrusuna dik doğrunun eğimi −1/2'dir.
Eksenleri kestiği noktalar: 2x + 3y = 12 doğrusu x eksenini (6, 0), y eksenini (0, 4) noktasında keser. İki doğrunun kesim noktası denklemlerin ortak çözümüdür.
2x + 3y = 12 doğrusu x eksenini (6, 0), y eksenini (0, 4) noktasında keser

Unutma: Dikey doğrunun eğimi 0 değil, tanımsızdır; eğimi 0 olan doğru yataydır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

İki noktası bilinen doğrunun denklemini üç adımda yaz.

Eğimi bul: m = (y2 − y1)/(x2 − x1). A(2, 1) ve B(4, 7) için m = 6/2 = 3.
Noktayı yerleştir: y − 1 = 3(x − 2).
Sadeleştir ve kontrol et: y = 3x − 5. B noktası için 3 · 4 − 5 = 7 sağlanıyor.

Günlük hayattan: Aylık 50 TL sabit ücretin üstüne her saat için 20 TL ödenen bir kurs için ücret y = 20x + 50'dir. Eğim (20) her ek saatin getirdiği artışı, 50 ise hiç saat kullanılmasa bile ödenen tutarı gösterir.

Sık yapılan hata: Eğimi yatay değişim / dikey değişim olarak almak. Doğrusu: Eğim dikey değişimin yatay değişime oranıdır; bir doğru ne kadar dikse eğiminin mutlak değeri o kadar büyüktür.

Derinleş

Okulunun ya da yakınındaki bir binanın girişindeki rampanın yüksekliğini ve yatay uzunluğunu ölçerek eğimini hesapla. Tekerlekli sandalye kullananlar için rampa eğimine ilişkin standartları araştır ve ölçtüğün rampayla karşılaştır. Rampa uygun değilse aynı yüksekliğe çıkan, standarda uyan bir rampa tasarla: yatay uzunluğu kaç metre olmalı, alan yetmezse ne gibi çözümler üretilebilir?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.6.2Dik koordinat sistemini doğrunun özelliklerini incelemek ve doğru ile ilgili
- a) Dik koordinat sistemini doğrunun eğim açısını, eğimini ve doğruların birbirlerine göre konumlarını belirlemede araç olarak tanır.
- c) Dik koordinat sistemini doğrunun eğim açısını, eğimini ve doğruların birbirlerine göre konumlarını temsil etme aracı olarak kullanır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir şehir planı dik koordinat sistemine yerleştirilmiş; plandaki bir caddenin denklemi x = 4'tür. Belediye, bu cadde için hazırlanan tabelalara caddenin konumuyla ilgili bir bilgi yazacak. x = 4 doğrusuyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x eksenine paraleldir ve eğimi 0'dır.
- B) y eksenine paraleldir ve eğimi tanımsızdır.
- C) Orijinden geçer ve eğimi 4'tür.
- D) y eksenine paraleldir ve eğimi 0'dır.
- E) x eksenine paraleldir ve eğimi 4'tür.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) y eksenine paraleldir ve eğimi tanımsızdır.
x = 4 doğrusu üzerindeki her noktanın apsisi 4'tür; doğru dikeydir, yani y eksenine paraleldir ve yatay değişim 0 olduğundan eğimi tanımsızdır. "y eksenine paraleldir ve eğimi 0'dır." seçeneği, tanımsız eğim ile yatay doğrunun 0 eğimini karıştırmaktan doğar.
Kolay
2Bir su deposundaki suyun yüksekliği, boşaltma başladıktan x saat sonra y = −2x + 7 metre olarak bir doğruyla gösteriliyor. Depo görevlisi grafiğin eksenlerle kesiştiği noktaları yorumluyor. Bu doğru y eksenini hangi noktada keser?
- A) (7, 0)
- B) (0, −2)
- C) (7/2, 0)
- D) (0, 7)
- E) (−2, 7)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (0, 7)
y eksenini kestiği noktada x = 0'dır: y = 7; kesim noktası (0, 7)'dir ve boşaltma başladığı andaki 7 m'lik su yüksekliğini gösterir. (7/2, 0) seçeneği doğrunun x eksenini kestiği noktadır, yani deponun boşaldığı andır.
Kolay
3Bir kayak pistinin düz bir bölümü, yan görünüşü çizilen koordinat düzleminde x ekseninin pozitif yönüyle 135°'lik açı yapan bir doğruyla gösteriliyor. Kayakçı bu bölümde soldan sağa doğru iniyor. Bu doğrunun eğimi kaçtır?
- A) 1
- B) √3
- C) −√3
- D) −√3/3
- E) −1
Cevabı göster
Doğru cevap: E) −1
Eğim, eğim açısının tanjantıdır: tan 135° = −tan 45° = −1. Eğim açısı geniş açı olduğundan eğim negatiftir ve doğru soldan sağa alçalır. 1 seçeneği, 135° ile bütünler olan 45°'nin tanjantının işareti düzeltilmeden alınmasından doğar.
Kolay
4Bir dağ yolunun yan görünüşü koordinat düzleminde çiziliyor; iki eksende de birimler aynı. Yol, (2, 1) noktasından (5, 10) noktasına düz bir çizgi boyunca çıkıyor. Yolu gösteren doğrunun eğimi kaçtır?
- A) 1/3
- B) 3
- C) −3
- D) 9
- E) 11/7
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
m = (10 − 1)/(5 − 2) = 9/3 = 3'tür; yatayda her 1 birimde yol 3 birim yükselir. 1/3 seçeneği, eğim hesabında yatay değişimin dikey değişime bölünmesinden doğar.
Kolay
5Bir kaydırağın düz kısmı, yan görünüşü çizilen koordinat düzleminde x ekseniyle pozitif yönde 45°'lik açı yapan bir doğruyla gösteriliyor. Bu doğrunun eğimi kaçtır?
- A) 45
- B) 1
- C) 0
- D) −1
- E) √2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1
Eğim, eğim açısının tanjantıdır: m = tan 45° = 1. 45 cevabı, açının ölçüsünü eğim sanmaktan doğar.
Kolay
6Bir masanın yan görünüşünde tabla, koordinat düzleminde y = 4 doğrusu boyunca uzanıyor. Bu doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 0
- B) Tanımsız
- C) 4
- D) 1
- E) −4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 0
y = k biçimindeki doğrular yataydır ve eğimleri 0'dır. Eğimin tanımsız olduğu doğrular x = k biçimindeki dikey doğrulardır.
Kolay
7Bir kayak pistinin düz bölümü, yan görünüşü çizilen koordinat düzleminde x ekseniyle pozitif yönde 120°'lik açı yapan bir doğruyla gösteriliyor. Bu doğrunun eğimi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Pozitiftir.
- B) Sıfırdır.
- C) Negatiftir.
- D) Tanımsızdır.
- E) 1'e eşittir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Negatiftir.
Eğim açısı geniş açı olduğunda eğim negatiftir; doğru soldan sağa doğru alçalır. Eğimin tanımsız olması yalnızca 90°'lik açıda, yani dikey doğruda olur.
Kolay
8Bir şehir planında dört cadde aşağıdaki doğrularla gösteriliyor. Belediye, birbirine paralel olan iki caddeyi aynı renge boyayacak. Aşağıdaki doğru çiftlerinden hangisi birbirine paraleldir?
- A) y = 3x + 1 ile y = −3x + 1
- B) y = 3x + 1 ile y = (1/3)x + 1
- C) y = 3x + 1 ile y = 3x − 4
- D) y = 2x ile y = x + 2
- E) y = x ile y = −x
Cevabı göster
Doğru cevap: C) y = 3x + 1 ile y = 3x − 4
Paralel doğruların eğimleri eşittir; y = 3x + 1 ile y = 3x − 4'ün eğimleri 3'tür. y = x ile y = −x'in eğimleri çarpımı −1 olduğundan bu doğrular diktir.
Kolay
9Bir öğretmen tahtaya y − 3 = 4(x + 2) doğrusunu yazıyor ve öğrencilerden bu denklemden doğrunun özelliklerini okumalarını istiyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) (−2, 3) noktasından geçer; eğimi 4'tür.
- B) (2, −3) noktasından geçer; eğimi 4'tür.
- C) (−2, 3) noktasından geçer; eğimi −4'tür.
- D) (3, −2) noktasından geçer; eğimi 4'tür.
- E) (2, 3) noktasından geçer; eğimi 4'tür.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (−2, 3) noktasından geçer; eğimi 4'tür.
y − y₁ = m(x − x₁) biçiminde x − x₁ = x + 2 olduğundan x₁ = −2, y₁ = 3 ve m = 4'tür. (2, −3) cevabı, parantezlerdeki işaretlerin doğrudan alınmasından doğar.
Kolay
10Bir tekerlekli sandalye rampasının yan görünüşü koordinat düzleminde çiziliyor; iki eksende de birimler aynıdır. Rampa A(−1, 3) noktasından B(3, 11) noktasına düz bir çizgi boyunca uzanıyor. Rampanın eğimi kaçtır?
- A) 1/2
- B) −2
- C) 2
- D) 8
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2
m = (11 − 3)/(3 − (−1)) = 8/4 = 2'dir. 1/2 cevabı, yatay değişimin dikey değişime bölünmesinden doğar.
Kolay
11Bir tarlanın planında bir sulama kanalı 4x − y = 12 doğrusu boyunca uzanıyor. Kanalın, x ekseniyle gösterilen sınır yolunu kestiği noktaya bir kapak konacak. Kapağın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, −12)
- B) (−3, 0)
- C) (12, 0)
- D) (0, 3)
- E) (3, 0)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (3, 0)
x ekseni üzerinde y = 0'dır: 4x = 12 ve x = 3; nokta (3, 0)'dır. (0, −12) noktası kanalın y eksenini kestiği noktadır.
Kolay
12Bir şehir planında yeni bir yol y = −3x + 5 doğrusuyla gösteriliyor. Bu doğrunun eğimi ve y eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisinde birlikte doğru verilmiştir?
- A) Eğim 5, (0, −3)
- B) Eğim 3, (0, 5)
- C) Eğim −3, (5, 0)
- D) Eğim −3, (0, 5)
- E) Eğim −3, (0, −5)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Eğim −3, (0, 5)
y = mx + n biçiminde m = −3 eğim, n = 5 doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır: (0, 5). (5, 0) noktası x ekseni üzerindedir, y eksenini kestiği nokta olamaz.
Kolay
13Bir tren hattı, haritada y = 2x − 3 doğrusu boyunca uzanıyor. Belediye, hat üzerindeki bir noktaya istasyon kuracak. Aşağıdaki noktalardan hangisi bu hat üzerindedir?
- A) (5, 4)
- B) (2, 4)
- C) (−1, 1)
- D) (4, 5)
- E) (0, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (4, 5)
x = 4 için y = 2 · 4 − 3 = 5'tir; (4, 5) doğru üzerindedir. (0, 3) noktası olamaz, çünkü doğru y eksenini (0, −3) noktasında keser.
Kolay
14Bir demir yolu hattı y = 5x − 2 doğrusu boyunca uzanıyor. Mühendisler, bu hatta paralel ikinci bir hat planlıyor. İkinci hattın eğimi kaçtır?
- A) −5
- B) −1/5
- C) 1/5
- D) −2
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 5
Paralel doğruların eğimleri eşittir; ikinci hattın eğimi de 5'tir. −1/5, bu hatta dik olan bir doğrunun eğimidir.
Kolay
15Bir parkta bir yürüyüş yolu y = (2/3)x + 1 doğrusu boyunca uzanıyor. Bu yolu dik açıyla kesen bir bisiklet yolu yapılacak. Bisiklet yolunun eğimi kaçtır?
- A) 3/2
- B) −3/2
- C) −2/3
- D) 2/3
- E) −3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) −3/2
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir: (2/3) · m = −1 ise m = −3/2. 3/2 cevabı, yalnızca kesrin ters çevrilip işaretin değiştirilmemesinden doğar.
Kolay
16Bir binanın planında bir duvar, A(3, 1) ve B(3, 7) noktalarını birleştiren doğru boyunca uzanıyor. Bu duvarın üzerinde bulunduğu doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) y = 3
- B) x = 3
- C) x = 1
- D) y = 3x
- E) y = x + 3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x = 3
İki noktanın apsisleri eşit olduğundan doğru dikeydir ve denklemi x = 3'tür; eğimi tanımsızdır. y = 3 ise yatay bir doğrudur.
Kolay
17Bir teleferik hattının yan görünüşü dik koordinat sisteminde çiziliyor; iki eksende de birimler aynıdır. Hat, A(2, 1) ve B(5, 4) noktalarından geçen bir doğru boyunca uzanıyor. Bu doğrunun eğim açısı kaç derecedir?
- A) 30°
- B) 45°
- C) 60°
- D) 120°
- E) 135°
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 45°
Eğim m = (4 − 1)/(5 − 2) = 3/3 = 1'dir. Eğim, eğim açısının tanjantına eşittir: tan α = 1 ve eğim açısı 0° ile 180° arasında olduğundan α = 45°'dir. 135°, eğimin −1 olduğu durumdur (tan 135° = −1); 30° ve 60° için tanjant değerleri sırasıyla √3/3 ve √3'tür; 120° için tanjant −√3'tür.
Kolay
18Bir şehir planında bir cadde y = 2x − 3 doğrusuyla gösteriliyor. Plana sonradan eklenen bir çizginin aslında aynı caddeyi gösterdiği, yani bu doğruyla çakışık olduğu (bütün noktalarının ortak olduğu) anlaşılıyor. Sonradan eklenen çizginin denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
- A) 4x − 2y = 3
- B) 2x + y = 3
- C) x − 2y = 6
- D) 4x − 2y = 6
- E) 2x − y = −3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4x − 2y = 6
4x − 2y = 6 denkleminin iki tarafı 2'ye bölünürse 2x − y = 3, yani y = 2x − 3 elde edilir; iki denklem aynı doğruyu gösterir (çakışık). 4x − 2y = 3 doğrusu y = 2x − 3/2, 2x − y = −3 doğrusu y = 2x + 3'tür; eğimleri 2 olduğu hâlde y eksenini farklı noktalarda kestiklerinden verilen doğruya paraleldir, çakışık değildir. 2x + y = 3 (eğim −2) ve x − 2y = 6 (eğim 1/2) doğruları ise verilen doğruyu tek noktada keser.
Orta
19Bir parkın planında iki koşu yolu y = 2x − 1 ve x + y = 8 doğrularıyla gösteriliyor. Park yönetimi, iki yolun kesiştiği noktaya bir çeşme yaptıracak. Çeşmenin konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (5, 3)
- B) (3, 8)
- C) (4, 4)
- D) (3, 5)
- E) (7/3, 11/3)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (3, 5)
y = 2x − 1 ifadesi x + y = 8'de yerine yazılırsa 3x − 1 = 8 ve x = 3, y = 5 bulunur; nokta iki denklemi de sağlar. (5, 3) seçeneği yalnızca x + y = 8'i sağlar; koordinatların yeri karıştırılmıştır.
Orta
20Bir kaydırağın kayma yüzeyi, yan görünüşü çizilen koordinat düzleminde (a, 3) ve (2, 7) noktalarından geçen bir doğru parçasıyla gösteriliyor. Ölçümlere göre bu doğrunun eğimi −2'dir. Buna göre a kaçtır?
- A) 0
- B) −4
- C) 6
- D) 1
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 4
(7 − 3)/(2 − a) = −2 ise 4 = −4 + 2a ve a = 4'tür; kontrol: (7 − 3)/(2 − 4) = −2. 0 seçeneği, paydadaki farkın sırası değiştirilip (a − 2) yazılmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.