Dik Koordinat Sisteminde Noktanın Analitik İncelenmesi

dik koordinat sistemi
iki nokta arası uzaklık
orta nokta
doğru parçasını bölen nokta
oran
ağırlık merkezi

Koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık nasıl bulunur?

Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor teoreminden gelen |AB| = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²) formülüyle bulunur. Örneğin A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki uzaklık √(9 + 16) = 5 birimdir. Her nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir; noktanın x eksenine uzaklığı |y|, y eksenine uzaklığı |x|'tir. Bir doğru parçasının orta noktası koordinatların ortalamasıdır: A(1, 2) ve B(5, 8) için orta nokta (3, 5) olur. Doğru parçasını belli bir oranda içten bölen noktanın koordinatları ağırlıklı ortalamayla hesaplanır; A(0, 0), B(6, 9) ve AP/PB = 1/2 ise P(2, 3) bulunur. Üçgenin ağırlık merkezi köşe koordinatlarının ortalamasıdır. Uzaklık formülüyle kenar uzunlukları bulunarak üçgenin ikizkenar ya da dik olup olmadığı belirlenebilir. Uzaklık formülünde çıkarma sırası önemli değildir, ama bölen nokta formülünde oran doğru noktayla eşleştirilmelidir.

Dik Koordinat Sisteminde Noktanın Analitik İncelenmesi: konu anlatımı ve özeti

Dik koordinat sistemi, geometrik şekilleri sayılarla incelemeyi sağlar. Bu konuda iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını belli bir oranda bölen noktanın koordinatları hesaplanır.

Her nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir. (x, y) noktasının x eksenine uzaklığı |y|, y eksenine uzaklığı |x|'tir.
İki nokta arası uzaklık Pisagor teoreminden gelir: |AB| = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²). A(1, 2) ve B(4, 6) için √(9 + 16) = 5.
Orta nokta, koordinatların ortalamasıdır: ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). A(1, 2) ve B(5, 8) için orta nokta (3, 5).
Doğru parçasını içten bölen nokta: AP/PB = m/n ise P = ((n · x1 + m · x2)/(m + n), (n · y1 + m · y2)/(m + n)). A(0, 0), B(6, 9) ve AP/PB = 1/2 ise P(2, 3).
Üçgenin ağırlık merkezi, köşe koordinatlarının ortalamasıdır: A(0, 0), B(6, 0), C(0, 9) için G(2, 3).
Uzaklık formülüyle bir üçgenin kenar uzunlukları bulunarak üçgenin türü (ikizkenar, dik vb.) belirlenebilir.

Unutma: Uzaklık formülünde farkların karesi alındığından çıkarma sırası önemli değildir, ama bölen nokta formülünde oranı doğru noktayla eşleştirmelisin.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

İki nokta arasındaki uzaklığı bir dik üçgen kurarak bul.

Yatay farkı bul: x2 − x1.
Dikey farkı bul: y2 − y1.
Bu iki fark dik kenarlardır; Pisagor teoremiyle hipotenüsü hesapla.

Örnek: A(−1, 2) ve B(5, 10) için yatay fark 5 − (−1) = 6, dikey fark 10 − 2 = 8; uzaklık √(36 + 64) = 10 birimdir. Orta nokta ise koordinatların ortalamasıdır: (2, 6).

Günlük hayattan: Bir harita uygulamasındaki "kuş uçuşu" mesafe, iki konum arasındaki bu doğrusal uzaklıktır.

Sık yapılan hata: Negatif koordinatla fark alırken işareti kaybetmek: 5 − (−1)'i 4 hesaplamak. Doğrusu: Eksi bir sayıyı çıkarmak toplamaktır, fark 6'dır.

Derinleş

Sokakları kareli düzende olan bir şehirde iki nokta arasında yürüyerek gidilen yol, kuş uçuşu uzaklıktan farklıdır: |x2 − x1| + |y2 − y1|. Bu iki uzaklığı birkaç nokta çifti için karşılaştır. Bir ambulans istasyonunun yeri seçilirken hangi uzaklığı kullanmak daha gerçekçidir? Yaşadığın yerin haritasında bir hizmet noktası için uygun konum öner ve seçiminde hangi mahallelerin dezavantajlı kalabileceğini tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.6.1Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını
- a) Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık bağıntısı ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatlarıyla ilgili varsayımda bulunur.
- b) Farklı örnekler üzerinden varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
- c) İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısına ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatlarına ilişkin genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.
- ç) İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısına ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatlarına yönelik önermeler sunar.
- d) Önermeleri gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Üç köyün ortak kullanacağı bir sağlık ocağı, köyleri birleştiren üçgenin ağırlık merkezine kurulacak. Haritada köyler A(1, 2), B(5, −1) ve C(3, 8) noktalarında gösterilmiştir. Sağlık ocağının konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3, 3)
- B) (9, 9)
- C) (4, 3)
- D) (3, 4)
- E) (9/2, 9/2)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (3, 3)
Ağırlık merkezi köşe koordinatlarının ortalamasıdır: ((1 + 5 + 3)/3, (2 − 1 + 8)/3) = (9/3, 9/3) = (3, 3). (9, 9) seçeneği, koordinatlar toplandıktan sonra 3'e bölmenin unutulmasından doğar.
Kolay
2Bir orman haritasında iki gözetleme kulesi K₁(−4, 6) ve K₂(2, 0) noktalarındadır. İki kuleyi birleştiren düz yolun tam ortasına, her iki kuleye eşit uzaklıkta olacak biçimde bir su deposu konulacak. Su deposunun konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−3, 3)
- B) (−1, 6)
- C) (3, −1)
- D) (−1, 3)
- E) (−6, 6)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (−1, 3)
Orta nokta koordinatların ortalamasıdır: ((−4 + 2)/2, (6 + 0)/2) = (−1, 3). (−3, 3) seçeneği, apsislerin toplanacağı yerde farkının alınıp ikiye bölünmesinden doğar.
Kolay
3Bir köyün haritasında birimler kilometredir. Muhtarlık binası A(−1, 2), okul ise B(2, 6) noktasındadır; iki yapı arasına düz bir patika yapılacak. Patikanın uzunluğu kaç kilometredir?
- A) 5
- B) 7
- C) 25
- D) √13
- E) √65
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
|AB| = √((2 − (−1))² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 km'dir. 7 seçeneği, yatay ve dikey farkların (3 ve 4) doğrudan toplanmasından doğar; bu, düz patikanın değil köşeden dönen yolun uzunluğudur.
Kolay
4Bir sahil kasabasının haritası dik koordinat sistemine yerleştirilmiş; x ekseni sahil yolunu gösteriyor ve birimler kilometredir. Kasabadaki bir kafe A(2, −3) noktasında bulunuyor. Kafenin sahil yoluna en kısa uzaklığı kaç kilometredir?
- A) 3
- B) 2
- C) −3
- D) √13
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3
(x, y) noktasının x eksenine uzaklığı |y|'dir: |−3| = 3 km. 2 seçeneği, x eksenine uzaklık yerine y eksenine uzaklığın (|x|) alınmasından doğar; −3 ise uzaklığın negatif olamayacağını gözden kaçırır.
Kolay
5Bir köyün planında üç ev A(2, 1), B(4, 7) ve C(9, 1) noktalarında bulunuyor. Ortak su deposu, bu evlerin oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezine yapılacak. Su deposunun koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (15, 9)
- B) (5, 4)
- C) (5, 3)
- D) (7, 4)
- E) (3, 5)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (5, 3)
Ağırlık merkezi köşe koordinatlarının ortalamasıdır: ((2 + 4 + 9)/3, (1 + 7 + 1)/3) = (5, 3). (15, 9) cevabı, koordinatların toplamının 3'e bölünmemesinden doğar.
Kolay
6Bir köprünün planında iki ayak A(−3, 4) ve B(5, 4) noktalarındadır; birimler metredir. İki ayak arasındaki uzaklık kaç metredir?
- A) 2
- B) 64
- C) 10
- D) 8
- E) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 8
Ordinatlar eşit olduğundan uzaklık |5 − (−3)| = 8 m'dir. 2 cevabı, apsislerin işaretlerine dikkat etmeden 5 − 3 hesaplanmasından doğar.
Kolay
7Bir parkta A(−2, 5) ve B(6, 1) noktalarındaki iki çeşmeyi birleştiren düz yolun tam ortasına bir bank konacak. Bankın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (2, 3)
- B) (4, 6)
- C) (−4, 2)
- D) (2, −3)
- E) (8, −4)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (2, 3)
Orta nokta koordinatların ortalamasıdır: ((−2 + 6)/2, (5 + 1)/2) = (2, 3). (4, 6) cevabı, koordinatlar toplanıp 2'ye bölünmeden yazılmasından doğar.
Kolay
8Bir kamp alanında iki çadır A(4, −6) ve B(10, 2) noktalarındadır. Kamp ateşi, iki çadırın tam ortasına yakılacak. Kamp ateşinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3, 4)
- B) (14, −4)
- C) (7, −2)
- D) (6, 8)
- E) (7, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (7, −2)
((4 + 10)/2, (−6 + 2)/2) = (7, −2)'dir. (3, 4) cevabı, koordinat farklarının yarısının alınmasından doğar.
Kolay
9Bir haritada y ekseni bir nehri gösteriyor. Beş köyün konumları (−1, 6), (2, 1), (−3, 0), (4, −1) ve (3, 3) noktalarıdır. Nehre en yakın köyün konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (2, 1)
- B) (−1, 6)
- C) (−3, 0)
- D) (4, −1)
- E) (3, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (−1, 6)
Bir noktanın y eksenine uzaklığı |x|'tir; en küçük |x| değeri (−1, 6) noktasındadır. (2, 1) noktası orijine en yakın görünse de y eksenine uzaklığı 2 birimdir.
Kolay
10Bir hazine avı oyununda ipucu kartında şu yazıyor: "Hazine, x eksenine 4 birim, y eksenine 2 birim uzaklıktaki bir noktada." Oyun alanı dik koordinat sistemine yerleştirilmiştir. Aşağıdaki noktalardan hangisi bu ipucuna uyar?
- A) (4, −2)
- B) (−2, 4)
- C) (4, 2)
- D) (−4, −2)
- E) (−4, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (−2, 4)
(x, y) noktasının x eksenine uzaklığı |y|, y eksenine uzaklığı |x|'tir; (−2, 4) için bu uzaklıklar 4 ve 2'dir. (4, −2) noktasında uzaklıklar yer değiştirmiştir: x eksenine 2, y eksenine 4 birim.
Kolay
11Bir dron, koordinat düzlemine yerleştirilmiş bir tarla planında A(2, 1) noktasından B(8, 9) noktasına düz bir çizgi boyunca uçuyor; birimler metredir. Dronun aldığı yol kaç metredir?
- A) 14
- B) 100
- C) 8
- D) √10
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 10
|AB| = √((8 − 2)² + (9 − 1)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m'dir. 14 cevabı, yatay ve dikey farkların (6 + 8) toplanmasından doğar.
Kolay
12Bir bisiklet yolu O(0, 0) noktasından B(8, 4) noktasına uzanıyor. Yol üzerinde, O'ya olan uzaklığının B'ye olan uzaklığına oranı 1/3 olan P noktasına dinlenme yeri yapılacak. P noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (6, 3)
- B) (4, 2)
- C) (2, 1)
- D) (8/3, 4/3)
- E) (3, 1)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (2, 1)
OP/PB = 1/3 ise P, yolu 1 + 3 = 4 eşit parçaya böler ve O'dan 1 parça uzaktadır: P = (8/4, 4/4) = (2, 1). (6, 3) cevabı, oranın B noktasıyla eşleştirilmesinden doğar.
Kolay
13Bir apartmanın kesit planında asansörün durduğu iki kat A(1, 2) ve B(1, 9) noktalarıyla gösteriliyor; birimler metredir. Asansörün bu iki kat arasında aldığı yol kaç metredir?
- A) 11
- B) 7
- C) √53
- D) 8
- E) 49
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 7
Apsisler eşit olduğundan uzaklık |9 − 2| = 7 m'dir. 11 cevabı ordinatların toplanmasından doğar.
Kolay
14Bir radar orijinde bulunuyor. Görevli, radara tam olarak 5 birim uzaklıkta olan şamandırayı arıyor. Aşağıdaki noktalardan hangisi orijine tam olarak 5 birim uzaklıktadır?
- A) (2, 3)
- B) (1, 4)
- C) (5, 5)
- D) (3, −4)
- E) (4, 4)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (3, −4)
√(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = 5'tir. (5, 5) noktasının uzaklığı √50, yani yaklaşık 7,07'dir; koordinatlardan birinin 5 olması uzaklığı 5 yapmaz.
Kolay
15Bir üçgenin köşelerinden ikisi A(1, 1) ve B(5, 0) noktalarındadır. Üçgenin ağırlık merkezi G(3, 2) olarak veriliyor. Üçüncü köşe C'nin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3, 4)
- B) (6, 5)
- C) (−3, 5)
- D) (9, 6)
- E) (3, 5)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (3, 5)
(1 + 5 + x)/3 = 3 ise x = 3; (1 + 0 + y)/3 = 2 ise y = 5 bulunur. (9, 6) cevabı, ağırlık merkezinin koordinatlarının 3 ile çarpılıp yazılmasından doğar.
Kolay
16İki öğrenci A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplıyor. Ali farkları (4 − 1) ve (6 − 2) olarak, Ece ise (1 − 4) ve (2 − 6) olarak alıyor. İki öğrencinin bulduğu sonuçlar için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) İkisi de 5 bulur.
- B) Ali 5, Ece −5 bulur.
- C) Ali 7, Ece −7 bulur.
- D) İkisi de 7 bulur.
- E) Ali 5, Ece 25 bulur.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) İkisi de 5 bulur.
Uzaklık formülünde farkların karesi alındığı için çıkarma sırası sonucu değiştirmez: √(9 + 16) = 5. Uzaklık negatif olamaz; 7 ise farkların toplanmasıyla bulunur.
Kolay
17Sokakları birbirine dik olan bir mahallenin planı dik koordinat sistemine yerleştirilmiştir; sokaklar eksenlere paraleldir. Bir kurye A(−2, 1) noktasından B(10, 6) noktasına sokakları izleyerek, yani yalnız yatay ve dikey doğrultularda ilerleyerek en kısa yoldan gidiyor; bir dron ise aynı iki nokta arasında düz bir çizgi boyunca uçuyor. Kuryenin yolu dronun yolundan kaç birim uzundur?
- A) 4
- B) 5
- C) 12
- D) 13
- E) 17
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
Yatay fark |10 − (−2)| = 12, dikey fark |6 − 1| = 5 birimdir. Kurye 12 + 5 = 17 birim yol gider. Dronun yolu iki nokta arasındaki uzaklıktır: √(12² + 5²) = √169 = 13 birim. Fark 17 − 13 = 4 birimdir. 13 dronun, 17 kuryenin yoludur; 12 ve 5 ise yalnız yatay ve dikey farklardır.
Kolay
18Bir parkın planında daire biçimli bir süs havuzunun bir çapının uç noktaları A(−2, 3) ve B(4, 11) olarak işaretlenmiştir; birimler metredir. Havuzun yarıçapı kaç metredir?
- A) 4
- B) 5
- C) 7
- D) 10
- E) 14
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
Çapın uzunluğu iki nokta arasındaki uzaklıktır: |AB| = √((4 − (−2))² + (11 − 3)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m. Yarıçap çapın yarısıdır: 10 / 2 = 5 m. 10, çapın uzunluğudur; 14, farkların karesi alınmadan toplanmasından (6 + 8); 7 ise bu toplamın yarısından gelir.
Orta
19Bir kamp alanında üç çadır A(0, 0), B(3, 4) ve C(7, 1) noktalarına kurulmuştur; birimler metredir. Kamp sorumlusu çadırların direklerine ip gerip üçgen biçimli bir oyun alanı oluşturuyor. Oluşan ABC üçgeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Eşkenar üçgen
- B) Çeşitkenar dik üçgen
- C) İkizkenar dik üçgen
- D) İkizkenar geniş açılı üçgen
- E) Çeşitkenar dar açılı üçgen
Cevabı göster
Doğru cevap: C) İkizkenar dik üçgen
|AB| = √(9 + 16) = 5, |BC| = √(16 + 9) = 5, |AC| = √(49 + 1) = √50'dir. İki kenar eşit ve 5² + 5² = 50 = |AC|² olduğundan üçgen B köşesinde dik açılı, ikizkenar bir dik üçgendir. "İkizkenar geniş açılı üçgen" seçeneği, kenar karelerinin Pisagor bağıntısıyla karşılaştırılmamasından doğar.
Orta
20Bir koşu parkuru, A(3, −2) noktasından başlayıp düz bir çizgi boyunca B noktasına uzanıyor. Parkurun tam ortasındaki su istasyonu M(5, 1) noktasında bulunuyor. Parkurun bitiş noktası B aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (7, 4)
- B) (4, −1/2)
- C) (1, −5)
- D) (8, −1)
- E) (2, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (7, 4)
(3 + x)/2 = 5 ise x = 7; (−2 + y)/2 = 1 ise y = 4'tür, B(7, 4) bulunur. (4, −1/2) seçeneği, A ile M'nin orta noktasının hesaplanmasından doğar; M orta nokta olduğundan B, A'dan M'ye olan değişim kadar M'nin ötesindedir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.