10. Sınıf Matematik · Sayma, Algoritma ve Bilişim
Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı
- algoritma
- akış şeması
- sözde kod
- ortalama alarak yineleme yöntemi
- fonksiyonun sıfırı
- yaklaşık değer
Cebirsel işlemler algoritma olarak nasıl ifade edilir?
Cebirsel ve fonksiyonel işlemler, girdi, sıralı işlem adımları ve çıktıdan oluşan algoritmalar olarak akış şeması ya da sözde kodla ifade edilir. ax + b = 0 denklemini çözen algoritma a ve b'yi alır; a ≠ 0 ise x = −b/a çıktısını verir, a = 0 ise b'nin sıfır olup olmadığını ayrıca kontrol eder. Fonksiyon değeri hesaplamak da bir algoritmadır: f(x) = 2x² − 3 için x = 4 girilirse 29 çıktısı elde edilir. Ortalama alarak yineleme yönteminde f(a) ve f(b) zıt işaretliyse sıfır bu iki değer arasındadır; orta nokta alınır, işarete göre aralığın yarısı seçilir ve adımlar tekrarlanır. f(x) = x² − 2 için [1, 2] aralığından başlanınca adımlar sürdükçe sıfır √2 ≈ 1,414 değerine yaklaşır. Durma koşulu, aralığın genişliği istenen hassasiyetin altına inince sağlanır. Uç noktalardaki işaretler aynıysa yineleme yönteminin sonucu güvenilir değildir.
Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı: konu anlatımı ve özeti
Bir denklemi çözmek ya da bir fonksiyonun değerini hesaplamak da aslında adım adım ilerleyen bir algoritmadır. Bu konu, cebirsel işlemleri akış şeması ve sözde kodla ifade etmeyi ve sıfıra yaklaşarak çözüm bulan yöntemleri ele alır.
- Algoritma girdi, sıralı işlem adımları ve çıktıdan oluşur; akış şeması ya da sözde kodla yazılır.
- Örnek: ax + b = 0 denklemini çözen algoritma a ve b'yi alır; a ≠ 0 ise x = −b/a çıktısını verir, a = 0 ise ayrıca b'nin sıfır olup olmadığını kontrol eder.
- Fonksiyon değeri hesaplama da bir algoritmadır: f(x) = 2x² − 3 için x = 4 girilirse 2 · 16 − 3 = 29 çıktısı elde edilir.
- Ortalama alarak yineleme yöntemi: f(a) ve f(b) zıt işaretliyse sıfır bu iki değer arasındadır. Orta nokta m = (a + b)/2 alınır, işarete göre aralığın yarısı seçilir ve adımlar tekrarlanır.
- Örnek: f(x) = x² − 2, aralık [1, 2]: f(1) = −1, f(2) = 2. m = 1,5 için f = 0,25 > 0, yeni aralık [1; 1,5]. m = 1,25 için f = −0,4375 < 0, yeni aralık [1,25; 1,5]. Adımlar sürdükçe sıfır √2 ≈ 1,414'e yaklaşır.
- Durma koşulu, aralığın genişliği istenen hassasiyetin altına inince sağlanır.
Unutma: Yineleme yöntemi, aralığın uçlarında fonksiyon zıt işaretli değerler aldığında sıfırın arada olduğunu garanti eder; işaretler aynıysa sonuç güvenilir değildir.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Algoritmayı bir yemek tarifi gibi düşünebilirsin: malzemeler girdi, adımlar işlem, yemek çıktıdır.
İkiye bölme yöntemiyle f(x) = x² − 3 fonksiyonunun sıfırını [1, 2] aralığında arayalım:
- Uçlardaki değerleri hesapla: f(1) = −2, f(2) = 1. İşaretler zıt, sıfır aradadır.
- Orta nokta 1,5: f(1,5) = −0,75 < 0. Sıfır [1,5; 2] aralığındadır.
- Orta nokta 1,75: f(1,75) = 0,0625 > 0. Sıfır [1,5; 1,75] aralığındadır.
- Aralık yeterince daralana kadar devam et; değerler √3 ≈ 1,732'ye yaklaşır.
Günlük hayattan: Sözlükte bir kelime ararken ortadan açıp hangi yarıda olduğuna bakman da aynı stratejidir.
Sık yapılan hata: Orta noktadaki işarete bakmadan rastgele bir yarıyı seçmek ya da durma koşulu koymamak. Doğrusu: Her adımda işareti zıt olan uçla yeni aralık kurulur ve aralık genişliği hedef hassasiyetin altına inince durulur.
Derinleş
"1 ile 100 arasında tuttuğum sayıyı bul; her tahminine 'büyük' ya da 'küçük' diyeceğim" oyununu oyna. En kötü durumda en az kaç soruda bulunacağını ikiye bölme fikriyle açıkla ve 2⁷ = 128 sonucuyla ilişkilendir. Ardından ikiye bölme yöntemini bir hesap tablosunda ya da bildiğin bir programlama dilinde yaz; √5 değerini 0,001 hassasiyetle bulmak için kaç adım gerektiğini önceden tahmin edip sonucu karşılaştır.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.10.5.2Cebirsel ve fonksiyonel işlemleri algoritmik bir dille yapılandırabilme
- a) Karşılaşılan problem durumlarındaki cebirsel ve fonksiyonel işlemlerin algoritmik yapısını ortaya koyar.
- b) Ön bilgilerini kullanarak cebirsel ve fonksiyonel yapılar ile bu yapıların algoritmaları arasında uyumlu bir bütün oluşturur.
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Öğrenciler, kantin otomatı için bir akış şeması hazırlıyor. Şemada "Atılan para ürün fiyatından az mı?" sorusunun yanıtına göre otomatın iki farklı yola ayrıldığı bir adım bulunuyor. Bu adım akış şemasında genellikle hangi şekille gösterilir?
- A) Eşkenar dörtgen
- B) Dikdörtgen
- C) Elips
- D) Paralelkenar
- E) Daire
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Eşkenar dörtgen
Evet/hayır yanıtına göre dallanan karar adımları eşkenar dörtgen (baklava) biçimiyle gösterilir. Paralelkenar girdi ve çıktı adımları (paranın alınması, ürünün verilmesi gibi), dikdörtgen işlem adımları, elips ise başla ve bitir için kullanılır.
Kolay
2Bir bahçe tasarım uygulaması, kenarlarından biri x m, diğeri (x + 3) m olan dikdörtgen bir tarhın alanını şu algoritmayla hesaplıyor. Adım 1: x sayısını al. Adım 2: A ← x² + 3x Adım 3: A'yı yaz. Bu algoritmaya x = 2 girilirse çıktı kaç olur?
- A) 7
- B) 13
- C) 8
- D) 10
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 10
A = 2² + 3 · 2 = 4 + 6 = 10'dur; bu, kenarları 2 m ve 5 m olan tarhın alanıdır. 25 seçeneği, x² + 3x yerine (x + 3)² hesaplanmasından doğar.
Kolay
3Bir öğrenci, telefonundaki hesap makinesinin vergi dâhil fiyat özelliğini inceliyor. Önce ürünün fiyatı giriliyor; uygulama fiyatı vergi oranıyla çarpıp sonucu fiyata ekliyor ve ekrana toplam tutarı yazıyor. Bu süreçte algoritmanın temel bileşenleri hangi seçenekte doğru eşleştirilmiştir?
- A) Girdi: toplam tutar; adımlar: çarpma; çıktı: ürünün fiyatı
- B) Girdi: fiyat; adımlar: rastgele tahmin; çıktı: vergi oranı
- C) Girdi: ekran; adımlar: fiyatı yazma; çıktı: çarpma işlemi
- D) Girdi: fiyat; adımlar: çarpma ve toplama; çıktı: toplam tutar
- E) Girdi: vergi oranı; adımlar: ekrana yazma; çıktı: fiyat
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Girdi: fiyat; adımlar: çarpma ve toplama; çıktı: toplam tutar
Algoritma girdiyi (fiyat) alır, işlem adımlarını belirli bir sırayla uygular (çarpma, ardından toplama) ve bir çıktı üretir (toplam tutar). "Girdi: toplam tutar" seçeneği süreci tersine çevirir; toplam tutar işlemlerin sonunda elde edilen çıktıdır.
Kolay
4Bir mühendislik öğrencisi, bir köprü modelinde kirişin dengede kaldığı uzunluğu bulmak için ortalama alarak yineleme yöntemini kullanıyor. Ön hesaplar, aranan uzunluğun 2 m ile 6 m arasında olduğunu gösteriyor. Yöntemin ilk adımında denenecek uzunluk kaç metredir?
- A) 3
- B) 8
- C) 2
- D) 5
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 4
Yöntem her adımda aralığın orta noktasını dener: (2 + 6)/2 = 4 m. 8 seçeneği, uç değerlerin toplanıp ikiye bölünmemesinden doğar.
Kolay
5Bir öğrenci, kenar uzunlukları verilen bir dikdörtgenin alanını hesaplayan bir algoritma yazıyor. Bu algoritmada girdi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Dikdörtgenin kenar uzunlukları
- B) Hesaplanan alan değeri
- C) Kenarların çarpılması işlemi
- D) Sonucu ekrana yazdırma adımı
- E) Akış şemasındaki oklar
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Dikdörtgenin kenar uzunlukları
Algoritma girdi, sıralı işlem adımları ve çıktıdan oluşur; burada girdi kenar uzunluklarıdır. Alan değeri algoritmanın çıktısıdır, çarpma ise bir işlem adımıdır.
Kolay
6Bir program şu adımlarla çalışıyor: Adım 1: x sayısını al. Adım 2: x ≥ 0 ise √x'i yaz; değilse "Tanımsız" yaz. Program x = −4 girildiğinde ne yazar?
- A) 2
- B) −2
- C) 16
- D) 4
- E) Tanımsız
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Tanımsız
−4 < 0 olduğundan karar adımında "değilse" yolu izlenir ve "Tanımsız" yazılır. −2 cevabı, negatif sayının karekökünün alınabileceği yanılgısından doğar.
Kolay
7Bir sayı oyununun algoritması şöyledir: "x sayısını al, 3 ile çarp, sonuca 5 ekle, sonucu yaz." Oyunda ekranda 26 sayısı görünüyor. Oyuncunun girdiği sayı kaçtır?
- A) 93
- B) 21
- C) 31/3
- D) 7
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
3x + 5 = 26 ise 3x = 21 ve x = 7'dir; geri dönerken işlemler ters sırada ve ters işlemlerle yapılır. 31/3 cevabı, önce 3'e bölüp sonra 5 çıkarmak gibi sırayı karıştırmaktan doğar.
Kolay
8Bir öğrenci şu sözde kodu çalıştırıyor: S ← 0 i, 1'den 4'e kadar her değer için: S ← S + i S'yi yaz. Programın çıktısı kaçtır?
- A) 4
- B) 24
- C) 10
- D) 6
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 10
S sırasıyla 1, 3, 6 ve 10 değerlerini alır; çıktı 10'dur. 24 cevabı, toplama yerine çarpma yapılarak (4!) elde edilir.
Kolay
9Bir hesap makinesi uygulaması, ortalama alarak yineleme yöntemiyle bir denklemin kökünü arıyor ve aralığın genişliği istenen hassasiyetin altına inince duruyor. Bu algoritmada "aralığın genişliği istenen hassasiyetin altına inince durmak" neyi ifade eder?
- A) Algoritmanın durma koşulunu
- B) Algoritmanın girdisini
- C) Fonksiyonun kuralını
- D) Aralığın orta noktasını
- E) Fonksiyonun sıfırını
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Algoritmanın durma koşulunu
Yineleme adımlarının ne zaman biteceğini belirleyen kural durma koşuludur. Fonksiyonun sıfırı aranan değerdir, durma koşulu ise aramanın ne zaman yeterli sayılacağını belirtir.
Kolay
10Kodlama kulübünde Elif şu algoritmayı yazıyor: Adım 1: x sayısını al. Adım 2: a ← x² Adım 3: b ← 2x Adım 4: y ← a + b Adım 5: y'yi yaz. x = 3 girildiğinde algoritmanın çıktısı kaçtır?
- A) 9
- B) 15
- C) 6
- D) 12
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 15
a = 9, b = 6 ve y = 9 + 6 = 15'tir. 25 cevabı, işlemlerin (3 + 2)² biçiminde birleştirilmesinden doğar.
Kolay
11Bir öğrenci, f(x) = x² − 3 fonksiyonunun [1, 2] aralığındaki sıfırını ortalama alarak yineleme yöntemiyle bulmak istiyor. f(1) = −2 ve f(2) = 1'dir. Bu aralıkta yöntemi kullanmanın gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) f(1) ile f(2) eşittir.
- B) f(1) ile f(2) pozitiftir.
- C) Aralığın uzunluğu 1'dir.
- D) f(1,5) değeri sıfırdır.
- E) f(1) ile f(2) zıt işaretlidir.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) f(1) ile f(2) zıt işaretlidir.
Uç değerler zıt işaretliyse sıfır bu aralıktadır; yöntem bu garantiye dayanır. f(1,5) = −0,75 olduğundan sıfır değildir.
Kolay
12ax + b = 0 denklemini çözen bir algoritma, a ≠ 0 olduğunda x = −b/a çıktısını veriyor. Bir öğrenci algoritmaya a = 4 ve b = −12 değerlerini giriyor. Algoritmanın çıktısı kaçtır?
- A) −3
- B) 12
- C) 48
- D) 3
- E) 1/3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 3
x = −b/a = −(−12)/4 = 3 bulunur; kontrol: 4 · 3 − 12 = 0. −3 cevabı, b'nin işaretinin hesaba katılmamasından doğar.
Kolay
13Bir program, girilen sayıyı f(x) = 2x² − 3 kuralına göre işleyip ekrana yazıyor. Öğrenci programa x = −2 değerini giriyor. Program hangi sonucu yazar?
- A) −11
- B) 5
- C) 13
- D) 11
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
(−2)² = 4 olduğundan 2 · 4 − 3 = 5 bulunur. 13 cevabı, önce 2 ile −2'yi çarpıp sonra kare almaktan, yani (2x)² − 3 hesaplamaktan doğar.
Kolay
14Bir öğrenci, sürekli bir f fonksiyonunun bazı değerlerini hesaplıyor: x: 0, 1, 2, 3, 4 f(x): −6, −4, −1, 2, 7 Ortalama alarak yineleme yöntemine başlamak için sıfırı kesin olarak içeren aralık aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, 1]
- B) [1, 2]
- C) [2, 3]
- D) [3, 4]
- E) [0, 2]
Cevabı göster
Doğru cevap: C) [2, 3]
f(2) = −1 ve f(3) = 2 zıt işaretli olduğundan sıfır bu iki değer arasındadır. [0, 2] aralığında uçlardaki değerler (−6 ve −1) aynı işaretlidir.
Kolay
15Ortalama alarak yineleme yöntemiyle bir fonksiyonun sıfırı [3, 4] aralığında aranıyor. f(3) < 0, f(4) > 0 ve orta noktada f(3,5) > 0 bulunuyor. Bir sonraki adımda kullanılacak aralık aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [3,5; 4]
- B) [3; 4]
- C) [3,25; 3,5]
- D) [3,5; 4,5]
- E) [3; 3,5]
Cevabı göster
Doğru cevap: E) [3; 3,5]
f(3) < 0 ve f(3,5) > 0 zıt işaretli olduğundan sıfır [3; 3,5] aralığındadır. [3,5; 4] aralığının uçlarında değerler aynı işaretlidir.
Kolay
16Bir öğrenci üç sayının ortalamasını bulan sözde kodu yazıyor ama bir adımı eksik bırakıyor: Adım 1: a, b, c sayılarını al. Adım 2: T ← a + b + c Adım 3: ... Adım 4: Ort'u yaz. Adım 3'e yazılması gereken işlem aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Ort ← T · 3
- B) Ort ← T − 3
- C) T ← a · b · c
- D) Ort ← T / 3
- E) Ort ← a + b + c / 3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Ort ← T / 3
Ortalama, toplamın sayı adedine bölünmesidir: Ort ← T / 3. "a + b + c / 3" yazılışında işlem önceliği nedeniyle yalnızca c, 3'e bölünür.
Kolay
17Bir okulun not sistemi her öğrenci için şu koşulu denetliyor: "Dönem puanlarının ağırlıklı ortalaması en az 85 VE özürsüz devamsızlığı en çok 5 gün ise 'Takdir' yaz." Beş öğrencinin ağırlıklı ortalaması ve özürsüz devamsızlık gün sayısı şöyledir: Ada: 90 ve 3 gün Bora: 88 ve 7 gün Cem: 80 ve 2 gün Derin: 70 ve 9 gün Ece: 86 ve 5 gün Sistem kaç öğrenci için 'Takdir' yazar?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
"Ve" bağlacıyla kurulan koşul, iki koşul birlikte sağlandığında doğrudur. Ada (90 ≥ 85 ve 3 ≤ 5) ile Ece (86 ≥ 85 ve 5 ≤ 5) iki koşulu da sağlar. Bora'nın devamsızlığı 5 günden fazladır; Cem'in ortalaması 85'ten azdır; Derin iki koşulu da sağlamaz. Sistem 2 öğrenci için 'Takdir' yazar. 4, koşul "veya" bağlacıyla okunduğunda (koşullardan en az birini sağlayan Ada, Bora, Cem ve Ece); 3 ise yalnız ortalama koşuluna bakıldığında (Ada, Bora, Ece) bulunur.
Kolay
18Bir akış şemasında döngü "i = 3, 15, 3" biçiminde yazılmıştır. Bu gösterimde ilk sayı döngü değişkeninin başlangıç değerini, ikinci sayı bitiş değerini, üçüncü sayı ise her adımdaki artış miktarını gösterir. Döngünün içinde, i'nin aldığı her değer için bir kez "toplam = toplam + i" işlemi yapılıyor. Bu işlem toplam kaç kez yapılır?
- A) 5
- B) 6
- C) 12
- D) 13
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
i değişkeni 3'ten başlar, 3'er artar ve 15'i geçmez: 3, 6, 9, 12, 15. Döngü değişkeni 5 farklı değer aldığından işlem 5 kez yapılır. 13, artış miktarı 1 sanılarak (15 − 3 + 1); 12, bitiş ile başlangıç değerinin farkı alınarak; 15 ise yalnız bitiş değerine bakılarak bulunur.
Orta
19Bir kitap kulübünde her ay mevcut üyelerin her biri kulübe bir yeni üye getiriyor, ayrıca dışarıdan 3 kişi katılıyor. Bu nedenle bir ay sonraki üye sayısı, o ayki üye sayısı x için f(x) = 2x + 3 ile hesaplanıyor; kulüp 1 üyeyle kuruluyor ve her ayın çıktısı bir sonraki ayın girdisi oluyor. Üçüncü ayın sonunda kulübün üye sayısı kaçtır?
- A) 13
- B) 61
- C) 11
- D) 24
- E) 29
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 29
1. ay: 2 · 1 + 3 = 5; 2. ay: 2 · 5 + 3 = 13; 3. ay: 2 · 13 + 3 = 29 üye. 13 seçeneği ikinci ayın sonucudur; yinelemenin bir adım erken bırakılmasından doğar.
Orta
20Bir manav, portakalları kare katlardan oluşan bir piramit biçiminde diziyor: en üst katta 1, ikinci katta 4, üçüncü katta 9 portakal bulunuyor. Manav, 5 katlı yığındaki portakal sayısını aşağıdaki algoritmayla hesaplıyor. Adım 1: S ← 0 Adım 2: i, 1'den 5'e kadar birer artarak her değer için S ← S + i² işlemini yap. Adım 3: S'yi yaz. Algoritmanın çıktısı kaçtır?
- A) 15
- B) 25
- C) 30
- D) 225
- E) 55
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 55
Döngü kat kat toplar: S = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 portakal. 15 seçeneği, kareler yerine yalnızca i değerlerinin toplanmasından (1 + 2 + 3 + 4 + 5) doğar.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.