10. Sınıf Matematik · Sayılar

En Büyük Ortak Bölen-En Küçük Ortak Kat

EBOB
EKOK
ortak bölen
ortak kat
aralarında asal
asal çarpan

EBOB ve EKOK nasıl bulunur?

EBOB, verilen sayıların hepsini tam bölen en büyük sayı; EKOK ise verilen sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif sayıdır. Asal çarpan yönteminde EBOB ortak asalların küçük üslüleri, EKOK ise tüm asalların büyük üslüleri çarpılarak bulunur: 24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3² için EBOB 12, EKOK 72'dir. İki pozitif tam sayının çarpımı, EBOB ile EKOK'un çarpımına eşittir; 24 · 36 = 864 = 12 · 72. EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal denir ve bu durumda EKOK sayıların çarpımıdır, örneğin EKOK(8, 15) = 120. Kenarları 24 m ve 36 m olan bir alan en büyük eş karelere bölünürse karenin kenarı 12 m olur ve 6 kare elde edilir. 12 ve 18 dakikada bir kalkan iki otobüs birlikte kalktıktan 36 dakika sonra yine birlikte kalkar. En büyük parça ifadeleri EBOB'a, ilk kez yeniden birlikte ifadeleri EKOK'a işaret eder.

En Büyük Ortak Bölen-En Küçük Ortak Kat: konu anlatımı ve özeti

Ortak bölen ve ortak katlar, bir bütünü eşit parçalara bölme ya da tekrarlanan olayların yeniden aynı anda gerçekleşmesi gibi problemlerin temelidir.

EBOB, verilen sayıların hepsini tam bölen en büyük sayıdır. EKOK, verilen sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif sayıdır.
Asal çarpan yöntemi: 24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3². EBOB ortak asalların küçük üslüsüyle bulunur: 2² · 3 = 12. EKOK tüm asalların büyük üslüsüyle bulunur: 2³ · 3² = 72.
İki pozitif tam sayı için a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b): 24 · 36 = 864 = 12 · 72.
EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir; bu durumda EKOK, sayıların çarpımıdır: EKOK(8, 15) = 120.
EBOB problemi örneği: 24 m ve 36 m kenarlı dikdörtgen bir alan, en büyük eş karelere bölünecekse karenin kenarı 12 m olur ve 2 · 3 = 6 kare elde edilir.
EKOK problemi örneği: 12 ve 18 dakikada bir kalkan iki otobüs birlikte kalktıktan sonra 36 dakika sonra yine birlikte kalkar.

Unutma: "En büyük parça", "en az sayıda parça" ifadeleri EBOB'a; "ilk kez yeniden birlikte", "en küçük ortak süre" ifadeleri EKOK'a işaret eder.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Önce sorunun bölmek mi yoksa yeniden buluşmak mı istediğine karar ver.

Bir bütünü artık kalmadan en büyük eş parçalara ayırmak → EBOB.
Tekrarlanan olayların yeniden aynı anda olması → EKOK.

Günlük hayattan: 18 kırmızı ve 30 mavi kalem, renkler karışmadan her pakette eşit sayıda olacak şekilde paketlenecek. EBOB(18, 30) = 6 olduğundan her pakete 6 kalem konur ve 3 + 5 = 8 paket çıkar. Öte yandan 18 ve 30 saniyede bir yanan iki ışık, birlikte yandıktan EKOK(18, 30) = 90 saniye sonra yeniden birlikte yanar.

Sık yapılan hata: EKOK'u her zaman sayıların çarpımı sanmak (18 · 30 = 540). Doğrusu: Çarpım yalnızca sayılar aralarında asalsa EKOK'a eşittir; ortak çarpan varsa EKOK = çarpım / EBOB olur.

Derinleş

Bisikletlerde ve saatlerde birbirine geçen dişli çarkları düşün: 24 dişli ve 36 dişli iki çark başlangıçtaki konumlarına aynı anda kaç turda döner? Bu soruyu EKOK ile çöz, sonra bir bisikletin vites dişlilerini sayarak benzer bir hesap yap. Fizik ve teknoloji derslerindeki bilgilerinle dişli sayısı seçiminin aşınmayı nasıl etkileyebileceğini araştır; dişli sayılarının aralarında asal seçilmesinin bir avantajı olabilir mi, tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.3.2Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla
- a) Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla bunların en küçüğü arasındaki ilişkilere dair varsayımlarda bulunur.
- b) Farklı örneklerden elde ettiği örüntüleri listeleyerek varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
- ç) Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla bunların en küçüğü arasındaki ilişkilere dair elde ettiği genellemelere yönelik önermeler sunar.
- d) Sunduğu önermelerin gerçek yaşam durumları içeren problemlerdeki katkısını değerlendirir.
- e) Elde ettiği önermeler ile ilgili matematiksel doğrulama yöntemlerini seçer ve kullanır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Matematik kulübünde Aylin, aklından iki pozitif tam sayı tutuyor. Arkadaşlarına ipucu olarak bu sayıların EBOB'unun 6, EKOK'unun 72 olduğunu ve sayılardan birinin 18 olduğunu söylüyor. Aylin'in tuttuğu diğer sayı kaçtır?
- A) 12
- B) 36
- C) 24
- D) 4
- E) 54
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 24
İki sayının çarpımı EBOB ile EKOK'un çarpımına eşittir: 18 · x = 6 · 72 = 432, buradan x = 24 bulunur; gerçekten EBOB(18, 24) = 6 ve EKOK(18, 24) = 72'dir. 36'yı seçen öğrenci 72'nin 18'den sonraki bir bölenini tahmin etmiştir; ancak EBOB(18, 36) = 18 olur.
Kolay
2Bir dişli sisteminde, birbirine geçen iki dişlinin diş sayıları aralarında asal seçilirse bir dişlinin her dişi zamanla diğer dişlinin her dişiyle temas eder ve aşınma dengeli dağılır. Bir tasarımcı aşağıdaki diş sayısı çiftlerinden birini seçecek. Tasarımcının seçmesi gereken çift hangisidir?
- A) 14 ile 15
- B) 12 ile 18
- C) 21 ile 35
- D) 9 ile 15
- E) 16 ile 20
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 14 ile 15
Aralarında asal iki sayının 1'den başka ortak böleni yoktur: 14 = 2 · 7 ve 15 = 3 · 5 olduğundan EBOB(14, 15) = 1'dir. 9 ile 15 çifti iki tek sayıdan oluştuğu için seçilebilir; ancak ikisi de 3'e bölündüğünden aralarında asal değildir.
Kolay
3Bir okulun izcilik kulübünde 28 kız ve 42 erkek öğrenci var. Her grupta eşit sayıda kız ve eşit sayıda erkek olacak şekilde, hiçbir öğrenci açıkta kalmadan olabildiğince çok grup oluşturulacak. En çok kaç grup oluşturulabilir?
- A) 7
- B) 84
- C) 2
- D) 14
- E) 28
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 14
Grup sayısı hem 28'i hem 42'yi bölmelidir; en çok grup için ortak bölenlerin en büyüğü alınır: 28 = 2² · 7, 42 = 2 · 3 · 7 ve EBOB = 2 · 7 = 14. 84'ü seçen öğrenci EKOK'u hesaplamıştır; ancak grup sayısı öğrenci sayısından büyük olamaz.
Kolay
4İki otobüs hattının otobüsleri aynı duraktan sabah 07.00'de birlikte kalkıyor. Birinci hattın otobüsleri 6 dakikada bir, ikinci hattınkiler 10 dakikada bir kalkıyor. İki hattın otobüsleri en erken kaç dakika sonra yeniden birlikte kalkar?
- A) 60
- B) 30
- C) 2
- D) 16
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 30
Birlikte kalkış anı hem 6'nın hem 10'un katı olmalıdır; en erken an EKOK(6, 10) = 30 dakika sonradır. 60'ı seçen öğrenci 6 ile 10'u çarpmıştır; bu bir ortak kattır ama sayılar 2 ortak çarpanını paylaştığından en küçük ortak kat değildir.
Kolay
515 ve 20 sayılarının en küçük ortak katı kaçtır?
- A) 300
- B) 5
- C) 30
- D) 120
- E) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 60
15 = 3 · 5 ve 20 = 2² · 5 olduğundan EKOK = 2² · 3 · 5 = 60'tır. 300, iki sayının doğrudan çarpılmasıyla bulunur; sayılar aralarında asal olmadığı için bu EKOK değildir.
Kolay
6İki pozitif tam sayının EBOB'u 5, EKOK'u 60'tır. Bu iki sayının çarpımı kaçtır?
- A) 65
- B) 12
- C) 55
- D) 300
- E) 600
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 300
İki pozitif tam sayı için a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b) olduğundan çarpım 5 · 60 = 300'dür. 65, EBOB ile EKOK'un toplanmasıdır.
Kolay
736 = 2² · 3² ve 48 = 2⁴ · 3 olduğuna göre EBOB(36, 48) kaçtır?
- A) 144
- B) 6
- C) 4
- D) 12
- E) 36
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12
EBOB, ortak asal çarpanların küçük üslüleriyle bulunur: 2² · 3 = 12. 144, büyük üslülerin alınmasıyla (EKOK'a benzer bir yolla) hesaplanır.
Kolay
8Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
- A) 9 ve 21
- B) 14 ve 35
- C) 8 ve 15
- D) 12 ve 18
- E) 10 ve 25
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 8 ve 15
8 = 2³ ve 15 = 3 · 5'in ortak asal çarpanı yoktur; EBOB'ları 1'dir. 9 ve 21 ikisi de 3'e, 14 ve 35 ikisi de 7'ye bölündüğü için aralarında asal değildir.
Kolay
9a = 2³ · 3² · 5 ve b = 2² · 3³ · 7 olduğuna göre EBOB(a, b) kaçtır?
- A) 36
- B) 72
- C) 108
- D) 12
- E) 7560
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 36
Ortak asallar 2 ve 3'tür; küçük üsler alınınca 2² · 3² = 36 bulunur. 72 (2³ · 3²), 2 için büyük üssün alınmasıyla elde edilir.
Kolay
10a = 2³ · 3² · 5 ve b = 2² · 3³ · 7 olduğuna göre EKOK(a, b) kaçtır?
- A) 1080
- B) 36
- C) 7560
- D) 2520
- E) 15120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7560
EKOK, tüm asalların büyük üslüleriyle bulunur: 2³ · 3³ · 5 · 7 = 8 · 27 · 35 = 7560. 1080 (2³ · 3³ · 5) sonucu, yalnız bir sayıda bulunan 7'nin atlanmasından gelir.
Kolay
11Pozitif a ve b tam sayıları için aşağıdaki önermelerden hangisi her zaman doğrudur?
- A) EBOB(a, b), EKOK(a, b)'yi tam böler.
- B) EKOK(a, b), EBOB(a, b)'yi tam böler.
- C) EBOB(a, b) = a · b'dir.
- D) EKOK(a, b), a + b'ye eşittir.
- E) EBOB(a, b), a ile b'den büyüktür.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) EBOB(a, b), EKOK(a, b)'yi tam böler.
EBOB, a'yı böler; a da EKOK'u böler; bu yüzden EBOB her zaman EKOK'u böler. EKOK genellikle EBOB'dan büyük olduğundan EBOB'u bölmez.
Kolay
12Bir problemde “Dikdörtgen biçimli bir kartonu hiç artmayacak biçimde en büyük eş karelere ayırınız.” deniyor. Bu problemin çözümünde hangi kavram kullanılır?
- A) Kenar uzunluklarının EKOK'u
- B) Kenar uzunluklarının çarpımı
- C) Kenar uzunluklarının toplamı
- D) Kenar uzunluklarının EBOB'u
- E) Kartonun alanının bölen sayısı
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Kenar uzunluklarının EBOB'u
Karenin kenarı iki kenar uzunluğunu da tam bölmeli ve en büyük olmalıdır; bu EBOB'dur. EKOK, “ilk kez yeniden birlikte” gibi ortak kat gerektiren durumlarda kullanılır.
Kolay
13Bir odanın tabanı 360 cm'ye 480 cm boyutlarında dikdörtgendir. Taban, kesilmeden ve boşluk bırakılmadan olabildiğince büyük, eş kare karolarla kaplanacak. Kaç karo kullanılır?
- A) 120
- B) 24
- C) 6
- D) 48
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 12
Karonun kenarı EBOB(360, 480) = 120 cm'dir; 3 · 4 = 12 karo gerekir. 120, karo sayısı yerine karo kenarının yazılmasıdır.
Kolay
149 ve 14 sayılarının EKOK'u kaçtır?
- A) 63
- B) 42
- C) 126
- D) 1
- E) 252
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 126
9 = 3² ve 14 = 2 · 7'nin ortak asal çarpanı yoktur; aralarında asal oldukları için EKOK çarpımlarına eşittir: 126. 1, bu sayıların EBOB'udur.
Kolay
15Bir imalathanede 20 litre üzüm suyu ve 30 litre elma suyu, karıştırılmadan, hacmi tam sayı litre olan eşit ve olabildiğince büyük şişelere doldurulacak. Toplam kaç şişe kullanılır?
- A) 10
- B) 50
- C) 5
- D) 6
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5
Şişe hacmi EBOB(20, 30) = 10 litredir; 20/10 + 30/10 = 2 + 3 = 5 şişe kullanılır. 10, şişe sayısı yerine şişe hacminin verilmesidir.
Kolay
16Bir sahnedeki iki ışık aynı anda yanıp sönmeye başlıyor. Birinci ışık 4 saniyede bir, ikinci ışık 6 saniyede bir yanıyor. İki ışık en az kaç saniye sonra yeniden aynı anda yanar?
- A) 24
- B) 2
- C) 10
- D) 12
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12
Aynı anda yanma süresi 4 ve 6'nın ortak katı olmalıdır; en küçüğü EKOK(4, 6) = 12 saniyedir. 24, sayıların çarpımıdır ve ortak kat olsa da en küçük değildir.
Kolay
17Defne, birbirinden farklı iki pozitif tam sayı seçip bu sayıların pozitif ortak bölenlerini ve pozitif ortak katlarını listeliyor. Aynı işlemi başka sayı çiftleriyle yineleyerek genellemeler yapmaya çalışıyor. Buna göre Defne'nin aşağıdaki genellemelerinden hangisi seçilen her sayı çifti için doğrudur?
- A) Pozitif ortak bölenlerin en büyüğü, küçük olan sayıya eşittir.
- B) Pozitif ortak katların en küçüğü, iki sayının çarpımına eşittir.
- C) Pozitif ortak katların en büyüğü, iki sayının çarpımına eşittir.
- D) Pozitif ortak katların en küçüğü, büyük olan sayıya eşittir.
- E) Pozitif ortak bölenlerin en küçüğü, sayılar ne olursa olsun 1'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Pozitif ortak bölenlerin en küçüğü, sayılar ne olursa olsun 1'dir.
1 her doğal sayıyı böldüğünden her sayı çiftinin ortak bölenidir ve pozitif ortak bölenlerin en küçüğü her zaman 1'dir. EBOB yalnız küçük sayı büyük sayıyı böldüğünde küçük sayıya eşit olur (EBOB(4, 6) = 2). EKOK yalnız sayılar aralarında asal olduğunda çarpıma eşittir (EKOK(4, 6) = 12, çarpım 24); yalnız küçük sayı büyük sayıyı böldüğünde de büyük sayıya eşittir (EKOK(4, 6) = 12, büyük sayı 6). Ortak katlar sınırsızca devam ettiğinden en büyük ortak kat yoktur.
Kolay
18Bir marangoz, uzunlukları farklı iki çıtayı hiç artmayacak biçimde, eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor. Santimetre türünden tam sayı olan en büyük parça uzunluğunun 18 cm olduğunu hesaplıyor. Buna göre marangoz, iki çıtayı da hiç artmayacak biçimde aşağıdaki uzunlukların hangisinde eş parçalara ayırabilir?
- A) 4 cm
- B) 9 cm
- C) 12 cm
- D) 27 cm
- E) 36 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9 cm
İki çıtayı da artmadan bölen parça uzunlukları, uzunlukların ortak bölenleridir; bunların en büyüğü EBOB = 18'dir. İki sayının bütün ortak bölenleri EBOB'un bölenleridir: 1, 2, 3, 6, 9 ve 18. Şıklardan yalnız 9 bu listededir. 27 ve 36, en büyük ortak bölenden büyük olduğu için ortak bölen olamaz. 4 ya da 12 ortak bölen olsaydı uzunlukların ikisi de hem 4'e hem 9'a, yani 36'ya bölünürdü ve en büyük ortak bölen 18 değil en az 36 olurdu.
Orta
19Bir terzi atölyesinde uzunlukları 48 m, 72 m ve 60 m olan üç kumaş topu var. Kumaşlar hiç artmayacak biçimde, eşit uzunlukta ve olabildiğince uzun parçalara kesilecek. Toplam kaç parça elde edilir?
- A) 12
- B) 30
- C) 15
- D) 10
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 15
Parça uzunluğu üç uzunluğun da böleni olmalı ve en uzun olmalıdır: EBOB(48, 72, 60) = 12 m. Parça sayısı 48/12 + 72/12 + 60/12 = 4 + 6 + 5 = 15 olur. 12'yi seçen öğrenci parça uzunluğunu bulup parça sayısını hesaplamamıştır.
Orta
20Kenar uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan dikdörtgen kartonlar, hepsi aynı yönde ve aralarında boşluk kalmadan yan yana dizilerek bir kare oluşturulacak. Bu iş için en az kaç karton gerekir?
- A) 48
- B) 16
- C) 24
- D) 12
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12
Karenin kenarı hem 12'nin hem 16'nın katı olmalıdır; en küçük kare için EKOK(12, 16) = 48 cm alınır. Bir kenara 48/12 = 4, diğer kenara 48/16 = 3 karton sığar; toplam 4 · 3 = 12 karton gerekir. 48'i seçen öğrenci karenin kenar uzunluğunu karton sayısı sanmıştır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.