10. Sınıf Matematik · Sayılar

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları-Bölenleri

asal sayı
asal çarpan
asal çarpanlara ayırma
bölen
pozitif bölen sayısı
üslü gösterim

Bir sayının asal çarpanları ve bölen sayısı nasıl bulunur?

Bir doğal sayının asal çarpanları, sayının asal sayıların çarpımı olarak yazılmasıyla bulunur; 1'den büyük her doğal sayı sıralama dışında tek bir biçimde bu şekilde yazılabilir. Asal sayı, 1'den büyük olup yalnızca 1'e ve kendisine bölünen doğal sayıdır ve 2 tek çift asal sayıdır. Örneğin 360 = 2³ · 3² · 5 olduğundan 360'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bölenler, asal çarpanların tüm uygun çarpımları yazılarak bulunur; 12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Asal çarpanların üsleri birer artırılıp çarpılarak pozitif bölen sayısı hesaplanır: 360 için 4 · 3 · 2 = 24. Tam sayı bölenlerinin sayısı pozitif bölen sayısının iki katıdır, bu nedenle 360'ın 48 tam sayı böleni vardır. Asal çarpanlar EBOB, EKOK ve şifreleme gibi uygulamaların temelidir. 1 ne asal ne de bileşik sayıdır ve asal çarpanlar arasına yazılmaz.

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları-Bölenleri: konu anlatımı ve özeti

1'den büyük her doğal sayı, sıralama dışında tek bir biçimde asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bu yazılış, sayının bölenlerini düzenli biçimde bulmanın en güvenilir yoludur.

Asal sayı, 1'den büyük olup yalnızca 1'e ve kendisine bölünen doğal sayıdır: 2, 3, 5, 7, 11, ... 2 tek çift asal sayıdır.
Asal çarpanlara ayırma: 360 = 2³ · 3² · 5. Bu durumda 360'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
Bölenleri bulmak için asal çarpanların tüm uygun çarpımları yazılır: 12 = 2² · 3 olduğundan pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
Pozitif bölen sayısı: n = a^x · b^y · c^z ise pozitif bölen sayısı (x + 1)(y + 1)(z + 1) olur. 360 için 4 · 3 · 2 = 24.
Tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölen sayısının iki katıdır: 360'ın 48 tam sayı böleni vardır.
Asal çarpanlar, sayıların bölünebilmesini, EBOB ve EKOK hesabını ve şifreleme gibi uygulamaları anlamanın temelidir.

Unutma: 1 ne asal ne de bileşik sayıdır; asal çarpanları yazarken 1'i katma.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Asal çarpanlara ayırmayı bölme merdiveniyle düzenli yapabilirsin.

Sayıyı bölebildiğin en küçük asal sayıya böl.
Bölümü yeniden en küçük asal böleniyle bölmeye devam et.
Bölüm 1 olunca dur; soldaki bölenlerin çarpımı sayıyı verir.

Örnek: 84 → 2'ye bölünür (42) → 2'ye bölünür (21) → 3'e bölünür (7) → 7'ye bölünür (1). Yani 84 = 2² · 3 · 7 ve pozitif bölen sayısı (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12'dir.

Günlük hayattan: 84 öğrenciyi eşit gruplara ayırmanın kaç yolu olduğunu bölen sayısı söyler.

Sık yapılan hata: Bölen sayısını bulurken üsleri doğrudan çarpmak (2 · 1 · 1 = 2). Doğrusu: Her asal çarpan için 0'dan üssüne kadar seçim yapılır, bu yüzden her üsse 1 eklenip öyle çarpılır.

Derinleş

İnternette kullanılan bazı şifreleme yöntemleri, iki büyük asal sayıyı çarpmanın kolay ama çarpımı asal çarpanlarına ayırmanın çok zor olmasına dayanır. Bu fikri araştır ve küçük sayılarla dene: 7 ile 11'i çarpmak ne kadar sürüyor, 391'i asal çarpanlarına ayırmak ne kadar? Sayılar yüzlerce basamaklı olunca bu fark neden güvenlik sağlar? Bilişim dersindeki bilgilerinle ilişkilendirerek kısa bir açıklama yaz.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.3.1Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkilere dair çıkarım
- a) Bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri hakkında varsayımlarda bulunur.
- b) Farklı örneklerden elde ettiği örüntüleri listeleyerek bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri hakkındaki varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
- c) Oluşturduğu genellemelerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını örneklerle sınar.
- ç) Bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri ile ilgili ulaştığı sonuçlara yönelik matematiksel önermeler sunar.
- d) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam durumları içeren problemlerdeki kullanışlılığını değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir bahçıvan 72 fidanı, her sırada eşit sayıda fidan olacak şekilde dikdörtgen bir düzende dikecek. 72 = 2³ · 3² olduğunu bilen bahçıvan, sıra sayısı için kaç farklı seçeneği olduğunu (1 sıra ve 72 sıra da dâhil) hesaplıyor. Bahçıvanın bulduğu seçenek sayısı kaçtır?
- A) 10
- B) 6
- C) 5
- D) 24
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 12
Her sıra sayısı 72'nin bir pozitif bölenidir. 2³ · 3² sayısının pozitif bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımıdır: (3 + 1)(2 + 1) = 12. 6'yı seçen öğrenci üsleri doğrudan çarpmış, her asal çarpanın sıfırıncı kuvvetinin de (1 bölenini oluşturan) kullanılabileceğini hesaba katmamıştır.
Kolay
2Bir okulun 84 öğrencisi bir gezide eşit sayıda kişiden oluşan gruplara ayrılacak. Rehber öğretmen, olası grup büyüklüklerinin hepsini bulmak için önce 84'ü asal çarpanlarına ayırıyor. Öğretmenin bulduğu doğru ayrılış hangisidir?
- A) 2 · 3 · 7
- B) 2³ · 3 · 7
- C) 2² · 21
- D) 2 · 6 · 7
- E) 2² · 3 · 7
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2² · 3 · 7
84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2² · 3 · 7 olur; bu çarpımda yalnızca asal sayılar bulunur. 2² · 21 de 84'e eşittir, ancak 21 = 3 · 7 asal olmadığından asal çarpanlara ayrılış tamamlanmamıştır.
Kolay
3Bir şifre çözme etkinliğinde öğrencilere 210 sayısı veriliyor. Etkinliğin kuralına göre bu sayıyı oluşturan birbirinden farklı asal sayıların her biri için bir ipucu kartı açılacak. Kaç ipucu kartı açılır?
- A) 3
- B) 5
- C) 16
- D) 7
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 4
210 = 2 · 3 · 5 · 7 olduğundan birbirinden farklı dört asal çarpan vardır ve dört kart açılır. 16'yı seçen öğrenci asal çarpan sayısı yerine pozitif bölen sayısını, (1 + 1)⁴ = 16'yı bulmuştur.
Kolay
4Bazı ağustosböceği türleri toprak altında 13 ya da 17 yıl kalıp sonra topluca yüzeye çıkar; biyologlar, asal sayılı bu döngülerin avcıların döngüleriyle nadiren çakıştığını düşünüyor. Bir öğrenci, bilgisayar benzetiminde benzer bir model kurmak için gün cinsinden beş aday döngü uzunluğu belirliyor: 51, 57, 87, 91 ve 97. Bu adaylardan hangisi asal sayıdır?
- A) 51
- B) 57
- C) 97
- D) 87
- E) 91
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 97
97, kendisinin karekökünden (yaklaşık 9,8) küçük asal sayılar olan 2, 3, 5 ve 7'nin hiçbirine bölünmediği için asaldır. 91 sık seçilir, çünkü 2, 3 ve 5'e bölünmez; ancak 91 = 7 · 13'tür. Diğerleri de 3'e bölünür: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 87 = 3 · 29.
Kolay
5Bir kilitli dolabın şifresi, asal çarpanlarına ayrılmış biçimi 2² · 3 · 7 olan sayıdır. Şifre kaçtır?
- A) 42
- B) 12
- C) 168
- D) 63
- E) 84
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 84
2² · 3 · 7 = 4 · 3 · 7 = 84'tür. 42, 2'nin üssünün unutulmasıyla (2 · 3 · 7) bulunur.
Kolay
640 = 2³ · 5 sayısının tam sayı bölenlerinin (pozitif ve negatif) sayısı kaçtır?
- A) 8
- B) 12
- C) 16
- D) 6
- E) 32
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 16
Pozitif bölen sayısı (3 + 1)(1 + 1) = 8'dir; tam sayı bölenleri negatifleriyle birlikte bunun iki katı, yani 16'dır. 8 yalnız pozitif bölenlerin sayısıdır.
Kolay
7Bir sayı 2³ · 7² biçiminde asal çarpanlarına ayrılmıştır. Bu sayının pozitif bölen sayısı kaçtır?
- A) 6
- B) 5
- C) 12
- D) 7
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
Pozitif bölen sayısı (3 + 1)(2 + 1) = 12'dir. 6 sonucu üslerin çarpılmasından, 5 sonucu üslerin toplanmasından gelir.
Kolay
8Bir şifre oyununda, verilen sayının birbirinden farklı asal çarpanlarının toplamı şifreyi oluşturuyor. Verilen sayı 150'dir. Şifre kaçtır?
- A) 13
- B) 15
- C) 10
- D) 8
- E) 30
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 10
150 = 2 · 3 · 5² olduğundan farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir; toplamları 10'dur. 15, 5'in iki kez toplanmasıyla bulunur.
Kolay
948 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?
- A) 8
- B) 12
- C) 6
- D) 10
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 10
48 = 2⁴ · 3 olduğundan pozitif bölen sayısı (4 + 1)(1 + 1) = 10'dur. 8 sonucu, üslerin 1 artırılmadan çarpılıp (4 · 1) iki katına çıkarılmasından gelebilir.
Kolay
10Ceren, “Bütün asal sayılar tektir.” diyor. Aşağıdakilerden hangisi Ceren'in genellemesinin yanlış olduğunu gösteren bir örnektir?
- A) 2
- B) 9
- C) 15
- D) 1
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
2 asal olduğu hâlde çifttir; tek karşı örnek olarak genellemeyi çürütür. 9 ve 15 tek ama asal değildir, bu yüzden genellemeyi çürütmez.
Kolay
11Aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
- A) 1 sayısı ne asal ne de bileşik sayıdır.
- B) 1 sayısı en küçük asal sayıdır.
- C) 1 sayısı bileşik bir sayıdır.
- D) Her doğal sayının asal çarpanları arasında 1 vardır.
- E) 1 sayısının iki pozitif böleni vardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 1 sayısı ne asal ne de bileşik sayıdır.
Asal sayı 1'den büyük olmalıdır; 1'in yalnız bir pozitif böleni olduğu için bileşik de değildir. Asal çarpanlara ayırırken 1 yazılmaz.
Kolay
12Bir doğal sayının tam olarak iki pozitif böleni vardır. Bu sayı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Sayı asaldır.
- B) Sayı çifttir.
- C) Sayı bir tam karedir.
- D) Sayı 1'dir.
- E) Sayı bileşiktir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Sayı asaldır.
Yalnızca 1'e ve kendisine bölünen, 1'den büyük sayılar asaldır; tam olarak iki pozitif böleni olan sayılar bunlardır. 2 dışındaki asallar tek olduğundan sayının çift olması kesin değildir.
Kolay
13Bir öğretmen 18 öğrenciyi eşit sayıda kişiden oluşan gruplara ayırmak istiyor. Aşağıdakilerden hangisi olası bir grup büyüklüğü değildir?
- A) 4
- B) 2
- C) 3
- D) 6
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
Grup büyüklüğü 18'in pozitif böleni olmalıdır: 1, 2, 3, 6, 9, 18. 4 bu listede olmadığından 18 öğrenci 4'erli gruplara artmadan ayrılamaz.
Kolay
14Bir çiftçi 36 kg bulguru, her pakette kilogram türünden tam sayı olan eşit miktarda bulgur olacak biçimde paketleyecek. Tek paket ve 1'er kg'lık paketler de dâhil, paketteki bulgur miktarı için kaç farklı seçenek vardır?
- A) 8
- B) 9
- C) 6
- D) 18
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9
Paket miktarı 36'nın pozitif bölenidir; 36 = 2² · 3² olduğundan (2 + 1)(2 + 1) = 9 seçenek vardır. 6 sonucu, üslerin toplanmasından gelir.
Kolay
15180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2³ · 3 · 5
- B) 2² · 3² · 5
- C) 2² · 3 · 15
- D) 4 · 9 · 5
- E) 2 · 3² · 10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2² · 3² · 5
180 = 4 · 45 = 2² · 3² · 5'tir. 2² · 3 · 15 ve 4 · 9 · 5 yazılışlarında 15, 4 ve 9 asal olmadığından bunlar asal çarpanlara ayrılmış biçim değildir.
Kolay
16Bir bilgi yarışmasında yarışmacılardan asal sayı olan kartı seçmeleri isteniyor. Kartlarda 51, 57, 87, 91 ve 97 yazıyor. Hangi kart seçilmelidir?
- A) 91
- B) 87
- C) 57
- D) 51
- E) 97
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 97
97 yalnızca 1'e ve kendisine bölünür. 91 = 7 · 13, 87 = 3 · 29, 57 = 3 · 19, 51 = 3 · 17 olduğundan bunlar bileşiktir; 91 tek ve 3'e bölünmediği için sık sık asal sanılır.
Kolay
17Bir şifreleme oyununda alfabedeki harfler 2'den 30'a kadar numaralanıyor ve her harfin numarası şöyle şifreleniyor: sayı asal çarpanlarına ayrılır, asal çarpanlar küçükten büyüğe doğru yazılır ve her asal çarpanın hemen sağına üssü eklenir. Örneğin 15 = 3¹ · 5¹ olduğundan 15'in şifresi 3151, 25 = 5² olduğundan 25'in şifresi 52'dir. Buna göre şifresi 2231 olan harfin numarası kaçtır?
- A) 8
- B) 12
- C) 18
- D) 36
- E) 66
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 12
Şifre soldan sağa “asal çarpan, üs” çiftleri olarak okunur: 2231 → 2² · 3¹. Buna göre sayı 4 · 3 = 12'dir. Numaralar 2 ile 30 arasında olduğundan başka bir okuma (örneğin 223¹) geçerli değildir. 18, üslerin yeri karıştırılarak 2¹ · 3² biçiminde okunmasıyla; 36, iki üssün de 2 alınmasıyla; 8, rakamların toplanmasıyla; 66 ise 22 · 3 · 1 çarpımıyla elde edilen hatalı sonuçlardır.
Kolay
18Bir kasanın şifresi, iki asal sayının çarpımı olarak belirlenmiştir. Kasanın sahibi yalnızca bu iki asal sayının toplamının 45 olduğunu hatırlıyor. Buna göre kasanın şifresi kaçtır?
- A) 86
- B) 200
- C) 350
- D) 416
- E) 506
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 86
İki tek sayının toplamı çifttir. Toplam 45 tek sayı olduğundan asal sayılardan biri çift olmalıdır; tek çift asal sayı 2'dir. Öteki sayı 45 − 2 = 43'tür ve 43 asaldır (2, 3 ve 5'e bölünmez; 7² = 49 > 43). Şifre 2 · 43 = 86'dır. Öteki şıklar toplamı 45 olan ama ikisi birden asal olmayan çiftlerin çarpımlarıdır: 200 = 5 · 40, 350 = 10 · 35, 416 = 13 · 32, 506 = 22 · 23.
Orta
19Bir pastane, 2ᵃ · 3² adet kurabiyeyi her kutuda eşit sayıda kurabiye olacak biçimde kutulara paylaştırmak istiyor. Kullanılacak kutu sayısı için (1 kutu ve tüm kurabiyelerin tek tek kutulanması dâhil) 24 farklı seçenek olduğu hesaplanıyor. Buna göre a kaçtır?
- A) 7
- B) 8
- C) 6
- D) 5
- E) 11
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 7
Kutu sayısı seçenekleri sayının pozitif bölenleridir: (a + 1)(2 + 1) = 24, buradan a + 1 = 8 ve a = 7 bulunur. 8'i seçen öğrenci a + 1 = 8 eşitliğini bulmuş, ancak üssün kendisini değil üssün bir fazlasını cevap olarak yazmıştır.
Orta
20Bir lunapark mühendisi, dönme dolabın 360°'lik çemberine kabinleri eşit aralıklarla ve aralarındaki açı tam sayı derece olacak şekilde yerleştirmek istiyor. Mühendis, 360 = 2³ · 3² · 5 olduğunu biliyor. Aşağıdaki kabin sayılarından hangisiyle bu yerleştirme yapılamaz?
- A) 40
- B) 27
- C) 45
- D) 72
- E) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 27
Kabin sayısı 360'ın böleni olmalıdır. 27 = 3³'tür; 360'ın asal çarpanlarında 3'ün üssü yalnızca 2 olduğundan 27, 360'ı bölmez (360 / 27 ≈ 13,3). 72 = 2³ · 3² büyük görünse de üsleri 360'taki üsleri aşmadığından 360'ı böler.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.