10. Sınıf Matematik · Sayma, Algoritma ve Bilişim

Sayma Stratejileri

eşleştirme yoluyla sayma
toplama yoluyla sayma
çarpma yoluyla sayma
faktöriyel
sıralama
özdeş nesneler

Toplama ve çarpma yoluyla sayma nasıl yapılır?

Sayma stratejileri, olası durumların sayısını tek tek yazmadan bulmayı sağlayan eşleştirme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemleridir. Toplama yoluyla saymada ortak elemanı olmayan gruplardan yalnızca biri seçilir ve eleman sayıları toplanır: 4 roman ya da 3 hikâye kitabından biri 7 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla saymada her gruptan birer eleman seçilir ve sayılar çarpılır; aynı kitaplardan birer tane 12 şekilde seçilir. n faktöriyel, 1'den n'ye kadar ardışık tam sayıların çarpımıdır ve n farklı nesne n! şekilde sıralanır; 5 farklı kitap 120 şekilde dizilir. Özdeş nesneler varsa sıralama sayısı bölünür; ANNE kelimesinin harfleriyle 12 farklı dizilim yazılır. 4 birim sağa ve 2 birim yukarı giden en kısa yolların sayısı 15'tir. 7 bitlik kodlarla 128 farklı karakter gösterilebilir. Seçimler veya ile bağlanıyorsa toplanır, ve ile art arda yapılıyorsa çarpılır.

Sayma Stratejileri: konu anlatımı ve özeti

Olası durumların sayısını tek tek yazmadan bulmak; şifreler, güzergâhlar ve sıralamalar gibi pek çok problemi kolaylaştırır. Bu konu temel sayma yollarını ve sıralama sayısını hesaplamayı ele alır.

Eşleştirme yoluyla sayma: Nesneler 1, 2, 3, ... sayılarıyla bire bir eşlenerek sayılır.
Toplama yoluyla sayma: Ortak elemanı olmayan gruplardan yalnızca biri seçilecekse eleman sayıları toplanır. 4 roman ya da 3 hikâye kitabından biri 4 + 3 = 7 farklı şekilde seçilir.
Çarpma yoluyla sayma: Her gruptan birer eleman seçilecekse sayılar çarpılır. 4 romandan ve 3 hikâyeden birer tane 4 · 3 = 12 şekilde seçilir.
n faktöriyel, 1'den n'ye kadar ardışık tam sayıların çarpımıdır: n! = 1 · 2 · ... · n. n farklı nesne n! farklı şekilde sıralanır: 5 farklı kitap 5! = 120 şekilde dizilir.
Nesnelerin r tanesi özdeşse sıralama sayısı n!/r! olur. "ANNE" kelimesinin harfleriyle 4!/2! = 12 farklı dizilim yazılır.
En kısa yol problemi: 4 birim sağa ve 2 birim yukarı gidilecekse yol, 4 S ve 2 Y harfinin dizilişidir: 6!/(4! · 2!) = 15 farklı yol.
Kodlama örneği: Her biti 0 ya da 1 olan 7 bitlik kodlarla 2^7 = 128 farklı karakter gösterilebilir.

Unutma: Seçimler "veya" ile bağlanıyorsa topla, "ve" ile art arda yapılıyorsa çarp.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Sayma problemine başlamadan iki soru sor.

Seçimler "ve" ile mi bağlanıyor (her gruptan birer tane) yoksa "veya" ile mi (gruplardan yalnızca biri)? "Ve" ise çarp, "veya" ise topla.
Sıra önemli mi? Önemliyse sıralama sayısını, yani faktöriyeli düşün.

Günlük hayattan: 3 tişört, 2 pantolon ve 2 ayakkabıdan birer tane seçerek 3 · 2 · 2 = 12 farklı kombin hazırlanır. 4 arkadaş bir sıraya 4! = 24 farklı biçimde oturur.

Sık yapılan hata: Özdeş nesneleri farklıymış gibi saymak. Doğrusu: 1, 1, 2, 3 rakamlarıyla dört basamaklı sayı yazarken iki 1'in yer değiştirmesi yeni bir sayı oluşturmaz; 4! sonucu 2!'ye bölünür ve 12 farklı sayı elde edilir.

Derinleş

Dört haneli bir telefon kilidi ile harf ve rakamlardan oluşan sekiz karakterli bir şifrenin kaç farklı olasılığı olduğunu hesapla (26 harf ve 10 rakam kullanıldığını varsay). Bir bilgisayar saniyede bir milyon deneme yapabilseydi her birini en kötü durumda ne kadar sürede bulurdu? Sonuçlarına dayanarak hesapların için şifre seçerken hangi kuralları uygulayacağını yaz ve bu kurallar ile hatırlanabilirlik arasındaki dengeyi tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.5.1Sayma stratejileri kullanarak problem çözebilme
- a) Verilen sayma problemindeki sayılacak nesneleri belirler.
- b) Sayma problemlerinde yer alan nesneler arasındaki ilişkileri belirler.
- c) Problem durumlarındaki sözel ifadeleri görsel temsillere dönüştürür.
- ç) Problem durumlarını onlara eş olan başka problem durumlarıyla ya da uygun görsel, tablo veya cebirsel temsillerle yeniden ifade eder.
- d) Sayma problemlerindeki farklı durumlara uygun çözüm stratejisi oluşturur.
- e) Seçtiği çözüm stratejisini kullanır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Eylül'ün okul gezisi çantasında 5 farklı tişört ve 3 farklı pantolon var. Gezi boyunca her gün bir tişört ve bir pantolon giyecek ve aynı tişört-pantolon ikilisini iki kez giymek istemiyor. Eylül en fazla kaç gün farklı bir ikiliyle giyinebilir?
- A) 8
- B) 30
- C) 125
- D) 15
- E) 243
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 15
Her tişört her pantolonla eşleşebildiğinden çarpma yoluyla 5 · 3 = 15 farklı ikili vardır. 8 seçeneği, iki gruptan birlikte seçim yapılırken sayıların toplanmasından doğar; toplama yalnızca gruplardan biri seçildiğinde kullanılır.
Kolay
2Cuma akşamı film izleyecek olan Yusuf, izleme listesindeki 6 farklı film ve 5 farklı belgesel arasından yalnızca birini izleyecek kadar vakti olduğunu fark ediyor. Listede hem film hem belgesel sayılan bir yapım yok. Yusuf kaç farklı seçim yapabilir?
- A) 30
- B) 11
- C) 6
- D) 5
- E) 22
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 11
Ortak elemanı olmayan iki gruptan yalnızca biri seçileceği için toplama yoluyla sayılır: 6 + 5 = 11. 30 seçeneği, bir film ve bir belgesel birlikte seçiliyormuş gibi çarpma yapılmasından doğar.
Kolay
3Kütüphane görevlisi, yeni gelen birbirinden farklı 4 romanı vitrindeki rafa yan yana dizecek. Vitrini canlı tutmak için her gün dizilişi değiştirmek ve aynı dizilişi tekrar etmemek istiyor. Görevli en fazla kaç gün boyunca her gün farklı bir diziliş yapabilir?
- A) 16
- B) 12
- C) 24
- D) 4
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 24
İlk sıraya 4, ikinciye 3, üçüncüye 2, sonuncuya 1 kitap konabilir: 4! = 24 diziliş vardır. 16 seçeneği, her sıra için 4 seçenek varmış gibi 4 · 4 hesaplanmasından doğar; konan kitap tekrar kullanılamaz.
Kolay
4Bir akıllı ev sisteminde mutfak, salon ve koridor lambalarının her biri açık ya da kapalı olabiliyor. Sistem, üç lambanın her farklı açık-kapalı durumunu ayrı bir senaryo olarak kaydediyor. Sistem en fazla kaç farklı senaryo kaydedebilir?
- A) 6
- B) 9
- C) 3
- D) 4
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 8
Her lamba için 2 durum vardır: 2 · 2 · 2 = 2³ = 8 senaryo (hepsinin kapalı olduğu durum dâhil). 6 seçeneği, 2 · 3 hesaplanmasından doğar; üç ayrı lamba için iki durumun üç kez çarpılması gerekir.
Kolay
5Okul gösterisinde 5 öğrenci sahneye birer birer çıkıp şiir okuyacak. Öğrencilerin sahneye çıkış sırası kaç farklı şekilde belirlenebilir?
- A) 120
- B) 25
- C) 5
- D) 60
- E) 20
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 120
5 farklı öğrenci 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 farklı şekilde sıralanır. 25 cevabı, 5 · 5 yaparak aynı öğrencinin birden çok kez seçilebileceğini varsayar.
Kolay
6Kare biçimli sokaklardan oluşan bir mahallede Zeynep, evinden 2 sokak doğuda ve 3 sokak kuzeyde bulunan kütüphaneye yalnızca doğuya ya da kuzeye yürüyerek gidecek. Zeynep en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidebilir?
- A) 6
- B) 10
- C) 5
- D) 20
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10
Her yol 2 D ve 3 K harfinin bir dizilişidir: 5!/(2! · 3!) = 10. 6 cevabı, 2 · 3 çarpımının yol sayısı sanılmasından doğar.
Kolay
7Okul kantininde öğle menüsü için 3 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek ve 2 çeşit tatlı var. Her öğrenci her gruptan birer tane seçerek menüsünü oluşturuyor. Kaç farklı menü oluşturulabilir?
- A) 9
- B) 12
- C) 8
- D) 24
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 24
Her gruptan birer seçim art arda yapıldığı için sayılar çarpılır: 3 · 4 · 2 = 24. 9 cevabı, "ve" ile bağlanan seçimlerde toplama yapılmasından doğar.
Kolay
8Bir izci grubu kırmızı, sarı, yeşil ve mavi bayraklardan üçünü bir direğe yukarıdan aşağıya sırayla asarak işaret veriyor. Kaç farklı işaret oluşturulabilir?
- A) 4
- B) 12
- C) 64
- D) 24
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 24
İlk sıraya 4, ikinciye 3, üçüncüye 2 bayrak seçilebilir: 4 · 3 · 2 = 24. 64 cevabı, aynı bayrağın birden fazla kez kullanılabileceğini varsayar.
Kolay
9Bir sınıfta 6 kız ve 5 erkek öğrenci var. Sınıf başkanı kız öğrencilerden, başkan yardımcısı erkek öğrencilerden seçilecek. Bu iki görev için kaç farklı seçim yapılabilir?
- A) 11
- B) 60
- C) 30
- D) 110
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 30
Başkan 6, yardımcı 5 farklı şekilde seçilir ve iki seçim birlikte yapıldığı için çarpılır: 6 · 5 = 30. 11 cevabı, seçimlerden yalnızca biri yapılacakmış gibi toplama yapmaktır.
Kolay
10Bir pastanenin vitrininde 5 farklı bisküvi ve 4 farklı kek çeşidi var. Defne bu ürünlerden yalnızca bir tane alacak. Defne kaç farklı seçim yapabilir?
- A) 20
- B) 5
- C) 4
- D) 10
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 9
Defne bisküvi ya da kekten yalnızca birini seçeceği için seçenekler toplanır: 5 + 4 = 9. 20 cevabı, hem bisküvi hem kek alınacakmış gibi çarpma yapmaktan doğar.
Kolay
11Bir dolap kilidinin şifresi 3 hanelidir; her haneye 0–9 rakamlarından biri yazılabilir ve rakamlar tekrar edebilir. Kaç farklı şifre oluşturulabilir?
- A) 720
- B) 30
- C) 999
- D) 1000
- E) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1000
Her hane için 10 seçenek vardır: 10 · 10 · 10 = 1000. 720 cevabı, rakamların tekrar edemeyeceği varsayılarak 10 · 9 · 8 hesaplanmasından doğar.
Kolay
12Bir konser salonunda Elif'in elindeki biletlerin numaraları 12'den 30'a kadar ardışık sayılardır (12 ve 30 dâhil). Elif'in elinde kaç bilet vardır?
- A) 19
- B) 18
- C) 17
- D) 42
- E) 20
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 19
12, 13, ..., 30 sayıları 1, 2, ..., 19 sayılarıyla bire bir eşlenir: 30 − 12 + 1 = 19. 18 cevabı, yalnızca 30 − 12 farkını alıp başlangıç numarasını saymamaktan doğar.
Kolay
13Bir öğrenci, bir sayma probleminde 6!/4! ifadesiyle karşılaşıyor. Bu ifadenin değeri kaçtır?
- A) 2
- B) 30
- C) 24
- D) 120
- E) 1,5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 30
6!/4! = (6 · 5 · 4!)/4! = 6 · 5 = 30'dur. 1,5 cevabı, faktöriyel işareti yok sayılarak 6/4 hesaplanmasından doğar.
Kolay
14Bir kart okuyucu, her kartta 5 deliğin her birinin açık ya da kapalı olmasına göre kod okuyor. Bu sistemle kaç farklı kod oluşturulabilir?
- A) 10
- B) 25
- C) 32
- D) 5
- E) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 32
Her deliğin 2 durumu vardır ve 5 delik için seçimler çarpılır: 2⁵ = 32. 10 cevabı, 2 ile 5'in çarpılmasından doğar.
Kolay
15Bir kelime oyununda oyuncu S, E, B, Z, E harf kartlarının hepsini yan yana dizerek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli diziler oluşturuyor. İki E kartı birbirinin aynısıdır. Kaç farklı dizi oluşturulabilir?
- A) 120
- B) 24
- C) 30
- D) 10
- E) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 60
5 kart 5! = 120 şekilde dizilir; ancak iki özdeş E'nin yer değiştirmesi yeni dizi oluşturmadığından 5!/2! = 60 olur. 120 cevabı özdeş harfleri farklı saymaktan doğar.
Kolay
16Can'ın evi ile okulu arasında 3 farklı yol, okul ile kütüphane arasında 4 farklı yol vardır. Can evinden okula uğrayarak kütüphaneye kaç farklı yoldan gidebilir?
- A) 7
- B) 24
- C) 12
- D) 3
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
Önce evden okula 3, sonra okuldan kütüphaneye 4 yol seçilir; art arda seçimler çarpılır: 3 · 4 = 12. 7 cevabı, iki aşamanın toplanmasından doğar.
Kolay
17Sayıların kullanılmadığı bir dönemde bir çoban, sabah ağıldan çıkan her koyun için torbasına bir çakıl taşı koyuyor. Akşam ağıla giren her koyun için torbadan bir taş çıkarıyor ve bütün koyunlar girdikten sonra torbada 3 taş kaldığını görüyor. Eşleştirme yoluyla sayma yapan çoban bu durumdan hangi sonuca ulaşır?
- A) Sabah çıkan 3 koyun ağıla dönmemiştir.
- B) Akşam ağıla 3 koyun fazladan girmiştir.
- C) Sürüde toplam 3 koyun bulunmaktadır.
- D) Sabah ağıldan yalnızca 3 koyun çıkmıştır.
- E) Akşam ağıla yalnızca 3 koyun girmiştir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Sabah çıkan 3 koyun ağıla dönmemiştir.
Çoban her koyunu bir taşla bire bir eşlemiştir: sabah torbadaki taş sayısı çıkan koyun sayısına eşittir. Akşam her koyun için bir taş çıkarıldığına göre torbada kalan 3 taş, eşi olmayan, yani ağıla dönmeyen 3 koyunu gösterir. Ağıla fazladan koyun girseydi taşlar yetmez, torba koyunlar bitmeden boşalırdı. Kalan taş sayısı sürünün toplamını ya da ağıla giren koyun sayısını vermez.
Kolay
18Bir sokaktaki evlerin kapı numaraları 20'den 80'e kadar (20 ve 80 dâhil) olan çift sayılardır. Postacı, evleri saymak için her kapı numarasını yarısıyla eşleştiriyor: 20 → 10, 22 → 11, 24 → 12, …, 80 → 40. Bu sokakta kaç ev vardır?
- A) 29
- B) 30
- C) 31
- D) 60
- E) 61
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 31
Eşleştirme sonunda evler 10'dan 40'a kadar olan ardışık tam sayılarla bire bir eşlenir. Bu sayıların adedi 40 − 10 + 1 = 31'dir; sokakta 31 ev vardır. 30, uçlardan birinin sayılmamasından [(80 − 20)/2]; 61, 20 ile 80 arasındaki tek sayıların da sayılmasından (80 − 20 + 1); 60 ise yalnız 80 − 20 farkının alınmasından gelir.
Orta
19Kerem'in evi ile okulu arasındaki sokaklar kare biçimli bir ağ oluşturuyor. Okul, evin 3 sokak doğusunda ve 3 sokak kuzeyinde; Kerem her sabah yalnızca doğuya ya da kuzeye yürüyerek en kısa yoldan gidiyor. Kerem kaç farklı en kısa yol kullanabilir?
- A) 9
- B) 20
- C) 6
- D) 36
- E) 64
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 20
Her en kısa yol 3 D (doğu) ve 3 K (kuzey) adımının bir dizilişidir: 6! / (3! · 3!) = 720 / 36 = 20. 9 seçeneği, doğu ve kuzey adım sayılarının çarpılmasından doğar; adımların sırası hesaba katılmamıştır.
Orta
20Bir spor kulübü, sporcu formalarına 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamlarıyla üç basamaklı numaralar basacak. Karışıklık olmasın diye bir numarada aynı rakam birden fazla kullanılmayacak. Kaç farklı forma numarası oluşturulabilir?
- A) 125
- B) 10
- C) 20
- D) 15
- E) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 60
Yüzler basamağı için 5, onlar basamağı için 4, birler basamağı için 3 seçenek kalır: 5 · 4 · 3 = 60. 125 seçeneği, rakam tekrarına izin verilmiş gibi 5³ hesaplanmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.