Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.10.4.6Doğrusal, karesel, karekök, rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen

  • a) Bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenleri (nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri) belirler.
  • b) Bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenlerin aralarındaki ilişkileri belirler.
  • c) Bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklerin problem bağlamındaki temsillerini farklı temsillere dönüştürür.
  • ç) Dönüştürdüğü temsillerin problem bağlamındaki anlamını ifade eder.
  • e) Belirlediği stratejiyi kullanır.

1. Kolay

   1Bir mahallede iki bisiklet kiralama noktası var: birincisi x saat için f(x) = 20x + 10 TL, ikincisi g(x) = 10x + 40 TL ücret alıyor. Selim, iki noktanın aynı ücreti aldığı durumu bulmak için iki doğrunun grafiğini aynı eksende çiziyor. Grafiklerin kesim noktası (saat, ücret) olarak aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (70, 3)
   • BB) (3, 70)
   • CC) (3, 40)
   • DD) (5, 90)
   • EE) (4, 80)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) (3, 70)

   f(x) = g(x) için 20x + 10 = 10x + 40 ve x = 3'tür; f(3) = g(3) = 70 olduğundan kesim noktası (3, 70)'tir. (70, 3) seçeneği, koordinatların yerinin karıştırılmasından doğar; ilk koordinat saattir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir oyunda karakterin sıçrama yüksekliği, toplanan yıldız sayısı x olmak üzere h(x) = √(x − 1) metre ile hesaplanıyor. Oyuncu, karakterin tam 3 metre yükseklikteki bir platforma ulaşmasını istiyor. Bunun için kaç yıldız toplanmalıdır?

   • AA) 4
   • BB) 8
   • CC) 10
   • DD) 2
   • EE) 9
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 10

   √(x − 1) = 3 denkleminde iki tarafın karesi alınırsa x − 1 = 9 ve x = 10 bulunur; kontrol: √9 = 3. 4 seçeneği, kare almadan x − 1 = 3 yazılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Çevresi 14 m olan dikdörtgen biçimli bir sebze tarhının bir kenarı x m, diğer kenarı (7 − x) m'dir. Bahçıvan tarhın alanının 10 m² olmasını istiyor ve bu durumu x² − 7x + 10 = 0 denklemiyle ifade ediyor. Bu denklemin kökleri aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) −2 ve −5
   • BB) 1 ve 10
   • CC) −2 ve 5
   • DD) 2 ve 5
   • EE) 2 ve −5
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 2 ve 5

   x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) = 0 olduğundan kökler 2 ve 5'tir; tarhın kenarları 2 m ve 5 m olur (2 · 5 = 10). −2 ve −5 seçeneği, çarpanlardaki işaretlerin kökler için de aynen alınmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Kantinde tanesi 30 TL olan sandviçlerden almak isteyen Ece'nin 200 TL'si var; önce 50 TL'ye bir su şişesi alıyor. Ece'nin alabileceği sandviç sayısı x için 30x + 50 ≤ 200 eşitsizliği yazılıyor. Bu eşitsizliğin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) x ≤ 5
   • BB) x < 5
   • CC) x ≥ 5
   • DD) x ≤ 25/3
   • EE) x ≤ 6
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) x ≤ 5

   30x ≤ 150 ve x ≤ 5 bulunur; eşitlik durumunda para tam yeter, bu yüzden 5 sandviç de alınabilir. x < 5 seçeneği, "≤" işaretindeki eşitlik durumunu gözden kaçırmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir oyun salonunda giriş 5 TL, her oyun 2 TL'dir. x oyun oynayan bir çocuğun harcaması 2x + 5 TL olur. Annesi, harcamanın 17 TL'yi aştığı durumda uyarı veren bir uygulama kullanıyor. Uyarının verildiği x değerleri aşağıdaki eşitsizliklerden hangisiyle ifade edilir?

   • AA) x < 6
   • BB) x > 6
   • CC) x > 11
   • DD) x ≥ 6
   • EE) x > 8,5
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) x > 6

   2x + 5 > 17 ise 2x > 12 ve x > 6'dır. x ≥ 6 seçeneği, harcamanın tam 17 TL olduğu ve uyarı verilmeyen x = 6 durumunu da kapsar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir öğrenci, f ve g fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çiziyor ve grafiklerin yalnızca (−1, 2) ve (3, 10) noktalarında kesiştiğini görüyor. f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) {2, 10}
   • BB) {−1, 2, 3, 10}
   • CC) {−1, 10}
   • DD) {2, 3}
   • EE) {−1, 3}
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) {−1, 3}

   f(x) = g(x) denkleminin çözümleri kesişim noktalarının apsisleridir: −1 ve 3. {2, 10} cevabı, kesişim noktalarının ordinatlarını çözüm sanmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir oyunda karakterin zıplama yüksekliği √(x + 5) birimdir; x toplanan altın sayısıdır. Oyuncu karakterin tam 3 birim zıplamasını istiyor. √(x + 5) = 3 denkleminin çözümü kaçtır?

   • AA) 4
   • BB) 14
   • CC) −2
   • DD) 9
   • EE) 1
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 4

   İki tarafın karesi alınırsa x + 5 = 9 ve x = 4 bulunur; kontrol: √9 = 3. −2 cevabı, kare alınmadan 3'ten 5 çıkarılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Yerden yukarı atılan bir topun t saniye sonraki yüksekliği h(t) = −5t² + 10t metre ile modelleniyor. Top atıldıktan kaç saniye sonra yere düşer?

   • AA) 1
   • BB) 5
   • CC) 2
   • DD) 10
   • EE) 0,5
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 2

   h(t) = 0 için −5t(t − 2) = 0, t = 0 ya da t = 2 bulunur; t = 0 atılma anı olduğundan top 2. saniyede yere düşer. 1 saniye, topun en yükseğe çıktığı andır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir oyunda puan √x ile hesaplanıyor (x ≥ 0). Bir seviyede puanın 3'ü aşmaması gerekiyor. √x ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) x ≤ 9
   • BB) 0 ≤ x ≤ 9
   • CC) 0 ≤ x ≤ 3
   • DD) x ≤ 3
   • EE) x ≥ 9
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 0 ≤ x ≤ 9

   İki taraf negatif olmadığından kare alınabilir: x ≤ 9; kök içi için x ≥ 0 da gerekir, çözüm 0 ≤ x ≤ 9'dur. x ≤ 9 seçeneği, kökü tanımsız yapan negatif sayıları da içerir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir bilmece oyununda gizli sayı x için şu ipucu veriliyor: "x² − 7x + 10 = 0". Bu denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {−2, −5}
    • BB) {1, 10}
    • CC) {2, −5}
    • DD) {2, 5}
    • EE) {7, 10}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) {2, 5}

    x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) = 0 olduğundan kökler 2 ve 5'tir. {−2, −5} cevabı, çarpanlardaki işaretlerin kök olarak doğrudan alınmasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Ali'nin kumbarasında 100 TL var ve her hafta 20 TL ekliyor. Ece'nin kumbarasında 40 TL var ve her hafta 30 TL ekliyor. x hafta sonra Ali'nin parası 100 + 20x, Ece'nin parası 40 + 30x TL olur. Ece'nin parası en erken kaçıncı haftanın sonunda Ali'ninkini geçer?

    • AA) 6
    • BB) 3
    • CC) 7
    • DD) 4
    • EE) 14
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 7

    40 + 30x > 100 + 20x ise 10x > 60 ve x > 6'dır; en erken 7. hafta sonunda geçer. 6. haftada paralar eşittir (220 TL), geçme olmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    1212 litrelik bir meyve suyu, kendisi dâhil x + 1 kişiye eşit olarak paylaştırılıyor; kişi başına 12/(x + 1) litre düşüyor. Herkese 3 litre düştüğü biliniyor. x kaçtır?

    • AA) 4
    • BB) 9
    • CC) 35
    • DD) 3
    • EE) 1/3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 3

    12/(x + 1) = 3 ise x + 1 = 4 ve x = 3'tür. 4 cevabı, toplam kişi sayısıdır; x ise ona katılan diğer kişilerin sayısıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir öğrenci (x + 2)/(x − 5) = 0 denklemini çözüyor. Denklemin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 5
    • BB) 2
    • CC) −5
    • DD) 0
    • EE) −2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) −2

    Kesir, payı sıfır ve paydası sıfırdan farklıyken sıfırdır: x + 2 = 0, x = −2. x = 5 paydayı sıfır yapar ve kesri tanımsız kılar, çözüm olamaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir oyun alanında bir noktanın konumu x olmak üzere x² − 9 < 0 koşulu sağlandığında nokta "güvenli bölge" içinde sayılıyor. Güvenli bölgeye karşılık gelen x değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) x < −3 ya da x > 3
    • BB) x < 3
    • CC) −3 < x < 3
    • DD) x > −3
    • EE) 0 < x < 3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) −3 < x < 3

    x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ifadesi kökler arasında negatiftir; çözüm −3 < x < 3'tür. x < 3 seçeneği, karesel ifadeyi doğrusal gibi çözüp negatif kökü gözden kaçırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir bahçe tasarımında kenar uzunlukları için x² + 3x − 4 = 0 denklemi elde ediliyor. Bu denklemin kökleri aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 1 ve −4
    • BB) −1 ve 4
    • CC) 1 ve 4
    • DD) −1 ve −4
    • EE) 2 ve −2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 1 ve −4

    x² + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) = 0 olduğundan kökler 1 ve −4'tür. −1 ve 4 cevabı, çarpanlarda işaretlerin yer değiştirmesinden doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir öğrenci, f ve g fonksiyonlarının grafiklerini kullanarak f(x) > g(x) eşitsizliğini çözmek istiyor. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi grafikte neyi gösterir?

    • AA) g'nin grafiğinin f'ninkinin üstünde kaldığı x değerlerini
    • BB) İki grafiğin kesiştiği noktaların ordinatlarını
    • CC) f'nin grafiğinin x eksenini kestiği noktaları
    • DD) f'nin grafiğinin pozitif olduğu y değerlerini
    • EE) f'nin grafiğinin g'ninkinin üstünde kaldığı x değerlerini
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) f'nin grafiğinin g'ninkinin üstünde kaldığı x değerlerini

    f(x) > g(x), aynı x değerinde f'nin değerinin g'ninkinden büyük olması, yani f'nin grafiğinin üstte kalmasıdır. Kesişim noktaları ise f(x) = g(x) eşitliğinin çözümleridir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir öğrenci, çalışma kâğıdındaki beş ifadeden yalnızca birinin x = −2 için sağlandığını öğreniyor ve hangisi olduğunu bulmak için −2 değerini her birinde yerine yazarak deniyor. x = −2 değeri aşağıdakilerden hangisini sağlar?

    • AA) x² + x = 6
    • BB) 1/(x + 2) = 0
    • CC) 3x + 7 < 0
    • DD) x² − 4 > 0
    • EE) √(x + 6) = 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) √(x + 6) = 2

    x = −2 için √(−2 + 6) = √4 = 2 olduğundan bu eşitlik sağlanır. Diğerleri sağlanmaz: (−2)² + (−2) = 2 ≠ 6; 1/(x + 2) ifadesi x = −2 için tanımsızdır (ayrıca payı 1 olan bir kesir 0 olamaz); 3 · (−2) + 7 = 1 sayısı 0'dan küçük değildir; (−2)² − 4 = 0 sayısı 0'dan büyük değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir okulun konferans salonunda sıra sayısı, her sıradaki koltuk sayısından 1 eksiktir ve salonda toplam 56 koltuk vardır. Her sıradaki koltuk sayısı x ile gösterildiğinde x(x − 1) = 56 denklemi elde ediliyor. Buna göre her sırada kaç koltuk vardır?

    • AA) 6
    • BB) 7
    • CC) 8
    • DD) 9
    • EE) 14
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 8

    x(x − 1) = 56 ise x² − x − 56 = 0 ve (x − 8)(x + 7) = 0 olur; kökler 8 ve −7'dir. Koltuk sayısı negatif olamayacağından x = 8'dir. Kontrol: her sırada 8 koltuk, 7 sıra ve 8 · 7 = 56 koltuk. 7, sıra sayısıdır; soruda her sıradaki koltuk sayısı istenmektedir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir grafik yazılımı, f(x) = (x − 5)/(x + 1) değerinin negatif olmadığı x değerlerini sayı doğrusunda yeşile boyuyor. Payda sıfır olduğunda yazılım hata verip o noktayı boş bırakıyor. Yeşile boyanan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) x ≤ −1 ya da x ≥ 5
    • BB) −1 < x ≤ 5
    • CC) x < −1 ya da x ≥ 5
    • DD) x < −1 ya da x > 5
    • EE) x ≥ 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) x < −1 ya da x ≥ 5

    Pay x = 5'te, payda x = −1'de sıfırdır; ifade x < −1 ve x > 5 için pozitif, x = 5'te sıfırdır. Paydayı sıfır yapan −1 çözüme katılmaz: x < −1 ya da x ≥ 5. "x ≤ −1 ya da x ≥ 5" seçeneği, −1'de ifadenin tanımsız olduğunu gözden kaçırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir seramik atölyesi, haftada x vazo sattığında haftalık kârını K(x) = −x² + 40x − 300 yüz TL olarak tahmin ediyor. Az satışta sabit giderler kârı eritiyor; çok satışta ise fazla mesai ve malzeme maliyeti artıyor. Atölyenin kâr etmesi (K(x) > 0) için haftalık satış sayısı hangi aralıkta olmalıdır?

    • AA) x < 10 ya da x > 30
    • BB) 0 < x < 30
    • CC) 10 < x < 30
    • DD) 20 < x < 40
    • EE) 10 ≤ x ≤ 30
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 10 < x < 30

    −x² + 40x − 300 > 0 ise x² − 40x + 300 < 0, yani (x − 10)(x − 30) < 0'dır; ifade kökler arasında negatif olduğundan 10 < x < 30 bulunur. "x < 10 ya da x > 30" seçeneği, eşitsizlik −1 ile çarpılırken yönünün değiştirilmemesinden doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner