11. Sınıf Mantık · Modern (Sembolik) Mantık

Niceleme Mantığı

açık önerme
evren
özelleme
tümel niceleyici
tikel niceleyici
gerçekleme

Niceleme mantığı nedir ve niceleyiciler nasıl kullanılır?

Niceleme mantığı, önermelerin tümel ya da tikel oluşunu, yani niceliğini de sembollerle gösterebilen yüklemler mantığıdır. Önermeler mantığı “Bütün hayvanlar canlıdır.” ile “Bazı hayvanlar dört ayaklıdır.” önermelerini yalnız p ve q diye yazar, aradaki farkı gösteremez. Niceleme mantığında özneler a, b, c gibi ad sembolleriyle, yüklemler F, G, H ile gösterilir; “Filiz konuşkandır.” önermesi Fa biçiminde yazılır. İçinde x, y, z gibi değişken bulunan ve doğruluk değeri olmayan önermeye açık önerme denir. Değişkenin yerine konabilecek değerlerin kümesi evren, değişkene değer koyma işlemi özellemedir. Tümel niceleyici ∀ “her, bütün, hiçbir”, tikel niceleyici ∃ “bazı, kimi” anlamına gelir; “Her insan değerlidir.” önermesi ∀x(Fx⇒Gx) diye yazılır. Çözümleyici çizelgede tikel özelleme yapılırken o yolda daha önce geçmemiş yeni bir ad sembolü kullanılır; tümel özelleme ise yoldaki her ad için yapılabilir.

Niceleme Mantığı: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, önermelerin niceliğini de gösterebilmek için geliştirilen niceleme (yüklemler) mantığını anlatıyor. Önermeler mantığı “Bütün hayvanlar canlıdır.” ile “Bazı hayvanlar dört ayaklıdır.” önermelerini yalnız p ve q diye yazar; aradaki tümel-tikel farkını gösteremez.

Ad ve yüklem sembolleri: Özneler a, b, c ile, yüklemler F, G, H ile gösterilir. “Filiz konuşkandır.” önermesi Fa olur; “Gökhan ve Gül evlidir.” önermesi ikili yüklem Fab olur.
Açık önerme: İçinde x, y, z gibi değişken bulunan, doğruluk değeri olmayan önermedir: “x öğretmendir.”
Evren ve özelleme: Değişkenin yerine konabilecek değerlerin kümesine evren denir. Değişkene değer koymaya özelleme, önermeyi doğru kılan değere gerçekleme denir.
Niceleyiciler: Tümel niceleyici ∀ (her, bütün, hiçbir), tikel niceleyici ∃ (bazı, kimi). “Her insan değerlidir.” ∀x(Fx⇒Gx) diye yazılır.
Değer bulma: ∀ ile kurulan önermenin özellemeleri ∧ ile, ∃ ile kurulan önermeninkiler ∨ ile bağlanır. E: {kedi, aslan, yılan} için ∀x(x hayvandır) doğrudur.
Değilleme kuralları: ~∀xFx ≡ ∃x~Fx ve ~∃xFx ≡ ∀x~Fx.
Çözümleyici çizelge sırası: Önce niceleyici değilleme kuralları, sonra alt alta yazma, tikel özelleme, çatal açma, en son tümel özelleme uygulanır.

Unutma: Tikel özellemede o yolda daha önce geçmemiş yeni bir ad sembolü kullanılır; tümel özellemede ise yoldaki her ad için özelleme yapılabilir.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 13 Kasım 2026

Kitapta düzeltme

Ders kitabının bu konusundaki bazı bilgiler hatalı, güncel değil ya da çelişkili. Kitaptaki ifadeyi ve doğrusunu aşağıda görebilirsin.

Hata
Kitapta (s. 104): ~~∃x (x madendir) önermesi E: {defter, insan, kalem} evreninde “YvYvY≡D” olarak değerlendiriliyor.~~
Doğrusu: Bütün özellemeler yanlış olduğu için Y∨Y∨Y ≡ Y’dir. Tikel önerme ancak en az bir özelleme doğruysa doğru olur.
Hata
Kitapta (s. 107): ~~Tikel özelleme kuralında “∃xFx gibi bir tümel önermenin özellemesini yapmak için…” deniyor.~~
Doğrusu: ∃xFx tikel niceleyiciyle kurulmuş tikel bir önermedir. Tümel önerme ∀xFx biçimindedir.

Önce temeli pekiştir

Önermenin öznesini küçük harfle (a, b), yüklemini büyük harfle (F, G) yaz.
“Bütün/her/hiçbir” görürsen ∀, “bazı/kimi” görürsen ∃ kullan.
Verilen evrendeki her değeri yerine koy; ∀ için sonuçları “ve”, ∃ için “veya” ile bağla.

Günlük hayattan: “Sınıfta herkes geldi.” cümlesini öğretmen yoklama listesiyle denetler: her öğrenci için “geldi” doğruysa önerme doğrudur. Tek bir eksik ∀ önermesini yanlış yapar.

Sık yapılan hata: ∃ ile kurulan önermede bütün özellemeler yanlışken sonucu doğru saymak. Kitabın 104. sayfasında E: {defter, insan, kalem} için ∃x(x madendir) önermesine D verilmiş; Y∨Y∨Y yanlıştır, doğru değer Y’dir.

İpucu: ∀’yi “ve zinciri”, ∃’yi “veya zinciri” olarak düşün: ve zincirinde tek Y, veya zincirinde tek D sonucu belirler.

Derinleş

Kitaptaki etkinliği yap: ∀x(x katıdır) önermesinin E: {silgi, kalem, oksijen} evreninde, ∃x(x çift sayıdır) önermesinin E: {1, 3, 5, 7} evreninde doğruluk değerini bul. Sonra ilk önermenin değerini değiştirmek için evrenden hangi öğeyi çıkarman gerektiğini yaz. Düşün: Aynı açık önerme neden bir evrende doğru, başka bir evrende yanlış olabilir?

Bu konuda neler var?

Niceleyiciler ve Açık Önermeler
Yorumlama, Geçerlilik ve Tutarlılık
Çözümleyici Çizelge ile Denetleme

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Konu testini çöz

Kolay
1"Bazı öğrenciler sporcudur." önermesindeki "bazı" sözcüğünü karşılayan sembol aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ∀
- B) ~
- C) ⇔
- D) ∃
- E) ⇒
Cevabı göster
Doğru cevap: D) ∃
"Bazı, kimi" anlamını tikel niceleyici ∃ karşılar.
Kolay
2Niceleme mantığında "Handan doktordur." önermesi, Handan a, "doktordur" F ile gösterilirse nasıl yazılır?
- A) Fx
- B) ∀xFx
- C) Fa
- D) ∃xFa
- E) aF
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Fa
Niceleme mantığında önce yüklem sembolü, sonra ad sembolü yazılır: Fa.
Kolay
3"Osman öğretmen değildir." önermesi, Osman a, "öğretmendir" F ile gösterilirse nasıl yazılır?
- A) ∃x~Fx
- B) ~Fa
- C) Fa
- D) ~aF
- E) F~a
Cevabı göster
Doğru cevap: B) ~Fa
Olumsuz önermede değilleme işareti yüklem-ad bileşiminin başına konur: ~Fa.
Kolay
4"x öğretmendir." gibi içinde değişken bulunan ve bu hâliyle doğru ya da yanlış değer alamayan önermeye ne ad verilir?
- A) Bileşik önerme
- B) Kapalı önerme
- C) Açık önerme
- D) Tikel önerme
- E) Tümel önerme
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Açık önerme
İçinde x, y, z gibi değişken bulunan ve doğruluk değeri olmayan önermeye açık önerme denir.
Kolay
5Niceleme mantığında "her, bütün, hiçbir" sözcüklerini karşılayan niceleyici aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ∀ (tümel niceleyici)
- B) ⇒ (koşul eklemi)
- C) ∧ (tümel evetleme)
- D) ~ (değilleme)
- E) ∃ (tikel niceleyici)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) ∀ (tümel niceleyici)
Tümel niceleyici ∀ ile gösterilir ve "her, bütün, hiçbir" anlamlarını karşılar; ∃ ise "bazı, kimi" anlamındadır.
Kolay
6Bir değişkenin yerine konabilecek değerlerin oluşturduğu kümeye ne ad verilir?
- A) Niceleyici
- B) Evren
- C) Gerçekleme
- D) Yüklem
- E) Özelleme
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Evren
Değişkenin alabileceği değerlerin kümesi evrendir. Değişkene değer koymak özelleme, önermeyi doğru kılan değer gerçeklemedir.
Kolay
7"Gökhan ve Gül evlidir." önermesi niceleme mantığında nasıl yazılır?
- A) Fa ∨ Fb
- B) FaGb
- C) ∀xFx
- D) Fa ∧ Fb
- E) Fab
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Fab
Yüklem iki özneye birlikte ait olduğunda ikili yüklem kullanılır: Fab. Evlilik ilişkisi iki kişiyi birlikte nitelediği için ayrı ayrı Fa ∧ Fb yazılmaz.
Kolay
8Açık önermedeki değişkenin yerine evrenden bir değer koyma işlemine ne ad verilir?
- A) Gerçekleme
- B) Özelleme
- C) Değilleme
- D) Niceleme
- E) Evetleme
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Özelleme
Değişkene değer koymaya özelleme denir; özelleme önermeyi doğru kılıyorsa o değere gerçekleme denir.
Orta
9"Hiçbir öğrenci kopya çekmedi." önermesi ~∃xFx biçiminde yazılırsa buna denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ∃xFx
- B) ∃x~Fx
- C) ∀xFx
- D) ∀x~Fx
- E) ~∀xFx
Cevabı göster
Doğru cevap: D) ∀x~Fx
~∃xFx ≡ ∀x~Fx kuralına göre "kopya çeken hiç kimse yoktur" ile "her öğrenci kopya çekmemiştir" denktir.
Orta
10Önermeler mantığı "Bütün hayvanlar canlıdır." ve "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." önermelerini yalnız p ve q diye yazabilir. Niceleme mantığının geliştirilmesindeki temel neden aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Önermelerin tümel ya da tikel olduğunu sembolle gösterebilmek
- B) Hayalî varlıklar hakkında önerme kurabilmek
- C) Önermelerin zorunlu ya da mümkün olduğunu gösterebilmek
- D) Önermelere doğru ve yanlış dışında değer verebilmek
- E) Tartışmadaki karşı çıkışları sembolleştirebilmek
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Önermelerin tümel ya da tikel olduğunu sembolle gösterebilmek
Önermeler mantığı önermeleri bütün olarak sembolleştirir; niceliği gösteremez. Niceleme mantığı ∀ ve ∃ niceleyicileriyle tümel-tikel farkını gösterir.
Orta
11"Her insan değerlidir." önermesinin niceleme mantığındaki doğru sembolleştirmesi aşağıdakilerden hangisidir? (Fx: x insandır, Gx: x değerlidir.)
- A) ∀x(Fx ⇒ Gx)
- B) ∃x(Fx ⇒ Gx)
- C) ∀x(Fx ∧ Gx)
- D) ∀x(Gx ⇒ Fx)
- E) ∃x(Fx ∧ Gx)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) ∀x(Fx ⇒ Gx)
"Her insan değerlidir." önermesi "her x için, x insansa x değerlidir" biçiminde okunur: ∀x(Fx ⇒ Gx).
Orta
12~∀xFx önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ~∃x~Fx
- B) ∃xFx
- C) ∃x~Fx
- D) ∀xFx
- E) ∀x~Fx
Cevabı göster
Doğru cevap: C) ∃x~Fx
Niceleyici değilleme kuralına göre "her şeyin F olduğu doğru değildir" önermesi "F olmayan en az bir şey vardır" önermesine denktir: ~∀xFx ≡ ∃x~Fx.
Orta
13E: {kedi, aslan, yılan} evreninde ∀x(x hayvandır) önermesinin değeri nasıl bulunur?
- A) Özellemeler ∨ ile bağlanır; tümü yanlış olduğu için önerme yanlıştır.
- B) Özellemeler ⇒ ile bağlanır; ilki doğru olduğu için önerme doğrudur.
- C) Özellemeler ∧ ile bağlanır; tümü doğru olduğu için önerme doğrudur.
- D) Özellemeler ∧ ile bağlanır; biri yanlış olduğu için önerme yanlıştır.
- E) Özellemeler ∨ ile bağlanır; biri doğru olduğu için önerme doğrudur.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Özellemeler ∧ ile bağlanır; tümü doğru olduğu için önerme doğrudur.
∀ ile kurulan önermenin özellemeleri ∧ ile bağlanır. Kedi, aslan ve yılanın üçü de hayvan olduğundan üç özelleme de doğrudur ve önerme doğrudur.
Orta
14E: {2, 4, 7} evreninde ∃x(x tek sayıdır) önermesinin değeri ve nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Belirsizdir; açık önerme olduğu için değer almaz.
- B) Doğrudur; özellemeler ∨ ile bağlanır ve 7 tek sayıdır.
- C) Yanlıştır; özellemeler ∨ ile bağlanır ve tek sayı bulunmamaktadır.
- D) Yanlıştır; özellemeler ∧ ile bağlanır ve 2 tek değildir.
- E) Doğrudur; özellemeler ∧ ile bağlanır ve tümü tektir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Doğrudur; özellemeler ∨ ile bağlanır ve 7 tek sayıdır.
∃ ile kurulan önermenin özellemeleri ∨ ile bağlanır; en az biri doğruysa önerme doğrudur. 7 tek sayı olduğundan önerme doğrudur.
Orta
15"Canan, Mehmet ve Fatih kardeştir." önermesinin niceleme mantığındaki sembolleştirmesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) FaFbFc
- B) ∃xFabc
- C) Fab ∧ Fc
- D) Fa ∧ Fb ∧ Fc
- E) Fabc
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Fabc
Kardeşlik üç kişi arasında birlikte kurulan bir ilişki olduğundan üçlü yüklem kullanılır: Fabc.
Orta
16"Öğretmen güzel anlatırsa biz kolay öğreniriz." önermesinde öğretmen a, "güzel anlatır" F, "biz" b, "kolay öğreniriz" G ile gösterilirse önerme nasıl yazılır?
- A) Fa ⇔ Gb
- B) Fab ⇒ G
- C) Fa ∧ Gb
- D) Fa ⇒ Gb
- E) Gb ⇒ Fa
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Fa ⇒ Gb
Bileşik önermeler niceleme mantığında da aynı eklemlerle sembolleştirilir. Koşul bildiren önerme Fa ⇒ Gb biçiminde yazılır.
Zor
17Çözümleyici çizelge yönteminde aşağıdaki işlemler hangi sırayla uygulanır?
- A) Alt alta yazma, tümel özelleme, niceleyici değilleme, çatal açma, tikel özelleme
- B) Tikel özelleme, tümel özelleme, alt alta yazma, çatal açma, niceleyici değilleme
- C) Tümel özelleme, tikel özelleme, çatal açma, alt alta yazma, niceleyici değilleme
- D) Çatal açma, alt alta yazma, niceleyici değilleme, tümel özelleme, tikel özelleme
- E) Niceleyici değilleme, alt alta yazma, tikel özelleme, çatal açma, tümel özelleme
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Niceleyici değilleme, alt alta yazma, tikel özelleme, çatal açma, tümel özelleme
Sıra şöyledir: önce niceleyici değilleme kuralları, sonra alt alta yazma, tikel özelleme, çatal açma ve en son tümel özelleme.
Zor
18Bir çözümleyici çizelgede yolda a adı daha önce kullanılmıştır. Şimdi ∃xFx önermesine tikel özelleme uygulanacaktır. Bu durumda yapılması gereken aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Yoldaki bütün adlar için ayrı ayrı özelleme yapılır.
- B) Önce tümel özelleme yapılır, sonra a adı kullanılır.
- C) Yolda geçen a adı yeniden kullanılır ve önerme Fa diye yazılır.
- D) Yolda daha önce geçmemiş yeni bir ad (örneğin b) kullanılır: Fb.
- E) Tikel özelleme yapılmaz; önerme olduğu gibi bırakılır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Yolda daha önce geçmemiş yeni bir ad (örneğin b) kullanılır: Fb.
Tikel özellemede o yolda daha önce geçmemiş yeni bir ad kullanılmalıdır; çünkü "bazı x F'dir" bilgisi F olanın a olduğunu garanti etmez. Yoldaki her adı kullanmak tümel özellemeye özgüdür.
Zor
19E: {Ankara, İzmir, Rize} evreninde Fx: "x bir il merkezidir", Gx: "x denize kıyısı olan bir şehirdir." olsun. Aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
- A) ∃x(Fx ∧ ~Gx)
- B) ~∃xGx
- C) ∀x(Fx ⇒ Gx)
- D) ∀x~Fx
- E) ∀xGx
Cevabı göster
Doğru cevap: A) ∃x(Fx ∧ ~Gx)
Üç şehir de il merkezidir (F). İzmir ve Rize denize kıyıdır, Ankara değildir. Ankara için Fx ∧ ~Gx doğru olduğundan ∃x(Fx ∧ ~Gx) doğrudur. Ankara yüzünden ∀x(Fx ⇒ Gx) ve ∀xGx yanlıştır.
Zor
20"Her kuş uçar." önermesini çürütmek için bir öğrenci penguen örneğini veriyor. Öğrencinin yaptığı işlemin niceleme mantığındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ∀x(Gx ⇒ Fx) önermesini uçan bütün varlıklarla sınamak
- B) ∃x(Fx ∧ Gx) önermesini uçabilen herhangi bir kuşla gerçeklemek
- C) ~∃x~Fx önermesini kuş olmayan bir varlıkla gerçeklemek
- D) ∀x(Fx ⇒ Gx) önermesini bütün kuşlar için tek tek doğrulamak
- E) ∀x(Fx ⇒ Gx)'in değili olan ∃x(Fx ∧ ~Gx) önermesini gerçeklemek
Cevabı göster
Doğru cevap: E) ∀x(Fx ⇒ Gx)'in değili olan ∃x(Fx ∧ ~Gx) önermesini gerçeklemek
~∀x(Fx ⇒ Gx) ≡ ∃x~(Fx ⇒ Gx) ≡ ∃x(Fx ∧ ~Gx). Uçmayan bir kuş (penguen) bu tikel önermeyi doğru kılan bir gerçeklemedir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.