Trigonometrik Referans Fonksiyonlarından Türetilen Fonksiyonlar

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.11.3.1f(x)=sinx (x∈ℝ), f(x)=cosx (x∈ℝ), f(x)=tanx (x∈ℝ, x≠π/2+kπ, k∈ℤ ) ve f(x)=cotx (x∈ℝ, x≠kπ, k∈ℤ) şeklinde tanımlı trigonometrik referans fonksiyonların nitel özellikleri ile bu fonksiyonlardan türetilen [g(x) = k∙f(mx±r)±s (k, m, r, s ∈ ℝ, k≠0, m≠0)] trigonometrik fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme

  • b) Trigonometrik referans fonksiyonların nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
  • c) Trigonometrik referans fonksiyonları grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer trigonometrik fonksiyonlara dönüştürür.
  • ç) Trigonometrik referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların grafik temsilleri ile cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
  • d) Trigonometrik referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunur.
  • e) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek türetilen fonksiyonların nitel özellikleriyle ilgili örüntüleri geneller.
  • ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.

1. Kolay

   1Bir mühendis, kıyıdaki dalga yüksekliğini y = cos x eğrisiyle modellemiş. Ölçümlerin referans seviyesi değişince modeli y = cos x + 3 olarak güncellemesi gerekiyor; dalganın biçimi ve periyodu aynı kalıyor. y = cos x + 3 grafiği, y = cos x grafiğinin nasıl dönüştürülmesiyle elde edilir?

   • AA) 3 birim sağa ötelenerek
   • BB) 3 birim aşağı ötelenerek
   • CC) 3 birim sola ötelenerek
   • DD) 3 birim yukarı ötelenerek
   • EE) Dikey olarak 3 kat uzatılarak
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 3 birim yukarı ötelenerek

   Fonksiyonun sonuna +3 eklemek her y değerini 3 artırır, grafik 3 birim yukarı ötelenir. "Dikey olarak 3 kat uzatılarak" seçeneği, toplama ile çarpmanın karıştırılmasından doğar; 3 · cos x genliği değiştirirdi.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2İki hoparlör aynı sesi çalıyor; birinci hoparlörün sinyali y = sin x, ikinci hoparlörün sinyali ise biraz gecikmeli olduğundan y = sin(x − π/4) ile veriliyor. Teknisyen iki sinyalin grafiğini aynı ekranda üst üste çiziyor. İkinci sinyalin grafiği, birincinin nasıl ötelenmesiyle elde edilir?

   • AA) π/4 birim sola
   • BB) π/4 birim yukarı
   • CC) π/4 birim aşağı
   • DD) π/4 birim sağa
   • EE) 4 birim sağa
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) π/4 birim sağa

   x yerine x − π/4 yazmak grafiği π/4 birim sağa öteler; gecikmeli sinyal aynı değerleri daha sonra alır. "π/4 birim sola" seçeneği, eksi işareti görülünce grafiğin sola kaydığını sanmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir yaylı oyuncağın ucuna bağlı top, masa yüzeyinden ölçülen referans çizgisine göre f(t) = −5 · cos t + 1 cm konumunda bulunuyor; t saniyedir. Öğrenciler topun salınımının genliğini bulup videodaki ölçümleriyle karşılaştıracak. f fonksiyonunun genliği kaçtır?

   • AA) −5
   • BB) 5
   • CC) 1
   • DD) 6
   • EE) 10
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 5

   k · cos x + s biçimindeki fonksiyonun genliği |k|'dir: |−5| = 5. 10 seçeneği, en yüksek (6) ve en düşük (−4) konum arasındaki farkın genlik sanılmasından doğar; genlik bu farkın yarısıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir müzik uygulamasının ekranında beş farklı ses sinyali kurallarıyla birlikte gösteriliyor. Ekranda x ekseni boyunca bir tam dalganın π birimlik genişlikte göründüğü sinyal, kayıttaki tiz sesi temsil ediyor. Tiz sesi temsil eden sinyal aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) sin(x/2)
   • BB) sin(2x)
   • CC) 2 · sin x
   • DD) sin x + 2
   • EE) sin(x + π)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) sin(2x)

   sin(mx) fonksiyonunun periyodu 2π/|m|'dir; sin(2x) için 2π/2 = π olur. 2 · sin x seçeneği, katsayının periyodu değil genliği değiştirdiğinin gözden kaçırılmasından doğar; onun periyodu yine 2π'dir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Matematik yazılımında y = sin x grafiği çizilmiş. Öğrenci, s sürgüsünü −2 yaparak y = sin x − 2 grafiğini elde ediyor. Bu değişiklik, sin x grafiğine aşağıdaki dönüşümlerden hangisinin uygulanmasıdır?

   • AA) y ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleme
   • BB) x ekseni boyunca 2 birim sağa öteleme
   • CC) x ekseni boyunca 2 birim sola öteleme
   • DD) y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleme
   • EE) 2 kat dikey germe
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleme

   Fonksiyon değerinden 2 çıkarmak, her noktayı y ekseni boyunca 2 birim aşağı taşır. Sağa öteleme ise x yerine x − 2 yazıldığında olur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir öğrenci y = cos x grafiğindeki her noktanın ordinatını 3 ile çarparak y = 3 · cos x grafiğini çiziyor. Grafiğe uygulanan dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 3 kat dikey germe
   • BB) 3 kat yatay sıkıştırma
   • CC) 3 birim yukarı öteleme
   • DD) x eksenine göre yansıma
   • EE) 3 kat yatay germe
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 3 kat dikey germe

   Fonksiyon değerlerini 3 ile çarpmak grafiği dikey olarak 3 kat gerer. Yatay sıkıştırma, x değişkeni bir sayıyla çarpıldığında, yani cos(3x) biçiminde oluşur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir sahne ışığının yüksekliği gösteri boyunca h(x) = 3 · sin x + 2 metre ile modelleniyor. Işığın bulunabileceği yüksekliklerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) [−3, 3]
   • BB) [2, 5]
   • CC) [−1, 5]
   • DD) [−1, 3]
   • EE) [0, 5]
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) [−1, 5]

   k · sin x + s fonksiyonunun görüntü kümesi [s − |k|, s + |k|] olduğundan [2 − 3, 2 + 3] = [−1, 5] olur. [−3, 3] cevabı yukarı ötelemeyi (s = 2) hesaba katmaz.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Matematik yazılımında y = sin x grafiği çiziliyken s sürgüsü 4 yapılıyor ve y = sin x + 4 elde ediliyor. Bu değişiklik, sin x fonksiyonunun cebirsel temsili üzerinde hangi işlemin yapılmasıdır?

   • AA) Her x değerine 4 ekleme
   • BB) Fonksiyon değerini 4 ile çarpma
   • CC) Her x değerini 4 ile çarpma
   • DD) Her x için fonksiyon değerine 4 ekleme
   • EE) Fonksiyon değerinden 4 çıkarma
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) Her x için fonksiyon değerine 4 ekleme

   sin x + 4 ifadesinde sinüsün değeri hesaplandıktan sonra 4 eklenir; bu, grafiği 4 birim yukarı öteler. x değerine 4 eklemek ise sin(x + 4) biçimini verir ve yatay öteleme yapar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir kayıt cihazındaki sinyal g(x) = 3 · cos(2x) − 1 fonksiyonuyla veriliyor. Sinyalin grafiği y eksenini hangi noktada keser?

   • AA) (0, 2)
   • BB) (0, −1)
   • CC) (0, 3)
   • DD) (0, 4)
   • EE) (0, −4)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) (0, 2)

   g(0) = 3 · cos 0 − 1 = 3 − 1 = 2 olduğundan grafik y eksenini (0, 2) noktasında keser. (0, −1) cevabı cos 0 değerinin 0 sanılmasından gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir telefonun titreşim motorunun hareketi f(x) = sin(4x) fonksiyonuyla modelleniyor. Bu fonksiyonun esas periyodu kaçtır?

    • AA) 4π
    • BB) π/2
    • CC) π/4
    • DD) 2π
    • EE) 8π
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) π/2

    sin(mx) biçimindeki fonksiyonun periyodu 2π/|m| olduğundan 2π/4 = π/2 bulunur. 8π cevabı periyodun 2π ile m'nin çarpılmasından gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir öğrenci y = cos x grafiğini kullanarak y = cos(2x) grafiğini elde etmek istiyor. Uygulaması gereken dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 2 kat yatay germe
    • BB) 2 kat dikey germe
    • CC) 2 birim sola öteleme
    • DD) 2 birim yukarı öteleme
    • EE) 2 kat yatay sıkıştırma
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 2 kat yatay sıkıştırma

    x'in 2 ile çarpılması grafiği yatay olarak 2 kat sıkıştırır ve periyot 2π'den π'ye iner. Dikey germe ise 2 · cos x biçiminde olurdu.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir saat kulesinin sarkacının konumu f(x) = cos(x/3) ile modelleniyor. Bu fonksiyonun esas periyodu kaçtır?

    • AA) 2π/3
    • BB) 6π
    • CC) 3π
    • DD) π/3
    • EE) 2π
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 6π

    Periyot 2π/|m| = 2π/(1/3) = 6π olur. 2π/3 cevabı m = 3 alınarak bulunur; x/3 ifadesinde katsayı 1/3'tür.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir pistonun konumu f(x) = −3 · cos x santimetre ile modelleniyor. Pistonun alabileceği konum değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) [−3, 0]
    • BB) [0, 3]
    • CC) [−1, 1]
    • DD) [−3, 3]
    • EE) [−4, −2]
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) [−3, 3]

    Görüntü kümesi [s − |k|, s + |k|] = [0 − 3, 0 + 3] = [−3, 3] olur. k'nin negatif olması grafiği yansıtır, görüntü kümesini daraltmaz; [−3, 0] cevabı bu yanılgıdan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir grafik programında y = cos x grafiği seçilip bir komut uygulanınca ekranda y = −cos x grafiği beliriyor. Uygulanan komut aşağıdakilerden hangisi olabilir?

    • AA) y eksenine göre yansıt
    • BB) π birim yukarı ötele
    • CC) 1 birim aşağı ötele
    • DD) x eksenine göre yansıt
    • EE) 2 kat yatay sıkıştır
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) x eksenine göre yansıt

    k < 0 olduğunda her ordinatın işareti değişir; bu da grafiğin x eksenine göre yansımasıdır. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan y eksenine göre yansıtma grafiği değiştirmez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir öğretmen tahtaya şu özellikleri yazıyor: "Genliği 2, görüntü kümesi [1, 5] olan bir sinüs fonksiyonu." Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bu özelliklerin ikisini birden taşır?

    • AA) y = 3 · sin x + 2
    • BB) y = 2 · sin x + 1
    • CC) y = 2 · sin x + 3
    • DD) y = 5 · sin x + 1
    • EE) y = sin(2x) + 3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) y = 2 · sin x + 3

    Genlik |k| = 2'dir ve görüntü kümesi [3 − 2, 3 + 2] = [1, 5] olur. y = sin(2x) + 3 fonksiyonunda genlik 1'dir; 2 katsayısı yalnızca periyodu değiştirir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir dalga makinesinin ürettiği dalganın yüksekliği g(x) = 4 · sin(3x) + 1 desimetre ile modelleniyor. Dalganın ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç desimetredir?

    • AA) 4
    • BB) 1
    • CC) 3
    • DD) 13
    • EE) 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 5

    sin(3x)'in en büyük değeri 1 olduğundan en büyük değer 4 · 1 + 1 = 5 olur. m = 3 katsayısı periyodu değiştirir, en büyük değeri değiştirmez; 13 cevabı bu katsayının hesaba katılmasından gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir öğrenci matematik yazılımında y = sin x ve y = 3 · sin x grafiklerini aynı ekranda [0, 2π] aralığında çiziyor. Dikey germenin grafiği hangi noktalarda değiştirmediğini görmek istiyor. İki grafik bu aralıkta kaç noktada kesişir?

    • AA) 1
    • BB) 2
    • CC) 3
    • DD) 4
    • EE) 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 3

    Kesişim için sin x = 3 · sin x olmalıdır. Buradan 2 · sin x = 0, yani sin x = 0 bulunur. [0, 2π] aralığında x = 0, x = π ve x = 2π olmak üzere üç çözüm vardır. Dikey germe, ordinatı 0 olan noktaları değiştirmez. 2 sonucu, aralığın 2π ucunu saymamaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir grafik programında bir eğri orijin etrafında 180° döndürüldüğünde kendisiyle çakışıyorsa o eğrinin ait olduğu fonksiyon tek fonksiyondur. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği bu özelliği taşır?

    • AA) y = 3 · sin(2x)
    • BB) y = sin x + 1
    • CC) y = 2 · cos x
    • DD) y = cos(3x) − 1
    • EE) y = sin(x − π/2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) y = 3 · sin(2x)

    Tek fonksiyonda f(−x) = −f(x) olur. 3 · sin(−2x) = −3 · sin(2x) olduğundan y = 3 · sin(2x) tektir. y = sin x + 1 için x = 0'da değer 1'dir; tek fonksiyon orijinden geçmelidir. 2 · cos x ve cos(3x) − 1 çifttir. sin(x − π/2) = −cos x olduğundan o da çifttir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir deniz fenerinin ışık şiddeti, en parlak olduğu andan itibaren f(x) = cos(πx/3) modeliyle değişiyor; x saniyedir. Gemiciler, fenerleri ışığın aynı parlaklığa dönme süresinden tanıyor. f fonksiyonunun esas periyodu kaç saniyedir?

    • AA) 3
    • BB) 6
    • CC) 2π/3
    • DD) 6π
    • EE) 1/6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 6

    cos(mx) fonksiyonunun periyodu 2π/|m|'dir: 2π/(π/3) = 6 saniye. 2π/3 seçeneği, 2π'nin m ile bölünmesi yerine 2π'nin 3'e bölünmesinden, yani π çarpanının gözden kaçırılmasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir parktaki süs havuzunda fıskiyeden çıkan suyun yüksekliği h(x) = 3 − 2 · cos x metre ile modelleniyor; x, fıskiyenin bir çalışma döngüsünü gösteren açıdır ve [0, 2π) aralığında değişiyor. Görevli, suyun en yükseğe çıktığı anı fotoğraflamak istiyor. Su, x'in hangi değerinde en yüksek seviyeye ulaşır?

    • AA) 0
    • BB) π/2
    • CC) 3π/2
    • DD) π
    • EE) π/4
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) π

    −2 · cos x en büyük değerini cos x = −1 olduğunda alır; [0, 2π) aralığında bu x = π'dir ve h(π) = 3 + 2 = 5 m olur. 0 seçeneği, kosinüsün en büyük olduğu yerde h'nin de en büyük olacağını sanmaktan doğar; katsayı negatif olduğu için x = 0'da su en alçaktadır.

    Hata mı var? Düzeltme öner