Trigonometrik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklemler İçeren Problemler

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.11.3.2Trigonometrik fonksiyonlarla ifade edilebilen denklemleri içeren problemleri

  • a) Trigonometrik fonksiyonlarla ifade edilebilen denklemlere ilişkin matematiksel bileşenleri (denklemi oluşturan fonksiyonların nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri) belirler.
  • c) Trigonometrik fonksiyonlarla ifade edilebilen denklemlerin problem bağlamındaki temsillerini farklı temsillere dönüştürür.
  • ç) Dönüştürdüğü temsillerin problem bağlamındaki anlamını ifade eder.
  • d) Elde ettiği ve yorumladığı farklı temsillere dayalı olarak problemin çözümü için strateji oluşturur.
  • e) Belirlediği stratejiyi kullanır.

1. Kolay

   1Bir fizik laboratuvarında yaya bağlı bir cismin denge konumundan uzaklığı f(t) = 4 · sin(πt) cm ile modelleniyor; t saniyedir. Öğrenciler, cismin bir tam salınımı tamamlama süresini kronometreyle ölçüp modelin verdiği değerle karşılaştıracak. Modele göre cisim bir tam salınımı kaç saniyede tamamlar?

   • AA) 2
   • BB) 1/2
   • CC) π
   • DD) 4
   • EE) 1
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 2

   Periyot 2π/|m|'dir: 2π/π = 2 saniye. 4 seçeneği, genliğin (4 cm) salınım süresiyle karıştırılmasından doğar; genlik uzaklığın en büyük değerini, periyot ise süreyi verir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Yarıçapı 1 birim alınan bir dönme dolapta, kabinin dolap merkezi hizasına göre dikey konumu x dönme açısı için sin x ile veriliyor. Bir öğrenci, kabinin merkez hizasının 2 birim yukarısına çıktığı anları bulmak için sin x = 2 denklemini kuruyor. Bu denklemin gerçek sayılarda kaç çözümü vardır?

   • AA) 0
   • BB) 1
   • CC) 2
   • DD) 4
   • EE) Sonsuz sayıda
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 0

   Sinüsün görüntü kümesi [−1, 1]'dir; 2 bu aralıkta olmadığından denklemin çözümü yoktur. Kabin yarıçap 1 birim olduğu için hiçbir zaman merkezden 2 birim yükseğe çıkamaz. "Sonsuz sayıda" seçeneği, periyodik fonksiyonun her değeri sonsuz kez aldığını sanmaktan doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Dönen bir güvenlik kamerası, açısı x iken görüntüdeki yatay çizgilerin eğimini tan x olarak gösteriyor. Kamera aynı yönde durmadan döndüğü için mühendis, eğimin tam 1 olduğu bütün açıları tek bir formülle yazmak istiyor. Bu açıların genel ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? (k tam sayıdır.)

   • AA) x = π/4 + kπ
   • BB) x = π/4 + 2kπ
   • CC) x = π/2 + kπ
   • DD) x = −π/4 + kπ
   • EE) x = π/4 + kπ/2
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) x = π/4 + kπ

   tan(π/4) = 1'dir ve tanjantın periyodu π olduğundan bütün çözümler x = π/4 + kπ'dir. x = π/4 + 2kπ seçeneği, sinüs ve kosinüsteki 2π periyodunun kullanılmasından doğar; bu ifade 5π/4 gibi çözümleri dışarıda bırakır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir robot kolunun ucu, merkezi orijinde olan birim çember üzerinde dönüyor; kolun açısı x iken ucun yatay konumu cos x'tir. Kol ucu, dikey eksen üzerinde bulunduğu anlarda bir fotoğraf çekiyor. Kolun [0, 2π) aralığında fotoğraf çektiği açıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) {0, π}
   • BB) {π/2, 3π/2}
   • CC) {π/2}
   • DD) {π, 3π/2}
   • EE) {0, π/2}
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) {π/2, 3π/2}

   Uç dikey eksen üzerindeyken yatay konumu 0'dır: cos x = 0 denkleminin [0, 2π) aralığındaki çözümleri π/2 ve 3π/2'dir. {0, π} seçeneği, sinüs ile kosinüsün karıştırılmasından doğar; o açılarda uç yatay eksen üzerindedir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir titreşim düzeneğinde cos(2x) = 1 olduğunda bir ışık yanıyor. x ∈ [0, 2π) aralığında ışık kaç kez yanar?

   • AA) 1
   • BB) 3
   • CC) 4
   • DD) 2
   • EE) 0
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 2

   cos(2x) = 1 için 2x = 2kπ, yani x = kπ olur; [0, 2π) aralığında 0 ve π değerleri vardır. 1 cevabı, cos x = 1 denklemiyle aynı sayıda kök olacağını düşünmekten gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir sinyal işleme programı 2 · sin x − 1 = 0 denkleminin [0, π] aralığındaki köklerini bulup toplamlarını ekrana yazıyor. Ekranda hangi değer görünür?

   • AA) 2π/3
   • BB) π
   • CC) π/3
   • DD) 2π
   • EE) 5π/6
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) π

   Denklem sin x = 1/2 olur; kökler π/6 ve 5π/6'dır, toplamları π'dir. 5π/6 cevabı yalnız bir kökün yazılmasından gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir robot kolunun ucunun yatay konumu cos x ile veriliyor. Uç en sol konumdayken cos x = −1 olur. Bu denklemin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? (k tam sayı)

   • AA) x = 2kπ
   • BB) x = π/2 + kπ
   • CC) x = kπ
   • DD) x = π + 2kπ
   • EE) x = π + kπ
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) x = π + 2kπ

   cos x = −1 yalnızca (−1, 0) noktasında sağlanır; bu nokta π açısı ve onun 2π'nin katlarıyla ötelenmişleridir. x = kπ yazıldığında cos x = 1 olan değerler de çözüme katılmış olur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bir dönme dolapta kabinin merkez hizasına göre konumu sin x ile veriliyor; kabin en alt noktadayken sin x = −1 olur. Kabin x ∈ [0, 2π) aralığında hangi açıda en alt noktadadır?

   • AA) π
   • BB) π/2
   • CC) 2π
   • DD) 7π/4
   • EE) 3π/2
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 3π/2

   sin x = −1 denkleminin [0, 2π) aralığındaki tek kökü 3π/2'dir; birim çemberde (0, −1) noktasına karşılık gelir. π/2 en üst noktadır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir tekerleğin üzerindeki işaretin yatay konumu cos x ile modelleniyor. İşaret, başlangıçtaki konumuna yeniden geldiğinde cos x = 1 olur. Bu denklemi sağlayan en küçük pozitif x değeri kaçtır?

   • AA) π
   • BB) π/2
   • CC) 4π
   • DD) 3π/2
   • EE) 2π
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 2π

   cos x = 1 denkleminin çözümleri x = 2kπ'dir; en küçük pozitif çözüm 2π'dir. π cevabında cos π = −1 olur; işaret tam karşı taraftadır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir rampa tasarımında eğim tan x ile hesaplanıyor ve tasarımcı tan x = −1 olan açıyı arıyor. x ∈ [0, π) olduğuna göre bu açı kaçtır?

    • AA) π/4
    • BB) 3π/4
    • CC) 5π/4
    • DD) 7π/4
    • EE) π/2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 3π/4

    Tanjantın negatif olduğu ve [0, π) aralığında kalan bölge II. bölgedir; tan(3π/4) = −1'dir. π/4'te tanjant 1'dir; 7π/4 ise aralığın dışındadır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11İki fenerin ışık şiddetleri zamana bağlı olarak f(t) ve g(t) trigonometrik fonksiyonlarıyla modelleniyor. Bir öğrenci, iki fenerin ışık şiddetinin eşit olduğu anları grafik yardımıyla bulmak istiyor. Öğrencinin bulması gereken değerler aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) f ve g grafiklerinin kesim noktalarının apsisleri
    • BB) f grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsisleri
    • CC) g grafiğinin en yüksek noktalarının apsisleri
    • DD) f ve g grafiklerinin y eksenini kestiği noktalar
    • EE) f'nin en büyük ve g'nin en küçük değer noktaları
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) f ve g grafiklerinin kesim noktalarının apsisleri

    f(t) = g(t) denkleminin çözümleri, iki grafiğin kesiştiği noktaların apsisleridir. f'nin x eksenini kestiği noktalar f(t) = 0 denkleminin çözümüdür, eşitlik denkleminin değil.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    121915 Çanakkale Köprüsü'nün tabliyesi yazın denge konumundan 20 cm yukarı ve aşağı titreşiyor ve her titreşimi 6 saniyede tamamlıyor; bu durum f(t) = 20 · sin(πt/3) ile modelleniyor. Kışın titreşim süresi aynı kalıyor ancak tabliye dengeden yalnızca 10 cm uzaklaşıyor. Kış modeli aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) f(t) = 10 · sin(πt/6)
    • BB) f(t) = 20 · sin(πt/6)
    • CC) f(t) = 10 · sin(3πt)
    • DD) f(t) = 10 · sin(πt/3)
    • EE) f(t) = 5 · sin(πt/3)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) f(t) = 10 · sin(πt/3)

    Genlik 10 cm olur; periyot değişmediği için B = 2π/6 = π/3 aynı kalır. 5 · sin(πt/3) cevabı, uçlar arası 10 cm sanılarak genliğin yarıya indirilmesinden gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13İki dekoratif lambanın parlaklığı sin x ve cos x ile değişiyor. Lambaların parlaklığı x ∈ [0, π) aralığında hangi açıda eşit olur?

    • AA) π/4
    • BB) π/2
    • CC) 3π/4
    • DD) π/3
    • EE) 0
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) π/4

    sin x = cos x eşitliği birim çemberde apsis ile ordinatın eşit olduğu noktalarda sağlanır; [0, π) aralığında bu nokta π/4'tür. 3π/4'te sin x = √2/2, cos x = −√2/2 olduğundan değerler eşit değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir güneş paneli düzeneği, panelin açısı x iken cos x = √3/2 olduğunda en verimli konuma geliyor. Düzenek yalnızca bir tam tur içinde, yani [0, 2π) aralığında çalıştığına göre panelin en verimli olduğu açıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {π/6, 5π/6}
    • BB) {π/3, 5π/3}
    • CC) {π/6, 7π/6}
    • DD) {11π/6}
    • EE) {π/6, 11π/6}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) {π/6, 11π/6}

    cos x = √3/2 için θ = π/6'dır; kosinüste kökler θ ve −θ'nın esas ölçüsü, yani π/6 ve 11π/6'dır. {π/6, 5π/6} sinüs denkleminin kök yapısıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir sarkacın denge konumundan uzaklığı f(x) = sin x ile modelleniyor. Sarkacın denge konumunda olduğu, yani sin x = 0 olan açıların [0, 2π) aralığındaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {π/2, 3π/2}
    • BB) {0, π, 2π}
    • CC) {0, π}
    • DD) {0}
    • EE) {π}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) {0, π}

    Birim çemberde ordinatın 0 olduğu noktalar (1, 0) ve (−1, 0)'dır; bunlar 0 ve π açılarına karşılık gelir. 2π aralığa dahil değildir; {π/2, 3π/2} ise kosinüsün sıfırlarıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Dönen bir kameranın görüş doğrusunun eğimi tan x ile hesaplanıyor. Eğimin √3 olduğu bütün açıları veren genel çözüm aşağıdakilerden hangisidir? (k tam sayı)

    • AA) x = π/3 + 2kπ
    • BB) x = π/6 + kπ
    • CC) x = π/3 + kπ/2
    • DD) x = π/3 + kπ
    • EE) x = 2π/3 + kπ
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) x = π/3 + kπ

    tan x = a için genel çözüm x = θ + kπ'dir ve tan(π/3) = √3'tür. x = π/3 + 2kπ yazmak, tanjantın periyodunun π olduğunu unutup 4π/3 gibi kökleri kaçırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir hesap makinesi, sin x = 0,8 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinden yalnız birini x ≈ 0,93 radyan olarak gösteriyor. π ≈ 3,14 alındığına göre aynı aralıktaki öbür kök yaklaşık kaç radyandır?

    • AA) 0,64
    • BB) 2,21
    • CC) 2,50
    • DD) 4,07
    • EE) 5,35
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 2,21

    sin x = a denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökleri θ ve π − θ'dır. Öbür kök 3,14 − 0,93 = 2,21 radyandır. 4,07 = π + θ ve 5,35 = 2π − θ değerleri III. ve IV. bölgededir; bu açılarda sinüs negatiftir. 0,64 ve 2,50 ise π/2 ile işlem yapmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Dönen bir kolun açısı x iken sin x = 1/2 olduğunda bir zil çalıyor. Kol hiç durmadan pozitif yönde dönüyor ve ikinci turunu, yani x ∈ [2π, 4π) aralığını tamamlıyor. Zil bu ikinci turda hangi açılarda çalar?

    • AA) {13π/6, 17π/6}
    • BB) {π/6, 5π/6}
    • CC) {13π/6, 23π/6}
    • DD) {7π/6, 11π/6}
    • EE) {19π/6, 23π/6}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) {13π/6, 17π/6}

    Genel çözüm x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ'dir. k = 1 için x = 13π/6 ve x = 17π/6 bulunur; ikisi de [2π, 4π) aralığındadır. {π/6, 5π/6} birinci turun kökleridir. 19π/6 ve 23π/6 açılarında, tıpkı 7π/6 ve 11π/6 açılarında olduğu gibi, sinüs −1/2'dir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Denge konumundan pozitif yönde hareket etmeye başlayan bir salıncak oturağının en uç iki noktası arasındaki uzaklık 16 cm'dir ve oturak bir tam salınımı 6 saniyede tamamlıyor. Oturağın konumu f(t) = A · sin(Bt) biçiminde modellenecek; t saniyedir. Bu durumu doğru modelleyen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) f(t) = 16 · sin(πt/3)
    • BB) f(t) = 8 · sin(6t)
    • CC) f(t) = 8 · sin(πt/3)
    • DD) f(t) = 8 · sin(πt/6)
    • EE) f(t) = 6 · sin(πt/4)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) f(t) = 8 · sin(πt/3)

    Uç noktalar arası 16 cm ise genlik A = 8'dir; periyot 2π/B = 6 ise B = π/3'tür ve f(t) = 8 · sin(πt/3) olur. 16 · sin(πt/3) seçeneği, iki uç arasındaki uzaklığın genlik sanılmasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir dönme dolabın merkezi orijine, yarıçapı 1 birim olarak alınıyor; kabinin dönme açısı x iken yatay konumu cos x oluyor. Görevli, kabinin merkezin solunda ve merkeze yatay uzaklığı yarıçapın yarısı kadar olduğu anları arıyor. Bu anlara karşılık gelen [0, 2π) aralığındaki açıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {2π/3, 4π/3}
    • BB) {π/3, 5π/3}
    • CC) {2π/3, 5π/3}
    • DD) {π/3, 2π/3}
    • EE) {4π/3, 5π/3}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) {2π/3, 4π/3}

    Kabin merkezin solunda olduğundan cos x = −1/2'dir; kosinüs II. ve III. bölgede negatiftir ve çözümler 2π/3 ile 4π/3'tür. {π/3, 5π/3} seçeneği, cos x = 1/2 denkleminin çözülmesinden, yani "solunda" bilgisinin işarete yansıtılmamasından doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner