11. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler (1)

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

birim çember
yönlü açı
radyan
esas ölçü
sinüs
kosinüs
tanjant
periyot

Birim çemberde trigonometrik fonksiyonlar nasıl tanımlanır?

Trigonometrik fonksiyonlar, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan birim çember üzerindeki P(x, y) noktası yardımıyla cos α = x, sin α = y, tan α = y/x ve cot α = x/y biçiminde tanımlanır. Yönlü açıda saatin tersi yön pozitif, saat yönü negatiftir. Açılar derece ya da radyanla ölçülür ve 180° = π radyandır; örneğin 120° = 2π/3 radyandır. Esas ölçü, açının [0°, 360°) aralığındaki karşılığıdır: 1110° = 3 · 360° + 30° olduğundan esas ölçü 30°'dir. 120° için P(−1/2, √3/2) noktasından sin 120° = √3/2 ve cos 120° = −1/2 bulunur. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının görüntü kümesi [−1, 1], periyodu 2π'dir; sinüs tek, kosinüs çift fonksiyondur, tanjantın periyodu ise π'dir. İşaretler bölgelere göre değişir: I. bölgede hepsi, II. bölgede yalnız sinüs, III. bölgede tanjant ve kotanjant, IV. bölgede yalnız kosinüs pozitiftir. “sin 2” ifadesi 2° değil, 2 radyan anlamına gelir.

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, birim çember yardımıyla trigonometrik oranları her açıya genişletiyor ve sinüs, kosinüs gibi fonksiyonların temel özelliklerini tanıtıyor. Dalga, dönme ve titreşim gibi tekrar eden olayların modellenmesinde bu fonksiyonlar kullanılır.

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Yönlü açıda saatin tersi yön pozitif, saat yönü negatiftir.
Açı ölçü birimleri derece ve radyandır: 180° = π radyan. Örnek: 120° = 2π/3 radyan; 1 radyan yaklaşık 57,3°'dir.
Esas ölçü, açının [0°, 360°) aralığındaki karşılığıdır. Örnek: 1110° = 3 · 360° + 30° olduğundan esas ölçüsü 30°'dir; −60°'nin esas ölçüsü 300°'dir.
Birim çember üzerindeki P(x, y) noktası için cos α = x, sin α = y, tan α = y/x, cot α = x/y olur. Örnek: 120° için P(−1/2, √3/2) noktasından sin 120° = √3/2 ve cos 120° = −1/2 bulunur.
Birim çemberde 120°: P noktasının apsisi cos 120° = −1/2, ordinatı sin 120° = √3/2
İşaretler: I. bölgede hepsi pozitiftir. II. bölgede yalnız sinüs, III. bölgede tanjant ve kotanjant, IV. bölgede yalnız kosinüs pozitiftir.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi R, görüntü kümesi [−1, 1], periyodu 2π'dir. Sinüs tek, kosinüs çift fonksiyondur. Tanjant x = π/2 + kπ noktalarında tanımsızdır ve periyodu π'dir.

Unutma: Soruda açının derece mi radyan mı verildiğine bak. "sin 2" ifadesi 2 radyanı gösterir, 2°'yi değil.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Herhangi bir açının trigonometrik değerini dört adımda bulabilirsin.

Esas ölçüyü bul: Açıdan 360°'nin katlarını çıkar.
Bölgeyi belirle: Açı birim çemberde hangi bölgede?
Referans açıyı bul: x eksenine olan dar açıyı hesapla.
İşareti koy: Bölgeye göre sinüs ve kosinüsün işaretini belirle.

Örnek: sin 210° için açı III. bölgededir, referans açı 210° − 180° = 30°'dir. III. bölgede sinüs negatif olduğundan sin 210° = −1/2 olur. cos 300° için açı IV. bölgededir, referans açı 60°'dir ve kosinüs pozitif olduğundan cos 300° = 1/2'dir.

Günlük hayattan: Dönen bir dönme dolap kabininin yüksekliği, dönme açısının sinüsüyle birlikte tekrar tekrar aynı değerleri alır.

Sık yapılan hata: cos 120° değerini cos 60° ile aynı sanmak. Doğrusu: Referans açı aynı olsa da 120° II. bölgededir ve kosinüs orada negatiftir: cos 120° = −1/2.

Derinleş

Bulunduğun şehirde bir yıl boyunca gün ışığı süresinin nasıl değiştiğini meteoroloji ya da astronomi kaynaklarından araştır. Ayda bir günün verisini bir grafiğe dök ve grafiğin sinüs eğrisine benzeyip benzemediğini incele. Coğrafya dersindeki eksen eğikliği bilgisini kullanarak eğrinin en yüksek ve en düşük noktalarının yılın hangi günlerine denk geldiğini açıkla.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.11.3.1f(x)=sinx (x∈ℝ), f(x)=cosx (x∈ℝ), f(x)=tanx (x∈ℝ, x≠π/2+kπ, k∈ℤ ) ve f(x)=cotx (x∈ℝ, x≠kπ, k∈ℤ) şeklinde tanımlı trigonometrik referans fonksiyonların nitel özellikleri ile bu fonksiyonlardan türetilen [g(x) = k∙f(mx±r)±s (k, m, r, s ∈ ℝ, k≠0, m≠0)] trigonometrik fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme
- a) Trigonometrik referans fonksiyonların nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği, periyodu) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
- b) Trigonometrik referans fonksiyonların nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
- ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.

Bu konuda neler var?

Birim Çember ve Yönlü Açı Kavramı
Açı Ölçme Birimleri
Esas Ölçü
Birim Çemberde Trigonometrik Oranlar

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Yarıçapı 1 birim alınan bir dönme dolapta, kabinin dönme açısı x iken kabinin dolap merkezinin bulunduğu yatay hizaya göre dikey konumu f(x) = sin x ile modelleniyor. Kabin merkez hizasının üstündeyken f(x) pozitif, altındayken negatif oluyor. f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, 1]
- B) R
- C) [−π, π]
- D) [0, 2]
- E) [−1, 1]
Cevabı göster
Doğru cevap: E) [−1, 1]
Kabin birim çember üzerinde döndüğünden dikey konumu en altta −1, en üstte 1 olur ve bu aralıktaki her değeri alır; görüntü kümesi [−1, 1]'dir. [0, 1] seçeneği, kabinin merkez hizasının altına inerken sinüsün negatif değer aldığını gözden kaçırmaktan doğar.
Kolay
2Dönen bir deniz fenerinin ışını, fenerin tam karşısında 1 km uzakta bulunan düz bir yalı duvarına düşüyor. Işın, karşı noktayla x açısı yaptığında duvardaki ışık lekesinin karşı noktaya uzaklığı tan x km oluyor; ışının iki ucu da aynı doğru üzerinde olduğundan fener yarım tur döndüğünde leke aynı yere geri geliyor. f(x) = tan x fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) π/2
- B) 2π
- C) 4π
- D) π/4
- E) π
Cevabı göster
Doğru cevap: E) π
Işın x ve x + π açılarında aynı doğru üzerindedir; tan(x + π) = tan x olduğundan tanjantın değerleri her π aralığında tekrar eder ve esas periyodu π'dir. 2π seçeneği, sinüs ve kosinüsün periyodunun tanjanta da genellenmesinden doğar.
Kolay
3Bir lunaparktaki dönme dolabın kabini, binme noktasından başlayarak merkez etrafında 150°'lik bir yay çizip duruyor. Dolabın kontrol yazılımı ise bütün dönme açılarını derece yerine radyan cinsinden kaydediyor. Yazılımın bu dönme için kaydettiği açı kaç radyandır?
- A) 3π/4
- B) 2π/3
- C) 5π/6
- D) 5π/3
- E) 7π/6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5π/6
180° = π radyan olduğundan 150° = 150 · π/180 = 5π/6 radyandır. 5π/3 seçeneği, dönüşümde π/90 ile çarpılıp açının iki katının alınmasından doğar.
Kolay
4Bir radar ekranında, merkezden α açısıyla çıkan yön üzerinde ve merkezden tam 1 birim uzakta duran ışıklı noktanın koordinatları (cos α, sin α) olarak gösteriliyor. Ekranın merkezi koordinat düzleminin orijinine yerleştirilmiş. α değiştikçe ışıklı noktanın çizdiği yol aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Merkezi orijinde, yarıçapı 1 birim olan çember
- B) Merkezi (1, 1) noktasında, yarıçapı 1 birim olan çember
- C) Merkezi orijinde, çapı 1 birim olan çember
- D) Merkezi orijinde, çevresi 1 birim olan çember
- E) Merkezi orijinde, yarıçapı π birim olan çember
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Merkezi orijinde, yarıçapı 1 birim olan çember
Nokta her konumda orijinden 1 birim uzakta olduğundan merkezi orijinde, yarıçapı 1 birim olan birim çemberi çizer; bu yüzden cos²α + sin²α = 1'dir. "Çapı 1 birim" seçeneği yarıçap ile çapın karıştırılmasından doğar; o çemberde noktalar merkezden yalnızca 1/2 birim uzakta olurdu.
Kolay
5Birim çember üzerinde, pozitif x ekseniyle pozitif yönde 60°'lik açı yapan yarıçapın çember üzerindeki uç noktası P'dir. P noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (√3/2, 1/2)
- B) (−1/2, √3/2)
- C) (1/2, −√3/2)
- D) (√2/2, √2/2)
- E) (1/2, √3/2)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (1/2, √3/2)
Birim çemberde P(cos 60°, sin 60°) = (1/2, √3/2) olur. (√3/2, 1/2) noktası 30°'lik açıya aittir; kosinüs ile sinüsün yeri karıştırılmıştır.
Kolay
6Bir oyun programı, karakterin bakış yönünü 5π/3 radyanlık açı olarak kaydediyor. Oyunun haritasında ise yönler derece cinsinden gösteriliyor. Bu açı kaç derecedir?
- A) 150°
- B) 270°
- C) 300°
- D) 330°
- E) 240°
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 300°
π radyan 180° olduğundan 5π/3 = 5 · 180°/3 = 300° bulunur. 330° ise 11π/6'ya karşılık gelir.
Kolay
7Bir öğrenci sin x, cos x, tan x, cot x ve sin x + 1 fonksiyonlarının grafiklerini ayrı kâğıtlara çizip her kâğıdı y ekseni boyunca katlıyor. Katlandığında iki yarısı tam üst üste gelen grafik hangi fonksiyona aittir?
- A) cos x
- B) sin x
- C) tan x
- D) cot x
- E) sin x + 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) cos x
Kosinüs çift fonksiyondur, cos(−x) = cos x olduğundan grafiği y eksenine göre simetriktir. Sinüs ise tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir.
Kolay
8Birim çember üzerinde A(1, 0) noktasından pozitif yönde 270° dönen bir nokta B noktasına geliyor. cos 270° − sin 270° ifadesinin değeri kaçtır?
- A) −1
- B) 0
- C) 1
- D) 2
- E) −2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1
270°'lik açı birim çemberde (0, −1) noktasını verir; cos 270° = 0, sin 270° = −1 olduğundan 0 − (−1) = 1 olur. −1 cevabı çıkarma işleminde işaretin değiştirilmemesinden gelir.
Kolay
9Bir rüzgâr gülünün kanat ucunun yatay konumu g(x) = cos x ile modelleniyor. Kanat ucu konumlarının aynı sırayla tekrar etmeye başladığı en küçük pozitif açı, yani fonksiyonun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) π
- B) π/2
- C) 4π
- D) 2π
- E) 3π/2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2π
Kosinüs fonksiyonu her 2π'de bir aynı değerleri aldığından esas periyodu 2π'dir. π, tanjant fonksiyonunun periyodudur.
Kolay
10Birim çember üzerinde A(1, 0) noktasından başlayan bir karınca, çember üzerinde pozitif yönde yarım tur yürüyüp duruyor. Karıncanın durduğu noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (−1, 0)
- B) (0, 1)
- C) (0, −1)
- D) (1, 0)
- E) (−1, 1)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (−1, 0)
Yarım tur π radyan, yani 180°'dir; cos 180° = −1 ve sin 180° = 0 olduğundan nokta (−1, 0) olur. (0, 1) noktası çeyrek turla ulaşılan noktadır.
Kolay
11Bir makinedeki pistonun merkez çizgisine göre yatay konumu f(x) = cos x birim ile modelleniyor; x dönme açısıdır. Pistonun konumunun alabileceği bütün değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, 1]
- B) [−π, π]
- C) [−1, 1]
- D) R
- E) [0, 2π]
Cevabı göster
Doğru cevap: C) [−1, 1]
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi [−1, 1]'dir, çünkü değerler birim çemberdeki noktaların apsisleridir. [0, 2π] ise görüntü kümesi değil, bir tam turun açı aralığıdır.
Kolay
12Bir öğrenci, matematik yazılımında birim çember üzerindeki bir noktayı başlangıç konumundan pozitif yönde 210° döndürüyor. Yazılım açıları yalnızca radyan cinsinden kabul ediyor. Öğrencinin yazılıma girmesi gereken açı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7π/6
- B) 5π/6
- C) 7π/4
- D) 4π/3
- E) 7π/3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 7π/6
180° = π radyan olduğundan 210° = 210 · π/180 = 7π/6 olur. 7π/4 ise 315°'ye karşılık gelir; derece radyan oranı yanlış kurulmuştur.
Kolay
13Birim çember üzerinde 320°'lik açıya karşılık gelen nokta IV. bölgededir. Bu açı için aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?
- A) sin 320°
- B) tan 320°
- C) cot 320°
- D) sin 320° · cos 320°
- E) cos 320°
Cevabı göster
Doğru cevap: E) cos 320°
IV. bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir; bu nedenle yalnız kosinüs pozitiftir. Tanjant ve kotanjant y/x ve x/y oranları olduğundan bu bölgede negatiftir.
Kolay
14Bir bisiklet tekerleğindeki sibop, başlangıç konumundan pozitif yönde toplam 840° dönüyor. Sibobun son konumunu gösteren açının esas ölçüsü kaç derecedir?
- A) 60°
- B) 240°
- C) 300°
- D) 120°
- E) 140°
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 120°
840° = 2 · 360° + 120° olduğundan esas ölçü 120°'dir. 240° ise 840°'den yalnız bir tam tur (360°) çıkarılırsa bulunan 480°'nin yanlış sadeleştirilmesidir.
Kolay
15Bir kapı menteşesine bağlı sensör, kapının saat yönünde 150° döndüğünü −150° olarak kaydediyor. Bu yönlü açının esas ölçüsü kaç derecedir?
- A) 150°
- B) 30°
- C) 330°
- D) 210°
- E) 240°
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 210°
Negatif açının esas ölçüsü için 360° eklenir: −150° + 360° = 210°. 150° yalnızca işareti atmakla bulunur ve yönü yanlış gösterir.
Kolay
16Bir duvar saatinin akrebi 3 saat boyunca saat yönünde dönüyor. Akrebin yaptığı dönme, yönlü açı olarak radyan cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?
- A) π/2
- B) −π/4
- C) −π/2
- D) −3π/2
- E) π
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −π/2
Akrep 12 saatte 360° döndüğünden 3 saatte 90° döner; saat yönü negatif yön olduğundan açı −π/2 olur. π/2 cevabı dönme yönünün işaretini yok sayar.
Kolay
17Bir sarkaç düzeneğinde ibrenin orta çizgiye göre konumu f(x) = sin x ile modelleniyor. Ölçümde bir a açısı için f(a) = 0,4 bulunuyor. Buna göre f(a + 10π) + f(−a) toplamı kaçtır?
- A) −0,8
- B) −0,4
- C) 0
- D) 0,4
- E) 0,8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0
Sinüsün periyodu 2π'dir; 10π beş periyot ettiğinden f(a + 10π) = f(a) = 0,4 olur. Sinüs tek fonksiyondur, bu yüzden f(−a) = −f(a) = −0,4'tür. Toplam 0,4 + (−0,4) = 0 bulunur. 0,8 sonucu, sinüsü çift fonksiyon gibi düşünüp f(−a) = 0,4 almaktan gelir.
Kolay
18Bir matematik yazılımında orijinden geçen bir doğru, pozitif x ekseniyle α açısı yapacak biçimde döndürülüyor; α açısı (−π/2, π/2) aralığındaki bütün değerleri alıyor. Doğrunun eğimi tan α olarak ekrana yazılıyor. Ekranda görülebilecek bütün değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [−1, 1]
- B) (0, ∞)
- C) [0, ∞)
- D) R
- E) R − {0}
Cevabı göster
Doğru cevap: D) R
Birim çemberdeki P(x, y) noktası için tan α = y/x'tir. α açısı π/2'ye yaklaştıkça noktanın apsisi 0'a yaklaşır ve oran sınırsız büyür; −π/2'ye yaklaştıkça sınırsız küçülür. α = 0 için tan 0 = 0 olduğundan 0 da alınır. Bu yüzden görüntü kümesi R'dir. [−1, 1] sinüs ve kosinüsün görüntü kümesidir; tanjant için geçerli değildir. R − {0} ise tan 0 = 0 değerini dışarıda bırakır.
Orta
19Bir robot kolunun eklemi, saat yönünde yani negatif yönde 17π/3 radyan dönüyor. Kolun son konumunu ekranda göstermek için yazılım bu açının [0, 2π) aralığındaki esas ölçüsünü kullanıyor. Eklemin son konumunu gösteren esas ölçü aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2π/3
- B) 4π/3
- C) π/3
- D) 5π/3
- E) π/6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) π/3
Esas ölçü için 2π'nin katları eklenir: −17π/3 + 6π = −17π/3 + 18π/3 = π/3. 5π/3 seçeneği, dönmenin negatif yönde olduğu dikkate alınmadan 17π/3'ün esas ölçüsünün bulunmasından doğar.
Orta
20Bir dron, kalkış noktasını merkez alan 1 km yarıçaplı bir çember üzerinde uçuyor. Doğu yönü pozitif x ekseni, kuzey yönü pozitif y ekseni alındığında dron bir anda kalkış noktasının 0,6 km batısında ve 0,8 km kuzeyinde bulunuyor. α, pozitif x ekseninden drona doğru pozitif yönde ölçülen açıdır. tan α kaçtır?
- A) −3/4
- B) −4/3
- C) 3/4
- D) 4/3
- E) −4/5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) −4/3
Dronun koordinatları (−0,6; 0,8) yani (−3/5, 4/5)'tir ve tan α = y/x = (4/5)/(−3/5) = −4/3'tür. −3/4 seçeneği, tanjantın x/y biçiminde, yani kotanjantın hesaplanmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.