11. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler (3)

Fonksiyonların Bileşkesi

bileşke fonksiyon
fonksiyon
tanım kümesi
değişme özelliği
birleşme özelliği
dönüşüm

Fonksiyonların bileşkesi nedir ve nasıl hesaplanır?

Fonksiyonların bileşkesi, bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyona girdi olarak verilmesidir ve (g∘f)(x) = g(f(x)) biçiminde yazılır; önce f, sonra g uygulanır. Art arda çalışan iki makineyi tek bir makineyle göstermek gibi düşünülebilir. Bileşkenin tanımlı olması için f'nin aldığı değerler g'nin tanım kümesinde bulunmalıdır. Örneğin f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² ise (g∘f)(x) = (2x + 1)², (f∘g)(x) = 2x² + 1 olur; x = 1 için (g∘f)(1) = 9, (f∘g)(1) = 3 bulunur. Bu örnek, bileşke işleminin genel olarak değişme özelliği olmadığını gösterir. Buna karşılık birleşme özelliği vardır: (h∘g)∘f = h∘(g∘f). y = (x − 3)² + 2 gibi dönüşümler, kare alma fonksiyonu ile öteleme fonksiyonlarının bileşkesi olarak yazılabilir. Grafik ya da tablodan değer okunurken önce içteki fonksiyonun değeri bulunur. (f∘g)(x) ifadesinde önce f değil, g uygulanır.

Fonksiyonların Bileşkesi: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi olarak vermeyi, yani bileşke fonksiyonu anlatıyor. Art arda çalışan iki makineyi tek bir makineyle göstermek gibi düşünebilirsin.

(g∘f)(x) = g(f(x)) demektir: önce f, sonra g uygulanır. Bileşkenin tanımlı olması için f'nin aldığı değerler g'nin tanım kümesinde olmalıdır.
Örnek: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² olsun. (g∘f)(x) = (2x + 1)² ve (f∘g)(x) = 2x² + 1 olur. x = 1 için (g∘f)(1) = 9, (f∘g)(1) = 3 bulunur.
Önce f sonra g uygulanınca 1 → 3 → 9; önce g sonra f uygulanınca 1 → 1 → 3; g∘f ile f∘g farklıdır
Bu örnekte görüldüğü gibi bileşke işleminin genel olarak değişme özelliği yoktur: g∘f ile f∘g çoğu zaman farklıdır.
Birleşme özelliği vardır: (h∘g)∘f = h∘(g∘f).
Referans fonksiyonlara uygulanan dönüşümler bileşke olarak yazılabilir. Örneğin y = (x − 3)² + 2, kare alma fonksiyonu ile öteleme fonksiyonlarının bileşkesidir.
Grafik ya da tablodan bileşke değeri okunurken önce içteki fonksiyonun değeri bulunur, sonra bu değer dıştaki fonksiyona verilir.

Unutma: (f∘g)(x) ifadesinde önce g uygulanır. Sırayı ters çevirmek bileşke sorularındaki en yaygın hatadır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Bileşkeyi art arda çalışan iki makine gibi düşün: İlk makinenin çıktısı ikinci makineye girdi olur.

Bir mağazada iki işlem var: d(x) = 0,8x fiyata %20 indirim uygular, k(x) = x + 30 ise 30 TL kargo ücreti ekler.

(k∘d)(200) için önce içteki d çalışır: d(200) = 160.
Sonra bu sonuç dıştaki k'ye verilir: k(160) = 190 TL.
Sırayı değiştir: (d∘k)(200) = d(230) = 184 TL.

İki sonuç farklıdır; önce indirim sonra kargo ile önce kargo sonra indirim aynı şey değildir. Bileşkede sıra önemlidir.

Sık yapılan hata: (f∘g)(x) ifadesini f(x) · g(x) çarpımı sanmak. Doğrusu: Bileşke bir çarpma değil, art arda uygulamadır. f(x) = x + 1 ve g(x) = 2x için (f∘g)(3) = f(6) = 7, f(3) · g(3) ise 4 · 6 = 24'tür.

Derinleş

Elektronik tablolarda iç içe yazılan formüller de bileşke fonksiyonlardır. Bir alışveriş sepeti için önce indirim, sonra vergi, sonra kargo uygulayan bir tablo hazırla; aynı işlemleri farklı sıralarla da dene. Hangi sıra müşteri, hangi sıra satıcı için daha avantajlı? Bir mağazanın kampanya koşullarında bu sırayı açıkça yazmasının tüketici hakları açısından neden önemli olduğunu tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.11.3.7Fonksiyonların bileşkelerine ilişkin muhakeme yapabilme
- a) İki veya daha fazla fonksiyonun bileşkesinden oluşan bir fonksiyonun bileşenlerini (bileşke fonksiyon ile bileşkeyi oluşturan fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri) belirler.
- b) İki veya daha fazla fonksiyonun bileşkesinden oluşan bir fonksiyonun bileşenleri arasındaki ilişkileri belirler.
- c) İki veya daha fazla fonksiyonun bileşkesiyle elde ettiği fonksiyonları sembolik bir dile dönüştürür.
- ç) Verilen fonksiyonları iki veya daha fazla fonksiyonun bileşkesi şeklinde ifade eder.
- d) Bileşke fonksiyonlara ve bu fonksiyonların nitel özelliklerine (işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) ilişkin varsayımlarda bulunur.
- e) Varsayımlarına dayalı olarak bileşke fonksiyonlara ve bileşke fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri geneller.
- g) Genellemelerinden elde ettiği önermeleri matematiksel olarak doğrulayabileceği şekilde sunar.
- ğ) Bileşke fonksiyonu gerçek yaşam bağlamında kullanışlılık açısından değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir çevrim içi kırtasiyede f fonksiyonu ürünün etiket fiyatına KDV ekliyor, g fonksiyonu ise bulunan tutara kargo ücretini ekliyor. Kasa ekranında ödenecek tutar (g∘f)(x) olarak hesaplanıyor; x etiket fiyatıdır. Bu hesapta etiket fiyatına ilk uygulanan işlem aşağıdakilerden hangisidir?
- A) KDV'nin eklenmesi (f)
- B) Kargo ücretinin eklenmesi (g)
- C) İki işlem aynı anda uygulanır.
- D) Sıra önemsizdir, sonuç aynıdır.
- E) Önce g, sonra yine g uygulanır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) KDV'nin eklenmesi (f)
(g∘f)(x) = g(f(x)) olduğundan önce f uygulanır, çıkan sonuç g'ye girer: önce KDV eklenir, sonra kargo. "Kargo ücretinin eklenmesi (g)" seçeneği, gösterimin soldan sağa okunmasından doğar; bileşkede sağdaki fonksiyon önce uygulanır.
Kolay
2Bir kargo şirketinde f fonksiyonu paketin geldiği şube kodunu dağıtım merkezi koduna, g fonksiyonu ise dağıtım merkezi kodunu teslimat aracı numarasına eşliyor. Bazı değerler tabloda verilmiştir: x | 2 | 5 f(x) | 5 | 3 g(x) | 4 | 7 Şube kodu 2 olan paketi taşıyacak teslimat aracının numarası (g∘f)(2) kaçtır?
- A) 4
- B) 3
- C) 7
- D) 5
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7
Önce f uygulanır: f(2) = 5; sonra g: g(5) = 7. 4 seçeneği, f atlanıp doğrudan g(2) değerinin okunmasından doğar.
Kolay
3Bir bahçıvan, kenar uzunluğu x metre olan kare biçimli bir tarhın her kenarını 1 m kısaltarak yeni bir kare tarh yapıyor. g(x) = x − 1 kenarı kısaltan, f(x) = x² ise kenar uzunluğundan alanı bulan fonksiyondur. Yeni tarhın alanını veren (f∘g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x² − 1
- B) (x − 1)²
- C) x² − x
- D) (x + 1)²
- E) x² − 2x
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (x − 1)²
(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = (x − 1)²'dir: önce kenar kısaltılır, sonra kare alınır. x² − 1 seçeneği, önce alan bulunup sonra 1 çıkarılmasından, yani (g∘f)(x)'in yazılmasından doğar.
Kolay
4Bir fotoğraf düzenleme uygulamasında "döndür", "yansıt" ve "büyüt" işlemleri fonksiyon olarak düşünülüyor. Elif, aynı iki işlemi farklı sırayla uyguladığında bazen farklı görüntüler elde ettiğini, üç işlemi ise hangi ikisini önce birleştirerek gruplarsa gruplasın sıralarını koruduğu sürece aynı görüntüyü aldığını fark ediyor. Fonksiyonlarda bileşke işlemi için genel olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Değişme özelliği vardır, birleşme özelliği yoktur.
- B) Hem değişme hem birleşme özelliği vardır.
- C) Ne değişme ne birleşme özelliği vardır.
- D) Birleşme özelliği vardır, değişme özelliği yoktur.
- E) Değişme özelliği yalnız doğrusal fonksiyonlarda yoktur.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Birleşme özelliği vardır, değişme özelliği yoktur.
Her zaman (h∘g)∘f = h∘(g∘f)'dir, yani birleşme özelliği vardır; ama genel olarak f∘g ≠ g∘f'dir (ör. x² ve x − 1). "Hem değişme hem birleşme" seçeneği, Elif'in farklı sıralarda farklı görüntü elde ettiği gözlemiyle çelişir.
Kolay
5Bir oyunda f(x) = 5 − x kuralı, oyuncunun bulunduğu kareyi yansıtıyor. Bu kural art arda iki kez uygulanırsa 7 numaralı kareden başlayan oyuncu hangi kareye gelir, yani (f∘f)(7) kaçtır?
- A) −2
- B) 2
- C) 5
- D) 7
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
f(7) = −2 ve f(−2) = 5 − (−2) = 7 olur; kural iki kez uygulanınca başlangıca dönülür. −2 cevabı kuralı yalnız bir kez uygulamaktan gelir.
Kolay
6f(x) = x² ve g(x) = x − 3 fonksiyonları veriliyor. (f∘g)(5) kaçtır?
- A) 22
- B) 16
- C) 2
- D) 4
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4
(f∘g)(5) = f(g(5)) = f(2) = 4 olur. 22 cevabı (g∘f)(5) = 25 − 3 değeridir; işlem sırası ters çevrilmiştir.
Kolay
7Bir hesap makinesinde f tuşu sayıya 2 ekliyor, g tuşu sayıyı 3 ile çarpıyor; f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x'tir. Ekrandaki 1 sayısına (g∘f)(1) işlemi uygulanınca hangi sonuç görünür?
- A) 5
- B) 9
- C) 6
- D) 3
- E) 11
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9
(g∘f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 9 olur. 5 cevabı (f∘g)(1) = f(3) değeridir; önce g uygulanmıştır.
Kolay
8f(x) = x − 2 ve g(x) = 1/x fonksiyonları veriliyor. (g∘f)(x) bileşkesi hangi x değerinde tanımsızdır?
- A) 2
- B) 0
- C) −2
- D) 1/2
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
(g∘f)(x) = 1/(x − 2) olur; f(x) = 0 yapan x = 2'de g tanımsızdır. 0 cevabı g'nin tanımsız olduğu girdiyi bileşkenin girdisi sanmaktan gelir.
Kolay
9Bir koşucunun hızı saatte 12 km'dir. f(x) = x/60 fonksiyonu dakikayı saate, g(x) = 12x fonksiyonu saati kilometreye çeviriyor. Koşucu 30 dakikada kaç km koşar, yani (g∘f)(30) kaçtır?
- A) 360
- B) 0,5
- C) 12
- D) 6
- E) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 6
f(30) = 0,5 saat ve g(0,5) = 6 km olur. 360 cevabı dakikayı saate çevirmeden 30 · 12 hesaplamaktan gelir; 0,5 ise yalnız f(30) değeridir.
Kolay
10Bir kopyalama makinesi f(x) = 3x − 1 kuralıyla çalışıyor ve ürün makineden art arda iki kez geçiriliyor. (f∘f)(1) kaçtır?
- A) 5
- B) 2
- C) 4
- D) 8
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
f(1) = 2 ve f(2) = 3 · 2 − 1 = 5 olur. 2 cevabı makineyi yalnız bir kez çalıştırmaktan gelir.
Kolay
11Bir bulmacada f fonksiyonu f(1) = 4, f(4) = 2 ve f(2) = 1 eşleşmelerini yapıyor. 1 sayısına f fonksiyonu art arda üç kez uygulanınca hangi sayı elde edilir?
- A) 4
- B) 2
- C) 3
- D) 0
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 1
f(1) = 4, f(4) = 2 ve f(2) = 1 olduğundan (f∘f∘f)(1) = 1'dir. 2 cevabı yalnız iki kez uygulamaktan gelir.
Kolay
12Bir kumaşçıda f(x) = x/100 fonksiyonu santimetre cinsinden uzunluğu metreye, g(x) = 3x fonksiyonu metre cinsinden uzunluğu TL cinsinden fiyata çeviriyor. 500 cm kumaşın fiyatı, yani (g∘f)(500) kaç TL'dir?
- A) 1500
- B) 5
- C) 15
- D) 150
- E) 0,15
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 15
f(500) = 5 m ve g(5) = 15 TL olur. 1500 cevabı birim dönüşümü yapılmadan 500 · 3 hesaplanmasından gelir.
Kolay
13y = (x + 1)² fonksiyonu, f(x) = x² ve g(x) = x + 1 fonksiyonlarının bileşkesi olarak yazılmak isteniyor. Doğru yazım aşağıdakilerden hangisidir?
- A) y = (g∘f)(x)
- B) y = (f∘g)(x)
- C) y = (f · g)(x)
- D) y = (f + g)(x)
- E) y = (g∘g)(x)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) y = (f∘g)(x)
Önce 1 eklenip sonra kare alındığı için içteki fonksiyon g, dıştaki f'dir: f(g(x)) = (x + 1)². (g∘f)(x) = x² + 1 olur.
Kolay
14Bir fabrikada f(x) = 2x ve g(x) = x + 5 kurallarıyla çalışan iki makine var. Ürün önce g, sonra f makinesinden geçiyor. Bu işlemi gösteren (f∘g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2x + 5
- B) 2x² + 10x
- C) 2x + 10
- D) x + 10
- E) 2x + 7
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2x + 10
(f∘g)(x) = f(x + 5) = 2(x + 5) = 2x + 10 olur. 2x + 5 cevabı (g∘f)(x)'tir; 2x² + 10x ise iki fonksiyonun çarpımıdır.
Kolay
15h(x) = √(x + 7) fonksiyonu, g(x) = x + 7 ve bir f fonksiyonu için h = f∘g biçiminde yazılmak isteniyor. f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x + 7
- B) √x + 7
- C) x²
- D) √x
- E) √(x − 7)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) √x
f(g(x)) = f(x + 7) = √(x + 7) olması için f(x) = √x olmalıdır. √x + 7 seçilirse bileşke √(x + 7) + 7 olur.
Kolay
16f(x) = x³ ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. (f∘g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x³ + 1
- B) (x + 1)³
- C) x⁴ + x³
- D) x³ + x
- E) 3x + 1
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (x + 1)³
(f∘g)(x) = f(x + 1) = (x + 1)³ olur. x³ + 1 cevabı (g∘f)(x)'tir.
Kolay
17Bir titreşim programında f(x) = sin x ve g(x) = 3x fonksiyonları kullanılıyor; program önce g'yi, sonra f'yi uygulayarak f∘g fonksiyonunu çiziyor. f∘g fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?
- A) π/3
- B) 2π/3
- C) π
- D) 2π
- E) 6π
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2π/3
(f∘g)(x) = f(g(x)) = sin(3x)'tir. sin(mx) biçimindeki fonksiyonun periyodu 2π/|m| olduğundan 2π/3 bulunur. 6π yanıtı, 3 ile bölmek yerine çarpmaktan gelir. İçteki g fonksiyonu yatay sıkıştırma yapar, bu yüzden periyot kısalır.
Kolay
18f, gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon ve g(x) = x + 3'tür. Bir öğrenci g∘f ve f∘g fonksiyonlarının grafiklerini f'nin grafiğiyle karşılaştırıyor. Bu grafikler f'nin grafiğinden hangi ötelemelerle elde edilir?
- A) g∘f: 3 birim sağa; f∘g: 3 birim yukarı
- B) g∘f: 3 birim yukarı; f∘g: 3 birim sağa
- C) g∘f: 3 birim sola; f∘g: 3 birim yukarı
- D) g∘f: 3 birim yukarı; f∘g: 3 birim yukarı
- E) g∘f: 3 birim yukarı; f∘g: 3 birim sola
Cevabı göster
Doğru cevap: E) g∘f: 3 birim yukarı; f∘g: 3 birim sola
(g∘f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 3 olduğundan fonksiyon değerine 3 eklenir; grafik y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenir. (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) olduğundan grafik x ekseni boyunca 3 birim sola ötelenir. '3 birim sağa' yanıtı, x + 3 içindeki artı işaretini sağa öteleme sanmaktan gelir.
Orta
19Bir fabrikada f(x) = 3x − 2 ve g(x) = x² + 1 fonksiyonları iki ayrı makinenin girdiyi işleme kuralını veriyor. Ürün önce g'den sonra f'den geçerse (f∘g), önce f'den sonra g'den geçerse (g∘f) işleniyor. Girdi 1 birim olduğunda iki üretim sırasının sonuçları karşılaştırılıyor. (f∘g)(1) − (g∘f)(1) farkı kaçtır?
- A) 2
- B) 0
- C) −2
- D) 4
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
g(1) = 2 ve f(2) = 4 olduğundan (f∘g)(1) = 4'tür; f(1) = 1 ve g(1) = 2 olduğundan (g∘f)(1) = 2'dir. Fark 4 − 2 = 2'dir. 0 seçeneği, bileşkenin değişme özelliği olduğunu sanmaktan doğar.
Orta
20Bir hesap makinesi programında önce girilen sayıdan 4 çıkaran f(x) = x − 4, sonra sonucun karekökünü alan g(x) = √x fonksiyonu çalışıyor; yani program (g∘f)(x) değerini hesaplıyor. Program, gerçek sayı sonucu veremediği girdilerde hata veriyor. Programın hata vermediği girdilerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, ∞)
- B) [−4, ∞)
- C) [4, ∞)
- D) (4, ∞)
- E) (−∞, 4]
Cevabı göster
Doğru cevap: C) [4, ∞)
(g∘f)(x) = √(x − 4) için x − 4 ≥ 0, yani x ≥ 4 olmalıdır. [0, ∞) seçeneği, yalnızca g'nin tanım kümesine bakılmasından doğar; bileşkede karekökün içine x değil x − 4 girer.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.