11. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler (2)

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

üstel denklem
logaritmik denklem
eşitsizlik
yarılanma süresi
log x
modelleme
ph

Üstel ve logaritmik denklemlerle problemler nasıl çözülür?

Üstel ve logaritmik denklem içeren problemler, durum bir üstel modelle yazılıp iki taraf aynı tabana getirilerek ya da iki tarafın logaritması alınarak çözülür. Sabit oranlı artış A(t) = A₀ · (1 + r)^t, azalış A(t) = A₀ · (1 − r)^t, yarılanma süresi T olan madde ise A(t) = A₀ · (1/2)^(t/T) ile modellenir. Yarılanma süresi 1 gün olan 80 kg'lık maddenin 10 kg'a inmesi için (1/2)^t = 1/8 olmalı, yani t = 3 gündür. Her ay %8 artan bir büyüklüğün iki katına çıkması için 1,08^t = 2 olmalıdır ve buradan yaklaşık 9 ay bulunur. Eşitsizliklerde taban 1'den büyükse yön korunur, taban 0 ile 1 arasındaysa yön değişir; (1/2)^x > 1/4 ise x < 2'dir. pH = −log[H⁺] tanımına göre [H⁺] = 10⁻³ olan çözeltinin pH değeri 3'tür. Logaritmik denklemlerde logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır ve her kök bu şartla kontrol edilir.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler: konu anlatımı ve özeti

Bu konu yarılanma, kullanıcı artışı, faiz ve pH gibi durumları üstel ya da logaritmik denklem ve eşitsizliklerle çözmeyi anlatıyor. Bir değerin ne zaman belli bir hedefe ulaşacağını bu yolla bulursun.

Sabit oranlı artış A(t) = A₀ · (1 + r)^t, azalış A(t) = A₀ · (1 − r)^t biçiminde modellenir. Yarılanma süresi T ise kalan miktar A(t) = A₀ · (1/2)^(t/T) olur.
Denklemi çözmek için ya iki tarafı aynı tabana getirirsin ya da iki tarafın logaritmasını alırsın. Örnek: Yarılanma süresi 1 gün olan 80 kg'lık madde için 80 · (1/2)^t = 10 denkleminden (1/2)^t = 1/8 bulunur, buradan t = 3 gün olur.
Örnek: Her ay %8 artan bir büyüklüğün iki katına çıkması için 1,08^t = 2 olmalıdır. Buradan t = log 2 / log 1,08 ≈ 0,301 / 0,0334 ≈ 9 ay bulunur.
Eşitsizliklerde taban 1'den büyükse eşitsizliğin yönü korunur, taban 0 ile 1 arasındaysa yön değişir. Örnek: (1/2)^x > 1/4 ise x < 2'dir.
Logaritmik denklemlerde logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır. Bulduğun her kökü bu şartla kontrol et.
pH = −log[H⁺] tanımına göre [H⁺] = 10⁻³ olan çözeltinin pH değeri 3'tür.
f < g, f = g, f > g karşılaştırmalarını grafiklerin kesişiminden ya da elektronik tablodaki değerlerden yorumlayabilirsin.

Unutma: 0 < a < 1 tabanlı üstel ya da logaritmik eşitsizlikte yönü çevirmeyi unutmak sınavlardaki en yaygın hatadır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Üstel bir problemi şu dört adımla çözebilirsin.

Modeli kur: 1000 TL, yıllık %10 bileşik faizle yatırılıyor: A(t) = 1000 · 1,1^t.
Denklemi yaz: Paranın iki katına çıkması için 1000 · 1,1^t = 2000, yani 1,1^t = 2.
Aynı taban yoksa logaritma al: t = log 2 / log 1,1 ≈ 0,301 / 0,041 ≈ 7,3.
Bağlama göre yorumla: Faiz yıl sonunda eklendiği için para 8. yılın sonunda iki katını geçer.

Eşitsizlik örneği: (1/3)^x ≥ 1/9 ise (1/3)^x ≥ (1/3)² olur. Taban 0 ile 1 arasında olduğundan yön değişir: x ≤ 2.

Sık yapılan hata: Taban 1'den küçükken eşitsizliğin yönünü korumak. Doğrusu: Azalan bir fonksiyonda büyük değer küçük üsse karşılık gelir; x = 3 için (1/3)³ = 1/27 değeri 1/9'dan küçüktür, yani x ≥ 2 yanlış bir çözüm kümesidir.

Derinleş

Kredi kartı borcuna aylık %2 faiz uygulanan ve hiç ödeme yapılmayan bir durumu üstel bir modelle incele. Borcun kaç ayda iki katına çıkacağını logaritmayla hesapla ve sonucu bir elektronik tabloda ay ay kontrol et. Aynı ürünü peşin ya da taksitle almanın toplam maliyetini karşılaştıran kısa bir tablo hazırla. Bir harcama kararı verirken bu hesap sana nasıl yardımcı olur, tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.11.3.6Gerçek yaşam durumlarında üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ifade edilen denklem
- a) Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ifade edilebilen denklemlere ilişkin matematiksel bileşenleri (denklemi oluşturan fonksiyonların nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri) belirler.
- c) Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklerin problem bağlamındaki temsillerini farklı temsillere dönüştürür.
- ç) Dönüştürdüğü temsillerin problem bağlamındaki anlamını ifade eder.
- d) Elde ettiği ve yorumladığı farklı temsillere dayalı olarak problemin çözümü için strateji oluşturur.
- e) Belirlediği stratejiyi kullanır.
- f) Elde ettiği çözümü farklı yöntemleri kullanarak doğrular.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir hastanede kullanılan bir ilacın yarılanma süresi 6 saattir; yani vücuttaki ilaç miktarı her 6 saatte yarıya iniyor. Bir hastaya 120 mg ilaç veriliyor ve hemşire 12 saat sonraki miktarı tahmin etmek istiyor. Modele göre 12 saat sonra hastanın vücudunda kaç mg ilaç kalır?
- A) 60
- B) 15
- C) 10
- D) 20
- E) 30
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 30
12 saat, 12/6 = 2 yarılanma süresidir: 120 · (1/2)² = 30 mg. 60 seçeneği, 12 saatte yalnızca bir kez yarılanma olduğunu sanmaktan doğar.
Kolay
2Bir çiftçi, tarlasındaki toprağın asitlik düzeyini ölçtürmek için laboratuvara örnek gönderiyor. Laboratuvar raporunda toprak çözeltisindeki hidrojen iyonu derişimi [H⁺] = 10⁻⁸ mol/L olarak yazılmış; pH değeri pH = −log[H⁺] ile hesaplanır. Bu örneğin pH değeri kaçtır?
- A) −8
- B) 6
- C) 10
- D) 1/8
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 8
pH = −log(10⁻⁸) = −(−8) = 8'dir. −8 seçeneği, formüldeki eksi işaretinin unutulup yalnızca log(10⁻⁸) değerinin yazılmasından doğar.
Kolay
3Bir okul kulübünün duyurusu, ilk gün 3 öğrenciye ulaşıyor ve her gün bir önceki günün 3 katı öğrenciye ulaşıyor; x. günden sonraki gün duyuruyu yeni gören öğrenci sayısı 3^(x + 1) oluyor. Kulüp başkanı, yeni gören öğrenci sayısının 27 olduğu günü bulmak istiyor. 3^(x + 1) = 27 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 9
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
27 = 3³ olduğundan 3^(x + 1) = 3³ ve x + 1 = 3, yani x = 2'dir. 3 seçeneği, tabanlar eşitlendikten sonra üssün x + 1 değil x sanılmasından doğar.
Kolay
4Bir laboratuvarda bir mikroorganizma kolonisinin alanı her gün iki katına çıkıyor ve x gün sonra 2^x cm² oluyor. Kolonilerin alanı 8 cm²'yi geçtiğinde araştırmacı onları yeni bir kaba aktarıyor. Aktarma yapılması gereken günleri veren eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x < 3
- B) x > 4
- C) x > 3
- D) x < 4
- E) x ≥ 3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x > 3
2^x > 8 = 2³'tür ve 2 tabanlı üstel fonksiyon artan olduğundan eşitsizlik yön değiştirmeden x > 3 olur. x ≥ 3 seçeneği, x = 3'te alanın tam 8 cm² olduğunu, yani 8'i geçmediğini gözden kaçırır.
Kolay
5Bir bilmece kutusunun şifresi, 2^(x − 1) = 16 denklemini sağlayan x sayısıdır. Kutunun şifresi kaçtır?
- A) 5
- B) 4
- C) 3
- D) 8
- E) 17
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
16 = 2⁴ olduğundan x − 1 = 4 ve x = 5 olur. 4 cevabı üsteki −1'i hesaba katmadan x = 4 yazmaktan gelir.
Kolay
6Bir öğrenci 9^x = 27 denklemini iki tarafı 3 tabanında yazarak çözüyor. Denklemin çözümü kaçtır?
- A) 3/2
- B) 3
- C) 2/3
- D) 1/3
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3/2
9^x = 3^(2x) ve 27 = 3³ olduğundan 2x = 3 ve x = 3/2 bulunur. 2/3 cevabı oranı ters kurmaktan gelir.
Kolay
7Bir fen dersinde pH = −log[H⁺] formülü kullanılıyor. pH değeri 5 olan bir çözeltinin hidrojen iyonu derişimi [H⁺] kaç mol/L'dir?
- A) 10⁵
- B) 5
- C) 10⁻⁵
- D) 10⁻⁴
- E) −5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 10⁻⁵
−log[H⁺] = 5 ise log[H⁺] = −5 ve [H⁺] = 10⁻⁵ mol/L olur. 10⁵ cevabı formüldeki eksi işaretini göz ardı etmekten gelir.
Kolay
8Bir telefonun değeri her yıl bir önceki yılın değerine göre %10 azalıyor. 20 000 TL'ye alınan telefon 2 yıl sonra kaç TL eder?
- A) 16 000
- B) 18 000
- C) 18 100
- D) 14 580
- E) 16 200
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 16 200
Değer 20 000 · (0,9)^t olur; t = 2 için 20 000 · 0,81 = 16 200 TL'dir. 16 000 cevabı her yıl ilk değerin %10'u kadar sabit azalma düşünmekten gelir.
Kolay
9Bir öğrenci log₂(x + 3) = log₂(2x − 1) denklemini çözüyor. Denklemin çözümü kaçtır?
- A) 2
- B) −4
- C) 3
- D) 4
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4
Logaritma bire bir olduğundan x + 3 = 2x − 1 ve x = 4 olur; x = 4'te iki ifade de 7 > 0'dır. 7 cevabı x yerine logaritmanın içindeki değeri yazmaktan gelir.
Kolay
10Bir oyunda seviye göstergesi log₂ x değerini gösteriyor; x toplanan altın sayısıdır. Göstergede 4 yazıyorsa oyuncu kaç altın toplamıştır?
- A) 8
- B) 16
- C) 6
- D) 2
- E) 1/16
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 16
log₂ x = 4 ise x = 2⁴ = 16'dır. 8 cevabı 2 ile 4'ü çarpmaktan gelir; logaritma tanımında üs alınır.
Kolay
11Bir öğrenci 2^x = 5 denklemini logaritma tanımını kullanarak çözüyor. Denklemin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x = log₂ 5
- B) x = 5/2
- C) x = log₅ 2
- D) x = 2⁵
- E) x = 5²
Cevabı göster
Doğru cevap: A) x = log₂ 5
y = a^x ⇔ x = logₐ y tanımından x = log₂ 5 olur. log₅ 2 cevabı taban ile sayının yerini değiştirmekten gelir.
Kolay
12Bir öğrenci (1/2)^x ≤ 1/8 eşitsizliğini çözüyor. Eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x ≤ 3
- B) x ≥ −3
- C) x ≥ 3
- D) x ≤ −3
- E) x ≥ 8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x ≥ 3
1/8 = (1/2)³ olduğundan (1/2)^x ≤ (1/2)³ olur; taban 0 ile 1 arasında olduğu için yön değişir ve x ≥ 3 bulunur. x ≤ 3 cevabı yönü çevirmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
13Bir sayaç 4^x, diğer sayaç 2^(x + 3) değerini gösteriyor. İki sayaç hangi x değerinde aynı değeri gösterir?
- A) 1
- B) 3
- C) 2
- D) 4
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
4^x = 2^(2x) olduğundan 2x = x + 3 ve x = 3 olur. 1 cevabı 4^x'i 2^x sanıp x = x + 3 denkleminde işlem hatası yapmaktan gelir.
Kolay
14Bir göletteki nilüfer örtüsünün alanı her hafta 2 katına çıkıyor. Başlangıçta 3 m² olan örtü, 4 hafta sonra kaç m² olur?
- A) 24
- B) 12
- C) 96
- D) 48
- E) 81
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 48
Alan 3 · 2^t ile artar; t = 4 için 3 · 16 = 48 m² olur. 24 cevabı 3 hafta, 96 ise 5 hafta sonrası için hesaplanmış değerdir.
Kolay
15Bir ölçüm cihazı log(x − 3) = 1 olduğunda uyarı veriyor. Cihaz hangi x değerinde uyarı verir?
- A) 10
- B) 7
- C) 4
- D) 103
- E) 13
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 13
log(x − 3) = 1 ise x − 3 = 10¹ = 10 ve x = 13 olur; 13 − 3 > 0 olduğundan kök geçerlidir. 10 cevabı yalnız x − 3 değerini bulup 3'ü eklemeyi unutmaktan gelir.
Kolay
16Bir uygulamanın sunucu yükü 5^(x + 1) birimdir ve yükün 125 birimden az olması isteniyor. Bu koşulu sağlayan x değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x > 2
- B) x < 3
- C) x < 24
- D) x > 3
- E) x < 2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) x < 2
125 = 5³ ve taban 1'den büyük olduğundan x + 1 < 3, yani x < 2 olur. x < 3 cevabı üsteki +1'i hesaba katmamaktan gelir.
Kolay
17Bir göldeki canlı sayısı, t yıl sonra P(t) = 100 · e^(0,2t) ile modelleniyor. ln 2 ≈ 0,7 alındığına göre canlı sayısı yaklaşık kaç yıl sonra başlangıç sayısının iki katı olur?
- A) 3,5
- B) 5
- C) 7
- D) 10
- E) 14
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3,5
100 · e^(0,2t) = 200 ise e^(0,2t) = 2 olur. Doğal logaritma alınırsa 0,2t = ln 2 ≈ 0,7, yani t ≈ 0,7/0,2 = 3,5 yıl bulunur. 5 yanıtı 1/0,2 değeridir; ln 2 hesaba katılmamıştır. 7 ve 14 yanıtları, 0,7'yi 0,2'ye bölmek yerine 10 ya da 20 ile çarpmaktan gelir.
Kolay
18Bir ses ölçerde ses düzeyi L = 10 · log(I/I₀) desibel ile hesaplanıyor; I ses şiddeti, I₀ sabit bir referans şiddettir. Bir okuma odasında 40 desibel, bir atölyede 70 desibel ölçülüyor. Atölyedeki ses şiddeti, okuma odasındaki ses şiddetinin kaç katıdır?
- A) 3
- B) 30
- C) 100
- D) 300
- E) 1000
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 1000
40 = 10 · log(I₁/I₀) denkleminden I₁/I₀ = 10⁴, 70 = 10 · log(I₂/I₀) denkleminden I₂/I₀ = 10⁷ bulunur. Oran I₂/I₁ = 10⁷/10⁴ = 10³ = 1000'dir. 30 yanıtı, desibel farkını kat sanmaktan gelir. Logaritmik ölçekte fark, şiddetin oranına karşılık gelir.
Orta
19Bir oyun tasarımcısı, karakterin x. seviyedeki enerjisini 2^x cinsinden hesaplıyor ve enerji dengesinin sağlandığı seviyeyi bulmak için 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0 denklemini kuruyor. Denklemi çözmek için 2^x = t değişkeni kullanılabilir. Denklemi sağlayan x değeri kaçtır?
- A) 0
- B) 1
- C) 4
- D) −1
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2
2^x = t alınırsa t² − 3t − 4 = 0, yani (t − 4)(t + 1) = 0'dır. 2^x > 0 olduğundan t = −1 olamaz; 2^x = 4 ise x = 2'dir. 4 seçeneği, t = 4 bulunduktan sonra x'e geri dönülmemesinden doğar.
Orta
20Bir veri merkezinde bir sunucunun bekleme süresi x dakika iken sistem yükü log₂(x − 1) birimle ölçülüyor. Yükün 3 birimden az olması isteniyor; ayrıca logaritmanın tanımlı olması gerekiyor. Bu koşulları sağlayan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (1, 9)
- B) (−∞, 9)
- C) (9, ∞)
- D) (1, 7)
- E) (1, 9]
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (1, 9)
Tanım için x − 1 > 0, yani x > 1 olmalıdır; log₂(x − 1) < 3 ise x − 1 < 2³ = 8 ve x < 9'dur. Çözüm (1, 9)'dur. (−∞, 9) seçeneği, logaritmanın içinin pozitif olma koşulunu gözden kaçırır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.