11. Sınıf Temel Matematik · Nicelikler ve Değişimler
Niceliklerin Ters Orantılı Değişimlerine Karşılık Gelen Rasyonel Fonksiyonlar
- ters orantı
- rasyonel fonksiyon
- orantı sabiti
- x · g(x) = b
- tanım kümesi
- artan ve azalan fonksiyon
- fonksiyonun işareti
Ters orantılı nicelikler rasyonel fonksiyonla nasıl gösterilir?
Ters orantılı nicelikler, b sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere g(x) = b/x biçimindeki rasyonel fonksiyonla gösterilir. Bir nicelik artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa, yani çarpımları hep aynı kalıyorsa nicelikler ters orantılıdır. Fonksiyondaki b orantı sabitidir ve grafiğin her noktası için x · g(x) = b olur; dolayısıyla grafikte tek bir nokta bilmek b sabitini bulmaya yeter. Örneğin grafik A(20, 10) noktasından geçiyorsa b = 20 · 10 = 200 ve f(x) = 200/x bulunur. Rasyonel fonksiyon dik koordinat sisteminde eğriyle temsil edilir; tanım kümesi sıfır dışındaki gerçek sayılar olduğunda grafik iki parçadan oluşur ve eksenlere hiç değmez. b pozitifse fonksiyon azalan, b negatifse artandır; artanlık ve azalanlık x < 0 ve x > 0 parçalarında ayrı ayrı geçerlidir. Doğru orantıda y/x oranı sabitken ters orantıda x · y çarpımı sabittir; bir tablo incelenirken önce hangisinin sabit kaldığına bakılır.
Niceliklerin Ters Orantılı Değişimlerine Karşılık Gelen Rasyonel Fonksiyonlar: konu anlatımı ve özeti
Bir nicelik artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa, yani çarpımları hep aynı kalıyorsa bu nicelikler ters orantılıdır. Bu konuda ters orantıyı g(x) = b/x biçimindeki rasyonel fonksiyonla modellemeyi ve grafiğini yorumlamayı öğreniyorsun.
- Tanım: b ∈ ℝ − {0} olmak üzere g: ℝ − {0} → ℝ, g(x) = b/x fonksiyonu ters orantılı değişimi temsil eder; b orantı sabitidir.
- Çarpım kuralı: Grafiğin her noktası için x · g(x) = b olur. Grafikte tek bir nokta bilmek b'yi bulmaya yeter.
- Örnek: Grafik A(20, 10) noktasından geçiyorsa b = 20 · 10 = 200 ve f(x) = 200/x olur. B(−20, 10) noktasından geçen grafik için b = −20 · 10 = −200 bulunur.
- Grafik: Rasyonel fonksiyon eğri ile temsil edilir. Tanım kümesi ℝ − {0} olduğunda grafik iki parçadan oluşur ve eksenlere hiç değmez.
- Artanlık: b > 0 ise fonksiyon azalan, b < 0 ise artandır. Burada artanlık ve azalanlık x < 0 ve x > 0 parçalarında ayrı ayrı geçerlidir.
- İşaret: b > 0 iken x > 0 için g(x) pozitif, x < 0 için negatiftir; b < 0 iken tersi olur.
Unutma: Doğru orantıda oran (y/x), ters orantıda çarpım (x · y) sabittir. Tabloyu incelerken önce hangisinin sabit kaldığına bak.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Kitapta düzeltme
Ders kitabının bu konusundaki bazı bilgiler hatalı, güncel değil ya da çelişkili. Kitaptaki ifadeyi ve doğrusunu aşağıda görebilirsin.
- Hata
Kitapta (s. 39):
f(x) = 200/x için “Orantı sabiti pozitif olan f fonksiyonu daima azalandır”, g(x) = −200/x için “daima artandır” deniyor.Doğrusu: f, x < 0 ve x > 0 aralıklarının her birinde ayrı ayrı azalandır ama tanım kümesinin tamamında (ℝ − {0}) azalan değildir: f(−1) = −200 < f(1) = 200. Aynısı g için de geçerlidir.
Önce temeli pekiştir
Ters orantıyı tanımak ve fonksiyona çevirmek için:
- Tablodaki her satırda x · y çarpımını hesapla. Hep aynı sayıyı buluyorsan ters orantı vardır ve bu sayı b'dir.
- Fonksiyonu g(x) = b/x olarak yaz. x = 0 için tanımsız olduğunu ve bağlama göre tanım kümesini daraltman gerektiğini unutma.
- b'nin işaretine bakarak artanlık-azalanlık ve işaret yorumunu yap.
Günlük hayattan: Belli bir mesafeyi giden araç hızını artırdıkça yol daha kısa sürede biter. Hız · süre çarpımı hep yolu verir; 120 km'lik yol için süre = 120/hız olur.
Sık yapılan hata: "Biri artınca öteki azalıyorsa ters orantıdır" demek. Doğrusu: azalma yetmez, çarpım sabit kalmalıdır. Örneğin bir mumun boyu zamanla azalır ama zaman · boy sabit kalmaz; bu ters orantı değildir.
İpucu: Grafikte işaretli bir noktanın koordinatlarını çarp, orantı sabitini hemen bulursun.
Derinleş
Kitaptaki 4. uygulamadaki grafik A(20, 15) noktasından geçen ve ℝ⁺'da tanımlı bir rasyonel fonksiyona ait. Orantı sabitini bul (20 · 15 = 300), fonksiyonu f(x) = 300/x olarak yaz ve x = 5, 10, 30, 60 için değerleri hesapla (60, 30, 10, 5). Ardından bu fonksiyona uyan bir gerçek yaşam problemi kur: 300 sayfalık bir kitabı günde x sayfa okuyarak kaç günde bitirirsin?
Düşün: Bu problemde x = 7 seçersen sonuç tam sayı çıkmaz. Bağlam, tanım kümesini nasıl sınırlar?
Bu konuda neler var?
- Araştırma Ödevi
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.