İçeriğe geç
dershanede

Influencer ortaklığı

Takipçilerine indirim, sana kazanç

Yükleniyor…

11. Sınıf Temel Matematik · Nicelikler ve Değişimler

Doğrusal ve Rasyonel Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlik Problemleri

  • doğrusal denklem
  • rasyonel denklem
  • eşitsizlik
  • çözüm kümesi
  • işaret tablosu
  • modelleme

Doğrusal ve rasyonel fonksiyonlarla denklem problemleri nasıl çözülür?

Doğrusal ve rasyonel fonksiyonlarla ifade edilen problemler, doğru ya da ters orantılı durum fonksiyonla modellendikten sonra denklem ve eşitsizlik kurularak çözülür. Hangi değerde sorusu denklemle, hangi aralıkta sorusu eşitsizlikle cevaplanır. αx = k denkleminin kökü k/α, b/x = k denkleminin kökü b/k olur. Eşitsizliklerde önce ilgili denklemin kökü bulunur, sonra işaret tablosuyla çözüm aralığı belirlenir; rasyonel fonksiyonda x'in sıfır olamayacağı ve uzunluğun pozitif olması gibi bağlam şartları da hesaba katılır. Örneğin bir pan flütte perde, x cm boru uzunluğu için f(x) = 564/x Hz ile verilir. 282 Hz için 564/x = 282 denklemi çözülür ve x = 2 cm bulunur. 94 Hz ve üzeri için 564/x ≥ 94 eşitsizliğinden 0 < x ≤ 6 elde edilir. Çözüm bulunduktan sonra bağlama geri dönülür: Zaman, uzunluk ve kütle negatif olamayacağı için çözüm kümesi buna göre daraltılır.

Doğrusal ve Rasyonel Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlik Problemleri: konu anlatımı ve özeti

Bu konuda doğru ve ters orantılı durumları fonksiyonla modelledikten sonra "hangi değerde?" ve "hangi aralıkta?" sorularını denklem ve eşitsizlik kurarak cevaplıyorsun.

  • Doğrusal denklem: k, α ∈ ℝ − {0} için αx = k denkleminin kökü k/α'dır, çözüm kümesi {k/α} olur.
  • Doğrusal eşitsizlik: f(x) > k, f(x) ≥ k, f(x) < k, f(x) ≤ k eşitsizliklerinin çözüm aralığı, f(x) = k denkleminin işaret tablosu kullanılarak bulunur.
  • Rasyonel denklem: b, k ∈ ℝ − {0} için b/x = k denkleminin kökü b/k'dır.
  • Rasyonel eşitsizlik: g(x) = k denkleminin kökü bulunur, işaret tablosu ile çözüm aralığı belirlenir. x ≠ 0 koşulunu ve bağlamdaki işaret şartını (uzunluk pozitif gibi) hesaba kat.
  • Örnek (pan flüt): Perde f(x) = 564/x Hz, x cm boru uzunluğu. 282 Hz için 564/x = 282 ⇒ x = 2 cm. 94 Hz ve üzeri için 564/x ≥ 94 ⇒ 0 < x ≤ 6. 12 Hz ile 94 Hz arası için 6 < x < 47 bulunur.
  • Örnek (tuz çözeltisi): %20'si tuz olan m g çözeltiyi doygun hâle getirmek için gereken tuz f(m) = m/25'tir; 250 g için 10 g tuz gerekir.

Unutma: Çözümü bulduktan sonra bağlama geri dön. Zaman, uzunluk ve kütle negatif olamaz; çözüm kümesini buna göre daralt.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:

Kitapta düzeltme

Ders kitabının bu konusundaki bazı bilgiler hatalı, güncel değil ya da çelişkili. Kitaptaki ifadeyi ve doğrusunu aşağıda görebilirsin.

  • Hata

    Kitapta (s. 48): Örnek (d): Aradaki mesafenin 100 km’den az olduğu zaman f(t) < 100 yani 200t < 100 eşitsizliğiyle bulunuyor; buradan t < 1/2 elde edilip “ilk kez karşılaşacağı ana yarım saat kala” deniyor.

    Doğrusu: 200t iki aracın aldığı toplam yoldur, aradaki mesafe 600 − 200t’dir. Doğru eşitsizlik 600 − 200t < 100’dür; buradan 2,5 < t < 3 çıkar. Sonuç (karşılaşmaya yarım saat kala) doğrudur ama 200t < 100 eşitsizliği yanlıştır.

Önce temeli pekiştir

Bir problemi denklem ya da eşitsizliğe çevirirken:

  1. Bağımsız ve bağımlı değişkeni belirle, ilişkinin doğru mu ters mi orantılı olduğuna karar ver.
  2. Fonksiyonu yaz (f(x) = αx ya da g(x) = b/x), soruda istenen koşulu "=", "<", "≥" gibi işaretlerle ifade et.
  3. Çözümü bul ve bağlama göre anlamlı olan kısmı seç.

Günlük hayattan: Birbirine 600 km uzaktaki iki şehirden saatte 80 km ve 120 km hızla karşılıklı yola çıkan iki araç saatte toplam 200 km yaklaşır. 200t = 600 ⇒ t = 3 saatte karşılaşırlar.

Sık yapılan hata: Rasyonel eşitsizliği x ile çarparken x'in işaretini düşünmemek. x negatifse eşitsizlik yön değiştirir. Bağlamda x > 0 ise güvenle çarpabilirsin; değilse işaret tablosu kullan.

İpucu: Rasyonel eşitsizlikte iki tarafı ters çevirmek (1/x'e geçmek) yalnız iki taraf da aynı işaretliyse yön değiştirir; adımı yazarken bunu kontrol et.

Derinleş

Kitaptaki 8. örnekte 600 km arayla karşılıklı yola çıkan iki aracın arasındaki mesafenin ne zaman 100 km'den az olduğu soruluyor. Kitapta bu durum f(t) = 200t < 100 diye kurulmuş ve t < 1/2 bulunmuş; bu eşitsizlik aslında ilk yarım saatte alınan toplam yolu anlatıyor. Aradaki mesafeyi d(t) = 600 − 200t ile kendin modelle, d(t) < 100 eşitsizliğini çöz ve karşılaşmadan önceki aralığı yaz (2,5 < t < 3).

Düşün: "Alınan toplam yol" ile "kalan mesafe" farklı fonksiyonlarsa, sözel sonucun doğru çıkması modelin doğru olduğunu gösterir mi?

Bu konuda neler var?

  • Öz Değerlendirme Formu

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.