12. Sınıf Matematik · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Logaritma Fonksiyonu

logaritma
ters fonksiyon
taban değiştirme
tanım kümesi
log x
ln x

Logaritma fonksiyonu nedir ve özellikleri nelerdir?

Logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyonun tersi olan ve a > 0, a ≠ 1, x > 0 için y = logₐ x ⇔ a^y = x eşitliğiyle tanımlanan fonksiyondur. Örneğin log₂ 8 = 3'tür, çünkü 2³ = 8'dir; log₃(1/9) = −2'dir, çünkü 3^(−2) = 1/9'dur. 10 tabanındaki logaritma log x, e tabanındaki logaritma ln x ile gösterilir. Taban 1'den büyükse grafik artandır, (1, 0) noktasından geçer ve y eksenine yaklaşır ama onu kesmez; y = a^x grafiğiyle y = x doğrusuna göre simetriktir. Temel özelliklere göre logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ(x · y) = logₐ x + logₐ y ve logₐ(xⁿ) = n · logₐ x'tir. Taban değiştirme kuralı logₐ b = log b / log a şeklindedir; log 2 ≈ 0,301 ise log 8 ≈ 0,903 bulunur. Logaritmanın tanımlı olması için içteki ifade pozitif, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Logaritma pH, deprem büyüklüğü ve ses düzeyi ölçeklerinin temelidir. logₐ(x + y) ifadesi logₐ x + logₐ y'ye eşit değildir.

Logaritma Fonksiyonu: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, üstel fonksiyonun tersi olan logaritma fonksiyonunu, grafiğini ve işlem özelliklerini anlatıyor. Logaritma pH, deprem büyüklüğü ve ses düzeyi gibi ölçeklerin temelidir.

a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 için y = logₐ x ⇔ a^y = x'tir. Örnek: log₂ 8 = 3 çünkü 2³ = 8; log₃(1/9) = −2 çünkü 3^(−2) = 1/9.
10 tabanındaki logaritma log x, e tabanındaki logaritma ln x ile gösterilir.
Grafik: a > 1 ise artandır, (1, 0) noktasından geçer ve y eksenine yaklaşır ama onu kesmez. y = a^x grafiğiyle y = x doğrusuna göre simetriktir.
y = log₂ x grafiği (1, 0)’dan geçer ve y eksenini kesmez; y = 2ˣ ile y = x doğrusuna göre simetriktir
Temel özellikler: logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ(x · y) = logₐ x + logₐ y, logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y, logₐ(xⁿ) = n · logₐ x, a^(logₐ x) = x.
Taban değiştirme kuralı logₐ b = log b / log a şeklindedir. Örnek: log 2 ≈ 0,301 ise log 8 = 3 · log 2 ≈ 0,903 bulunur.
Tanım şartı: log_{h(x)} g(x) ifadesinin tanımlı olması için g(x) > 0, h(x) > 0 ve h(x) ≠ 1 olmalıdır. Örnek: log(x − 2) + log(5 − x) ifadesinin en geniş tanım kümesi (2, 5) aralığıdır.

Unutma: logₐ(x + y), logₐ x + logₐ y'ye eşit değildir. Logaritmada toplamaya dönüşen işlem çarpmadır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Logaritmayı bir soru gibi oku: logₐ x, "a'yı kaçıncı kuvvetine yükseltirsem x olur?" sorusunun cevabıdır.

log₂ 32 için sor: 2'nin kaçıncı kuvveti 32? 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, cevap 5.
log 1000 için taban 10'dur: 10³ = 1000, cevap 3.
log₅ 1 için: 5⁰ = 1, cevap 0. Hangi taban olursa olsun logₐ 1 = 0'dır.

Günlük hayattan: Deprem büyüklüğü logaritmik bir ölçektir. Büyüklük 1 arttığında sismografta ölçülen dalga genliği yaklaşık 10 katına çıkar; bu yüzden 6 büyüklüğündeki deprem 5 büyüklüğündekinden "biraz" değil, çok daha güçlüdür.

Sık yapılan hata: log(x + y) = log x + log y yazmak. Doğrusu: Toplama kuralı çarpım içindir, log(x · y) = log x + log y. Örneğin log(10 + 10) = log 20 ≈ 1,30 iken log 10 + log 10 = 2'dir.

Derinleş

Ses düzeyi (desibel), asitlik (pH) ve yıldız parlaklığı ölçeklerinden birini seç ve neden doğrusal değil logaritmik bir ölçek kullanıldığını araştır. Seçtiğin ölçekte 1 birimlik farkın gerçekte kaç katlık değişim anlamına geldiğini örnekle göster. Gürültü yönetmeliklerinde sınır değerler bu ölçekle verilir: Bir okul çevresi için sınırı 3 dB artırmak sana küçük bir değişiklik gibi mi görünüyor, gerçekte ne demek?

Bu konuda neler var?

Logaritma Fonksiyonu ve Grafiği
Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Uygulamaları

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Ali, bilimsel hesap makinesinde 2, 5, 10 ve 0,5 tabanlarıyla logaritma değerleri hesaplayıp bir tablo hazırlıyor. Tabloda, taban ne seçilirse seçilsin sonucu hiç değişmeyen bir satır dikkatini çekiyor. Ali'nin fark ettiği, her uygun a tabanı (a > 0, a ≠ 1) için doğru olan eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?
- A) logₐ 0 = 1
- B) logₐ a = 0
- C) logₐ(2a) = 2
- D) logₐ a² = a
- E) logₐ 1 = 0
Cevabı göster
Doğru cevap: E) logₐ 1 = 0
a⁰ = 1 olduğundan her uygun taban için logₐ 1 = 0'dır. logₐ 0 tanımsızdır, çünkü a'nın hiçbir kuvveti 0 olmaz; logₐ a ise 0 değil 1'dir.
Kolay
2Eleme usulüyle oynanan bir masa tenisi turnuvasında her maçı kaybeden oyuncu eleniyor ve her turda oyuncu sayısı yarıya iniyor. x oyunculu turnuvanın tur sayısı log₂ x ile hesaplanıyor ve bu turnuva tam 5 tur sürüyor. Turnuvaya kaç oyuncu katılmıştır?
- A) 10
- B) 25
- C) 32
- D) 7
- E) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 32
log₂ x = 5 ifadesi 2⁵ = x demektir; x = 32 bulunur. 10, tabanla logaritma değerini çarpmaktan (2 · 5) doğar; logaritma tanımı üs ilişkisi kurar, çarpım değil.
Kolay
3Bir okul turnuvasında her maçta 3 takım karşılaşıyor ve yalnızca birinci olan takım bir üst tura çıkıyor. Turnuvaya 81 takım katılıyor; tek takım kalınca turnuva bitiyor. Tur sayısı log₃ 81 ifadesiyle hesaplanıyor. Turnuvanın kaç tur sürdüğünü veren log₃ 81 ifadesinin değeri kaçtır?
- A) 3
- B) 4
- C) 9
- D) 27
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4
Her turda takım sayısı üçte birine iner: 81 → 27 → 9 → 3 → 1. 3⁴ = 81 olduğundan log₃ 81 = 4'tür. 27, 81'i bir kez 3'e bölmekle yetinmekten doğar; logaritma kaç kez bölündüğünü, yani üssü verir.
Kolay
4Bir arama programının bir kaydı bulmak için yaptığı adım sayısı, kayıt sayısı x olmak üzere y = log₂ x ile modelleniyor. Yazılım mühendisi bu fonksiyonun grafiğini çizerken eğrinin x eksenini kestiği noktayı işaretliyor. İşaretlenen nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, 1)
- B) (1, 0)
- C) (0, 0)
- D) (2, 0)
- E) (0, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (1, 0)
log₂ 1 = 0 olduğundan grafik x eksenini (1, 0) noktasında keser. (0, 1) üstel fonksiyonun geçtiği noktadır; log₂ x fonksiyonu x = 0'da tanımsız olduğundan y eksenini hiç kesmez.
Kolay
5Bir öğrenci log₃ 54 − log₃ 2 ifadesini hesaplıyor. Önce farkı tek bir logaritma olarak yazıyor. İfadenin değeri kaçtır?
- A) 3
- B) 27
- C) 52
- D) log₃ 52
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3
logₐ x − logₐ y = logₐ(x / y) olduğundan ifade log₃ 27 = 3 olur. log₃ 52 sonucu, logaritmaların farkını içlerin farkı sanmaktan gelir.
Kolay
6Bir sensörün çıkış değeri f(x) = log(x − 3) formülüyle hesaplanıyor. Formülün tanımlı olduğu x değerlerinin en geniş kümesi hangisidir?
- A) [3, ∞)
- B) (3, ∞)
- C) (−∞, 3)
- D) (0, ∞)
- E) R
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (3, ∞)
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x − 3 > 0'dan x > 3 bulunur. x = 3 için içi 0 olur ve log 0 tanımsızdır, bu yüzden [3, ∞) yanlıştır.
Kolay
7Bir çalışma kâğıdında 5^(log₅ 7) ifadesinin değeri soruluyor. Bu ifadenin değeri kaçtır?
- A) 5
- B) 35
- C) log₅ 7
- D) 7
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
a^(logₐ x) = x özelliğine göre 5^(log₅ 7) = 7 olur. 35 sonucu taban ile logaritmanın içini çarpmaktan gelir.
Kolay
8Bir haritacılık ödevinde iki ölçek değerinin toplamı log₆ 4 + log₆ 9 olarak bulunuyor. Burak bu toplamı tek bir logaritmaya çevirerek hesaplıyor. Toplam kaçtır?
- A) 13
- B) 2
- C) log₆ 13
- D) 1
- E) 36
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
logₐ x + logₐ y = logₐ(x · y) olduğundan toplam log₆ 36 = 2'dir. log₆ 13 sonucu, logaritmaların toplamını içlerin toplamı sanmaktan gelir.
Kolay
9Bir bulmacada “Hangi tabanda 49'un logaritması 2'dir?” sorusu soruluyor. Yani logₓ 49 = 2 eşitliğini sağlayan x aranıyor. x kaçtır?
- A) 49/2
- B) 98
- C) 7
- D) −7
- E) 2401
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7
logₓ 49 = 2 ise x² = 49'dur; taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, bu yüzden x = 7 bulunur. −7'nin karesi de 49'dur ama negatif sayı logaritma tabanı olamaz.
Kolay
10Hesap makinesi olmayan Can, yalnızca log 2 ≈ 0,301 değerini biliyor. log 5 değerini 5 = 10 / 2 eşitliğinden yararlanarak hesaplıyor. log 5 yaklaşık kaçtır?
- A) 0,699
- B) 0,602
- C) 1,505
- D) 0,903
- E) 0,151
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 0,699
log 5 = log 10 − log 2 = 1 − 0,301 = 0,699 olur. 1,505 sonucu log 5'i 5 · log 2 sanmaktan gelir.
Kolay
11Bir hesap makinesinde ln tuşu e tabanındaki logaritmayı hesaplıyor. Zeynep ekrana ln(e⁴) yazıyor. Ekranda görünecek sonuç kaçtır?
- A) e⁴
- B) 4
- C) 4e
- D) 1
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4
ln, e tabanında logaritmadır ve ln(e⁴) = 4 · ln e = 4 · 1 = 4 olur. 4e sonucu ln e'yi e sanmaktan gelir; oysa ln e = 1'dir.
Kolay
12Bir ses ölçüm etkinliğinde bir sesin şiddeti duyma eşiğinin 1000 katı olarak ölçülüyor. Öğrenciler bu oranın 10 tabanında logaritmasını, yani log 1000 değerini hesaplıyor. Bu değer kaçtır?
- A) 3
- B) 100
- C) 30
- D) 4
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3
10³ = 1000 olduğundan log 1000 = 3 olur. 100 sonucu 1000'i 10'a bölmekten, 4 ise sıfır sayısına 1 eklemekten gelir.
Kolay
13Elif, bir grafik programında y = 2^x ve y = log₂ x eğrilerini aynı düzlemde çiziyor ve iki eğrinin birbirinin yansıması gibi göründüğünü fark ediyor. Bu iki grafik hangi doğruya ya da eksene göre simetriktir?
- A) y ekseni
- B) y = x doğrusu
- C) x ekseni
- D) y = −x doğrusu
- E) x = 1 doğrusu
Cevabı göster
Doğru cevap: B) y = x doğrusu
Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun tersidir; bir fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. y eksenine göre simetrik olan 2^x ile (1/2)^x grafikleridir.
Kolay
14Bir bilgisayar dersinde öğretmen, 32 farklı karakteri kodlamak için gereken bit sayısının log₂ 32 ile bulunduğunu söylüyor. Kaç bit gerekir?
- A) 6
- B) 4
- C) 16
- D) 10
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 5
2⁵ = 32 olduğundan log₂ 32 = 5'tir. 16 sonucu 32'yi 2'ye bölmekten gelir; logaritma bölme değil, üs sorusudur.
Kolay
15Bir kimya deneyinde bir çözelti her seferinde 3 kat seyreltiliyor ve seyreltme düzeyi log₃ ile hesaplanıyor. Defterdeki bir adımda log₃(1/27) ifadesi yer alıyor. Bu ifadenin değeri kaçtır?
- A) 3
- B) −9
- C) −3
- D) 1/3
- E) −1/3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −3
3^(−3) = 1/27 olduğundan log₃(1/27) = −3'tür. 3 sonucu, 1/27'nin 3'ün negatif kuvveti olduğunu gözden kaçırmaktan gelir.
Kolay
16Bir oyunda seviye puanı log₂(8⁵) ile hesaplanıyor. Mert, üs kuralını kullanarak bu puanı buluyor. Seviye puanı kaçtır?
- A) 8
- B) 40
- C) 125
- D) 15
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 15
logₐ(xⁿ) = n · logₐ x kuralıyla 5 · log₂ 8 = 5 · 3 = 15 olur. 40 sonucu log₂ 8'i 8 kabul edip 5 ile çarpmaktan gelir.
Kolay
17Selin, logaritma değerlerini hesaplamadan yalnız tabana ve logaritması alınan sayıya bakarak işaretlerini belirliyor. Aşağıdakilerden hangisi negatif bir sayıdır?
- A) log₂ 3
- B) log₅ 1
- C) log_(1/2) (1/4)
- D) log_(1/3) (1/5)
- E) log_(1/3) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) log_(1/3) 5
Taban 0 ile 1 arasındayken logaritma fonksiyonu azalandır ve log_(1/3) 1 = 0'dır; 5 > 1 olduğundan log_(1/3) 5 < 0 olur. log₂ 3 artan fonksiyonda 1'den büyük sayının logaritmasıdır, pozitiftir. log₅ 1 = 0'dır. log_(1/2) (1/4) = 2 ve log_(1/3) (1/5) = log₃ 5 pozitiftir: tabanın kesir olması tek başına sonucu negatif yapmaz.
Kolay
18Bir grafik programında y = logₐ x eğrisinin (8, 3) noktasından geçtiği görülüyor. Program aynı a tabanıyla y = a^x eğrisini de çizecek. Aşağıdaki noktalardan hangisi y = a^x eğrisinin üzerindedir?
- A) (8, 3)
- B) (−3, 8)
- C) (3, 8)
- D) (3, −8)
- E) (1/8, 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (3, 8)
y = logₐ x ile y = a^x birbirinin ters fonksiyonudur; biri (p, q) noktasından geçiyorsa öteki (q, p) noktasından geçer. Bu yüzden (3, 8) noktası y = a^x eğrisi üzerindedir. Denetim: logₐ 8 = 3 ise a³ = 8, yani a = 2 ve 2³ = 8'dir. (8, 3) noktası logaritma eğrisinin noktasıdır; (3, −8) ise üstel eğrinin x eksenini kesmemesi, değerlerinin hep pozitif olmasıyla çelişir.
Orta
19Bir sesin şiddeti, duyma eşiğindeki şiddetin 50 katıdır. Ses düzeyi desibel cinsinden L = 10 · log 50 bağıntısıyla hesaplanıyor. Ölçüm yapan öğrencilerin yanında hesap makinesi yok, yalnızca log 2 ≈ 0,301 değerini biliyorlar. Bu sesin düzeyi yaklaşık kaç desibeldir?
- A) 16,99
- B) 6,99
- C) 13,01
- D) 23,01
- E) 15,05
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 16,99
log 50 = log(100/2) = 2 − 0,301 = 1,699 olduğundan L ≈ 16,99 dB'dir. 23,01, 50'yi 100 · 2 sanıp logaritmaları toplamaktan doğar; 50 sayısı 100'ün 2'ye bölümüdür.
Orta
20Bir uygulama, bir dosyanın sıkıştırma seviyesini, dosya boyutu x MB olmak üzere f(x) = log₃(x − 1) + 2 kuralıyla hesaplıyor. Kullanıcı ise istediği seviyeyi girip buna karşılık gelen dosya boyutunu öğrenmek istiyor; bunun için uygulamaya f'nin ters fonksiyonu ekleniyor. Eklenen ters fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
- A) f⁻¹(x) = 3^(x + 2) − 1
- B) f⁻¹(x) = 3^(x − 1) + 2
- C) f⁻¹(x) = 3^(x − 2) − 1
- D) f⁻¹(x) = 3^(x − 2) + 1
- E) f⁻¹(x) = 3^(x + 1) − 2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) f⁻¹(x) = 3^(x − 2) + 1
y = log₃(x − 1) + 2 ise y − 2 = log₃(x − 1), yani x − 1 = 3^(y − 2) ve x = 3^(y − 2) + 1 olur; x ile y yer değiştirince f⁻¹(x) = 3^(x − 2) + 1 bulunur. 3^(x + 2) − 1 sonucu, ters işlemlerde işaretleri ters çevirmek yerine aynen bırakmaktan doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.