12. Sınıf Matematik · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel Fonksiyon

üslü ifade
taban
artan fonksiyon
azalan fonksiyon
e sayısı
grafik

Üstel fonksiyon nedir ve grafiği nasıl olur?

Üstel fonksiyon, a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere gerçek sayılardan pozitif gerçek sayılara tanımlanan f(x) = a^x biçimindeki fonksiyondur. Taban 1'den büyükse fonksiyon artan, 0 ile 1 arasındaysa azalandır. Grafik her zaman (0, 1) noktasından geçer ve x eksenini kesmez. Üstel fonksiyon bire birdir: a^m = a^n ise m = n'dir ve üstel denklemler bu özellikle çözülür. Üslü ifade kurallarına göre a^m · a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(m·n) ve a^(−n) = 1/a^n'dir; örneğin 2^(−3) = 1/8 ve 4^(3/2) = 8'dir. Doğal büyüme süreçlerinde e ≈ 2,718 tabanı kullanılır ve f(x) = e^x yazılır. Nüfus artışı, bakteri çoğalması ve faiz hesabı üstel fonksiyonlarla modellenir: her saat iki katına çıkan 1000 bakteri 3 saat sonra 1000 · 2³ = 8000 olur. Tabanı 1, 0 ya da negatif olan 1^x veya (−2)^x gibi ifadeler üstel fonksiyon sayılmaz.

Üstel Fonksiyon: konu anlatımı ve özeti

Bu konu üslü ifadelerin özelliklerini hatırlatıyor ve f(x) = a^x biçimindeki üstel fonksiyonu ve grafiğini tanıtıyor. Nüfus artışı, bakteri çoğalması ve faiz hesabı üstel fonksiyonlarla modellenir.

Üslü ifade kuralları: a^m · a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m−n), (a^m)^n = a^(m·n), (a · b)^m = a^m · b^m, a⁰ = 1 (a ≠ 0), a^(−n) = 1/a^n.
Örnek: 2^(−3) = 1/8 ve 4^(3/2) = (√4)³ = 8'dir.
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f: R → R⁺, f(x) = a^x fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalandır. Grafik her zaman (0, 1) noktasından geçer ve x eksenini kesmez.
y = 2ˣ artan, y = (1/2)ˣ azalan üstel fonksiyon; ikisi de (0, 1) noktasından geçer ve x eksenini kesmez
Üstel fonksiyon bire birdir: a^m = a^n ise m = n'dir. Üstel denklemler bu özellikle çözülür.
Doğal büyüme süreçlerinde e ≈ 2,718 tabanı kullanılır ve f(x) = e^x yazılır.
Örnek: Her saat iki katına çıkan 1000 bakteri 3 saat sonra 1000 · 2³ = 8000 olur.

Unutma: Tabanı 1, 0 ya da negatif olan ifadeler (1^x, (−2)^x gibi) üstel fonksiyon sayılmaz. Tabanın şartını (a > 0, a ≠ 1) her soruda kontrol et.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Üstel fonksiyonu anlamak için x büyüdükçe değerin her adımda aynı sayıyla çarpıldığını izle.

f(x) = 2^x için küçük bir tablo yap: x = −2, −1, 0, 1, 2, 3 için 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8.
Her adımda değer 2 ile çarpılıyor; doğrusal fonksiyonda ise her adımda aynı sayı eklenir.
x = 0'da değer 1'dir; negatif x için değer küçülür ama hiç sıfır ya da negatif olmaz.

Günlük hayattan: Haftalık harçlığına her hafta 10 TL eklenmesi doğrusal artıştır. Bir haberin her gün paylaşan sayısını ikiye katlayarak yayılması üstel artıştır; ilk günler yavaş görünür, sonra çok hızlanır.

Sık yapılan hata: 2^x ile 2x'i karıştırmak. x = 3 için 2x = 6, ama 2^x = 2 · 2 · 2 = 8'dir. Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını gösterir.

Derinleş

Bir sıvının ya da bir sıcak içeceğin oda sıcaklığına doğru soğumasını telefonla ya da termometreyle 5 dakikada bir ölçüp tabloya yaz. Ölçümler arasındaki farklar mı, oda sıcaklığına olan uzaklıkların oranları mı daha sabit kalıyor? Bu sonuca göre soğumayı doğrusal mı, üstel mi modellemek daha uygun? Modelinle 1 saat sonraki sıcaklığı tahmin et ve gerçek ölçümle karşılaştır.

Bu konuda neler var?

Üstel Fonksiyon ve Üstel Fonksiyonun Grafiği

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir ilacın kandaki miktarı her saat bir önceki saattekinin %40'ına iniyor; x saat sonra kalan miktarın başlangıç miktarına oranı f(x) = (0,4)^x ile veriliyor. Hemşire, fonksiyonu x'in bütün gerçek sayı değerleri için inceleyerek grafiğin genel özelliklerini not ediyor. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Azalandır ve grafiği x eksenini kesmez.
- B) Artandır ve grafiği (0, 1) noktasından geçer.
- C) Azalandır ve grafiği (1, 0) noktasından geçer.
- D) Artandır ve grafiği x eksenini kesmez.
- E) Azalandır ve grafiği x eksenini x = 5'te keser.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Azalandır ve grafiği x eksenini kesmez.
Taban 0 ile 1 arasında olduğundan fonksiyon azalandır; (0,4)^x her x için pozitif olduğundan grafik x eksenine yaklaşır ama onu hiç kesmez. İlacın zamanla tükeneceğini düşünüp grafiğin x eksenini kestiğini sanmak yaygın bir yanılgıdır; oran ne kadar küçülse de sıfır olmaz.
Kolay
2Ece, hacmi 27 dm³ olan küp biçimli akvaryumunun bir yüzüne yapıştıracağı süs kâğıdının alanını hesaplamak istiyor. Küpün bir yüzünün alanının, hacmin 2/3. kuvvetine eşit olduğunu fark ediyor. Bir yüzün alanını veren 27^(2/3) ifadesinin değeri kaç dm²'dir?
- A) 18
- B) 9
- C) 6
- D) 3
- E) 81
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9 olur; küpün kenarı 3 dm, bir yüzünün alanı 9 dm²'dir. 18, tabanı üsle çarpmaktan (27 · 2/3) doğan bir yanılgıdır; kesirli üs çarpma değil kök ve kuvvet bildirir.
Kolay
3Selin, bir grafik çizim uygulamasına dört farklı kural giriyor. Uygulama yalnızca bütün gerçek sayılarda tanımlı olan ve x her 1 arttığında değeri hep aynı, 1'den farklı pozitif bir sabitle çarpılan kuralları "üstel model" olarak kaydedebiliyor. Selin'in girdiği kurallardan hangisi üstel fonksiyon olarak kaydedilir?
- A) f(x) = 1^x
- B) f(x) = (1/3)^x
- C) f(x) = (−2)^x
- D) f(x) = x³
- E) f(x) = 3x
Cevabı göster
Doğru cevap: B) f(x) = (1/3)^x
Üstel fonksiyonda taban pozitif ve 1'den farklı bir sabittir, değişken üstte yer alır; 1/3 bu şartları sağlar. 1^x de üstte değişken taşır ama her x için 1 değerini veren sabit fonksiyondur; (−2)^x ise x = 1/2 gibi değerlerde gerçek sayı vermez.
Kolay
4Mert, bir grafik uygulamasında f(x) = a^x fonksiyonundaki a değerini kaydırma çubuğuyla 0,2'den 5'e kadar değiştiriyor (a = 1 hariç). Eğri her seferinde biçim değiştirse de ekranda hiç yerinden oynamayan bir nokta dikkatini çekiyor. Bu sabit kalan nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (1, 0)
- B) (0, 0)
- C) (0, 1)
- D) (1, 1)
- E) (0, a)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (0, 1)
Her a için f(0) = a⁰ = 1 olduğundan bütün eğriler (0, 1) noktasından geçer. (1, 0) noktası logaritma fonksiyonunun sabit noktasıdır; üstel fonksiyonda x = 1 için değer a olur ve a değiştikçe bu nokta da kayar.
Kolay
5Bir sınıf panosundaki etkinlikte 5⁰ + 5^(−1) toplamının hesaplanması isteniyor. Bu toplamın değeri kaçtır?
- A) 1/5
- B) 1
- C) 0
- D) 4/5
- E) 6/5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 6/5
Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir ve 5^(−1) = 1/5'tir; toplam 1 + 1/5 = 6/5 olur. 5⁰'ı 0 sanan öğrenci 1/5 sonucunu bulur.
Kolay
6Elif, bir bulmacada (3²)³ / 3⁴ ifadesinin değerini bulması gerektiğini görüyor. Önce üssün üssü kuralını, sonra bölme kuralını uyguluyor. İfadenin değeri kaçtır?
- A) 3
- B) 27
- C) 9
- D) 81
- E) 1/9
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9
(3²)³ = 3⁶ olur; 3⁶ / 3⁴ = 3^(6 − 4) = 3² = 9 bulunur. (3²)³ ifadesini 3⁵ sanan öğrenci 3 sonucuna ulaşır.
Kolay
7Bir öğretmen tahtaya f(x) = (1/2)^x fonksiyonunu yazıyor ve öğrencilerden f(−2), f(−1), f(0), f(1), f(3) değerlerinden en büyüğünü bulmalarını istiyor. En büyük değer hangisidir?
- A) f(−2)
- B) f(3)
- C) f(0)
- D) f(1)
- E) f(−1)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) f(−2)
Taban 1/2 olduğundan fonksiyon azalandır; en küçük x değerinde en büyük değer alınır: f(−2) = 4. f(3)'ü seçen öğrenci büyük x'in büyük değer vereceğini sanmıştır.
Kolay
8Bir biyoloji kitabında doğal büyüme süreçleri f(x) = e^x biçimindeki üstel fonksiyonlarla modelleniyor. Bu modellerde taban olarak kullanılan e sayısı yaklaşık kaçtır?
- A) 2,718
- B) 3,142
- C) 1,414
- D) 1,618
- E) 2,303
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2,718
Doğal büyüme süreçlerinde kullanılan e sayısı yaklaşık 2,718'dir. 3,142 değeri π sayısına aittir, e ile karıştırılmamalıdır.
Kolay
9Bir göletin yüzeyindeki su bitkisinin kapladığı alan her hafta bir önceki haftanın 3 katına çıkıyor. Başlangıçta bitki 2 m² alan kaplıyor. 3 hafta sonra bitkinin kapladığı alan kaç m² olur?
- A) 18
- B) 162
- C) 54
- D) 27
- E) 11
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 54
Alan 2 · 3³ = 2 · 27 = 54 m² olur. 18 sonucu 3 katına çıkmayı bir hafta eksik, 162 ise bir hafta fazla uygulamaktan gelir.
Kolay
10Kerem, matematik ödevindeki bir işlemi hesap makinesine girmeden önce üslü ifade kurallarıyla sadeleştirmek istiyor. Ödevdeki işlem 2^(−3) · 2^5'tir. Bu işlemin sonucu kaçtır?
- A) 1/4
- B) 8
- C) 16
- D) 4
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4
Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: 2^(−3 + 5) = 2² = 4. Üsleri çarpmak ya da negatif üssün işaretini gözden kaçırıp 2^(3 + 5) yazmak yanlış sonuca götürür.
Kolay
11Bir kaçış odasındaki kilidin şifresi, 2^(x + 3) = 2⁷ eşitliğini sağlayan x sayısıdır. Mehmet, üstel fonksiyonun bire bir olmasından yararlanarak üsleri eşitliyor. Şifre kaçtır?
- A) 7
- B) 10
- C) 4
- D) 3
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
Üstel fonksiyon bire bir olduğundan x + 3 = 7 ve x = 4 olur. 10 sonucu üslere 3 eklemekten, 7 sonucu ise x + 3'ü x sanmaktan gelir.
Kolay
12Bir ders yazılımı, x arttıkça değeri küçülen üstel fonksiyonları mavi renkle çiziyor. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi mavi renkle çizilir?
- A) f(x) = (3/2)^x
- B) f(x) = 1^x
- C) f(x) = (−0,5)^x
- D) f(x) = 2^x
- E) f(x) = (0,7)^x
Cevabı göster
Doğru cevap: E) f(x) = (0,7)^x
Tabanı 0 ile 1 arasında olan üstel fonksiyon azalandır; 0,7 bu aralıktadır. (−0,5)^x ve 1^x tabanın a > 0, a ≠ 1 şartını sağlamadığı için üstel fonksiyon değildir.
Kolay
13Ali, 2⁴ · 5⁴ çarpımını hesap makinesi kullanmadan bulmak istiyor ve üsleri eşit olan çarpanları tek bir üslü ifade olarak yazıyor. Çarpımın sonucu kaçtır?
- A) 1000
- B) 10 000
- C) 100 000
- D) 7⁸
- E) 10¹⁶
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10 000
(a · b)^m = a^m · b^m kuralına göre 2⁴ · 5⁴ = 10⁴ = 10 000 olur. 10¹⁶ sonucu üsleri çarpmaktan, 7⁸ ise tabanları toplayıp üsleri toplamaktan gelir.
Kolay
14Bir bilgisayar oyununda karakterin hızı 16^(3/4) birim olarak veriliyor. Defne bu değeri 16'yı 2'nin kuvveti olarak yazarak hesaplıyor. Karakterin hızı kaç birimdir?
- A) 8
- B) 12
- C) 4
- D) 6
- E) 64
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 8
16 = 2⁴ olduğundan 16^(3/4) = 2^(4 · 3/4) = 2³ = 8 bulunur. 16 · 3/4 = 12 işlemi kesirli üssü çarpan gibi kullanmaktır ve yanlıştır.
Kolay
15Bir grafik uygulamasında f(x) = 2^x + 3 fonksiyonunun grafiği çiziliyor. Selin, grafiğin y eksenini kestiği noktayı işaretlemek istiyor. Bu nokta hangisidir?
- A) (0, 3)
- B) (0, 4)
- C) (0, 5)
- D) (0, 1)
- E) (3, 0)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (0, 4)
y eksenini kestiği noktada x = 0'dır: f(0) = 2⁰ + 3 = 1 + 3 = 4. 2⁰'ı 0 sanan öğrenci (0, 3) noktasını işaretler.
Kolay
16Bir maya kültüründeki hücre sayısı (bin hücre) x saat sonra f(x) = 3^x ile modelleniyor. Araştırmacı ölçüme başladığı andan 2 saat sonrasına kadar hücre sayısının ne kadar arttığını hesaplıyor. Artış kaç bin hücredir?
- A) 9
- B) 6
- C) 5
- D) 3
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 8
f(2) − f(0) = 9 − 1 = 8 bin hücredir. f(0)'ı 0 kabul eden öğrenci artışı 9 bulur; oysa 3⁰ = 1'dir.
Kolay
17Kaan, f(x) = (−4)^x kuralının neden üstel fonksiyon sayılmadığını arkadaşına göstermek istiyor. Bunun için kuralın gerçek sayı vermediği bir x değeri seçecek. Aşağıdaki x değerlerinden hangisi için (−4)^x bir gerçek sayı değildir?
- A) −2
- B) −1
- C) 0
- D) 1/2
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1/2
(−4)^(1/2) = √(−4) olur; negatif sayının karekökü gerçek sayı değildir. Öteki değerlerde sonuç gerçek sayıdır: (−4)^(−2) = 1/16, (−4)^(−1) = −1/4, (−4)⁰ = 1, (−4)¹ = −4. Üstel fonksiyonda tabanın pozitif olması şartı bu yüzden konur; negatif üs ya da 0 üssü tek başına sorun çıkarmaz.
Kolay
18Bir kültürde ölçüm başladıktan x gün sonraki hücre sayısı (bin) kaydediliyor: x = 0 için 3, x = 1 için 6, x = 2 için 12, x = 3 için 24. Bu dört kaydın tamamını sağlayan kural aşağıdakilerden hangisidir?
- A) f(x) = 3x + 3
- B) f(x) = x² + 2x + 3
- C) f(x) = 3^(x + 1)
- D) f(x) = 6^x + 2
- E) f(x) = 3 · 2^x
Cevabı göster
Doğru cevap: E) f(x) = 3 · 2^x
Ardışık kayıtların oranı sabittir: 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2. Başlangıç değeri 3 olduğundan f(x) = 3 · 2^x bulunur; denetim: f(3) = 3 · 8 = 24. 3x + 3 ilk iki kaydı sağlar ama f(2) = 9 verir; x² + 2x + 3 de ilk iki kaydı sağlar ama f(2) = 11 verir. 3^(x + 1) için f(1) = 9, 6^x + 2 için f(1) = 8 olur.
Orta
19Bir ilçenin bugünkü nüfusu 200.000'dir. Belediyenin planlama birimi, nüfusun her yıl bir önceki yılın %10'u kadar arttığını ve bu artış hızının değişmeyeceğini varsayarak okul ihtiyacını hesaplıyor. Bu varsayıma göre 2 yıl sonra ilçenin nüfusu kaç olur?
- A) 240.000
- B) 220.000
- C) 242.000
- D) 266.200
- E) 202.000
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 242.000
Her yıl nüfus 1,1 ile çarpılır: 200.000 · 1,1² = 200.000 · 1,21 = 242.000 olur. 240.000, artışı her yıl başlangıç nüfusu üzerinden (20.000 + 20.000) hesaplamaktan doğar; oysa ikinci yılın artışı 220.000 üzerinden hesaplanır.
Orta
20Bir bilgisayar oyununda oyuncunun x. kattaki bonus puanı f(x) = 2^(x + 1) − 3 kuralıyla hesaplanıyor. Oyunun yer altındaki antrenman katları negatif sayılarla numaralanmış. Deniz önce 2. katta, sonra −1. katta bonus topluyor. Deniz'in iki kattan topladığı bonus puanların toplamı f(2) + f(−1) kaçtır?
- A) 5
- B) 1
- C) 3
- D) 4
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
f(2) = 2³ − 3 = 5 ve f(−1) = 2⁰ − 3 = 1 − 3 = −2 olduğundan toplam 3'tür. 2 sonucu, 2⁰'ı 0 sanıp f(−1)'i −3 bulmaktan çıkar; sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.