8. Sınıf Matematik · Geometri
Üçgenler
- üçgen
- kenarortay
- açıortay
- yükseklik
- üçgen eşitsizliği
- Pisagor bağıntısı
- hipotenüs
- dik üçgen
Üçgenlerde kenar ilişkileri ve Pisagor bağıntısı nedir?
Üçgen, kenarları ve açıları arasında belirli ilişkiler bulunan ve dik üçgenlerde Pisagor bağıntısının geçerli olduğu temel geometrik şekildir. Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasıdır; açıortay bir açıyı iki eş parçaya ayırır, yükseklik ise bir köşeden karşı kenara çizilen dikmedir. Üçgen eşitsizliğine göre bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür; kenarları 5 cm ve 8 cm olan üçgende üçüncü kenar 3 ile 13 arasındadır. Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur ve iç açıların toplamı 180°'dir. Pisagor bağıntısına göre dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c². Dik kenarlar 6 ve 8 ise c² = 36 + 64 = 100 ve c = 10 olur. 3-4-5 ve 5-12-13 gibi Pisagor üçlüleri hızlı çözüm sağlar. Pisagor bağıntısı yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir ve hipotenüs dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
Üçgenler: konu anlatımı ve özeti
Bu konu, üçgenin yardımcı elemanlarını, kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri, üçgen çizimini ve dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını öğretir. Geometri sorularının büyük kısmı bu temel bilgilere dayanır.
- Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına, açıortay bir açıyı iki eş parçaya ayırır; yükseklik ise bir köşeden karşı kenara çizilen dikmedir.
- Üçgen eşitsizliği: Bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür. Kenarları 5 cm ve 8 cm olan üçgende üçüncü kenar 3 ile 13 arasındadır; tam sayı olarak 9 farklı değer alabilir.
- Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
- Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir.
- Bir üçgen; üç kenarı, iki kenarı ve aralarındaki açısı ya da bir kenarı ve iki açısı verildiğinde çizilebilir.
- Pisagor bağıntısı: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir, a² + b² = c². Dik kenarlar 6 ve 8 ise c² = 36 + 64 = 100 ve c = 10'dur.
Dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgende hipotenüs 10’dur (ölçekli çizim) - 3-4-5 ve 5-12-13 gibi Pisagor üçlülerini tanımak hızlı çözüm sağlar.
Unutma: Pisagor bağıntısı yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir ve hipotenüs her zaman dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Üçgen eşitsizliğini çubuklarla dene: 3 cm, 4 cm ve 8 cm'lik üç çubuk al. Kısa iki çubuğu uç uca koyduğunda 3 + 4 = 7 cm eder; 8 cm'lik çubuğun iki ucuna ulaşamaz ve üçgen kapanmaz. Bu yüzden her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
Pisagor bağıntısını bir merdivenle düşün. 5 m'lik bir merdiven duvara dayanmış, ayağı duvardan 3 m uzakta:
- Duvar ile yer dik açı yapar; merdiven hipotenüstür (5 m).
- a² + b² = c² → 3² + b² = 5².
- b² = 25 − 9 = 16, b = 4. Merdiven duvarda 4 m yüksekliğe ulaşır.
Sık yapılan hata: Hipotenüsü yanlış kenara koymak, örneğin 3² + 5² = b² yazmak. Doğrusu: Hipotenüs her zaman dik açının karşısındaki ve en uzun kenardır; bağıntıda tek başına eşitliğin öbür tarafında durur.
Derinleş
Bir bahçe köşesinin ya da bir masanın köşesinin gerçekten dik açı olup olmadığını yalnızca bir şerit metre kullanarak nasıl kontrol edersin? 3-4-5 üçlüsüne dayanan bir yöntem tasarla, evde ya da okulda dene ve sonuçlarını yaz. Üçüncü ölçüm 5 birim yerine 5,2 birim çıkarsa açı dik açıdan büyük mü küçük mü olur? Nedenini açıkla.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.8.3.1Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi yorumlayabilme
- a) Üçgenin kenar ve açı özelliklerini inceler.
- b) Üçgenin kenar uzunluklarının büyüklüğüne göre açıların ölçülerini, açıların ölçülerinin büyüklüğüne göre kenar uzunluklarını sıralar.
MAT.8.3.2Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye yönelik çıkarım yapabilme
- ç) Üçgen oluşturan doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiye dair önerme sunar.
MAT.8.3.3Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair çıkarım yapabilme
- ç) Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önerme sunar.
MAT.8.3.5Kenar uzunlukları a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan üçgenleri oluşturarak dik üçgen olduklarını; dik üçgenlerde dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüs uzunluğunun karesine eşit olduğunu yorumlayabilme
- b) Kenar uzunlukları a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan üçgeni oluşturarak dik üçgen olduğunu; dik üçgenlerde hipotenüs uzunluğunun karesinin diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamına eşit olduğunu belirler.
Bu konuda neler var?
- Üçgende Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik
- Üçgenlerin Kenarları Arasındaki İlişkiler
- Üçgenin Açı ve Kenarları Arasındaki İlişkiler
- Üçgen Çizimleri
- Pisagor Bağıntısı
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Marangoz Hüseyin Usta, üçgen biçimli bir duvar rafını sağlamlaştırmak için bir destek çıtası takacak. Çıta, rafın bir köşesinden başlayıp karşısındaki kenarın tam orta noktasına kadar uzanacak. Üçgende bu çıtanın oluşturduğu doğru parçasına ne ad verilir?
- A) Kenarortay
- B) Açıortay
- C) Yükseklik
- D) Hipotenüs
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Kenarortay
Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası kenarortaydır. Yükseklik de köşeden karşı kenara çizilir ama karşı kenara dik iner ve genellikle orta noktaya düşmez; ikisini karıştıran öğrenci bu şıkkı seçer.
Kolay
2Üç köy arasındaki yollar bir ABC üçgeni oluşturuyor. Haritada A köyündeki iç açı 70°, B köyündeki iç açı 45° olarak ölçüldü. Belediye, en uzun yoldan başlayarak yolları sırayla asfaltlayacak. Yolların uzunlukları arasındaki doğru sıralama hangisidir?
- A) |AC| > |AB| > |BC|
- B) |AB| > |BC| > |AC|
- C) |BC| > |AB| > |AC|
- D) |BC| > |AC| > |AB|
Cevabı göster
Doğru cevap: C) |BC| > |AB| > |AC|
m(C) = 180° − 70° − 45° = 65°'tir. Büyük açının karşısında uzun kenar bulunur: A (70°) karşısı BC, C (65°) karşısı AB, B (45°) karşısı AC; sıralama |BC| > |AB| > |AC|'dir. |BC| > |AC| > |AB| seçeneği açıyı karşısındaki kenarla değil komşu kenarla eşleştiren öğrencinin yanlışıdır.
Kolay
3Okul bahçesindeki dik üçgen biçimli bir çiçekliğin dik kenarları şekildeki gibi ölçüldü. Bahçe görevlisi, çiçekliğin en uzun kenarı boyunca dekoratif taşlar dizecek ve bunun için o kenarın uzunluğunu bilmesi gerekiyor. Çiçekliğin en uzun kenarı kaç cm'dir?
- A) 21
- B) 15
- C) 13
- D) 17
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 15
Pisagor bağıntısına göre hipotenüs² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ve hipotenüs 15 cm'dir. 21 seçeneği dik kenarları doğrudan toplayan öğrencinin yanlışıdır; üçgende bir kenar diğer ikisinin toplamına eşit olamaz.
Kolay
4Teknoloji tasarım dersinde Kübra, ahşap çubukları uç uca yapıştırarak üçgen biçimli çerçeveler yapacak. Elinde farklı uzunluklarda çubuk takımları var ve her takımdaki üç çubuğun tamamını kullanmak istiyor. Aşağıdaki çubuk takımlarından hangisiyle bir üçgen çerçeve yapılabilir?
- A) 2 cm, 5 cm, 9 cm
- B) 5 cm, 6 cm, 7 cm
- C) 3 cm, 4 cm, 8 cm
- D) 2 cm, 8 cm, 10 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5 cm, 6 cm, 7 cm
Üçgen oluşması için her kenar diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır; 7 < 5 + 6 olduğundan 5, 6, 7 cm'lik çubuklar üçgen oluşturur. 2, 8, 10 cm'de 10 = 2 + 8 olduğundan çubuklar düz bir çizgi üzerinde kalır ve üçgen oluşmaz.
Kolay
5Üçgen biçimli bir tabelanın üst köşesinden alt kenarına, alt kenarla dik açı yapacak biçimde bir destek çubuğu takıldı. Bu çubuk, üçgenin hangi yardımcı elemanına karşılık gelir?
- A) Kenarortay
- B) Açıortay
- C) Yükseklik
- D) Kenar
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Yükseklik
Bir köşeden karşı kenara dik olarak çizilen doğru parçası yüksekliktir. Kenarortay karşı kenarın orta noktasına gider ve kenara dik olmak zorunda değildir.
Kolay
6İki kenarı eşit uzunlukta olan ikizkenar üçgen biçimli bir çatı kesitinde tepe açısı 40°'dir. Eşit kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir. Taban açılarından birinin ölçüsü kaç derecedir?
- A) 70°
- B) 140°
- C) 40°
- D) 50°
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 70°
Taban açılarının toplamı 180° − 40° = 140°'dir; her biri 70° olur. 140° sonucu, toplamı ikiye bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
7Bir üçgenin B köşesindeki açının ölçüsü 80°'dir. Bu açının açıortayı çizildiğinde açı iki parçaya ayrılıyor. Oluşan açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir?
- A) 40°
- B) 80°
- C) 160°
- D) 20°
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 40°
Açıortay açıyı iki eş parçaya ayırır: 80° ÷ 2 = 40°. 20° sonucu, açıyı dört parçaya bölmekten gelir.
Kolay
8Bir üçgenin açılarından birinin ölçüsü 100°'dir. Bu üçgenin diğer iki açısıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Biri dik açı olabilir.
- B) İkisi de dar açıdır.
- C) Biri geniş açı olabilir.
- D) Toplamları 100°'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) İkisi de dar açıdır.
Diğer iki açının toplamı 180° − 100° = 80°'dir; bu yüzden ikisi de 90°'den küçük, yani dar açıdır. Biri dik açı olsaydı toplam 180°'yi aşardı.
Kolay
9Defne, bir arkadaşının çizdiği üçgenin aynısını yalnızca birkaç bilgi kullanarak çizmek istiyor. Aşağıdaki bilgilerden hangisi verilirse Defne tek bir üçgen çizebilir?
- A) Yalnızca üç açının ölçüsü
- B) İki kenar ve aralarındaki açı
- C) Yalnızca iki açının ölçüsü
- D) Yalnızca bir kenarın uzunluğu
Cevabı göster
Doğru cevap: B) İki kenar ve aralarındaki açı
İki kenar ve aralarındaki açı bilinirse üçgen tek türlü çizilir. Yalnızca açılar bilinirse aynı açılara sahip farklı büyüklükte birçok üçgen çizilebilir.
Kolay
10Selin, ABC üçgeninde A köşesinden başlayıp karşı kenar olan [BC]'nin tam orta noktasında biten bir doğru parçası çizdi. Selin'in çizdiği bu doğru parçasına ne ad verilir?
- A) Açıortay
- B) Yükseklik
- C) Kenarortay
- D) Hipotenüs
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Kenarortay
Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası kenarortaydır. Açıortay ise köşedeki açıyı iki eş parçaya ayırır; karşı kenarı ortadan bölmesi gerekmez.
Kolay
11ABC üçgeninde |BC| = 14 cm'dir. A köşesinden çizilen kenarortay [BC]'yi D noktasında kesiyor. |BD| kaç santimetredir?
- A) 7
- B) 14
- C) 28
- D) 3,5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 7
Kenarortay karşı kenarın orta noktasına çizilir; D orta nokta olduğundan |BD| = 14 ÷ 2 = 7 cm'dir. 3,5 sonucu, kenarı dört parçaya bölmekten gelir.
Kolay
12Kerem, kenarlarından ikisi 4 cm ve 9 cm olan bir üçgen çizecek. Üçüncü kenarın uzunluğunu aşağıdakilerden hangisi olarak seçerse üçgeni çizebilir?
- A) 4 cm
- B) 5 cm
- C) 13 cm
- D) 7 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7 cm
Üçüncü kenar 9 − 4 = 5'ten büyük, 9 + 4 = 13'ten küçük olmalıdır; 7 bu koşulu sağlar. 5 cm seçilirse 4 + 5 = 9 olur ve kenarlar düz bir çizgi üzerinde kalır.
Kolay
13Üç kenarı eşit uzunlukta olan üçgen biçimli bir trafik levhası tasarlanıyor. Eşkenar üçgende üç açının ölçüsü de birbirine eşittir. Levhanın her bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 90°
- B) 60°
- C) 45°
- D) 180°
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 60°
Üç eş açının toplamı 180° olduğundan her biri 180° ÷ 3 = 60°'dir. 180° tüm açıların toplamıdır, tek bir açının ölçüsü değildir.
Kolay
14ABC üçgeninde kenar uzunlukları |AB| = 5 cm, |BC| = 7 cm ve |AC| = 6 cm'dir. Üçgende en büyük kenarın karşısında en büyük açı bulunur. Bu üçgenin en büyük açısı hangisidir?
- A) ∠B
- B) ∠C
- C) Hesaplamadan belirlenemez
- D) ∠A
Cevabı göster
Doğru cevap: D) ∠A
En uzun kenar 7 cm ile [BC]'dir ve karşısındaki açı ∠A'dır. ∠B, [AC]'nin karşısındadır; bu kenar en uzun kenar değildir.
Kolay
15Bir dik üçgende kenarların adlandırılması tartışılıyor. Dik üçgenin hipotenüsü hangi açının karşısındaki kenardır?
- A) Dik açının
- B) En küçük açının
- C) Herhangi bir dar açının
- D) Tepe açısının
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Dik açının
Hipotenüs, dik açının (90°) karşısındaki kenardır ve dik üçgenin en uzun kenarıdır. En küçük açının karşısında ise en kısa kenar bulunur.
Kolay
16Dikdörtgen biçimli bir televizyon ekranının genişliği 32 cm, yüksekliği 24 cm'dir. Ekranın bir köşesinden karşı köşesine uzanan köşegenin uzunluğu kaç santimetredir?
- A) 40
- B) 56
- C) 48
- D) 28
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 40
Köşegen, dik kenarları 32 ve 24 olan dik üçgenin hipotenüsüdür: 32² + 24² = 1024 + 576 = 1600 ve √1600 = 40 cm. 56 sonucu, kenarları doğrudan toplamaktan gelir.
Kolay
17Geometri dersinde Yiğit bir dik üçgen çiziyor ve üçgenin her kenarının üzerine, bir kenarı o kenar olan birer kare ekliyor. Dik kenarların üzerine çizilen karelerin alanları 9 cm² ve 16 cm²'dir. Buna göre hipotenüsün üzerine çizilen karenin alanı kaç santimetrekaredir?
- A) 5 cm²
- B) 7 cm²
- C) 25 cm²
- D) 49 cm²
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 25 cm²
Bir kenarı a olan karenin alanı a²'dir. Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c². Dik kenarların üzerindeki karelerin alanları a² = 9 ve b² = 16 olduğundan hipotenüsün üzerindeki karenin alanı c² = 9 + 16 = 25 cm²'dir. 5, hipotenüsün santimetre cinsinden uzunluğudur, alan değildir. 49 cevabı dik kenar uzunluklarını toplayıp karesini almaktan ((3 + 4)² = 49), 7 cevabı ise yalnız kenar uzunluklarını toplamaktan kaynaklanır.
Kolay
18Dört öğrenci birer üçgen çizdi ve çizdiği üçgenin iki iç açısının ölçüsünü söyledi. Öğretmen, kenar uzunlukları arasında Pisagor bağıntısı (a² + b² = c²) bulunan üçgeni sordu. İki iç açısının ölçüsü verilen aşağıdaki üçgenlerden hangisinin kenarları Pisagor bağıntısını sağlar?
- A) 35° ve 55°
- B) 40° ve 60°
- C) 45° ve 50°
- D) 30° ve 70°
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 35° ve 55°
Pisagor bağıntısı yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir. İç açıların toplamı 180° olduğundan üçüncü açılar sırasıyla 180° − 90° = 90°, 180° − 100° = 80°, 180° − 95° = 85° ve 180° − 100° = 80° bulunur. Yalnız iki açısı 35° ve 55° olan üçgenin üçüncü açısı 90°'dir; bu üçgen dik üçgendir ve kenarları a² + b² = c² eşitliğini sağlar.
Orta
19Bir parkta şekildeki gibi dik üçgen biçimli bir çim alanı var; B köşesindeki açı 90°'dir. Bahçıvan, B köşesinden hipotenüsün tam orta noktası olan K'ye kadar düz bir sulama borusu döşeyecek. Borunun uzunluğu |BK| kaç cm'dir?
- A) 12
- B) 13
- C) 17
- D) 26
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 13
Hipotenüs √(10² + 24²) = √676 = 26 cm'dir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: |BK| = 13 cm. 26 seçeneği hipotenüsü bulup yarıya bölmeyi unutan öğrencinin cevabıdır.
Orta
20Bir çiftçi, üçgen biçimli bir bölgeyi tel çitle çevirecek. Çitin iki kenarı 6 m ve 10 m olarak belirlendi; üçüncü kenarın uzunluğu ise metre cinsinden bir tam sayı olacak. Üçüncü kenarın uzunluğu kaç farklı değer alabilir?
- A) 9
- B) 10
- C) 11
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 11
Üçüncü kenar 10 − 6 = 4'ten büyük, 10 + 6 = 16'dan küçük olmalıdır; 5'ten 15'e kadar 11 tam sayı vardır. 9 seçeneği 4 ile 16 arasındaki sayıları yanlış sayan, 12 ise uçlardan birini de dahil eden öğrencinin cevabıdır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.