8. Sınıf Matematik · Olasılık ve Cebirsel İfadeler
Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
- cebirsel ifade
- dağılma özelliği
- çarpanlara ayırma
- özdeşlik
- tam kare
- iki kare farkı
Cebirsel ifadelerde özdeşlikler nasıl kullanılır?
Özdeşlik, değişkene hangi değer verilirse verilsin doğru olan eşitliktir; denklem ise yalnızca bazı değerler için doğrudur. Cebirsel ifadeler bir terimle çarpılırken dağılma özelliği kullanılır: 3x(x + 4) = 3x² + 12x. İki ifade çarpılırken her terim diğerinin her terimiyle çarpılır ve (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10 olur. Ortak çarpan parantezine alma, çarpanlara ayırmanın en basit yoludur: 4x + 8 = 4(x + 2). Tam kare özdeşlikleri (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b² biçimindedir. İki kare farkı özdeşliği ise a² − b² = (a − b)(a + b) şeklindedir; örneğin x² − 9 = (x − 3)(x + 3) olur. Özdeşlikler uzun hesapları kısaltır: 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 × 100 = 200 ve 102² = 10 404 kolayca bulunur. (a + b)² ifadesi a² + b² değildir; ortadaki 2ab terimini unutmak en sık yapılan hatadır.
Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler: konu anlatımı ve özeti
Bu konu, cebirsel ifadeleri çarpmayı, ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmayı ve her değer için doğru olan özdeşlikleri kullanmayı öğretir. Özdeşlikler, uzun hesapları kısa yoldan yapmanı sağlar.
- Bir terimle çarpmada dağılma özelliği kullanılır: 3x(x + 4) = 3x² + 12x.
- İki ifadeyi çarparken her terim diğerinin her terimiyle çarpılır: (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10.
- Ortak çarpan parantezine alma: 4x + 8 = 4(x + 2).
- Tam kare özdeşlikleri: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b².
- İki kare farkı özdeşliği: a² − b² = (a − b)(a + b). Örnek: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Özdeşliklerle hızlı hesap: 102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404 ve 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 × 100 = 200.
- Özdeşlik, değişkene hangi değer verilirse verilsin doğru olan eşitliktir; denklem ise yalnızca bazı değerler için doğrudur.
Unutma: (a + b)² ifadesi a² + b² değildir; ortadaki 2ab terimini unutmak en sık yapılan hatadır.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
(a + b)² özdeşliğini bir kare bahçenin parçaları olarak düşün. Kenarı (x + 3) olan kare bir bahçeyi dört parçaya ayır:
- Kenarı x olan bir kare: x²
- Kenarları x ve 3 olan iki dikdörtgen: 3x + 3x = 6x
- Kenarı 3 olan küçük bir kare: 9
Toplam alan: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Kontrol yöntemi: Bir özdeşliği, değişkene sayı vererek sınayabilirsin. x = 2 için (2 + 3)² = 25 ve 2² + 6 × 2 + 9 = 4 + 12 + 9 = 25. İki taraf eşit.
Sık yapılan hata: (x + 3)² = x² + 9 yazmak. Aynı sınamayı yap: x = 2 için x² + 9 = 13 olur ama (2 + 3)² = 25'tir. Doğrusu: Bahçe resmindeki iki dikdörtgeni, yani ortadaki 6x terimini unutma.
Derinleş
49 × 51 işlemini zihinden hesaplamak için (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1² = 2499 yazılabilir. Bu yöntemle zihinden çözülebilecek üç işlem bul ve çöz. Sonra bir "aklından bir sayı tut" oyunu tasarla: Arkadaşın tuttuğu sayıyla birkaç işlem yapsın, sonuç hep aynı çıksın. Oyunun her sayı için neden işe yaradığını cebirsel ifadelerle göster.
Bu konuda neler var?
- Cebirsel İfadelerle Çarpma İşlemi
- Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ayırma
- Özdeşlikler
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir sınıf panosunun alanı 6x² + 9x desimetrekare olarak hesaplandı. Öğretmen, öğrencilerden bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak panonun olası kenar uzunluklarını yazmalarını istiyor. İfadenin ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayrılmış biçimi hangisidir?
- A) 3x(2x + 9)
- B) 3x(2x + 3)
- C) x(6x + 3)
- D) 9x(x + 1)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3x(2x + 3)
6x² ve 9x terimlerinin ortak çarpanı 3x'tir: 6x² + 9x = 3x(2x + 3). 3x(2x + 9) seçeneği, ikinci terimi 3x'e bölmeyi unutan öğrencinin yanlışıdır; parantez açılınca 6x² + 27x elde edilir.
Kolay
2Kare biçimli bir oyun alanının bir kenarı x metredir. Belediye, alanı büyütmek için bir kenarını 3 m, diğer kenarını 5 m uzatarak dikdörtgen biçimli yeni bir oyun alanı yapacak. Yeni oyun alanının alanını gösteren ifade hangisidir?
- A) x² + 8x + 15
- B) x² + 15x + 8
- C) x² + 8x + 8
- D) x² + 15
Cevabı göster
Doğru cevap: A) x² + 8x + 15
Yeni alan (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15'tir. x² + 15 seçeneği yalnızca ilk ve son terimleri çarpıp ortadaki 3x ve 5x terimlerini unutan öğrencinin yanlışıdır.
Kolay
3Zeynep defterine dört eşitlik yazdı ve her birinde a ile b yerine farklı sayılar koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını denedi. Bazı eşitlikler bazı sayılar için doğru, bazıları için yanlış çıktı; biri ise her denemede doğru çıktı. Zeynep'in her denemede doğru bulduğu, a ve b'nin tüm değerleri için sağlanan eşitlik hangisidir?
- A) (a − b)² = a² − 2ab + b²
- B) (a + b)² = a² + b²
- C) (a − b)² = a² − b²
- D) a² + b² = (a + b)(a − b)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − 2ab + b² her a ve b için doğrudur; bu bir özdeşliktir. (a + b)² = a² + b² eşitliği a ya da b sıfır olduğunda sağlanır, ama örneğin a = b = 1 için 4 ≠ 2 olduğundan özdeşlik değildir.
Kolay
4Okul bahçesinde dikdörtgen biçimli bir sebze tarhı yapılacak. Tarhın bir kenarı 3x metre, diğer kenarı ise (x − 4) metre olarak planlandı. Bahçe görevlisi, toprak siparişi için alanı tek bir ifade olarak yazacak. Tarhın alanını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3x² − 12x
- B) 3x² − 4x
- C) 3x² − 12
- D) x² − 12x
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3x² − 12x
Alan 3x(x − 4) = 3x · x − 3x · 4 = 3x² − 12x'tir. 3x² − 4x seçeneği 4'ü 3x ile değil yalnızca x ile çarpan, 3x² − 12 ise ikinci terimdeki x'i unutan öğrencinin yanlışıdır.
Kolay
5Kenar uzunluğu (y − 1) m olan kare biçimli bir halının alanı hesaplanacak. Halının alanını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) y² − 2y + 1
- B) y² − 1
- C) y² + 1
- D) y² − 2y − 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) y² − 2y + 1
(a − b)² = a² − 2ab + b² olduğundan (y − 1)² = y² − 2y + 1'dir. y² − 1 sonucu, ortadaki terimi unutmaktan gelir.
Kolay
6Bir matematik etkinliğinde 3x² − 5x + 7 cebirsel ifadesi veriliyor. Öğrencilerden x'li terimin katsayısını bulmaları isteniyor. Bu katsayı kaçtır?
- A) 3
- B) 7
- C) −5
- D) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −5
x'li terim −5x'tir ve katsayısı işaretiyle birlikte −5'tir. 3, x²'li terimin katsayısıdır; 7 ise sabit terimdir.
Kolay
7Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları (x + 3) cm ve (x + 4) cm'dir. Dikdörtgenin alanını gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x² + 12
- B) x² + 7x + 12
- C) x² + 7x + 7
- D) 2x + 7
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x² + 7x + 12
Her terim diğerinin her terimiyle çarpılır: x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12. x² + 12 sonucu, ortadaki terimleri unutmaktan gelir; 2x + 7 ise çevrenin yarısıdır.
Kolay
8Kenar uzunluğu x m olan kare biçimli bir tarlanın bir kenarı 2 m uzatıldı, diğer kenarı 2 m kısaltıldı ve tarla dikdörtgen oldu. Yeni tarlanın alanını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x² + 4
- B) x² − 4x − 4
- C) x² − 2
- D) x² − 4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x² − 4
Yeni alan (x + 2)(x − 2) = x² − 4'tür. x² + 4 sonucu, −2 × 2 çarpımının işaretini yanlış almaktan gelir.
Kolay
9Özdeşlik, değişkenin her değeri için doğru olan eşitliktir. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir özdeşliktir?
- A) 2x + 3 = 9
- B) 2(x + 3) = 2x + 6
- C) x² = 4
- D) x + 1 = 2x
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2(x + 3) = 2x + 6
2(x + 3) = 2x + 6 eşitliği dağılma özelliğinden dolayı her x için doğrudur. 2x + 3 = 9 ise yalnızca x = 3 için doğru olan bir denklemdir.
Kolay
10Defne, 15² − 5² işlemini iki kare farkı özdeşliğiyle kısa yoldan hesapladı. Defne'nin bulduğu sonuç kaçtır?
- A) 100
- B) 225
- C) 200
- D) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 200
15² − 5² = (15 − 5)(15 + 5) = 10 × 20 = 200 olur. 100 sonucu, (15 − 5)² hesaplamaktan gelir.
Kolay
11Selin, x² − 49 ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıracak. Selin'in ulaşması gereken sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (x − 7)²
- B) (x + 7)²
- C) (x − 7)(x + 7)
- D) (x − 49)(x + 1)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (x − 7)(x + 7)
a² − b² = (a − b)(a + b) olduğundan x² − 49 = (x − 7)(x + 7)'dir. (x − 7)² açıldığında x² − 14x + 49 olur ve verilen ifadeye eşit değildir.
Kolay
12Emre, 31² sayısını zihinden hesaplamak için 31'i 30 + 1 biçiminde yazdı ve tam kare özdeşliğini kullandı. Emre'nin bulduğu sonuç kaçtır?
- A) 901
- B) 961
- C) 931
- D) 962
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 961
(30 + 1)² = 900 + 2 × 30 × 1 + 1 = 961'dir. 901 sonucu, ortadaki 2 × 30 × 1 = 60 terimini unutmaktan gelir.
Kolay
13Bir kartta x² + 4x ifadesi yazıyor. Can bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak yazacak. Can'ın yazması gereken ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x(x + 4x)
- B) 4x(x + 1)
- C) x²(1 + 4)
- D) x(x + 4)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x(x + 4)
İki terimin ortak çarpanı x'tir: x² + 4x = x(x + 4). x(x + 4x) açıldığında x² + 4x² olur ve verilen ifadeye eşit değildir.
Kolay
14Kenar uzunluğu (x + 6) m olan kare biçimli bir oyun alanının alanı hesaplanacak. Alanı gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x² + 12x + 36
- B) x² + 36
- C) x² + 6x + 36
- D) 2x + 12
Cevabı göster
Doğru cevap: A) x² + 12x + 36
(a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğinden (x + 6)² = x² + 12x + 36 olur. x² + 36 sonucu, ortadaki 2ab terimini unutmaktan gelir.
Kolay
15Kerem, 5a + 15 ifadesini ortak çarpan parantezine alarak yazacak. Kerem'in yazması gereken ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5(a + 3)
- B) 5(a + 15)
- C) 15(a + 5)
- D) 5a(1 + 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5(a + 3)
Her iki terim de 5'e bölünür: 5a + 15 = 5(a + 3). 5(a + 15) açıldığında 5a + 75 olur, verilen ifadeye eşit değildir.
Kolay
16Öğretmen tahtaya −3a(a − 2) çarpımını yazdı ve dağılma özelliğini kullanarak sonucu bulmalarını istedi. Doğru sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −3a² + 6a
- B) −3a² − 6a
- C) −3a − 6
- D) 3a² + 6a
Cevabı göster
Doğru cevap: A) −3a² + 6a
−3a, parantezdeki her terimle çarpılır: −3a × a = −3a² ve −3a × (−2) = +6a. −3a² − 6a sonucu, eksi ile eksinin çarpımını yanlış işaretlemekten gelir.
Kolay
17Bir halı tasarımcısı, kenar uzunlukları 2x metre ve 3x metre olan dikdörtgen biçimli bir halı çiziyor. Halının kaplayacağı yüzeyi bulmak için alanını cebirsel ifade olarak yazacak. Halının alanını metrekare cinsinden gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5x
- B) 6x
- C) 5x²
- D) 6x²
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 6x²
Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımıdır: 2x × 3x. Katsayılar kendi arasında, değişkenler kendi arasında çarpılır: 2 × 3 = 6 ve x × x = x²; alan 6x² olur. 5x ve 5x² cevapları katsayıları çarpmak yerine toplamaktan, 6x cevabı x × x çarpımını x saymaktan kaynaklanır. 5x, bu iki kenarın uzunlukları toplamıdır.
Kolay
18Bir kırtasiyeci, tanesi 23 TL olan defterlerden sabah 47, öğleden sonra 53 tane sattı. Günlük kazancını 23 × 47 + 23 × 53 işlemiyle hesaplayacak ve işlemi ortak çarpan parantezine alarak zihinden yapmak istiyor. Kırtasiyecinin defter satışından elde ettiği günlük kazanç kaç TL'dir?
- A) 230
- B) 2300
- C) 2323
- D) 4600
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2300
İki terimde de 23 çarpanı ortaktır: 23 × 47 + 23 × 53 = 23 × (47 + 53) = 23 × 100 = 2300 TL. Bu, ab + ac = a(b + c) eşitliğinin sayılarla uygulanmasıdır. 4600 cevabı ortak çarpanı iki kez almaktan (2 × 23 × 100), 2323 cevabı ise parantez dışına alınan 23'ü sonuca bir kez daha eklemekten kaynaklanır.
Orta
19Şekilde kare biçimli bir bahçenin bir köşesinde, kenarı x m olan kare biçimli bir bölüm çiçek ekmek için ayrılmıştır. Bahçenin geri kalanına çim ekilecek ve bunun için alan ifadesi hesaplanacak. Çim ekilecek bölümün alanını gösteren ifade hangisidir?
- A) 3x² + 9
- B) 4x² + 12x + 9
- C) 3x² + 6x + 9
- D) 3x² + 12x + 9
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 3x² + 12x + 9
Bahçenin alanı (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9, çiçek bölümünün alanı x²'dir; fark 3x² + 12x + 9 m² olur. 3x² + 9 seçeneği (2x + 3)²'yi açarken ortadaki 12x terimini unutan, 4x² + 12x + 9 ise çiçek bölümünü çıkarmayan öğrencinin yanlışıdır.
Orta
20Bir sitede kare biçimli iki çim alanı var: Birinin kenarı 101 m, diğerininki 99 m'dir. Bakım ekibi, büyük alanın küçük alandan ne kadar fazla çim tohumu gerektireceğini hesaplamak için iki alanın farkını kısa yoldan bulmak istiyor. İki çim alanının alanları farkı kaç m²'dir?
- A) 200
- B) 4
- C) 400
- D) 40
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 400
İki kare farkı özdeşliğinden 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400 m² bulunur. 4 seçeneği kenarların farkının karesini (2²) alan, 200 ise yalnızca kenarların toplamını yazan öğrencinin yanlışıdır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.