8. Sınıf Matematik · Sayılar ve İşlemler
Üslü İfadeler
- üslü ifade
- taban
- üs
- negatif üs
- ondalık gösterim
- bilimsel gösterim
- 10'un kuvvetleri
Üslü ifadelerle işlemler nasıl yapılır?
Üslü ifade, aynı sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpımının kısa gösterimidir; a üssü n, a sayısının n kez kendisiyle çarpımı demektir. Örneğin 2 üssü 5 = 32'dir ve sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini verir: 2 üssü −3 = 1/8. Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır, bölünürken çıkarılır; 5 üssü 7 ÷ 5 üssü 5 = 25 olur. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır ve 2 üssü 3 ifadesinin karesi 64'tür. Çok büyük ya da çok küçük sayılar a × 10 üssü n biçimindeki bilimsel gösterimle yazılır; burada a, 1'e eşit ya da 1'den büyük ve 10'dan küçük olmalıdır: 45 000 = 4,5 × 10 üssü 4. Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Parantez yoksa üs yalnızca sayıya uygulanır; bu yüzden (−2) üssü 4 = 16 iken −2 üssü 4 = −16'dır.
Üslü İfadeler: konu anlatımı ve özeti
Üslü ifadeler, aynı sayının tekrar tekrar çarpımını kısaca yazmanı sağlar. Bu konuda tam sayıların üslerini, üslü ifadelerle işlemleri ve çok büyük ya da çok küçük sayıları bilimsel gösterimle yazmayı öğrenirsin.
- aⁿ, a sayısının n kez kendisiyle çarpımıdır: 2⁵ = 32. Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir: 7⁰ = 1.
- Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini alır: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
- Tabanları aynı ise çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır: 3² × 3⁴ = 3⁶ ve 5⁷ ÷ 5⁵ = 5² = 25.
- Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: (2³)² = 2⁶ = 64.
- Ondalık gösterimler 10'un kuvvetleriyle çözümlenir: 34,52 = 3 × 10¹ + 4 × 10⁰ + 5 × 10⁻¹ + 2 × 10⁻².
- Bilimsel gösterim a × 10ⁿ biçimindedir ve 1 ≤ a < 10 olmalıdır: 45 000 = 4,5 × 10⁴, 0,0032 = 3,2 × 10⁻³.
- Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8.
Unutma: (−2)⁴ ile −2⁴ aynı değildir; ilki 16, ikincisi −16'dır, çünkü parantez yoksa üs yalnızca 2'ye uygulanır.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Üslü ifade, aynı sayının tekrarlanan çarpımının kısa yazılışıdır. 2⁵, 2 × 5 değil, 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32'dir.
Negatif üssü anlamak için 10'un kuvvetlerini alt alta yaz ve her adımda 10'a böl:
- 10³ = 1000
- 10² = 100
- 10¹ = 10
- 10⁰ = 1
- 10⁻¹ = 0,1
- 10⁻² = 0,01
Üs 1 azaldıkça değer 10'a bölünür; bu yüzden 10⁰ = 1 ve 10⁻¹ = 1/10 olur.
Günlük hayattan: Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık yaklaşık 150 000 000 km'dir. Bunu bilimsel gösterimle 1,5 × 10⁸ km diye yazmak, sıfırları saymaktan çok daha güvenlidir.
Sık yapılan hata: Negatif üssü sonucun negatif olması sanmak (3⁻² = −9). Doğrusu: Negatif üs çarpmaya göre tersi gösterir; 3⁻² = 1/3² = 1/9 ve bu sayı pozitiftir.
Derinleş
0,1 mm kalınlığındaki bir kâğıt her katlanışta kalınlığı iki katına çıkıyor. 10 katlamadan sonra kalınlık 2¹⁰ × 0,1 = 102,4 mm olur. Kaç katlamadan sonra kalınlık senin boyunu geçerdi? Hesapla, sonra gerçek bir kâğıdı katlamayı dene ve neden çok az katlayabildiğini açıkla. Aynı büyüme bir söylentinin yayılmasında da görülür: Her kişi duyduğunu 3 kişiye iletirse 5. adımda kaç kişiye ulaşılır? Doğruluğundan emin olmadığın bir haberi iletmeden önce neyi düşünmek gerekir?
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.8.1.1Farklı bağlamlardaki üslü ifadelere, özelliklerine ve üslü ifadelerle yapılan işlemlere ilişkin çıkarım yapabilme
- a) Karşılaştığı bağlamlardaki üslü ifadeler, özellikleri ve üslü ifadelerle yapılan işlemlere yönelik varsayımlarda bulunur.
- b) Üslü ifadeleri, özelliklerini ve üslü ifadelerle yapılan işlemleri inceleyerek genellemeleri belirler.
Bu konuda neler var?
- Ondalık Gösterimlerin Çözümlenmesi
- Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar
- Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıların Bilimsel Gösterimi
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir fidanlıkta her sırada 3⁴ fide bulunan 3⁵ sıra vardır. Fidanlık görevlisi toplam fide sayısını kayıt defterine tek bir üslü ifade olarak yazmak istiyor. Toplam fide sayısını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3²⁰
- B) 9⁹
- C) 3¹
- D) 3⁹
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 3⁹
Toplam fide sayısı 3⁴ · 3⁵'tir; tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: 3⁴⁺⁵ = 3⁹. 3²⁰ üsleri çarpan, 9⁹ ise tabanları da çarpan öğrencinin düştüğü yanılgıdır.
Kolay
2Bir bilgisayar oyununda küçülme iksiri içen karakterin boyu her seviyede yarıya iniyor. Oyun, başlangıçta 1 birim olan boyu seviyelere göre 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³ … çarpanlarıyla gösteriyor. Karakterin 3. seviyedeki boyunu gösteren 2⁻³ ifadesinin eşiti hangisidir?
- A) 1/8
- B) −8
- C) −6
- D) 1/6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 1/8
Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini gösterir: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. −6 ve 1/6 seçenekleri, tabanı üsle çarparak 2 · 3 = 6 bulan öğrencinin cevaplarıdır; −8 ise negatif üssü sonucun işareti sanmaktan doğar.
Kolay
3Bir haber sitesinde, bir büyükşehirde yaklaşık 4.500.000 kişinin yaşadığı yazıyor. Fen dersinde çok büyük sayıları kısaltarak yazmayı öğrenen Kerem, bu sayıyı bilimsel gösterimle defterine not etmek istiyor. Kerem'in yazması gereken doğru gösterim hangisidir?
- A) 45 × 10⁵
- B) 4,5 × 10⁶
- C) 4,5 × 10⁵
- D) 0,45 × 10⁷
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4,5 × 10⁶
Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasında olmalıdır: 4.500.000 = 4,5 × 10⁶. 45 × 10⁵ ve 0,45 × 10⁷ aynı sayıya eşittir ama katsayıları bu koşulu sağlamaz. 4,5 × 10⁵ ise virgülün kaydırıldığı basamak sayısını eksik sayan öğrencinin yanlışıdır.
Kolay
4Sıla, hesap makinesinde (−3)⁴ işlemini yapmak isterken parantezleri yazmadan −3⁴ tuşladı ve ekranda negatif bir sonuç gördü. Arkadaşı Emir, parantezin unutulmasının sonucu değiştirdiğini söyledi. Parantezli olarak yazılan (−3)⁴ ifadesinin değeri kaçtır?
- A) −81
- B) −12
- C) 12
- D) 81
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 81
(−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 81'dir; negatif sayının çift kuvveti pozitiftir. −81, parantez olmadığında yalnızca 3'ün kuvveti alınıp önüne eksi konduğunda bulunan sonuçtur. ±12 ise tabanı üsle çarpma yanılgısından doğar.
Kolay
5Bir fabrikada üretilen 7⁸ vida, 7⁵ kutuya eşit olarak dağıtılacak. Her kutuya konacak vida sayısını gösteren üslü ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7³
- B) 7¹³
- C) 7⁴⁰
- D) 49
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 7³
Tabanları aynı üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır: 7⁸ ÷ 7⁵ = 7³. 7¹³ çarpma işleminde elde edilirdi.
Kolay
6Bir bilmece kartında “(−1)¹⁵ + (−1)²⁰ toplamı kaçtır?” sorusu yazıyor. Bu sorunun doğru cevabı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2
- B) −2
- C) 0
- D) 35
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0
−1'in tek kuvveti −1, çift kuvveti 1'dir; −1 + 1 = 0 olur. 2 sonucu, işaret kuralını göz ardı etmekten gelir.
Kolay
7Öğretmen tahtaya dört üslü ifade yazdı ve “Değeri negatif olan ifadeyi bulun.” dedi. Aşağıdakilerden hangisinin değeri negatiftir?
- A) (−3)²
- B) (−3)⁰
- C) (−3)³
- D) 3⁻²
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (−3)³
Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir: (−3)³ = −27. 3⁻² ise 1/9'dur; negatif üs sonucu negatif yapmaz.
Kolay
8Bir laboratuvarda dört farklı tozdan alınan örneklerin kütleleri (gram) şöyledir: P: 5 × 10⁻⁴, R: 3 × 10⁻⁵, S: 2 × 10⁻³, T: 9 × 10⁻⁵. Kütlesi en küçük olan örnek hangisidir?
- A) R
- B) P
- C) S
- D) T
Cevabı göster
Doğru cevap: A) R
10'un üssü en küçük olanlar R ve T'dir (10⁻⁵); bunlardan katsayısı küçük olan R, 3 × 10⁻⁵ ile en küçüktür. T'nin katsayısı 9 olduğu için R'den büyüktür.
Kolay
9Bir barajda biriken suyun hacmi bilgi panosunda 2,5 × 10⁶ m³ olarak yazıyor. Ziyaretçi Ahmet bu sayıyı rakamlarla açık biçimde yazmak istiyor. Ahmet'in yazması gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 250 000
- B) 2 500 000
- C) 25 000 000
- D) 2 500 000 000
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2 500 000
2,5 × 10⁶ demek 2,5'in virgülünün 6 basamak sağa kaymasıdır: 2 500 000. 25 000 000 sonucu, 2,5'teki ondalık kısmı ayrıca basamak saymaktan gelir.
Kolay
10Fen dersinde öğretmen, 1 milimetrenin 10⁻³ metre olduğunu söyledi. Buna göre 10⁻³ sayısının ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 0,0001
- B) −1000
- C) 0,001
- D) 0,01
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0,001
10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 = 0,001'dir. −1000 sonucu, negatif üssü sayının işareti sanmaktan gelir.
Kolay
11Dört öğrenci aynı sayıyı farklı biçimlerde yazdı. Öğretmen, bilimsel gösterim kuralına uygun olan yazımı seçecek. Öğretmenin seçeceği yazım aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 36 × 10⁴
- B) 0,36 × 10⁶
- C) 360 × 10³
- D) 3,6 × 10⁵
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 3,6 × 10⁵
Bilimsel gösterimde a × 10ⁿ biçiminde 1 ≤ a < 10 olmalıdır; yalnızca 3,6 bu koşulu sağlar. 36 × 10⁴ aynı sayıyı gösterse de 36, 10'dan büyük olduğu için kurala uymaz.
Kolay
12Damla, defterine yazdığı (3²)³ ifadesini tek bir üslü ifade olarak yazacak. Damla'nın yazması gereken ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3⁵
- B) 3⁸
- C) 6³
- D) 3⁶
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 3⁶
Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: (3²)³ = 3²ˣ³ = 3⁶. 3⁵ sonucu, üsleri toplamaktan kaynaklanır.
Kolay
13Bir kuyumcu, tarttığı bir altın parçasının kütlesini kayıt defterine gram cinsinden 2 × 10¹ + 4 × 10⁻¹ + 7 × 10⁻³ biçiminde çözümleyerek yazdı. Bu kütlenin ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 20,407
- B) 20,47
- C) 2,407
- D) 24,007
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 20,407
2 × 10¹ = 20, 4 × 10⁻¹ = 0,4 ve 7 × 10⁻³ = 0,007'dir; toplam 20,407 olur. 20,47 sonucu, 10⁻² basamağının boş olduğunu gözden kaçırmaktan gelir.
Kolay
14Murat, ödevindeki 4⁻² ifadesinin değerini hesaplayacak. Negatif üssün sayının çarpmaya göre tersini aldığını hatırlıyor. Murat'ın bulması gereken doğru sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −16
- B) −8
- C) 1/16
- D) 1/8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1/16
4⁻² = 1/4² = 1/16'dır. Negatif üs sonucu negatif yapmaz; −16 sonucu bu yanılgıdan gelir.
Kolay
15Bir tabletin hesap makinesi uygulamasında Eda önce (−8)⁰, sonra 8⁰ değerini buldu ve iki sonucu topladı. Eda'nın ekranda gördüğü toplam kaçtır?
- A) 0
- B) 2
- C) 1
- D) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir; (−8)⁰ = 1 ve 8⁰ = 1 olduğundan toplam 2'dir. 0 sonucu, sıfırıncı kuvveti 0 sanma yanılgısından gelir.
Kolay
16Bir matematik yarışmasında “(1/2)⁻³ ifadesinin değeri kaçtır?” sorusu soruldu. Bu sorunun doğru cevabı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 1/8
- B) −8
- C) −6
- D) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 8
Negatif üs kesri ters çevirir: (1/2)⁻³ = 2³ = 8. 1/8 sonucu, negatif üssü hiç uygulamamaktan gelir.
Kolay
17Bir çiftlikte toplanan 6⁴ yumurta, 2⁴ koliye eşit sayıda yerleştirilecek. Çiftlik görevlisi, bir koliye düşen yumurta sayısını tek bir üslü ifade olarak yazmak istiyor. Bir kolideki yumurta sayısını gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3⁴
- B) 3⁰
- C) 4⁴
- D) 4⁰
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3⁴
Üsleri aynı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünür, ortak üs aynen yazılır: 6⁴ ÷ 2⁴ = (6 ÷ 2)⁴ = 3⁴ = 81. Kontrol: 6⁴ = 1296, 2⁴ = 16 ve 1296 ÷ 16 = 81. Üsleri çıkarmak (3⁰) yalnız tabanlar aynı olduğunda yapılır; burada tabanlar farklıdır. Tabanları birbirinden çıkarmak (4⁴) ise hiçbir kurala uymaz.
Kolay
18Bir yüzme yarışında Deniz'in derecesi 58,274 saniye olarak ölçüldü. Hakem bu sayıyı 10'un kuvvetlerini kullanarak çözümlüyor. Bu çözümlemede 7 rakamı 10'un hangi kuvvetiyle çarpılır?
- A) 10⁻³
- B) 10⁻²
- C) 10⁻¹
- D) 10¹
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10⁻²
58,274 = 5 × 10¹ + 8 × 10⁰ + 2 × 10⁻¹ + 7 × 10⁻² + 4 × 10⁻³ biçiminde çözümlenir. 7 rakamı virgülden sonraki ikinci basamakta, yani yüzde birler basamağındadır; basamak değeri 7 × 0,01 = 7 × 10⁻² olur. 10⁻¹ onda birler basamağındaki 2'nin, 10⁻³ binde birler basamağındaki 4'ün, 10¹ ise onlar basamağındaki 5'in çarpıldığı kuvvettir.
Orta
19Bir kargo şubesinde bir sandık malzemenin kütlesi elektronik tartıda 305,07 kg olarak görünüyor. Görevli bu değeri basamak değerlerine göre 10'un kuvvetleriyle çözümlenmiş biçimde forma yazacak. Görevlinin forma yazması gereken ifade hangisidir?
- A) 3 · 10² + 5 · 10¹ + 7 · 10⁻²
- B) 3 · 10³ + 5 · 10¹ + 7 · 10⁻¹
- C) 3 · 10² + 5 · 10⁰ + 7 · 10⁻²
- D) 3 · 10² + 5 · 10⁰ + 7 · 10⁻¹
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3 · 10² + 5 · 10⁰ + 7 · 10⁻²
305,07 sayısında 3 yüzler (10²), 5 birler (10⁰), 7 yüzde birler (10⁻²) basamağındadır. Onlar basamağındaki 0 yazılmaz. 7 · 10⁻¹ içeren seçenek, virgülden sonraki 0'ı atlayıp 7'yi onda birler basamağında sanan öğrencinin yanlışıdır.
Orta
20Biyoloji kulübündeki öğrenciler, elektron mikroskobuyla çekilmiş bir fotoğraftaki hücre parçasının çapını 0,00000012 metre olarak ölçtü. Raporlarında bu uzunluğu bilimsel gösterimle yazacaklar. Bu uzunluğun bilimsel gösterimi hangisidir?
- A) 1,2 × 10⁻⁸
- B) 12 × 10⁻⁸
- C) 1,2 × 10⁷
- D) 1,2 × 10⁻⁷
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1,2 × 10⁻⁷
Virgül 7 basamak sağa kaydırılınca 1,2 elde edilir; sayı 1'den küçük olduğu için üs negatiftir: 1,2 × 10⁻⁷. 1,2 × 10⁻⁸ sıfırları sayıp virgülü fazladan bir basamak kaydıran öğrencinin, 1,2 × 10⁷ ise üssün işaretini unutan öğrencinin cevabıdır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.