Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.9.5.2Algoritmik yapılar içerisindeki mantık bağlaçlarını ve niceleyicileri çözümleyebilme

  • a) Algoritmik yapılar içerisinde kullanılan mantık bağlaçlarını ve niceleyicileri belirler.
  • b) Algoritmik yapılar ile mantık bağlaçları ve niceleyiciler arasındaki ilişkileri belirler.

1. Kolay

   1Bir doğa belgeselinde anlatıcı, penguen ve devekuşu görüntülerini göstererek "Bazı kuşlar uçamaz." diyor. Kerem bu önermenin değilini yazıp iki önermenin doğruluk değerlerini karşılaştırmak istiyor. "Bazı kuşlar uçamaz." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) Bazı kuşlar uçar.
   • BB) Bütün kuşlar uçar.
   • CC) Hiçbir kuş uçamaz.
   • DD) Bütün kuşlar uçamaz.
   • EE) Bazı kuşlar uçar, bazıları uçamaz.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) Bütün kuşlar uçar.

   "Bazı" niceleyicisinin değili "her" olur ve yüklem de değillenir: "Her kuş uçar." yani "Bütün kuşlar uçar." Bu önerme yanlıştır, verilen önerme ise doğrudur; değil işlemi doğruluk değerini tersine çevirir. "Bazı kuşlar uçar." seçeneği yalnızca yüklemi değiller, niceleyiciyi değiştirmez.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir müzenin bilet gişesindeki program, indirimli bilet için şu koşulu denetliyor: "yaş < 12 veya yaş > 65". Koşul doğruysa ekranda "İndirimli", yanlışsa "Tam bilet" yazıyor. Aşağıdaki yaşlardan hangisindeki bir ziyaretçi için ekranda "Tam bilet" yazar?

   • AA) 30
   • BB) 8
   • CC) 70
   • DD) 11
   • EE) 66
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) 30

   "veya" bağlacı bileşenlerden en az biri doğruysa doğrudur. 30 yaşında hem 30 < 12 hem 30 > 65 yanlış olduğundan koşul yanlıştır ve tam bilet verilir. 66 seçeneği, sınırın 65 dâhil sanılmasından doğar; oysa 66 > 65 doğrudur ve indirim uygulanır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Cumartesi günü Ozan sinemaya gitmiş ama yüzme kursuna gitmemiştir. Ozan'ın günlüğüyle ilgili şu önermeler yazılıyor: p: "Ozan cumartesi sinemaya gitti." q: "Ozan cumartesi yüzme kursuna gitti." "p ve q", "p veya q" ve "q değil" önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) Doğru, doğru, yanlış
   • BB) Yanlış, doğru, yanlış
   • CC) Yanlış, yanlış, doğru
   • DD) Yanlış, doğru, doğru
   • EE) Doğru, yanlış, doğru
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) Yanlış, doğru, doğru

   p doğru, q yanlıştır. "ve" bağlacı iki bileşen de doğruysa doğrudur, bu yüzden p ve q yanlıştır; "veya" bileşenlerden biri doğruysa doğrudur; q yanlış olduğundan değili doğrudur. "Doğru, doğru, yanlış" seçeneği "ve" ile "veya" bağlaçlarının karıştırılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir matematik forumunda bir kullanıcı "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" yazıp bunun her zaman doğru olduğunu söylüyor. Forumu okuyan Zeynep, bu ifadeyi sembol kullanmadan sınıf arkadaşlarına sözle anlatmak istiyor. Zeynep, ∀ niceleyicisini hangi sözcükle okumalıdır?

   • AA) Bazı
   • BB) Her
   • CC) Ve
   • DD) Değil
   • EE) Veya
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) Her

   ∀ evrensel niceleyicidir ve "her" (bütün) anlamına gelir; ifade "Her gerçek x sayısı için x² ≥ 0'dır." diye okunur. "Bazı" anlamı ∃ (varlık) niceleyicisine aittir; "ve", "veya", "değil" ise niceleyici değil, mantık bağlacıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir kütüphanenin kuralı şöyledir: “Öğrenci olanlar veya 65 yaşın üstündekiler kart ücreti ödemez.” 30 yaşında bir üniversite öğrencisi olan Zeynep için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Ücret öder, çünkü 65 yaşın üstünde değil.
   • BB) Ücret öder, çünkü iki koşul birden sağlanmıyor.
   • CC) Ücretin yarısını öder.
   • DD) Ücret ödemez, çünkü koşullardan biri sağlanıyor.
   • EE) Kural bu durumda karar veremez.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) Ücret ödemez, çünkü koşullardan biri sağlanıyor.

   “veya” bağlacıyla kurulan koşul, bileşenlerden en az biri doğruysa sağlanır; Zeynep öğrenci olduğu için ücret ödemez. İki koşulun birden aranması “ve” bağlacının anlamıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6p: “5 > 3” önermesi veriliyor. p önermesinin değili (p') aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) 5 < 3
   • BB) 5 ≥ 3
   • CC) 5 ≤ 3
   • DD) 3 > 5
   • EE) 5 ≠ 3
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 5 ≤ 3

   “5 > 3” önermesinin değili “5, 3'ten büyük değildir”, yani 5 ≤ 3'tür. 5 < 3 eşitlik durumunu dışarıda bıraktığı için tam değil değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bugün günlerden pazartesi ve hava güneşlidir. Mert, defterine “Bugün pazartesi ve hava yağmurludur.” önermesini yazıyor. Bu bileşik önermenin doğruluk değeriyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Yanlıştır, çünkü bileşenlerden biri yanlıştır.
   • BB) Doğrudur, çünkü bileşenlerden biri doğrudur.
   • CC) Doğrudur, çünkü bugün pazartesidir.
   • DD) Yanlıştır, çünkü iki bileşen de yanlıştır.
   • EE) Doğruluk değeri belirlenemez.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) Yanlıştır, çünkü bileşenlerden biri yanlıştır.

   “ve” ile kurulan önerme yalnız iki bileşen de doğruysa doğrudur; “hava yağmurludur” yanlış olduğu için önerme yanlıştır. Bir bileşenin doğru olması “veya” bağlacı için yeterlidir, “ve” için yeterli değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8“∃x ∈ ℤ, x² = 4” önermesinin doğruluk değeriyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Yanlıştır, çünkü her tam sayı bu eşitliği sağlamaz.
   • BB) Yanlıştır, çünkü 4'ün karekökü tam sayı değildir.
   • CC) Doğrudur, çünkü her tam sayının karesi 4'tür.
   • DD) Doğrudur, çünkü x = 2 için eşitlik sağlanır.
   • EE) Yanlıştır, çünkü x negatif olamaz.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) Doğrudur, çünkü x = 2 için eşitlik sağlanır.

   “En az bir” önermesinin doğru olması için koşulu sağlayan tek bir örnek yeterlidir; x = 2 (ya da x = −2) bu eşitliği sağlar. Her tam sayının sağlaması gerekmez, bu ∀ için aranır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir sınava girmek için kuralda “Kimlik kartı ve sınav giriş belgesi gösterilmelidir.” yazıyor. Selin sınav kapısında yalnız sınav giriş belgesini gösterebiliyor. Kurala göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Sınava girebilir.
   • BB) Yalnız ilk yarıda sınava girebilir.
   • CC) Kimliği olmadığı için belgeye gerek yoktur.
   • DD) Kural bu durumu kapsamaz.
   • EE) Sınava giremez.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) Sınava giremez.

   “ve” bağlacıyla kurulan koşulun sağlanması için iki belge de gösterilmelidir; bir eksik belge koşulu yanlış yapar. Tek belgenin yeterli olması “veya” bağlacı için geçerlidir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir oyunun programında karar adımı “x > 5 veya x < 0 ise EVET dalına git” biçimindedir. Aşağıdaki x değerlerinden hangisi için program EVET dalına gider?

    • AA) 3
    • BB) 0
    • CC) −2
    • DD) 5
    • EE) 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) −2

    −2 < 0 olduğundan bileşenlerden biri doğrudur ve koşul sağlanır. 0 ve 5 için iki bileşen de yanlıştır, çünkü koşullar eşitliği içermez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir öğretmen notlandırma programında şu talimatı yazıyor: “Listedeki her öğrencinin puanına 5 puan ekle.” Bu talimattaki niceleyici aşağıdakilerden hangisiyle gösterilir?

    • AA) ∃
    • BB) ∀
    • CC) ∧
    • DD) ∨
    • EE) '
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) ∀

    “Her” sözcüğü evrensel niceleyicidir ve ∀ ile gösterilir; talimat listedeki tüm öğrencilere uygulanır. ∧ ve ∨ niceleyici değil, sırasıyla “ve” ile “veya” bağlaçlarıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Tahtaya “∃x ∈ ℕ, x + 2 = 5” yazılmıştır. Bu ifadenin sözlü okunuşu aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) Her doğal sayı x + 2 = 5 eşitliğini sağlar.
    • BB) x + 2 = 5 eşitliğini sağlayan hiçbir doğal sayı yoktur.
    • CC) x + 2 = 5 eşitliğini sağlayan en az bir doğal sayı vardır.
    • DD) x + 2 = 5 ise x doğal sayı değildir.
    • EE) Bütün doğal sayılar 3'e eşittir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) x + 2 = 5 eşitliğini sağlayan en az bir doğal sayı vardır.

    ∃ “en az bir, bazı” anlamındadır; ifade bu eşitliği sağlayan en az bir doğal sayı olduğunu söyler (x = 3). “Her doğal sayı” okunuşu ∀ niceleyicisine aittir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir alışveriş sitesinin programında şu karar adımı var: “Ürün stokta varsa ve ödeme onaylandıysa siparişi kargoya ver.” Stokta olan bir ürün için ödeme onaylanmamıştır. Program ne yapar?

    • AA) Siparişi kargoya verir.
    • BB) Siparişi kargoya vermez.
    • CC) Ödemeyi onaylanmış sayar.
    • DD) Ürünü stoktan siler.
    • EE) Siparişi iki kez kargoya verir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Siparişi kargoya vermez.

    Koşul “ve” bağlacıyla kurulduğundan iki bileşenin de doğru olması gerekir; ödeme onaylanmadığı için koşul yanlıştır ve sipariş gönderilmez. Ürünün stokta olması tek başına yetmez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir matematik kitabında “∀x ∈ ℤ, x + 0 = x” ifadesi yer alıyor. Bu ifadedeki ∀ sembolünün anlamı aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) Bazı
    • BB) En az bir
    • CC) Hiçbir
    • DD) Yalnız bir
    • EE) Her
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) Her

    ∀ evrensel niceleyicidir ve “her, bütün” anlamına gelir; ifade “her tam sayı x için x + 0 = x” diye okunur. “En az bir” anlamı ∃ sembolüne aittir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir çiftlikte gezen Can, “Bütün kediler siyahtır.” diyor. Arkadaşı bu önermenin değilini söylüyor. Arkadaşının söylediği önerme aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) Bazı kediler siyah değildir.
    • BB) Hiçbir kedi siyah değildir.
    • CC) Bütün kediler beyazdır.
    • DD) Bazı kediler siyahtır.
    • EE) Bütün kediler siyah değildir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Bazı kediler siyah değildir.

    Niceleyicili önermenin değilinde “her” yerine “bazı” gelir ve ifadenin kendisi değillenir: “Bazı kediler siyah değildir.” “Hiçbir kedi siyah değildir” çok daha güçlü bir iddiadır ve değil değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Elif, “Her asal sayı tek sayıdır.” önermesinin yanlış olduğunu tek bir örnekle göstermek istiyor. Elif hangi sayıyı kullanmalıdır?

    • AA) 9
    • BB) 1
    • CC) 3
    • DD) 15
    • EE) 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 2

    2 asal sayıdır ama tek değildir; “her” önermesini çürütmek için tek bir karşı örnek yeterlidir. 9 ve 15 tek sayıdır ama asal değildir, bu yüzden önermeyle çelişmez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17p: “Yağmur yağıyor.” ve q: “Şemsiyemi yanıma aldım.” önermeleri veriliyor. Kerem sabah arkadaşına “Yağmur yağmıyor ama şemsiyemi yanıma aldım.” diyor. Kerem'in cümlesi sembollerle nasıl yazılır?

    • AA) p ∧ q'
    • BB) p' ∧ q
    • CC) p' ∨ q
    • DD) (p ∧ q)'
    • EE) p' ∧ q'
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) p' ∧ q

    “Yağmur yağmıyor.” önermesi p'nin değilidir: p'. “Şemsiyemi yanıma aldım.” önermesi q'dur. “Ama” sözcüğü burada iki önermenin birlikte doğru olduğunu bildirir, yani “ve” bağlacının (∧) görevini üstlenir. Cümle p' ∧ q biçiminde yazılır. p ∧ q' “Yağmur yağıyor ve şemsiyemi almadım.”, p' ∧ q' “Yağmur yağmıyor ve şemsiyemi almadım.” anlamına gelir. (p ∧ q)' ise “Yağmur yağıyor ve şemsiyemi aldım.” önermesinin değilidir; hangi kısmın yanlış olduğunu belirtmez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir sınıfta 24 öğrenci vardır. Öğretmen tahtaya “Bu sınıftaki bazı öğrenciler gözlüklüdür.” önermesini yazıyor. Bu önermenin doğruluk değeri aşağıdaki durumlardan hangisinde “yanlış” olur?

    • AA) Sınıfta yalnız bir öğrenci gözlüklü olduğunda
    • BB) Sınıftaki öğrencilerin yarısı gözlüklü olduğunda
    • CC) Sınıftaki 24 öğrencinin tamamı gözlüklü olduğunda
    • DD) Sınıfta gözlüklü öğrenci hiç bulunmadığında
    • EE) Sınıftaki 23 öğrenci gözlüksüz olduğunda
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) Sınıfta gözlüklü öğrenci hiç bulunmadığında

    “Bazı” niceleyicisi (∃) “en az bir” anlamındadır. Önerme, sınıfta en az bir gözlüklü öğrenci varsa doğrudur. Bir öğrencinin, öğrencilerin yarısının ya da tamamının gözlüklü olması “en az bir” koşulunu sağlar; 23 öğrenci gözlüksüzse kalan bir öğrenci gözlüklüdür ve önerme yine doğrudur. Önerme yalnız gözlüklü öğrenci hiç yokken yanlıştır. Günlük dilde “bazı” sözcüğü “hepsi değil” anlamında kullanılsa da matematikte öğrencilerin tamamının gözlüklü olması önermeyi yanlış yapmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir sınıf oyununda tahtaya iki kart asılıyor: p: "6 bir asal sayıdır." q: "9 bir tek sayıdır." Öğrenciler bu kartları bağlaçlarla birleştirerek bileşik önermeler kuruyor. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri doğrudur?

    • AA) p ise q
    • BB) p ve q
    • CC) q ise p
    • DD) p değil ise q değil
    • EE) p veya q değil
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) p ise q

    p yanlış (6 = 2 · 3), q doğrudur. Koşullu önerme yalnızca öncül doğru, sonuç yanlışken yanlış olduğundan "p ise q" (yanlış ⇒ doğru) doğrudur. "q ise p" seçeneği doğru ⇒ yanlış biçiminde olduğundan yanlıştır; koşullu önermede bileşenlerin yeri önemlidir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir sera kontrol programında şu kural var: "Sıcaklık x için x > 18 ve x < 26 ise fanı kapalı tut; değilse fanı çalıştır." Teknisyen, fanın çalıştığı durumları tek bir koşulla yazmak istiyor. "x > 18 ve x < 26" önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) x ≤ 18 ve x ≥ 26
    • BB) x < 18 veya x > 26
    • CC) x ≤ 18 veya x ≥ 26
    • DD) x ≥ 18 veya x ≤ 26
    • EE) x < 18 ve x > 26
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) x ≤ 18 veya x ≥ 26

    De Morgan kuralına göre "ve"nin değili "veya" olur ve her bileşen değillenir: x > 18'in değili x ≤ 18, x < 26'nın değili x ≥ 26'dır. "x < 18 veya x > 26" seçeneği sınır değerlerini dışarıda bırakır; oysa 18 °C'de de fanın çalışması gerekir.

    Hata mı var? Düzeltme öner