Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.9.2.2Gerçek sayılarda m(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak

  • a) Gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyon ile n(x) = ± |x| şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu arasındaki ve gerçek sayılarda tanımlı bir h doğrusal fonksiyonu ile m (x) = ± |h(x)| ± c (c ∈ℝ) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu arasındaki cebirsel ve grafiksel benzerlikleri, farklılıkları gözlemler.
  • b) Gözlemlerinden yola çıkarak gerçek sayılarda m(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit eder.
  • c) Tespit ettiği nitel özelliklerinden hareketle gerçek sayılarda m(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine yönelik çıkarımlarda bulunur.

1. Kolay

   1Bir hazine avında ipucu kartında "Hazine, düz patika üzerinde başlangıç bayrağından tam 6 m uzaktadır." yazıyor. Patika bir sayı doğrusu gibi düşünülüyor ve başlangıç bayrağı 0 noktasındadır. Hazinenin olabileceği konumları veren |x| = 6 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?

   • AA) {6}
   • BB) {−6}
   • CC) {−6, 6}
   • DD) {0, 6}
   • EE) {−3, 3}
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) {−6, 6}

   Sıfıra uzaklığı 6 olan iki sayı vardır: bayrağın 6 m sağı ve 6 m solu, yani 6 ve −6. {6}'yı seçen öğrenci mutlak değerin yalnızca pozitif sayıyı verdiğini düşünmüş, patikanın iki yönü olduğunu gözden kaçırmıştır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir kaykay parkındaki V biçimli rampanın yan kesiti g(x) = |x| fonksiyonunun grafiğiyle modelleniyor; x yatay konum, g(x) yükseklik (m). Kaykaycı rampanın sol ucundan sağa doğru ilerliyor. Kaykaycının yüksekliği hangi aralıkta ilerledikçe azalır?

   • AA) (−∞, 0]
   • BB) [0, ∞)
   • CC) [−1, 1]
   • DD) [2, 5]
   • EE) Tüm gerçek sayılar
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) (−∞, 0]

   x negatifken |x| = −x olduğundan x büyüdükçe yükseklik küçülür; fonksiyon (−∞, 0]'da azalan, [0, ∞)'da artandır. [−1, 1]'i seçen öğrenci tepe noktasının iki yanını birlikte almıştır; bu aralıkta fonksiyon önce azalıp sonra arttığı için azalan değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir park sensörü, aracın tampon çizgisine göre konumunu x ile ölçüp ekranda yalnızca uzaklığı g(x) = |x| (cm) olarak gösteriyor. Araç çizginin önünde de arkasında da olabilir ve konum herhangi bir gerçek sayı olabilir. Ekranda görülebilecek değerlerin kümesi hangisidir?

   • AA) [0, ∞)
   • BB) Gerçek sayılar
   • CC) (0, ∞)
   • DD) (−∞, 0]
   • EE) [1, ∞)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) [0, ∞)

   Mutlak değer bir uzaklık olduğundan negatif olamaz; araç tam çizgi üzerindeyken g(0) = 0 değeri de görülür. Görüntü kümesi [0, ∞)'dur. (0, ∞)'u seçen öğrenci 0 değerinin de alınabildiğini gözden kaçırmıştır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir hazine avı oyununda üç ipucu kartı, düz bir patika üzerindeki başlangıç noktasına göre −9 m, 4 m ve −2 m konumlarına saklanmıştır. Oyunun puanı, ilk iki kartın başlangıca olan uzaklıklarının toplamından üçüncü kartın başlangıca olan uzaklığı çıkarılarak hesaplanıyor: |−9| + |4| − |−2|. Oyuncunun puanı kaçtır?

   • AA) 3
   • BB) 11
   • CC) 7
   • DD) 15
   • EE) −7
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 11

   Uzaklık negatif olamaz: |−9| = 9, |4| = 4, |−2| = 2 olduğundan puan 9 + 4 − 2 = 11'dir. 3'ü seçen öğrenci mutlak değeri işaretleri koruyarak işlem yapıp −9 + 4 − (−2) = −3 bulmuş ve sonucu pozitif yazmıştır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Tahtaya |−8| − |3| işlemi yazılmıştır. Bu işlemin sonucu kaçtır?

   • AA) −11
   • BB) 5
   • CC) 11
   • DD) −5
   • EE) 24
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 5

   |−8| = 8 ve |3| = 3 olduğundan sonuç 8 − 3 = 5 olur. −11 cevabı mutlak değeri dikkate almayıp −8 − 3 işlemini yapmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = |x| fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) R
   • BB) (0, ∞)
   • CC) [0, ∞)
   • DD) (−∞, 0]
   • EE) [1, ∞)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) [0, ∞)

   Mutlak değer bir uzaklık olduğu için negatif olamaz ve 0 değerini x = 0'da alır; görüntü kümesi [0, ∞) olur. (0, ∞) cevabı g(0) = 0 değerini gözden kaçırmaktır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7n(x) = −|x| fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Tepe noktası orijinde olan V'dir; en küçük değeri 0'dır.
   • BB) Tepe noktası orijinde olan ters V'dir; en büyük değeri 0'dır.
   • CC) Orijinden geçen artan bir doğrudur.
   • DD) Tepe noktası (0, 1)'de olan ters V'dir.
   • EE) Tüm değerleri pozitiftir.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) Tepe noktası orijinde olan ters V'dir; en büyük değeri 0'dır.

   −|x|, |x| grafiğinin x eksenine göre yansımasıdır; ters V biçimindedir ve en büyük değeri x = 0'daki 0'dır. “En küçük değeri 0” ifadesi |x| fonksiyonuna aittir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8h(x) = |2x − 5| fonksiyonu için h(1) kaçtır?

   • AA) −3
   • BB) 7
   • CC) −7
   • DD) 3
   • EE) 1
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 3

   h(1) = |2 · 1 − 5| = |−3| = 3 olur. −3 cevabı mutlak değeri almayı unutmaktan, 7 ise 2 + 5 toplamını yazmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9x < 0 olduğunda |x| ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

   • AA) x
   • BB) 0
   • CC) −x
   • DD) x²
   • EE) 1/x
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) −x

   Tanıma göre x < 0 ise |x| = −x'tir; örneğin x = −3 için −x = 3 olur. “x” cevabı, negatif sayının mutlak değerinin de kendisi olduğu yanılgısından gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10f(x) = |x − 4| fonksiyonunun sıfırı aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) −4
    • BB) 0
    • CC) 4 ve −4
    • DD) Sıfırı yoktur.
    • EE) 4
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) 4

    |x − 4| = 0 ancak x − 4 = 0, yani x = 4 iken olur. “4 ve −4” cevabı |x| = 4 denkleminin çözümleriyle karıştırmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11f(x) = |x + 1| fonksiyonunun işaretiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) Her x için pozitiftir.
    • BB) x < −1 için negatiftir.
    • CC) x = 1'de 0'dır.
    • DD) x = −1'de 0, diğer x'lerde pozitiftir.
    • EE) x > 0 için negatiftir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) x = −1'de 0, diğer x'lerde pozitiftir.

    Mutlak değer negatif olamaz; yalnız x + 1 = 0, yani x = −1 iken 0 olur ve diğer tüm x'lerde pozitiftir. “x < −1 için negatiftir” cevabı içerideki ifadenin işaretini fonksiyonun işareti sanmaktır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12g(x) = |x| fonksiyonunda aşağıdaki x değer çiftlerinden hangisi aynı görüntüye sahiptir?

    • AA) 2 ve 4
    • BB) 0 ve 4
    • CC) −2 ve 4
    • DD) 1 ve −2
    • EE) −4 ve 4
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) −4 ve 4

    |−4| = |4| = 4 olduğundan bu iki farklı sayının görüntüsü aynıdır; bu yüzden |x| bire bir değildir. −2 ve 4'ün görüntüleri 2 ve 4'tür, eşit değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Düz bir sahil yolunda büfe −5. km'de, iskele 3. km'de bulunuyor. İki nokta arasındaki uzaklık |3 − (−5)| ile hesaplanırsa sonuç kaç km olur?

    • AA) 2
    • BB) 8
    • CC) −8
    • DD) −2
    • EE) 15
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 8

    |a − b| sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklıktır: |3 + 5| = 8 km. 2 cevabı −5'in işaretini yanlış alıp |3 − 5| hesaplamaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14g(x) = |x| fonksiyonuyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

    • AA) Maksimum değeri yoktur.
    • BB) Görüntü kümesi R'dir.
    • CC) Bire bir bir fonksiyondur.
    • DD) Her aralıkta artandır.
    • EE) En küçük değeri −1'dir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Maksimum değeri yoktur.

    x büyüdükçe |x| sınırsız büyüdüğünden fonksiyonun maksimum değeri yoktur. Bire bir değildir, çünkü g(−2) = g(2) = 2 olur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir koşucunun 400 metredeki hedef süresi 60 saniyedir. Koşucunun süresi x saniye olmak üzere hedeften sapması f(x) = |x − 60| ile hesaplanıyor. Koşucu 57,5 saniyede koşarsa sapma kaç saniye olur?

    • AA) −2,5
    • BB) 2,5
    • CC) 117,5
    • DD) 57,5
    • EE) 3
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 2,5

    f(57,5) = |57,5 − 60| = |−2,5| = 2,5 saniye olur. −2,5 cevabı mutlak değerin negatif sonuç vermediğini gözden kaçırmaktır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16f(x) = |x| − 1 fonksiyonunun grafiği, g(x) = |x| grafiğinden hangi dönüşümle elde edilir?

    • AA) 1 birim yukarı ötelenerek
    • BB) 1 birim sağa ötelenerek
    • CC) 1 birim aşağı ötelenerek
    • DD) 1 birim sola ötelenerek
    • EE) x eksenine göre yansıtılarak
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 1 birim aşağı ötelenerek

    Mutlak değerin dışından çıkarılan sayı grafiği dikey yönde kaydırır; |x| − 1 grafiği 1 birim aşağı ötelenir. 1 birim sağa öteleme |x − 1| fonksiyonunu verir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Sayı doğrusu biçiminde modellenen düz bir yolda Arda x noktasında, okul ise 7 noktasındadır. Arda okula olan uzaklığını |x − 7| ifadesiyle yazıyor. Kardeşi aynı uzaklığı farklı bir ifadeyle yazıyor ve x'in her değeri için Arda ile aynı sonucu buluyor. Kardeşinin yazdığı ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir?

    • AA) |7 − x|
    • BB) |x + 7|
    • CC) |x| − 7
    • DD) |x| + 7
    • EE) −|x − 7|
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) |7 − x|

    7 − x ile x − 7 birbirinin toplama işlemine göre tersidir ve bir sayı ile tersinin mutlak değerleri eşittir: |7 − x| = |−(x − 7)| = |x − 7|. İki nokta arasındaki uzaklık, hangisinden hangisinin çıkarıldığına bağlı değildir. Öteki ifadeler bir değer denenerek elenir: x = 0 için |x − 7| = 7 iken |x| − 7 = −7 ve −|x − 7| = −7 olur; x = 7 için |x − 7| = 0 iken |x + 7| = 14 ve |x| + 7 = 14 olur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Düz bir sahil yolu, birimi kilometre olan bir sayı doğrusuyla modelleniyor. Çeşme 4 noktasındadır; x noktasının çeşmeye uzaklığı f(x) = |x − 4| (km) fonksiyonuyla hesaplanıyor. Belediye bu fonksiyonun grafiğini koordinat düzleminde çizdiriyor ve grafiğin y eksenini kestiği noktayı işaretliyor. İşaretlenen nokta aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (−4, 0)
    • BB) (0, −4)
    • CC) (0, 4)
    • DD) (4, 0)
    • EE) (4, 4)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) (0, 4)

    Grafiğin y eksenini kestiği noktanın apsisi 0'dır. f(0) = |0 − 4| = |−4| = 4 olduğundan nokta (0, 4) olur. Bu, yolun 0 noktasının çeşmeye 4 km uzak olduğunu gösterir. (4, 0) grafiğin x eksenine değdiği en alt noktadır, yani çeşmenin kendisidir. (0, −4), mutlak değer alınmadan 0 − 4 hesaplanırsa bulunur. (−4, 0) içerideki sayının işareti ters alınıp eksenler karıştırılırsa, (4, 4) ise apsis ile ordinat aynı sayı sanılırsa çıkar.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir grafik tasarım programında V biçimli bir logo, g(x) = |x| fonksiyonunun grafiği olarak çiziliyor. Tasarımcı logoyu yeniden konumlandırdıktan sonra program logonun yeni kuralını f(x) = |x + 3| olarak gösteriyor. Logo nasıl hareket ettirilmiştir?

    • AA) 3 birim sağa ötelenmiştir.
    • BB) 3 birim sola ötelenmiştir.
    • CC) 3 birim yukarı ötelenmiştir.
    • DD) 3 birim aşağı ötelenmiştir.
    • EE) x eksenine göre yansıtılmıştır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 3 birim sola ötelenmiştir.

    |x + 3| = |x − (−3)| olduğundan tepe noktası (0, 0)'dan (−3, 0)'a kayar; bu 3 birim sola ötelemedir. Sağa ötelemeyi seçen öğrenci "+3" işaretini doğrudan sağ yön olarak yorumlamıştır; mutlak değerin içine eklenen sayı grafiği ters yönde kaydırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir animasyon programında g(x) = |x| grafiği biçimindeki bir kuş sürüsü figürü önce 4 birim sağa, sonra 2 birim aşağı kaydırılıyor. Program, figürün yeni konumunu bir fonksiyon kuralıyla kaydediyor. Kaydedilen kural hangisidir?

    • AA) f(x) = |x + 4| − 2
    • BB) f(x) = |x − 2| − 4
    • CC) f(x) = |x − 4| − 2
    • DD) f(x) = |x − 4| + 2
    • EE) f(x) = |x + 4| + 2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) f(x) = |x − 4| − 2

    c birim sağa öteleme |x − c|, d birim aşağı öteleme ise sonuçtan d çıkarma ile gösterilir: |x − 4| − 2; tepe noktası (4, −2)'ye gelir. |x + 4| − 2'yi seçen öğrenci sağa ötelemeyi içeride toplama ile göstermiştir; bu grafik 4 birim sola kayar.

    Hata mı var? Düzeltme öner