9. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler

Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

doğrusal fonksiyon
eğim
bağımlı değişken
artanlık-azalanlık
fonksiyonun sıfırı
maksimum-minimum
bire bir fonksiyon

Doğrusal fonksiyonun özellikleri nelerdir?

Doğrusal fonksiyon, sabit bir oranla birlikte değişen iki nicelik arasındaki ilişkiyi modelleyen ve grafiği bir doğru olan f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyondur. Buradaki a katsayısı eğimi yani değişim oranını, b ise grafiğin y eksenini kestiği noktayı gösterir. Eğim pozitifse fonksiyon artan, negatifse azalan, sıfırsa sabittir ve grafiği yatay bir doğru olur. Fonksiyonun sıfırı, fonksiyonu sıfır yapan x değeridir: f(x) = 2x − 6 için sıfır x = 3'tür; bu değerin solunda fonksiyon negatif, sağında pozitiftir. Eğimi sıfırdan farklı doğrusal fonksiyon bire birdir ve kapalı bir aralıkta en büyük ve en küçük değerlerini uç noktalarda alır. Referans fonksiyon f(x) = x'in grafiği orijinden geçer ve x ekseniyle 45° açı yapar. Saatte 60 km sabit hızla giden bir aracın yolu d(t) = 60t ile modellenir; araç 2,5 saatte 150 km yol alır.

Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri: konu anlatımı ve özeti

İki nicelik sabit bir oranla birlikte değişiyorsa aralarındaki ilişki doğrusal fonksiyonla modellenir ve grafiği bir doğrudur. Sabit hızla giden bir aracın aldığı yol ya da düzenli ısınan bir sıvının sıcaklığı buna örnektir.

Doğrusal referans fonksiyon f(x) = x'tir; grafiği orijinden geçen ve x ekseniyle 45° açı yapan doğrudur. Diğer doğrusal fonksiyonların grafikleri bu doğrudan yararlanılarak çizilir.
Genel biçim f(x) = ax + b'dir: a eğimi (değişim oranını), b grafiğin y eksenini kestiği noktayı gösterir. Eğim = (y2 − y1) / (x2 − x1).
a > 0 ise fonksiyon artan, a < 0 ise azalan, a = 0 ise sabit fonksiyondur (yatay doğru).
Fonksiyonun sıfırı f(x) = 0 yapan x değeridir. f(x) = 2x − 6 için sıfır x = 3'tür; x < 3 iken fonksiyon negatif, x > 3 iken pozitiftir.
f(x) = 2x − 6 grafiği: [0, 5] aralığında en küçük değer −6, en büyük değer 4; x = 3'te x eksenini keser
a ≠ 0 ise doğrusal fonksiyon bire birdir; R'de tanımlıysa görüntü kümesi de R'dir. Kapalı bir aralıkta tanımlıysa maksimum ve minimum değerler uç noktalarda alınır: [0, 5] aralığında f(x) = 2x − 6'nın en küçük değeri −6, en büyük değeri 4'tür.
Model örneği: Saatte 60 km sabit hızla giden bir araç için yol d(t) = 60t olur; 2,5 saatte 150 km yol alınır. Burada zaman bağımsız, yol bağımlı değişkendir.

Unutma: Eğimi hesaplarken iki noktanın koordinatlarını aynı sırayla çıkar; (y2 − y1)'i (x1 − x2)'ye bölersen işaret ters çıkar.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Doğrusal bir durumu fonksiyona çevirirken iki soru sor: Başlangıçta ne var? ve Her adımda ne kadar değişiyor?

Başlangıç değeri b'dir (x = 0 iken).
Birim başına sabit değişim a'dır; artış varsa a pozitif, azalış varsa negatif olur.
Fonksiyonu yaz: f(x) = ax + b.
Kontrol için birkaç değer hesapla ve tablo yap.

Günlük hayattan: Bir telefonun şarjı %100'den başlayıp video izlerken her saat %8 azalıyorsa kalan şarj f(x) = 100 − 8x olur. 5 saat sonra %60 kalır; f(x) = 0 denkleminden şarjın 12,5 saatte biteceği bulunur. Bu fonksiyon azalandır, çünkü a = −8'dir.

Sık yapılan hata: Başlangıç değerini eğim sanmak. Doğrusu: f(x) = 100 − 8x'te 100 grafiğin y eksenini kestiği yerdir; doğrunun ne kadar dik olduğunu −8 belirler.

Derinleş

Kendi telefonunun şarj seviyesini bir gün boyunca belli aralıklarla kaydet. Verileri koordinat düzlemine işle: Noktalar bir doğruya yakın mı? Bir doğrusal fonksiyon modeli kurup şarjın ne zaman biteceğini tahmin et ve gerçek sonuçla karşılaştır. Model hangi durumlarda (oyun, ekran parlaklığı, şarj ederken) bozuluyor? Doğrusal modelin sınırlarını tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.9.2.1Gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonun nitel
- a) Doğrusal referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
- b) Doğrusal referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
- c) Doğrusal referans fonksiyonu grafik veya cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer doğrusal fonksiyonlara dönüştürür.
- d) Doğrusal referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer doğrusal fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunur.
- ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamındaki kullanışlılığını değerlendirir.

Bu konuda neler var?

Gerçek Sayılarda f(x) = x Şeklinde Tanımlı Doğrusal Referans Fonksiyon

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Okulun bilim fuarında öğrenciler el yapımı sabun satıyor. Satılan sabun sayısı x (düzine) olmak üzere stanttan elde edilen kâr, malzeme gideri çıkarıldıktan sonra f(x) = 3x − 12 (yüz TL) ile hesaplanıyor. Öğrenciler zarar etmedikleri ama kâr da etmedikleri satış miktarını bulmak istiyor. f fonksiyonunun sıfırı kaçtır?
- A) −4
- B) 12
- C) 4
- D) 3
- E) −12
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
Fonksiyonun sıfırı f(x) = 0 yapan değerdir: 3x − 12 = 0 ise x = 4 düzine. −12'yi seçen öğrenci sıfırı f(0) değeriyle karıştırmıştır; f(0) = −12 hiç satış yapılmadığındaki zarardır.
Kolay
2Bir teknoloji mağazasının ekranında beş farklı cihazın pil seviyesi, kullanım süresi x'e bağlı doğrusal fonksiyonlarla gösteriliyor. Mağaza çalışanı, kullanım süresi arttıkça pil seviyesi sürekli azalan, yani gerçekten şarj tüketen cihazı bulmak istiyor. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi azalan bir doğrusal fonksiyondur?
- A) f(x) = 2x + 1
- B) h(x) = 6
- C) k(x) = x/5 − 9
- D) m(x) = 2 + x/3
- E) g(x) = 4 − 3x
Cevabı göster
Doğru cevap: E) g(x) = 4 − 3x
Eğimi negatif olan doğrusal fonksiyon azalandır; g(x) = 4 − 3x'in eğimi −3'tür. k(x) = x/5 − 9'u seçen öğrenci sabit terimin negatif olmasını azalanlık sanmıştır; oysa eğim 1/5 pozitiftir. h(x) = 6 ise sabit fonksiyondur, ne artan ne azalandır.
Kolay
3Dondurucudan çıkarılan bir buz kalıbının sıcaklığı ilk birkaç dakika boyunca doğrusal olarak artıyor. Kalıp dışarı alındıktan x dakika sonraki sıcaklığı f(x) = 5x − 2 (°C) ile modelleniyor ve bu fonksiyonun grafiği koordinat düzleminde çiziliyor. Grafik y eksenini hangi noktada keser?
- A) (−2, 0)
- B) (0, 5)
- C) (2/5, 0)
- D) (0, −2)
- E) (0, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (0, −2)
y ekseni üzerindeki noktalarda x = 0'dır: f(0) = −2, kesim noktası (0, −2) olur; bu, kalıbın dışarı alındığı andaki sıcaklıktır. (2/5, 0)'ı seçen öğrenci y ekseni yerine x ekseniyle kesişimi, yani fonksiyonun sıfırını bulmuştur.
Kolay
4Bir elektrik kesintisinde yakılan 7 cm boyundaki bir mum düzenli biçimde eriyor. Mum yakıldıktan x saat sonraki boyu, mum tükenene kadar f(x) = −4x + 7 doğrusal fonksiyonuyla (cm) modelleniyor. Bu fonksiyonun eğimi kaçtır?
- A) 7
- B) 4
- C) −7/4
- D) 7/4
- E) −4
Cevabı göster
Doğru cevap: E) −4
f(x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonda eğim x'in katsayısı a'dır; burada a = −4'tür ve mumun saatte 4 cm kısaldığını gösterir. 7'yi seçen öğrenci eğimi sabit terimle karıştırmıştır; 7, mumun başlangıç boyu yani grafiğin y eksenini kestiği değerdir.
Kolay
5Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal referans fonksiyon f(x) = x'in grafiğiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Orijinden geçer ve artandır.
- B) y eksenini 1 noktasında keser.
- C) Azalan bir fonksiyondur.
- D) x eksenine paralel bir doğrudur.
- E) Yalnız pozitif değerler alır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Orijinden geçer ve artandır.
f(0) = 0 olduğundan grafik orijinden geçer ve x arttıkça f(x) de arttığı için fonksiyon artandır. Negatif x değerlerinde f(x) de negatif olduğundan yalnız pozitif değer almaz.
Kolay
6Bir taksinin ücreti, gidilen yol x km olmak üzere f(x) = 12x + 40 (TL) fonksiyonuyla hesaplanıyor. Bu fonksiyondaki 12 sayısı neyi gösterir?
- A) Açılış ücretini
- B) Toplam ücreti
- C) Kilometre başına ücreti
- D) Gidilen toplam yolu
- E) Yolculuğun süresini
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Kilometre başına ücreti
12, x her 1 km arttığında ücretin ne kadar arttığını, yani eğimi gösterir; bu da kilometre başına ücrettir. 40 ise x = 0 iken ödenen açılış ücretidir.
Kolay
7Aşağıdaki noktalardan hangisi f(x) = x fonksiyonunun grafiği üzerindedir?
- A) (2, −2)
- B) (0, 1)
- C) (1, 0)
- D) (−2, −2)
- E) (−2, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (−2, −2)
f(x) = x grafiğindeki her noktanın apsisi ile ordinatı eşittir; (−2, −2) bu koşulu sağlar. (−2, 2) ise f(x) = −x grafiği üzerindedir.
Kolay
8g(x) = x + 3 fonksiyonunun grafiği, f(x) = x grafiğinden hangi işlemle elde edilebilir?
- A) 3 birim aşağı ötelenmesiyle
- B) 3 birim sağa ötelenmesiyle
- C) Eğiminin 3 katına çıkmasıyla
- D) x eksenine göre yansımasıyla
- E) 3 birim yukarı ötelenmesiyle
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 3 birim yukarı ötelenmesiyle
Her x için g(x), f(x)'ten 3 fazladır; bu yüzden grafik 3 birim yukarı ötelenir. Eğim değişmediği için “eğimin 3 katına çıkması” bu dönüşümü vermez.
Kolay
9f(x) = −3x + 6 fonksiyonunun grafiği y eksenini hangi noktada keser?
- A) (6, 0)
- B) (2, 0)
- C) (0, −3)
- D) (0, 6)
- E) (0, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (0, 6)
y eksenini kesen noktada x = 0'dır ve f(0) = 6 olur; nokta (0, 6)'dır. (2, 0) ise grafiğin x eksenini kestiği noktadır.
Kolay
10Bir bisikletli sabit hızla ilerliyor ve t saatte aldığı yol d(t) = 15t (km) fonksiyonuyla veriliyor. Bisikletli 3 saatte kaç km yol alır?
- A) 18
- B) 5
- C) 45
- D) 60
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 45
d(3) = 15 · 3 = 45 km olur. 18 cevabı 15 ile 3'ü çarpmak yerine toplamaktan gelir.
Kolay
11f(x) = x − 5 fonksiyonu x'in hangi değerleri için negatif değer alır?
- A) x > 5
- B) x < −5
- C) x < 5
- D) x > −5
- E) x = 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x < 5
x − 5 < 0 ise x < 5 olur; fonksiyonun sıfırı 5'tir ve fonksiyon artan olduğu için sıfırdan küçük x'lerde negatiftir. x = 5'te fonksiyon değeri 0'dır, negatif değildir.
Kolay
12Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi sabit fonksiyondur?
- A) f(x) = 4x
- B) f(x) = x + 4
- C) f(x) = −4x
- D) f(x) = 4
- E) f(x) = 4 − x
Cevabı göster
Doğru cevap: D) f(x) = 4
f(x) = ax + b'de a = 0 ise fonksiyon sabittir; f(x) = 4 her x için 4 değerini alır ve grafiği yatay bir doğrudur. f(x) = 4x'te eğim 4 olduğu için fonksiyon artandır.
Kolay
13a ≠ 0 olmak üzere gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax + b fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [0, ∞)
- B) {b}
- C) (−∞, b]
- D) N
- E) R
Cevabı göster
Doğru cevap: E) R
a ≠ 0 ise doğrusal fonksiyon her gerçek değeri alır, görüntü kümesi R'dir. {b} yalnız a = 0 olduğunda, yani sabit fonksiyonda geçerlidir.
Kolay
14g(x) = 4x − 8 fonksiyonunun sıfırı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −2
- B) −8
- C) 8
- D) 2
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2
Sıfır, g(x) = 0 yapan x değeridir: 4x − 8 = 0 ise x = 2 olur. −8, grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır, sıfır değildir.
Kolay
15Bir kırtasiyede fotokopi ücreti, çekilen sayfa sayısına göre doğrusal bir fonksiyonla hesaplanıyor. Bu durumda bağımlı değişken aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Sayfa sayısı
- B) Sayfa başına fiyat
- C) Ödenen ücret
- D) Fotokopi makinesi
- E) Kâğıdın boyutu
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Ödenen ücret
Ücret, sayfa sayısına bağlı olarak değiştiği için bağımlı değişkendir. Sayfa sayısı ise serbestçe seçilen bağımsız değişkendir.
Kolay
16Doğrusal bir fonksiyonun grafiği (1, 3) ve (4, 9) noktalarından geçiyor. Bu fonksiyonun eğimi kaçtır?
- A) 1/2
- B) 3
- C) 6
- D) −2
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2
Eğim = (9 − 3) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2 olur. 1/2 cevabı x'teki değişimi y'deki değişime bölmekten, yani oranı ters kurmaktan gelir.
Kolay
17Elif'in kumbarasında 120 TL vardır ve Elif her hafta kumbaradan aynı miktarda para alıyor. x hafta sonra kumbarada kalan para f(x) = 120 − 15x (TL) fonksiyonuyla modelleniyor; model para bitene kadar geçerlidir. Bu modelde x değeri 3 arttığında f(x) değeri nasıl değişir?
- A) 15 TL azalır.
- B) 45 TL azalır.
- C) 45 TL artar.
- D) 75 TL azalır.
- E) 105 TL azalır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 45 TL azalır.
Doğrusal fonksiyonda eğim, x bir birim arttığında f(x)'teki değişimi verir. Eğim −15 olduğundan x her 1 arttığında f(x) 15 azalır; x 3 arttığında değişim 3 · (−15) = −45 olur, yani kalan para 45 TL azalır. Örnek: f(2) = 90 ve f(5) = 45; fark −45. 15 TL, yalnız bir haftalık değişimdir. Eğimin işareti göz ardı edilirse “45 TL artar” sonucuna varılır. 75 TL, f(3) değeridir; değişim miktarı değildir. 105 TL ise 120 − 15 işleminden gelir.
Kolay
18Bir çizim programında f(x) = 2x − 3 fonksiyonunun grafiği olan doğru çiziliyor. Tasarımcı, imleci bu doğru üzerinde ordinatı 5 olan noktaya getiriyor. İmlecin bulunduğu noktanın apsisi kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) 7
- E) 13
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
Nokta grafiğin üzerinde olduğundan koordinatları f(x) = y eşitliğini sağlar. 2x − 3 = 5 denkleminden 2x = 8 ve x = 4 bulunur. Sağlama: f(4) = 8 − 3 = 5. 7, apsis ile ordinatın karıştırılıp f(5) = 7 hesaplanmasıyla; 1, 3'ün karşıya eksi geçirilmesiyle (2x = 5 − 3) çıkar. 13 ise 2 · 5 + 3 işleminden gelir.
Orta
19Bir bisiklet kiralama noktasında ücret, kiralama süresine bağlı doğrusal bir fonksiyonla belirleniyor. Ödeme kayıtlarına göre 1 saatlik kiralama için 40 TL, 3 saatlik kiralama için 100 TL ödenmiştir. Deniz bisikleti 5 saat kiralamak istiyor. Deniz kaç TL öder?
- A) 140
- B) 180
- C) 200
- D) 120
- E) 160
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 160
Eğim (100 − 40)/(3 − 1) = 30 TL/saattir; f(x) = 30x + b ve f(1) = 40 ise b = 10'dur. f(5) = 150 + 10 = 160 TL olur. 200'ü seçen öğrenci ücreti orantılı sanıp 40 · 5 hesaplamış, sabit 10 TL'lik açılış bedelini gözden kaçırmıştır.
Orta
20Bir bilgisayar oyununda karakterin konumu x, [−2, 3) aralığındaki gerçek sayılarla sınırlıdır. Karakterin her konumda topladığı enerji f(x) = 3x − 4 fonksiyonuyla hesaplanıyor. Karakterin toplayabileceği enerji değerleri hangi küme ile gösterilir?
- A) [−10, 5]
- B) (−10, 5)
- C) [−2, 3)
- D) [−10, 5)
- E) (−10, 5]
Cevabı göster
Doğru cevap: D) [−10, 5)
Eğim pozitif olduğundan f artandır: f(−2) = −10 değeri alınır; 3 tanım kümesinde olmadığından f(3) = 5 değeri alınmaz. Görüntü kümesi [−10, 5)'tir. [−2, 3)'ü seçen öğrenci görüntü kümesini tanım kümesiyle karıştırmıştır.

Ders videoları

MEB'in 9. sınıf Matematik örnek ders anlatımları. Tüm videolar (7)

9.Sınıf Matematik Dersi Örnek Ders Anlatımı Kaynak: MEB

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.