10. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

sinüs
kosinüs
tanjant
kotanjant
trigonometrik özdeşlik
birim çember
dik üçgen

Dik üçgende sinüs, kosinüs ve tanjant nasıl bulunur?

Dik üçgende trigonometrik oranlar, bir dar açının karşı ve komşu dik kenarları ile hipotenüs arasındaki sabit oranlardır. Dar açı α için sin α = karşı dik kenar / hipotenüs, cos α = komşu dik kenar / hipotenüs, tan α = karşı / komşu ve cot α = komşu / karşı olarak tanımlanır. Kenarları 3, 4, 5 olan dik üçgende 3'ün karşısındaki açı için sin α = 3/5, cos α = 4/5 ve tan α = 3/4 olur. Özel açılarda sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2 ve tan 60° = √3 değerleri kullanılır. Tümler açılarda sin α = cos(90° − α) eşitliği geçerlidir. Temel özdeşlikler sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α ve tan α · cot α = 1 biçimindedir. Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir; üzerindeki noktanın koordinatları (cos α, sin α) olarak yorumlanır. Trigonometrik oranlar üçgenin büyüklüğüne değil, yalnızca açıya bağlıdır; bu sayede bir binanın boyu açıdan hesaplanabilir.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler: konu anlatımı ve özeti

Dik üçgende bir dar açının ölçüsü ile kenarların oranları arasında sabit bir ilişki vardır. Trigonometrik oranlar sayesinde bir rampanın yüksekliği ya da bir binanın boyu gibi uzunlukları açı ölçüsünden hesaplayabilirsin.

Dar açı α için: sin α = karşı dik kenar / hipotenüs, cos α = komşu dik kenar / hipotenüs, tan α = karşı / komşu, cot α = komşu / karşı.
Örnek: Kenarları 3, 4, 5 olan dik üçgende 3'ün karşısındaki açı için sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4.
Kenarları 3, 4, 5 olan dik üçgen: α açısına göre karşı dik kenar 3, komşu dik kenar 4, hipotenüs 5; sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4
Özel açılar: sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1, tan 60° = √3.
Tümler açılarda sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α) olur.
Temel özdeşlikler: sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α, tan α · cot α = 1. Örnek: sin α = 3/5 ise cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, cos α = 4/5.
Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Üzerindeki bir noktanın koordinatları (cos α, sin α) olarak yorumlanır.

Unutma: Trigonometrik oranlar üçgenin büyüklüğüne değil yalnızca açıya bağlıdır; benzer dik üçgenlerde aynı açının sinüsü de aynıdır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Trigonometrik oranı yazmadan önce kenarlara açıya göre ad ver.

Dik açıyı bul; onun karşısındaki en uzun kenar hipotenüstür.
İncelediğin dar açıyı işaretle. Bu açının tam karşısındaki dik kenar karşı, açıya değen dik kenar komşu kenardır.
Oranı kur: sinüs karşı/hipotenüs, kosinüs komşu/hipotenüs, tanjant karşı/komşu.

Günlük hayattan: 10 m uzunluğundaki bir rampa yerle 30° açı yapıyorsa rampanın yüksekliği 30°'nin karşısındaki kenardır: 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5 m.

Sık yapılan hata: Açı değişince kenarların adını aynı bırakmak. Doğrusu: Karşı ve komşu kenar seçtiğin açıya göre yer değiştirir; yalnızca hipotenüs sabittir. Bir kontrol ipucu: Dar açının sinüsü ve kosinüsü 1'den büyük çıkamaz, çünkü pay hipotenüsten kısadır.

Derinleş

Bir pipet, iletki, ip ve küçük bir ağırlıkla basit bir eğim ölçer (klinometre) yap. Okul binasından belli bir uzaklıkta durup çatıya bakış açını ölç ve tanjant oranıyla binanın yüksekliğini tahmin et. Ölçümü iki farklı uzaklıktan tekrarla: sonuçlar neden tam aynı çıkmayabilir, göz yüksekliğini hesaba katmak neyi değiştirir? Fizik dersindeki eğik düzlem bilginle de bağ kur.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.1.1Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik
- a) Dik üçgende trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili varsayımlarda bulunur.
- b) Trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili örüntüleri geneller.
- c) Trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili elde ettiği genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
- ç) Yaptığı karşılaştırmalardan dik üçgende trigonometrik oranlara ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin önermeler sunar.
- d) Ulaştığı trigonometrik oranları ve trigonometrik özdeşlikleri problemler bağlamında değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir lunaparktaki dönme dolabın modeli, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan bir çemberle gösteriliyor. Bir kabin başlangıçta (1, 0) noktasındadır; dolap saat yönünün tersine 60° dönüyor. Kabinin yeni konumunun koordinatları hangisidir?
- A) (√3/2, 1/2)
- B) (1/2, √3/2)
- C) (1, √3)
- D) (√3, 1)
- E) (−1/2, √3/2)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (1/2, √3/2)
Birim çemberde θ açısına karşılık gelen nokta (cos θ, sin θ)'dır; cos 60° = 1/2 ve sin 60° = √3/2 olduğundan kabin (1/2, √3/2) noktasına gelir. (√3/2, 1/2) noktası 30°'lik dönmeye aittir; koordinatların sırası karıştırılmıştır.
Kolay
2Matematik kulübünde Ece, 30°-60°-90° gönyesinin kenarlarını cetvelle ölçüyor: 30°'lik açının karşısındaki kenar 5 cm, hipotenüs 10 cm çıkıyor. Ece, sin 30° ile cos 60° değerlerini bu ölçümlerden bulup topluyor. Ece'nin bulduğu toplam kaçtır?
- A) 1/2
- B) √3
- C) √3/2
- D) 1
- E) (1 + √3)/2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1
sin 30° = 5/10 = 1/2'dir; 60°'lik açıya komşu dik kenar da 30°'nin karşısındaki 5 cm'lik kenar olduğundan cos 60° = 5/10 = 1/2'dir ve toplam 1 olur. (1 + √3)/2'yi seçen öğrenci cos 60° yerine sin 60° = √3/2 değerini almıştır.
Kolay
3Okul bahçesine kurulan bir kaykay rampasının yan yüzü dik üçgen biçimindedir. Rampanın eğik yüzeyi 17 dm uzunluğundadır ve rampanın en yüksek noktası yerden 8 dm yüksektedir. Eğik yüzeyin yerle yaptığı açı α ile gösteriliyor. Buna göre sin α kaçtır?
- A) 15/17
- B) 8/15
- C) 17/8
- D) 8/17
- E) 15/8
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 8/17
α açısının karşısındaki dik kenar rampanın yüksekliği (8 dm), hipotenüs ise eğik yüzeydir (17 dm); sin α = 8/17 olur. 15/17'yi seçen öğrenci, Pisagor'la bulunan 15 dm'lik komşu dik kenarı kullanmış ve aslında cos α'yı hesaplamıştır.
Kolay
4Bir parktaki kaydırağın kayma yüzeyi, kaydırağın tepesinden yere inen dikme ve zemin bir dik üçgen oluşturuyor. Kayma yüzeyi zeminle α, dikmeyle β açısı yapıyor. Ölçümlere göre sin α = 0,6'dır. Buna göre cos β kaçtır?
- A) 0,4
- B) 0,8
- C) 0,75
- D) 1,25
- E) 0,6
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 0,6
Dik üçgende α ile β tümler açılardır (α + β = 90°); bu yüzden cos β = sin α = 0,6 olur. 0,8'i seçen öğrenci cos α'yı hesaplamış, tümler açıların sinüs ve kosinüslerinin yer değiştirdiğini gözden kaçırmıştır.
Kolay
5Bir marangoz, dik kenarları 6 dm ve 8 dm, hipotenüsü 10 dm olan dik üçgen biçimli bir raf desteği kesiyor. Desteğin 6 dm'lik kenarının karşısındaki dar açı α'dır. Buna göre tan α kaçtır?
- A) 3/4
- B) 4/3
- C) 3/5
- D) 4/5
- E) 5/3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3/4
tan α = karşı dik kenar / komşu dik kenar = 6/8 = 3/4 olur. 4/3 sonucu, oranın ters kurulmasıyla, yani cot α hesaplanarak elde edilir.
Kolay
6Bir çocuk, 20 m uzunluğundaki gergin uçurtma ipinin ucunu yere yakın tutuyor. İp yerle 30° açı yapıyor. İpin tutulduğu yerin yüksekliği ihmal edilirse uçurtma yerden kaç m yüksektedir?
- A) 10√3
- B) 10
- C) 5√3
- D) 20
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10
Yükseklik, 30°'nin karşısındaki dik kenardır: 20 · sin 30° = 20 · 1/2 = 10 m. 10√3 ise kosinüsle bulunan yatay uzaklıktır.
Kolay
7Bir dar açı α için tan α = 2/5 olduğu biliniyor. Buna göre cot α kaçtır?
- A) 2/5
- B) 5/2
- C) 3/5
- D) −2/5
- E) 5/7
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5/2
tan α · cot α = 1 olduğundan cot α, tan α'nın çarpmaya göre tersidir: 5/2. 2/5 seçeneği tanjant ile kotanjantın eşit sanılmasından gelir.
Kolay
8Bir çatının yan kesiti C açısı dik olan ABC üçgenidir. Usta, |BC| / |AB| oranını hesaplıyor. Bu oran aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- A) cos A
- B) tan A
- C) sin A
- D) cot A
- E) tan B
Cevabı göster
Doğru cevap: C) sin A
[BC], A açısının karşısındaki dik kenar, [AB] ise hipotenüstür; karşı / hipotenüs oranı sin A'dır. cos A, komşu dik kenar [AC] ile kurulur.
Kolay
9Düz bir alandaki 6 m boyundaki bayrak direğine güneş ışınları yerle 45° açıyla geliyor. Direğin gölgesinin uzunluğu kaç m'dir?
- A) 6
- B) 6√2
- C) 3
- D) 6√3
- E) 3√2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 6
tan 45° = direk boyu / gölge = 1 olduğundan gölge 6 m'dir. 6√2, ışının direğin tepesinden gölgenin ucuna olan uzunluğudur.
Kolay
10Bir hesap makinesinde sin 25° değeri yaklaşık 0,42 olarak görünüyor. Buna göre cos 65° değeri yaklaşık kaçtır?
- A) 0,58
- B) 0,42
- C) 0,84
- D) 0,21
- E) 0,91
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 0,42
25° ile 65° tümler açılardır ve tümler açılarda sin α = cos(90° − α) olduğundan cos 65° = sin 25° ≈ 0,42 olur. 0,58, sonucu 1'den çıkarmakla bulunan yanlış bir değerdir.
Kolay
11Bir bilgisayar oyununda karakter, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan birim çember üzerinde hareket ediyor. Karakter P(3/5, 4/5) noktasındadır. [OP] ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı α ise sin α + cos α kaçtır?
- A) 1
- B) 12/25
- C) 1/5
- D) 7/5
- E) 4/3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7/5
Birim çemberdeki nokta (cos α, sin α) olarak yorumlanır; cos α = 3/5, sin α = 4/5 ve toplam 7/5'tir. 1 değeri, toplamın değil kareler toplamının değeridir.
Kolay
12Bir bisiklet yolunun eğimli bölümü yerle α dar açısı yapıyor ve cos α = 12/13 olarak hesaplanıyor. Buna göre sin α kaçtır?
- A) 13/12
- B) 5/13
- C) 12/5
- D) 5/12
- E) 7/13
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5/13
sin²α = 1 − 144/169 = 25/169 olduğundan sin α = 5/13 olur. 5/12 seçeneği tan α değeridir.
Kolay
13sin²40° + cos²40° + tan 45° ifadesinin değeri kaçtır?
- A) 1
- B) 3
- C) 3/2
- D) 0
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2
sin²40° + cos²40° = 1 ve tan 45° = 1 olduğundan sonuç 2'dir. 1 sonucu tan 45° teriminin unutulmasından gelir.
Kolay
14sin 30° + cos 60° toplamının değeri kaçtır?
- A) 1/2
- B) √3
- C) √3/2
- D) 1
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1
sin 30° = 1/2 ve cos 60° = 1/2 olduğundan toplam 1'dir. 1/2 seçeneği yalnız tek terimin değeridir.
Kolay
15tan 60° · cot 30° çarpımının değeri kaçtır?
- A) 1
- B) √3
- C) 1/3
- D) 2√3
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 3
tan 60° = √3 ve cot 30° = tan 60° = √3 (tümler açılar) olduğundan çarpım 3'tür. 1 sonucu, tan α · cot α = 1 kuralının farklı açılara uygulanmasından doğar.
Kolay
16Ali kenarları kısa, Elif ise Ali'ninkinin tam 2 katı uzunlukta kenarlara sahip birer dik üçgen çiziyor; iki üçgende de 40°'lik bir açı var. Ali kendi üçgeninde sin 40° değerini ölçümle yaklaşık 0,64 buluyor. Elif aynı yolla sin 40° için yaklaşık hangi değeri bulur?
- A) 1,28
- B) 0,32
- C) 0,64
- D) 0,41
- E) 0,36
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0,64
Trigonometrik oranlar üçgenin büyüklüğüne değil yalnızca açıya bağlıdır; benzer üçgenlerde oran değişmez ve yine 0,64 bulunur. 1,28, oranın kenarlarla birlikte büyüdüğü yanılgısından gelir.
Kolay
17Bir animasyon programında bir nokta, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çember üzerinde hareket ettiriliyor. Nokta, çemberin birinci bölgedeki P noktasında durduruluyor; P noktasının apsisi ordinatının 2 katıdır. O orijin olmak üzere [OP] ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı α'dır. Buna göre tan α kaçtır?
- A) √5/5
- B) 1/2
- C) 2√5/5
- D) 2
- E) √5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1/2
Birim çember üzerindeki P noktasının koordinatları (cos α, sin α) biçimindedir. Apsis ordinatın 2 katı olduğundan cos α = 2 · sin α olur. tan α = sin α / cos α = sin α / (2 · sin α) = 1/2 bulunur. Sağlama: sin²α + cos²α = 1 eşitliğinden sin α = √5/5 ve cos α = 2√5/5 çıkar; oranları yine 1/2'dir. √5/5 ve 2√5/5 şıkları sırasıyla sin α ve cos α değerleridir; 2 ise cot α'dır (oranın ters kurulması).
Kolay
18Bir parkta dik üçgen biçiminde iki çiçek tarhı düzenleniyor. İki tarhın da dar açılarından birinin ölçüsü α'dır. Birinci tarhta α açısının karşısındaki dik kenar 3 m, α açısına komşu dik kenar 6 m'dir. İkinci tarhta α açısının karşısındaki dik kenar 8 m, α açısına komşu dik kenar x m'dir. Buna göre x kaçtır?
- A) 4
- B) 11
- C) 14
- D) 16
- E) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 16
Bir dar açının tanjantı üçgenin büyüklüğüne değil yalnız açıya bağlıdır. Birinci tarhta tan α = karşı / komşu = 3/6 = 1/2'dir. İkinci tarhta da tan α = 8/x olmalıdır: 8/x = 1/2, buradan x = 16 bulunur. 4, oranın ters kurulmasıyla (x/8 = 1/2) çıkar. 11 ve 14, kenarlar arasında oran yerine fark ya da toplam aranmasıyla (8 + 3, 8 + 6) elde edilir; 24 ise 8 · 3 çarpımıdır.
Orta
19Bir öğrenci grubu, okulun karşısındaki binanın yüksekliğini telefonlarındaki açıölçer uygulamasıyla bulmak istiyor. Binanın tabanından düz zeminde 30 m uzaklaşıp binanın tepesine baktıklarında bakış doğrusunun yerle 30° açı yaptığını görüyorlar. Ölçüm yer seviyesinden yapıldığı için gözlemcinin boyu ihmal ediliyor. Binanın yüksekliği kaç metredir?
- A) 15
- B) 30√3
- C) 10√3
- D) 15√3
- E) 20√3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 10√3
tan 30° = h/30 ve tan 30° = √3/3 olduğundan h = 30 · √3/3 = 10√3 m bulunur. 30√3'ü seçen öğrenci tan 30° yerine tan 60° = √3 değerini kullanmıştır; 20√3 ise binanın tabanına değil tepesine olan bakış uzaklığıdır.
Orta
20Bir boyacı, evin duvarına yasladığı merdivenin güvenli durması için merdivenin yerle 60° açı yapmasına dikkat ediyor. Zemin düzdür ve merdivenin yere değen ucu duvardan 2 m uzaktadır. Merdivenin uzunluğu kaç metredir?
- A) 4
- B) 2√3
- C) 4√3
- D) 3
- E) 4√3/3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
Merdiven hipotenüs, duvara uzaklık 60°'ye komşu dik kenardır: cos 60° = 2/L, 1/2 = 2/L ve L = 4 m bulunur. 2√3 m, merdivenin duvara değdiği noktanın yüksekliğidir (tan 60° ile bulunur); merdivenin boyu değildir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.