10. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller

Üçgende Yardımcı Elemanlar

kenarortay
açıortay
yükseklik
kenar orta dikmesi
ağırlık merkezi
iç teğet çember
çevrel çember

Üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik nedir?

Üçgende yardımcı elemanlar kenarortay, açıortay, yükseklik ve kenar orta dikmesidir ve her birinin üçü bir noktada kesişir. Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar; üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir ve bu nokta kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler, örneğin 9 cm'lik kenarortayda AG = 6 cm, GD = 3 cm olur. Açıortay bir açıyı iki eş parçaya böler; iç açıortaylar üç kenara eşit uzaklıktaki iç teğet çemberin merkezinde kesişir. İç açıortay teoremine göre BD/DC = AB/AC'dir: AB = 6, AC = 9, BC = 10 ise BD = 4, DC = 6 bulunur. Kenar orta dikmeleri üç köşeye eşit uzaklıktaki çevrel çemberin merkezinde kesişir. Yükseklik, bir köşeden karşı kenara ya da uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. Ağırlık merkezinden kenara olan GD uzunluğu kenarortayın yarısı değil, üçte biridir.

Üçgende Yardımcı Elemanlar: konu anlatımı ve özeti

Kenarortay, açıortay, yükseklik ve kenar orta dikmesi üçgenin yardımcı elemanlarıdır. Her birinin üçü bir noktada kesişir ve bu noktalar yapıların dengelenmesinden konum seçimine kadar pek çok yerde kullanılır.

Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar. Üç kenarortay ağırlık merkezi G'de kesişir ve G kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler: kenarortay 9 cm ise AG = 6 cm, GD = 3 cm.
Üç kenarortay ağırlık merkezi G’de kesişir; 9 cm’lik AD kenarortayında AG = 6 cm, GD = 3 cm (2:1)
Açıortay bir açıyı iki eş parçaya böler. İç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir; bu nokta üç kenara eşit uzaklıktadır.
İç açıortay teoremi: A açısının açıortayı BC'yi D'de keserse BD/DC = AB/AC olur. AB = 6, AC = 9, BC = 10 ise BD = 4, DC = 6.
Kenar orta dikmesi, kenarın orta noktasından kenara dik çizilen doğrudur. Üç orta dikme çevrel çemberin merkezinde kesişir; bu nokta üç köşeye eşit uzaklıktadır.
Yükseklik bir köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır; üç yükseklik doğrusu da bir noktada kesişir.
Bu özellikleri dinamik geometri yazılımında üçgeni değiştirerek gözlemleyebilir, sonra ispatlarla gerekçelendirebilirsin.

Unutma: Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2, kenardan 1 birim olacak şekilde böler; GD'yi kenarortayın yarısı sanmak sık yapılan bir hatadır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Dört yardımcı elemanı "neyi neye bağlıyor?" sorusuyla ayırt edebilirsin.

Kenarortay: köşe → karşı kenarın orta noktası.
Açıortay: köşedeki açıyı iki eş açıya böler.
Yükseklik: köşe → karşı kenara dik iner.
Kenar orta dikmesi: köşeden başlamaz; kenarın ortasından kenara dik çıkar.

Günlük hayattan: Üç köye eşit uzaklıkta bir su deposu kurulacaksa köyleri birleştiren kenarların orta dikmeleri çizilir; kesişim noktası (çevrel çemberin merkezi) üç köye de eşit uzaklıktadır.

Sık yapılan hata: Ağırlık merkezinin kenarortayı ortadan böldüğünü sanmak. Doğrusu: Köşeye uzaklık, kenara uzaklığın iki katıdır. Kenarortay 15 cm ise ağırlık merkezi köşeden 10 cm, kenardan 5 cm uzaktadır.

Derinleş

Haritada üçgen oluşturan üç mahalle için ortak bir hizmet noktası seçileceğini düşün. Sağlık ocağı üç mahalleye eşit uzaklıkta mı olmalı, yoksa üç ana yola eşit uzaklıkta mı? Hangi durumda çevrel çemberin, hangisinde iç teğet çemberin merkezini kullanırdın? Geniş açılı bir üçgende çevrel çemberin merkezinin üçgenin dışına düştüğünü dinamik geometri yazılımında gözle; bu durumda hangi seçim daha adil olur, tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.1.2Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme
- a) Üçgende iç ve dış açıortayların, kenarortayların, kenar orta dikmelerin ve yüksekliklerin özelliklerine ilişkin varsayımda bulunur.
- b) Farklı üçgen örneklerini inceleyerek varsayımlarına ilişkin örüntüleri geneller.
- ç) Elde ettiği genellemelerden hareketle yardımcı elemanların özelliklerine ilişkin önermeler sunar.
- d) Üçgenin yardımcı elemanlarıyla ilgili önermeleri problemler bağlamında değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir çatı ustası, üçgen biçimli çatı makasının tepe noktasından alttaki yatay kirişe çekül sarkıtıyor. Makasın iki eğik kolu farklı uzunluktadır. Çekül ipi tepe noktasından kirişe dik inen bir doğru parçası oluşturuyor ve usta çatının yüksekliğini bu parçayla ölçüyor. Çekül ipinin üçgende belirttiği yardımcı eleman hangisidir?
- A) Kenarortay
- B) Yükseklik
- C) Açıortay
- D) Kenar orta dikmesi
- E) Orta taban
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Yükseklik
Bir köşeden karşı kenara dik inen doğru parçası yüksekliktir; çekül ipi yerçekimi nedeniyle yatay kirişe diktir. Kolları farklı uzunluktaki bir üçgende bu dik doğru parçası kirişin orta noktasına düşmez, bu yüzden kenarortay ile aynı değildir.
Kolay
2Bir mimar, üçgen biçimli cam bir sehpanın tek ayağını ağırlık merkezi G'ye yerleştirecek. Sehpanın A köşesinden karşı kenarın orta noktası D'ye çizilen doğru parçası üzerinde, G noktasının D'ye uzaklığı 4 cm olarak ölçülüyor. |AD| kaç cm'dir?
- A) 8
- B) 6
- C) 16
- D) 20
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 12
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler; |AG| = 2 · 4 = 8 cm olduğundan |AD| = 8 + 4 = 12 cm bulunur. 8'i seçen öğrenci yalnızca |AG|'yi bulmuş, kenarortayın tamamını hesaplamamıştır.
Kolay
3Teknoloji ve tasarım dersinde Mert, kartondan kestiği üçgen biçimli bir parçayı bir kalemin ucunda dengede tutmak istiyor. Bunun için her köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçalarını çiziyor ve kalemin ucunu bu doğru parçalarının kesiştiği yere koyuyor. Mert'in kalemi koyduğu nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Ağırlık merkezi
- B) İç teğet çemberin merkezi
- C) Çevrel çemberin merkezi
- D) Diklik merkezi
- E) Dış teğet çemberin merkezi
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Ağırlık merkezi
Köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçaları kenarortaylardır ve kesişim noktaları ağırlık merkezidir; düzgün kalınlıktaki bir levha bu noktada dengede durur. Çevrel çemberin merkezi kenar orta dikmelerinin kesişimidir; kenarın orta noktasından geçse de köşeden geçmeyen dikmeler kullanılır.
Kolay
4Üç kenarı üç farklı yola sınır olan üçgen biçimli bir parkın içine belediye, her üç yola da eşit uzaklıkta olacak şekilde bir çeşme yerleştirecek. Mühendis, çeşmenin yerini bulmak için üçgenin bazı yardımcı elemanlarını çiziyor. Çeşmenin yeri, aşağıdakilerden hangilerinin kesişim noktasıdır?
- A) Kenarortayların
- B) Kenar orta dikmelerinin
- C) Yüksekliklerin
- D) Dış açıortayların
- E) İç açıortayların
Cevabı göster
Doğru cevap: E) İç açıortayların
Bir açıortay üzerindeki her nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır; bu yüzden üç kenara eşit uzaklıktaki iç nokta iç açıortayların kesişimidir (iç teğet çemberin merkezi). Kenar orta dikmelerinin kesişimi kenarlara değil köşelere eşit uzaklıktadır.
Kolay
5Üçgen biçimli bir bahçede A köşesinden başlayan bir yol A açısını iki eş parçaya bölerek BC çitindeki D kapısına ulaşıyor. |BD| = 3 m, |DC| = 5 m ve |AB| = 6 m'dir. |AC| kaç m'dir?
- A) 8
- B) 9
- C) 7,5
- D) 12
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 10
İç açıortay teoremine göre |BD| / |DC| = |AB| / |AC| olur: 3/5 = 6/|AC|, buradan |AC| = 10 m. 8 m sonucu kenarların farkının sabit sanılmasından gelir.
Kolay
6ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve G ağırlık merkezidir. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi her zaman doğrudur?
- A) |AG| = 2 · |GD|
- B) |AG| = |GD|
- C) |GD| = 2 · |AG|
- D) |AG| = 3 · |GD|
- E) |AD| = 2 · |GD|
Cevabı göster
Doğru cevap: A) |AG| = 2 · |GD|
G kenarortayı köşeden 2, kenardan 1 birim olacak biçimde böler; bu yüzden |AG| = 2 · |GD|'dir. |AD| ise |GD|'nin 3 katıdır, 2 katı değil.
Kolay
7Can, kâğıttan kestiği ABC üçgenini A köşesinden geçen bir kat çizgisiyle, AB kenarı AC kenarının üstüne gelecek biçimde katlayıp açıyor. Oluşan kat izi hangi yardımcı elemandır?
- A) A açısının açıortayı
- B) A köşesinden çizilen kenarortay
- C) A köşesinden çizilen yükseklik
- D) BC kenarının orta dikmesi
- E) B açısının açıortayı
Cevabı göster
Doğru cevap: A) A açısının açıortayı
AB kenarı AC'nin üstüne geldiğinde A açısı iki eş parçaya ayrılır; kat izi açıortaydır. Kenarortay ise karşı kenarı eş parçalara ayırır, açıyı değil.
Kolay
8Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına ne ad verilir?
- A) Kenarortay
- B) Açıortay
- C) Yükseklik
- D) Kenar orta dikmesi
- E) İç teğet çemberin yarıçapı
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Kenarortay
Köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçası kenarortaydır. Kenar orta dikmesi de orta noktadan geçer ama köşeden değil, kenara dik olarak çizilir.
Kolay
9B ve C köyleri arasındaki yolun orta dikmesi üzerine bir sağlık ocağı yapılıyor. Sağlık ocağının B köyüne uzaklığı 7 km'dir. C köyüne uzaklığı kaç km'dir?
- A) 14
- B) 3,5
- C) 10,5
- D) 7
- E) Belirlenemez
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerindeki her nokta parçanın iki ucuna eşit uzaklıktadır; uzaklık 7 km'dir. Belirlenemez demek orta dikmenin bu özelliğini bilmemektir.
Kolay
10Elif, kâğıttan kestiği ABC üçgenini B köşesi C köşesinin üstüne gelecek biçimde katlayıp açıyor. Kâğıtta oluşan kat izi, ABC üçgeninin hangi yardımcı elemanına aittir?
- A) A köşesinden çizilen kenarortay
- B) A açısının açıortayı
- C) A köşesinden çizilen yükseklik
- D) BC kenarının orta dikmesi
- E) B açısının açıortayı
Cevabı göster
Doğru cevap: D) BC kenarının orta dikmesi
B ile C çakıştığında kat izi [BC]'nin orta noktasından geçer ve [BC]'ye diktir; bu, kenar orta dikmesidir. Bu iz genellikle A köşesinden geçmediği için kenarortay değildir.
Kolay
11Bir uçurtma yapımcısı üçgen biçimli uçurtmayı ağırlık merkezi G'den ipe bağlayacak. A köşesinden karşı kenarın orta noktası D'ye çizilen çıta üzerinde |GD| = 5 cm olarak ölçülüyor. Çıtanın tamamı, yani |AD| kaç cm'dir?
- A) 10
- B) 7,5
- C) 12
- D) 20
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 15
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2:1 böler; |AG| = 10 cm, |AD| = 15 cm olur. 10 cm yalnız |AG| uzunluğudur.
Kolay
12Dik kenarları 6 dm ve 8 dm olan dik üçgen biçimli bir camın üç köşesi, daire biçimli bir çerçevenin kenarına değecek biçimde yerleştirilecek. Bu dairenin yarıçapı kaç dm'dir?
- A) 10
- B) 5
- C) 7
- D) 4
- E) 2,5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
Hipotenüs 10 dm'dir. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır, bu yüzden yarıçap 10/2 = 5 dm olur. 10 dm, çapın yarıçap sanılmasıdır.
Kolay
13Bir üçgenin A köşesindeki iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açı kaç derecedir?
- A) 180°
- B) 45°
- C) 90°
- D) 60°
- E) A açısının yarısı
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 90°
İç açı ile dış açı toplamı 180°'dir; açıortaylar bunların yarılarını aldığından aradaki açı 180°/2 = 90° olur. A açısının yarısı, yalnız iç açıortayın kenarla yaptığı açıdır.
Kolay
14Bir öğrenci, eşkenar bir üçgende ağırlık merkezini, iç teğet çemberin merkezini ve çevrel çemberin merkezini işaretliyor. Bu üç nokta için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Üçü bir doğru üzerinde ama farklıdır.
- B) Yalnız ikisi çakışır.
- C) Üçü de farklı noktalardır.
- D) Çevrel çemberin merkezi dışarıdadır.
- E) Üçü de aynı noktadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Üçü de aynı noktadır.
Eşkenar üçgende her köşeden çizilen kenarortay, açıortay, yükseklik ve orta dikme aynı doğru üzerindedir; bu yüzden özel noktalar çakışır. Yalnız ikisinin çakıştığını düşünmek, tüm yardımcı elemanların aynı olduğunu gözden kaçırmaktır.
Kolay
15ABC üçgeninde P noktası A açısının açıortayı üzerindedir. P'nin [AB] kenarına uzaklığı 3 cm'dir. P'nin [AC] kenarına uzaklığı kaç cm'dir?
- A) 6
- B) 1,5
- C) 4,5
- D) 3
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 3
Açıortay üzerindeki her nokta açının iki kenarına eşit uzaklıktadır; bu yüzden uzaklık yine 3 cm'dir. 6 cm, uzaklıkların toplanması gerektiği yanılgısından gelir.
Kolay
16Bir çadırın ön yüzü |AB| = |AC| olan ikizkenar ABC üçgenidir; taban |BC| = 16 dm'dir. Tepe noktası A'dan tabana dik inen direk tabanı H noktasında kesiyor. |BH| kaç dm'dir?
- A) 16
- B) 4
- C) 8
- D) 6
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 8
İkizkenar üçgende tepe köşesinden tabana inen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır; tabanı iki eş parçaya ayırır ve |BH| = 8 dm olur. 4 dm, tabanın dörde bölünmesiyle yapılan hatadır.
Kolay
17Elif, defterine B açısının ölçüsü 120° olan bir ABC üçgeni çiziyor ve A köşesinden [BC] kenarına ait yüksekliği çizmek istiyor. Bu yüksekliğin BC doğrusunu kestiği noktayı H ile gösteriyor. Buna göre H noktasının yeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) H, [BC] kenarının orta noktasıdır.
- B) H, [BC] kenarı üzerinde, B ile C arasındadır.
- C) H, B köşesiyle çakışır.
- D) H, [BC] kenarının C köşesinden sonraki uzantısındadır.
- E) H, [BC] kenarının B köşesinden sonraki uzantısındadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) H, [BC] kenarının B köşesinden sonraki uzantısındadır.
Yükseklik, köşeden karşı kenara ya da uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. H noktası B ile C arasında ya da C'nin ötesinde olsaydı ABH üçgeninde B köşesindeki açı 120°, H köşesindeki açı 90° olurdu; iç açılar toplamı 180°'yi aşacağından bu olamaz. H, B ile çakışsaydı AB kenarı BC'ye dik, yani B açısı 90° olurdu. Bu nedenle dikme, [BC] kenarının B köşesinden sonraki uzantısına iner; ABH üçgeninde B köşesindeki açı 180° − 120° = 60° olur.
Kolay
18Teknoloji ve tasarım dersinde Deniz, kartondan çeşitkenar bir ABC üçgeni kesiyor. Kartonu B köşesi C köşesinin tam üstüne gelecek biçimde katlayıp açıyor; kat izi [BC] kenarını D noktasında kesiyor. Deniz daha sonra cetvelle A köşesini D noktasına birleştiren doğru parçasını çiziyor. Buna göre [AD], ABC üçgeninin hangi yardımcı elemanıdır?
- A) A açısının iç açıortayı
- B) [BC] kenarına ait yükseklik
- C) [BC] kenarının orta dikmesi
- D) [BC] kenarına ait kenarortay
- E) A açısının dış açıortayı
Cevabı göster
Doğru cevap: D) [BC] kenarına ait kenarortay
B köşesi C köşesinin üstüne katlandığında kat izi [BC] kenarının orta dikmesi olur; bu iz [BC]'yi orta noktasında keser. Öyleyse D, [BC]'nin orta noktasıdır ve A köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren [AD] kenarortaydır. Orta dikme kat izinin kendisidir, [AD] değildir. Üçgen çeşitkenar olduğundan [AD] kenara dik değildir ve A açısını iki eş parçaya bölmez; bu nedenle yükseklik ya da açıortay olamaz.
Orta
19Üçgen biçimli bir tarlanın köşeleri A, B ve C'dir; |AB| = 60 m, |AC| = 40 m ve |BC| = 50 m'dir. A köşesindeki dış açıyı iki eşit parçaya bölen bir sulama kanalı, BC sınırının uzantısını C'nin ötesinde E noktasında kesiyor. |CE| kaç metredir?
- A) 150
- B) 20
- C) 100
- D) 80
- E) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 100
Dış açıortay teoremine göre |EB| / |EC| = |AB| / |AC| = 60/40 = 3/2'dir; |CE| = x denirse (50 + x)/x = 3/2, buradan x = 100 m bulunur. 150 m, |EB| uzunluğudur; 20 m ise iç açıortayın kenarı böldüğü parçadır ve dış açıortay kesişim noktası kenarın dışındadır.
Orta
20Dik kenarları 6 dm ve 8 dm olan dik üçgen biçimli bir köşe rafı, dik açılı köşesi A ile duvarların birleştiği köşeye monte ediliyor. Rafın ağırlık merkezi G'nin altına bir lamba asılacak. Lambanın asılacağı G noktasının A köşesine uzaklığı kaç dm'dir?
- A) 5
- B) 5/3
- C) 4
- D) 20/3
- E) 10/3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 10/3
Hipotenüs 10 dm'dir ve dik köşeden hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına, yani 5 dm'ye eşittir. Ağırlık merkezi bu kenarortayı 2 : 1 böldüğünden |AG| = 2/3 · 5 = 10/3 dm olur. 20/3'ü seçen öğrenci 2/3 oranını kenarortaya değil hipotenüse uygulamıştır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.