10. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller

Üçgenin Alanı

taban
yükseklik
sinüs
alan oranı
benzerlik oranı
kenarortay

Üçgenin alanı hangi yollarla hesaplanır?

Üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: Alan = taban · yükseklik / 2. Tabanı 10, yüksekliği 6 birim olan üçgenin alanı 30 birimkaredir; dik üçgende dik kenarlardan biri taban, diğeri yükseklik olduğundan dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin alanı 24 birimkaredir. İki kenar ve aradaki açı biliniyorsa Alan = (1/2) · b · c · sin A formülü kullanılır; b = 8, c = 5 ve A = 30° için alan 10 birimkare olur. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir, bu nedenle kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır. Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesidir; benzerlik oranı 3/2 ise alanlar oranı 9/4 olur. Alan oranları arazi paylaştırma gibi problemlerde kolaylık sağlar. Sinüsle alan formülünde kullanılan açı, seçilen iki kenarın arasındaki açı olmalıdır.

Üçgenin Alanı: konu anlatımı ve özeti

Üçgenin alanını bulmanın birden fazla yolu vardır: taban ve yükseklik, iki kenar ve aradaki açı ya da alanlar arasındaki oranlar. Arazi paylaştırma gibi problemlerde alan oranları büyük kolaylık sağlar.

Temel formül: Alan = taban · yükseklik / 2. Tabanı 10, yüksekliği 6 birim olan üçgenin alanı 30 birimkaredir.
Dik üçgende dik kenarlardan biri taban, diğeri yükseklik olur: dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin alanı 24 birimkaredir.
Sinüs ile alan: Alan = (1/2) · b · c · sin A. b = 8, c = 5, A = 30° ise alan (1/2) · 8 · 5 · (1/2) = 10 birimkaredir.
Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir. Bir köşeden çizilen doğru karşı kenarı 2:3 oranında bölüyorsa üçgenin alanını da 2:3 oranında böler.
Kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır.
Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: benzerlik oranı 3/2 ise alanlar oranı 9/4 olur.

Unutma: Sinüsle alan formülünde kullandığın açı, seçtiğin iki kenarın arasındaki açı olmalıdır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Üçgenin alanında en önemli adım doğru yüksekliği bulmaktır.

Bir kenarı taban olarak seç.
Karşı köşeden bu tabana (gerekirse tabanın uzantısına) dik inen doğru parçası yüksekliktir.
Alan = taban · yükseklik / 2.

Günlük hayattan: Tabanı 12 m, bu tabana ait yüksekliği 5 m olan üçgen bir çiçek tarhı 12 · 5 / 2 = 30 m²'dir. Yüksekliği ölçemiyorsan iki kenarı ve aralarındaki açıyı kullan: kenarlar 6 m ve 10 m, aradaki açı 30° ise alan (1/2) · 6 · 10 · sin 30° = 15 m².

Sık yapılan hata: Eğik duran kenarı yükseklik sanmak. Doğrusu: Yükseklik tabanla dik açı yapmalıdır; geniş açılı üçgende bu dik doğru parçası üçgenin dışına düşebilir.

Derinleş

Üçgen biçimli bir tarla üç kardeş arasında alanları eşit olacak şekilde paylaştırılacak. Kenarortayların üçgeni alanı eşit altı parçaya ayırdığını bil ve bu bilgiyle en az iki farklı paylaştırma planı tasarla. Planlardan hangisi her kardeşe yola çıkış imkânı veriyor? Alan eşitliği tek başına adil bir paylaşım için yeterli midir, toprağın verimi ya da suya yakınlık gibi etkenler planı nasıl değiştirir?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.10.1.3Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının
- a) Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğindeki değişimin üçgenin alanındaki değişime etkisine dair varsayımlarda bulunur.
- b) Farklı üçgenlerdeki gözlemlerinden yararlanarak varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
- ç) Elde ettiği genellemelerden üçgenin alanının hangi elemanlara göre değiştiğine ilişkin önermeler sunar.
- d) Önermeleri gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1İki kardeş, aile tarlası olan 50 dönümlük üçgen biçimli ABC arazisini, A köşesinden karşı kenarın orta noktası D'ye çekilen bir çitle iki parçaya ayırıyor. ABD parçasının alanı kaç dönümdür?
- A) 50
- B) 20
- C) 12,5
- D) 30
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 25
Kenarortay karşı kenarı iki eşit tabana ayırır; ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan çizilen yüksekliği ortak olduğundan alanları eşittir ve her biri 50 / 2 = 25 dönümdür. 12,5'i seçen öğrenci kenarortayın alanı dörde böldüğünü sanmıştır; bu, iki kenarortay birlikte çizildiğinde bile doğru değildir.
Kolay
2Bir bahçenin köşesindeki dik üçgen biçimli alan çimle kaplanacak. Alanın dik kenarları 9 m ve 12 m'dir; en uzun kenarı boyunca 15 m'lik bir çit uzanıyor. Çimle kaplanacak alan kaç m²'dir?
- A) 108
- B) 45
- C) 72
- D) 54
- E) 67,5
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 54
Dik üçgende dik kenarlardan biri taban, diğeri o tabana ait yükseklik olduğundan alan 9 · 12 / 2 = 54 m²'dir. 67,5 m²'yi seçen öğrenci hipotenüsü (15 m) yükseklik gibi kullanmıştır; oysa 15 m'lik kenar hiçbir dik kenara dik değildir.
Kolay
3Bir yelken kulübünde üçgen biçimli bir yelkenin direğe bağlı kenarı 12 m'dir; bu kenarın karşısındaki köşenin direğe dik uzaklığı 7 m'dir. Kulüp, yelken kumaşını alanına göre sipariş ediyor. Yelkenin alanı kaç m²'dir?
- A) 84
- B) 42
- C) 19
- D) 38
- E) 21
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 42
Üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: 12 · 7 / 2 = 42 m². 84'ü seçen öğrenci 2'ye bölmeyi unutmuş, yani yelkenle aynı taban ve yüksekliğe sahip dikdörtgenin alanını bulmuştur.
Kolay
4Bir grafik tasarımcı, alanı 5 cm² olan üçgen biçimli bir logoyu, tüm kenar uzunluklarını 3 katına çıkararak bir afişe büyütüyor; logonun biçimi bozulmuyor. Afişteki logonun alanı kaç cm²'dir?
- A) 15
- B) 9
- C) 45
- D) 30
- E) 135
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 45
Kenarlar 3 katına çıkınca hem taban hem yükseklik 3 katına çıkar; alan 3 · 3 = 9 katına, yani 5 · 9 = 45 cm²'ye ulaşır. 15'i seçen öğrenci alanın kenarlarla aynı oranda arttığını varsaymıştır; oysa alan iki uzunluğun çarpımına bağlıdır.
Kolay
5Bir tasarımcı, iki kenarı 4 cm ve 9 cm, bu kenarlar arasındaki açısı 30° olan üçgen biçimli bir rozet çiziyor. Rozetin alanı kaç cm²'dir?
- A) 18
- B) 36
- C) 9
- D) 9√3
- E) 4,5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9
Alan = (1/2) · 4 · 9 · sin 30° = (1/2) · 36 · (1/2) = 9 cm²'dir. 9√3, sinüs yerine kosinüs kullanılınca bulunur.
Kolay
6Bir üçgenin bir kenarına ait yüksekliği değiştirilmeden o kenarın uzunluğu 2 katına çıkarılıyor. Üçgenin alanı nasıl değişir?
- A) 4 katına çıkar.
- B) Değişmez.
- C) Yarıya iner.
- D) 3 katına çıkar.
- E) 2 katına çıkar.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2 katına çıkar.
Yükseklik sabitken alan tabanla doğru orantılıdır; taban 2 katına çıkınca alan da 2 katına çıkar. 4 kat, benzer üçgenlerdeki kare kuralının burada uygulanmasıyla yapılan hatadır.
Kolay
7Dik kenarları 5 m ve 12 m olan dik üçgen biçimli bir çim alana rulo çim serilecek. Çim alanın alanı kaç m²'dir?
- A) 60
- B) 32,5
- C) 17
- D) 78
- E) 30
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 30
Dik üçgende dik kenarlardan biri taban, diğeri yükseklik olur: 5 · 12 / 2 = 30 m². 32,5 m², hipotenüs (13 m) ile 5 m'nin çarpımının yarısıdır.
Kolay
8Üçgen biçimli bir tarlanın alanı 48 dönümdür. Çiftçi, BC sınırını eş uzunlukta dört parçaya bölüp bölme noktalarını A köşesine birleştiren üç düz sınır çekiyor. Oluşan parçalardan her birinin alanı kaç dönümdür?
- A) 12
- B) 16
- C) 24
- D) 8
- E) 9,6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 12
Dört üçgenin yükseklikleri ortaktır ve tabanları eşittir; bu yüzden alanları eşittir: 48 / 4 = 12 dönüm. 16, üç sınır çekildiği için üç parça oluştuğunu sanmaktan gelir.
Kolay
9ABC üçgeninde a, b, c sırasıyla A, B, C köşelerinin karşısındaki kenarların uzunluklarıdır. Aşağıdakilerden hangisi bu üçgenin alanına her zaman eşittir?
- A) (1/2) · a · b · sin A
- B) (1/2) · b · c · cos A
- C) b · c · sin A
- D) (1/2) · a · c · sin A
- E) (1/2) · b · c · sin A
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (1/2) · b · c · sin A
Sinüsle alan formülünde kullanılan açı, seçilen iki kenarın arasındaki açı olmalıdır; b ve c kenarları A köşesinde birleşir. a ve b kenarlarının arasındaki açı C olduğu için ilk çeldirici yanlıştır.
Kolay
10Okul bahçesine üçgen biçimli bir tabela yapılacak. Tabelanın taban kenarı 14 dm, bu kenara ait yüksekliği 5 dm'dir. Tabelanın alanı kaç dm²'dir?
- A) 70
- B) 35
- C) 19
- D) 38
- E) 17,5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 35
Alan = taban · yükseklik / 2 = 14 · 5 / 2 = 35 dm²'dir. 70 dm², ikiye bölmenin unutulmasından gelir.
Kolay
11Dik üçgen biçimli bir yelkenin bir dik kenarı 8 m, hipotenüsü 17 m'dir. Yelkenin alanı kaç m²'dir?
- A) 68
- B) 120
- C) 60
- D) 136
- E) 30
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 60
Diğer dik kenar √(289 − 64) = 15 m'dir; alan 8 · 15 / 2 = 60 m² olur. 68 m², hipotenüsün dik kenar gibi kullanılmasıyla bulunur.
Kolay
12Bir fotoğrafçı, üçgen biçimli bir fotoğrafı biçimini bozmadan büyütüyor. Büyük fotoğrafın alanının küçüğün alanına oranı 25/9'dur. Büyük fotoğrafın kenarlarının küçüğün karşılık gelen kenarlarına oranı kaçtır?
- A) 25/9
- B) 9/25
- C) 3/5
- D) 5/3
- E) 25/3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 5/3
Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesidir; benzerlik oranı √(25/9) = 5/3 olur. 25/9, alan oranının doğrudan kenar oranı sanılmasıdır.
Kolay
13Bir dinamik geometri yazılımında ABC üçgeninin B ve C köşeleri sabit tutulurken A köşesi, BC'ye paralel bir doğru üzerinde kaydırılıyor. Bu sırada ABC üçgeninin alanı nasıl değişir?
- A) Değişmez.
- B) Sürekli artar.
- C) Sürekli azalır.
- D) Önce artar, sonra azalır.
- E) Köşe B'ye yaklaştıkça artar.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Değişmez.
Taban [BC] sabittir; A, BC'ye paralel doğru üzerinde kaldıkça BC'ye uzaklığı, yani yükseklik değişmez. Bu yüzden alan sabit kalır; kenar uzunlukları değişse de alan değişmez.
Kolay
14Bir üçgenin bir kenarı 2 katına çıkarılırken o kenara ait yüksekliği yarıya indiriliyor. Üçgenin alanı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) 2 katına çıkar.
- B) Yarıya iner.
- C) Değişmez.
- D) 4 katına çıkar.
- E) Dörtte birine iner.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Değişmez.
Alan taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır; çarpım 2 · (1/2) = 1 katına, yani aynı değere eşit kalır. 2 katına çıktığını düşünmek yalnız taban değişimini hesaba katmaktır.
Kolay
15Alanı 36 m² olan üçgen biçimli bir arsanın bir sınırı 12 m'dir. Bu sınırın karşısındaki köşenin sınıra dik uzaklığı kaç m'dir?
- A) 3
- B) 12
- C) 24
- D) 9
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 6
36 = 12 · h / 2 eşitliğinden h = 6 m bulunur. 3 m sonucu, alanın 12'ye bölünüp yeniden ikiye bölünmesinden gelir.
Kolay
16Bir kafe, iki kenarı 10 dm ve aralarındaki açı 60° olan üçgen biçimli bir masa tablası yaptırıyor. Tablanın alanı kaç dm²'dir?
- A) 25√3
- B) 50√3
- C) 25
- D) 50
- E) 100√3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 25√3
Alan = (1/2) · 10 · 10 · sin 60° = 50 · √3/2 = 25√3 dm²'dir. 25 dm², sin 60° yerine sin 30° kullanılınca bulunur.
Kolay
17Bir sahne dekoru için kesilen üçgen biçimli bir kumaşın iki kenarı 5 dm ve 8 dm'dir ve bu iki kenarın arasındaki açı dar açıdır. Kumaşın alanı 10√3 dm² olarak ölçülmüştür. Buna göre bu iki kenarın arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 15°
- B) 30°
- C) 45°
- D) 60°
- E) 75°
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 60°
İki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgende Alan = (1/2) · b · c · sin A'dır. 10√3 = (1/2) · 5 · 8 · sin A = 20 · sin A olduğundan sin A = √3/2 bulunur. Açı dar olduğundan A = 60°'dir. sin 30° = 1/2 alınsaydı alan 10 dm², sin 45° = √2/2 alınsaydı alan 10√2 dm² olurdu; bu nedenle 30° ve 45° verilen alanı sağlamaz.
Kolay
18Bir tekne atölyesinde taban uzunlukları eşit, dik üçgen biçimli iki yelken dikilecektir. Yelkenlerin bu tabana ait yükseklikleri 3 m ve 5 m'dir; yelken bezinin maliyeti yelkenin alanıyla doğru orantılıdır. Yüksekliği 3 m olan yelkenin bez maliyeti 4500 TL'dir. Buna göre yüksekliği 5 m olan yelkenin bez maliyeti kaç TL'dir?
- A) 2700
- B) 6500
- C) 7500
- D) 12500
- E) 22500
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7500
Alan = taban · yükseklik / 2 olduğundan tabanları eşit üçgenlerin alanları oranı yükseklikleri oranına eşittir: büyük yelkenin alanı küçüğün 5/3 katıdır. Maliyet alanla doğru orantılı olduğundan büyük yelkenin maliyeti 4500 · 5/3 = 7500 TL'dir. 2700, oranın ters kurulmasıyla (4500 · 3/5); 12500, benzer üçgenlerdeki gibi oranın karesinin alınmasıyla (4500 · 25/9) çıkar. Burada üçgenler benzer değildir, yalnız yükseklik değişmektedir. 22500 ise 4500'ün 5 ile çarpılmasıdır.
Orta
19Bir kafe, kenar uzunluğu 6 dm olan eşkenar üçgen biçimli masa tablaları yaptırıyor. Tablaların üstü camla kaplanacak ve cam alana göre fiyatlandırılıyor. Bir tablanın alanı kaç dm²'dir?
- A) 18√3
- B) 36
- C) 9√3
- D) 12√3
- E) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9√3
Eşkenar üçgenin yüksekliği 6 · √3/2 = 3√3 dm'dir; alan 6 · 3√3 / 2 = 9√3 dm² olur (ya da a²√3/4 = 36√3/4). 18√3'ü seçen öğrenci taban ile yüksekliği çarpıp 2'ye bölmeyi unutmuştur.
Orta
20Bir peyzaj mimarı, iki kenarı 8 m ve 10 m olan, bu iki kenar arasındaki açısı 45° olan üçgen biçimli bir çiçek tarhı tasarlıyor ve tarhın toprağını alanına göre sipariş edecek. Tarhın alanı kaç m²'dir?
- A) 40√2
- B) 40
- C) 20√2
- D) 20
- E) 20√3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 20√2
İki kenar ve aradaki açısı bilinen üçgenin alanı (1/2) · 8 · 10 · sin 45° = 40 · √2/2 = 20√2 m²'dir. 40'ı seçen öğrenci 10 m'lik kenarı yükseklik gibi kullanmıştır; yükseklik 10 · sin 45° = 5√2 m olduğundan bu kenardan kısadır.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.