10. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller
Sinüs ve Kosinüs Teoremleri
- sinüs teoremi
- kosinüs teoremi
- üçgen
- karşı kenar
- geniş açı
- Pisagor teoremi
Sinüs teoremi ve kosinüs teoremi nedir?
Sinüs teoremi, her üçgende bir kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüsüne oranının sabit olduğunu söyler: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Kosinüs teoremi ise a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A bağıntısıdır. Sinüs teoremi iki açı ve bir kenar bilindiğinde kullanışlıdır; A = 30°, B = 45° ve a = 4 ise b = 4√2 bulunur. Kosinüs teoremi iki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar bilindiğinde kullanılır; b = 5, c = 8 ve A = 60° için a² = 49, yani a = 7 olur. A = 90° olduğunda cos 90° = 0 olduğundan kosinüs teoremi Pisagor teoremine dönüşür. Üç kenar biliniyorsa açının kosinüsü bulunur ve sonuç negatifse açı geniş açıdır. Bu teoremlerle iki kıyı arasındaki mesafe gibi doğrudan ölçülemeyen uzunluklar hesaplanabilir. Kenar ile karşısındaki açı doğru eşleştirilmelidir: a² yazıldığında formülde cos B değil, cos A kullanılır.
Sinüs ve Kosinüs Teoremleri: konu anlatımı ve özeti
Dik olmayan üçgenlerde de kenarları ve açıları birbirine bağlayan iki güçlü kural vardır. Bu teoremlerle, iki kıyı arasındaki mesafe gibi doğrudan ölçülemeyen uzunluklar birkaç ölçümden hesaplanabilir.
- Sinüs teoremi: Her üçgende bir kenarın uzunluğunun karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
- Sinüs teoremi iki açı ve bir kenar bilindiğinde kullanışlıdır. Örnek: A = 30°, B = 45°, a = 4 ise b = 4 · sin 45° / sin 30° = 4 · (√2/2) / (1/2) = 4√2.
- Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A. İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar bilindiğinde kullanılır.
- Örnek: b = 5, c = 8, A = 60° ise a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · (1/2) = 89 − 40 = 49, yani a = 7.
Kosinüs teoremi örneği: b = 5, c = 8 ve aradaki A açısı 60° olan üçgende karşı kenar a = 7 - A = 90° olduğunda cos 90° = 0 olduğundan kosinüs teoremi Pisagor teoremine dönüşür.
- Üç kenar biliniyorsa açı bulunur: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Sonuç negatifse A geniş açıdır.
Unutma: Kosinüs teoreminde kenar ile karşısındaki açıyı eşleştir; a² yazıyorsan formülde cos A kullanılır, cos B değil.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Hangi teoremi kullanacağına üçgende ne verildiğine bakarak karar ver.
- İki açı ve bir kenar biliniyorsa → sinüs teoremi.
- İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa → kosinüs teoremi ile üçüncü kenar.
- Üç kenar biliniyorsa → kosinüs teoremi ile açı.
Günlük hayattan: Bir gölün iki ucu arasındaki uzaklık ölçülemiyor. Kıyıdaki bir noktadan uçlara olan uzaklıklar 50 m ve 80 m, aradaki açı 60° ölçülüyor. a² = 50² + 80² − 2 · 50 · 80 · cos 60° = 2500 + 6400 − 4000 = 4900, yani göl 70 m genişliğindedir.
Sık yapılan hata: Kosinüs teoreminde − 2bc · cos A terimini unutup Pisagor teoremi gibi hesaplamak. Doğrusu: Bu terim yalnızca açı 90° olunca sıfırlanır. Açı geniş ise cos A negatif olur ve terim karşı kenarı uzatır.
Derinleş
Haritacılar yüzyıllarca üçgenleme (nirengi) yöntemiyle ülkelerin haritalarını çıkardı. Bu yöntemin nasıl işlediğini araştır ve okul bahçesinde küçük bir uygulama tasarla: bilinen uzunlukta bir taban çizgisinin iki ucundan uzaktaki bir ağaca bakış açılarını ölç, sinüs teoremiyle ağaca olan uzaklığı hesapla. Açı ölçümündeki 1°'lik bir hata sonucu ne kadar değiştiriyor? Günümüzde uydu konum sistemlerinin bu yöntemden neyi devraldığını tartış.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.10.1.4Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme
- a) Üçgende sinüs ve kosinüs teoremlerine ilişkin farklı doğrulama veya ispatları kullanır.
- b) Yapılan doğrulama veya ispatları yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Kıyıdaki iki gözetleme kulesinden açıktaki bir tekneye bakılarak açılar ölçülüyor; kuleler ve tekne bir üçgen oluşturuyor. Bu üçgende kenarları a, b ve bu kenarların karşısındaki açıları A, B olan parçalardan a kenarı ile A ve B açıları biliniyor; b kenarı sinüs teoremiyle hesaplanacak. Hesapta kullanılacak doğru eşitlik hangisidir?
- A) a / sin B = b / sin A
- B) a · sin A = b · sin B
- C) a / cos A = b / cos B
- D) sin A / b = sin B / a
- E) a / sin A = b / sin B
Cevabı göster
Doğru cevap: E) a / sin A = b / sin B
Sinüs teoremine göre bir kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı üçgenin her kenarı için aynıdır: a / sin A = b / sin B. a / sin B = b / sin A eşitliği kenarı komşu açıyla eşleştirir; bu yalnızca A = B olan ikizkenar üçgende doğru olur.
Kolay
2Defne, kosinüs teoreminin Pisagor bağıntısını da kapsadığını göstermek istiyor. Bunun için b = 3 cm ve c = 4 cm olan, bu kenarlar arasındaki açısı m(A) = 90° olan bir üçgen çiziyor ve a kenarını kosinüs teoremiyle hesaplıyor. Defne'nin bulduğu a kaç cm'dir?
- A) 7
- B) 5
- C) √7
- D) 1
- E) √13
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
a² = 3² + 4² − 2 · 3 · 4 · cos 90° = 9 + 16 − 0 = 25 olduğundan a = 5 cm'dir; cos 90° = 0 olduğu için teorem Pisagor bağıntısına dönüşür. √13'ü seçen öğrenci cos 90° yerine cos 60° = 1/2 değerini kullanmıştır.
Kolay
3Bir rampanın yan kesiti ABC üçgenidir; B açısı dik, A açısı 30°'dir. Rampanın yüksekliği |BC| = a = 6 dm olarak ölçülmüştür. Bir öğrenci rampanın eğik yüzeyinin uzunluğunu sinüs teoremiyle hesaplıyor. Eğik yüzeyin uzunluğu |AC| = b kaç dm'dir?
- A) 3
- B) 6√3
- C) 6√2
- D) 12
- E) 4√3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12
Sinüs teoremiyle 6 / sin 30° = b / sin 90° yazılır; 6 / (1/2) = b, yani b = 12 dm olur. 6√3'ü seçen öğrenci yatay kenar |AB|'yi bulmuştur; eğik yüzey dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
Kolay
4Bir harita uygulaması, iki konum arasındaki kuş uçuşu uzaklığı hesaplarken üçüncü bir noktadan bu konumlara olan uzaklıkları ve aradaki açıyı kullanıyor. Oluşan üçgenin kenarları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C ile gösteriliyor; uygulama b, c ve A bilindiğinde a'yı hesaplıyor. Uygulamanın kullandığı bağıntı hangisidir?
- A) a² = b² + c² + 2bc · cos A
- B) a² = b² + c² − 2bc · cos B
- C) a = b + c − 2bc · cos A
- D) a² = b² + c² − 2bc · cos A
- E) a² = b² + c² − bc · cos A
Cevabı göster
Doğru cevap: D) a² = b² + c² − 2bc · cos A
Kosinüs teoreminde aranan kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu kenarlar ile aralarındaki açının kosinüsünün iki katı çarpımı çıkarılarak bulunur: a² = b² + c² − 2bc · cos A. cos B'li şık çekicidir; ancak b ve c kenarlarının arasındaki açı B değil, a'nın karşısındaki A açısıdır.
Kolay
5Bir harita mühendisi üçgen biçimli bir arazinin yalnızca üç kenar uzunluğunu ölçmüştür ve köşelerdeki açılardan birini hesaplamak istiyor. Bu iş için en uygun araç aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Kosinüs teoremi
- B) Sinüs teoremi
- C) Açıortay teoremi
- D) Tümler açı kuralı
- E) Alanlar oranı
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Kosinüs teoremi
Üç kenar biliniyorsa cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) bağıntısıyla açı bulunur. Sinüs teoremi en az bir açının bilinmesini gerektirdiğinden burada doğrudan kullanılamaz.
Kolay
6Bir üçgenin iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenar uzunluğu biliniyor. Diğer açının karşısındaki kenarı bulmak için en kısa yol aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Kosinüs teoremini kullanmak
- B) Pisagor bağıntısını kullanmak
- C) Sinüs teoremini kullanmak
- D) Ağırlık merkezi özelliğini kullanmak
- E) Açıortay teoremini kullanmak
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Sinüs teoremini kullanmak
İki açı ve bir kenar bilindiğinde a / sin A = b / sin B eşitliği doğrudan istenen kenarı verir. Kosinüs teoremi iki kenar gerektirdiği için bu durumda tek adımda sonuç vermez.
Kolay
7ABC üçgeninde a = 6 cm ve b = 9 cm'dir. Sinüs teoremine göre sin A / sin B oranı kaçtır?
- A) 3/2
- B) 4/9
- C) 1/3
- D) 9/4
- E) 2/3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2/3
Sinüs teoremine göre a / sin A = b / sin B'dir; buradan sin A / sin B = a / b = 6/9 = 2/3 olur. 3/2, oranın ters yazılmasıdır.
Kolay
8ABC üçgeninde a, b, c sırasıyla A, B, C köşelerinin karşısındaki kenarlardır. Kosinüs teoremine göre b² aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- A) a² + c² − 2 · a · c · cos A
- B) a² + c² + 2 · a · c · cos B
- C) a² + b² − 2 · a · b · cos C
- D) a² + c² − 2 · a · c · cos B
- E) a² + c² − a · c · cos B
Cevabı göster
Doğru cevap: D) a² + c² − 2 · a · c · cos B
Kosinüs teoreminde eşitliğin solundaki kenarın karşısındaki açı kullanılır; b² için cos B gerekir. cos A yazmak kenar ile karşısındaki açıyı eşleştirmemektir.
Kolay
9Bir ABC üçgeninde b = 4 cm, c = 6 cm ve m(A) = 60°'dir. a kenarı kaç cm'dir?
- A) 2√13
- B) 2√7
- C) 2√5
- D) 4
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2√7
a² = 16 + 36 − 2 · 4 · 6 · (1/2) = 52 − 24 = 28, a = 2√7 cm'dir. 2√13, kosinüslü terimin çıkarılmamasıyla bulunur.
Kolay
10Bir kavşaktan çıkan iki düz yol arasındaki açı 60°'dir. Yollardan birinin üzerindeki market kavşağa 8 km, diğerinin üzerindeki okul kavşağa 3 km uzaklıktadır. Market ile okul arasındaki kuş uçuşu uzaklık kaç km'dir?
- A) √73
- B) 5
- C) 11
- D) 7
- E) √97
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7
a² = 8² + 3² − 2 · 8 · 3 · cos 60° = 64 + 9 − 24 = 49 olduğundan uzaklık 7 km'dir. √73, kosinüslü terimin unutulmasıyla (Pisagor gibi) bulunur.
Kolay
11Bir ABC üçgeninde sin A = 1/2, sin B = √2/2 ve a = 5 cm'dir. b kenarı kaç cm'dir?
- A) 5√2/2
- B) 10
- C) 5/2
- D) 5√3
- E) 5√2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 5√2
b = a · sin B / sin A = 5 · (√2/2) / (1/2) = 5√2 cm'dir. 5√2/2, sin A'ya bölmeyi unutup yalnız sin B ile çarpmaktan gelir.
Kolay
12ABC üçgeninde a / sin A oranı 10'dur. sin B = 3/5 olduğuna göre b kenarı kaç birimdir?
- A) 50/3
- B) 6
- C) 3/50
- D) 16
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
Sinüs teoremine göre b / sin B da 10'dur; b = 10 · 3/5 = 6 olur. 50/3, 10'un 3/5'e bölünmesiyle yapılan hatadır.
Kolay
13Üçgen biçimli bir bahçenin A ve B köşelerindeki açılar m(A) = 45° ve m(B) = 30°'dir. A köşesinin karşısındaki çit a = 6√2 m'dir. B köşesinin karşısındaki çit b kaç m'dir?
- A) 12
- B) 6√3
- C) 3√2
- D) 12√2
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 6
Sinüs teoremine göre b = a · sin B / sin A = 6√2 · (1/2) / (√2/2) = 6 m'dir. 12 m, oranın ters kurulmasıyla (sin A / sin B) bulunur.
Kolay
14Üçgen biçimli bir parkın köşelerindeki açılar 50°, 60° ve 70°'dir. Sinüs teoremi düşünüldüğünde parkın en uzun kenarı hangi açının karşısındadır?
- A) 50°'lik açının
- B) 60°'lik açının
- C) Kenarlar eşittir
- D) 70°'lik açının
- E) Belirlenemez
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 70°'lik açının
Kenar, karşısındaki açının sinüsüyle orantılıdır; dar açılarda açı büyüdükçe sinüs büyür. En büyük açı 70° olduğundan en uzun kenar onun karşısındadır.
Kolay
15Defne, sinüs teoremini alan formülüyle doğrulamak istiyor. Bir ABC üçgeninin alanını iki farklı biçimde yazarak (1/2) · b · c · sin A = (1/2) · a · c · sin B eşitliğini kuruyor. Bu eşitlikten hangi sonuç çıkar?
- A) a · sin A = b · sin B
- B) a / sin B = b / sin A
- C) b · c = a · c
- D) a / sin A = b / sin B
- E) sin A = sin B
Cevabı göster
Doğru cevap: D) a / sin A = b / sin B
Her iki taraf (1/2) · c'ye bölünürse b · sin A = a · sin B, buradan da a / sin A = b / sin B elde edilir. a / sin B = b / sin A, terimlerin çapraz yerleşiminin karıştırılmasıdır.
Kolay
16Kenar uzunlukları 4, 4 ve 4 cm olan bir üçgende A açısının kosinüsü, kosinüs teoremiyle hesaplanıyor. cos A kaçtır?
- A) 1/2
- B) 1
- C) 0
- D) √3/2
- E) −1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 1/2
cos A = (16 + 16 − 16) / (2 · 4 · 4) = 16/32 = 1/2'dir; bu da A = 60° demektir. √3/2, 60°'nin sinüs değeridir.
Kolay
17Bir harita mühendisi, ABC üçgeni biçimindeki bir arsanın yalnız iki açısını ölçebiliyor: m(A) = 45° ve m(B) = 60°. Mühendis, kenar uzunluklarını ölçmeden A köşesinin karşısındaki a kenarının B köşesinin karşısındaki b kenarına oranını bulmak istiyor. Buna göre a / b oranı kaçtır?
- A) 1/2
- B) √2/2
- C) √6/3
- D) √6/2
- E) √3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) √6/3
Sinüs teoremine göre a / sin A = b / sin B olduğundan a / b = sin A / sin B'dir. a / b = sin 45° / sin 60° = (√2/2) / (√3/2) = √2/√3 = √6/3 bulunur. √6/2, oranın ters kurulmasıyla elde edilen b / a değeridir. √2/2 yalnız sin 45° değeridir; kenarların oranı açıların ölçülerinin oranına (45/60) da eşit değildir.
Kolay
18Kerem, sinüs teoremini bir dik üçgende sınamak istiyor. Bunun için C açısı dik olan ve kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm olan ABC üçgenini çiziyor; a, b ve c sırasıyla A, B ve C köşelerinin karşısındaki kenarlardır. Dar açıların sinüslerini kenar oranlarından bulup a / sin A ve b / sin B oranlarını hesaplıyor ve ikisinin de aynı sayıya eşit olduğunu görüyor. Buna göre Kerem'in bulduğu bu ortak değer kaçtır?
- A) 12
- B) 13
- C) 17
- D) 30
- E) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 13
Dik üçgende sin A = karşı dik kenar / hipotenüs = a / c = 5/13 ve sin B = b / c = 12/13'tür. a / sin A = 5 : (5/13) = 13 ve b / sin B = 12 : (12/13) = 13 bulunur. sin 90° = 1 olduğundan c / sin C = 13 / 1 = 13'tür; üç oran da eşittir ve sinüs teoremi doğrulanır. Dik üçgende bu ortak değer hipotenüsün uzunluğudur. 17 dik kenarların toplamı, 30 üçgenin alanı (5 · 12 / 2), 60 ise dik kenarların çarpımıdır; 12 yalnız b kenarının uzunluğudur.
Orta
19İki tekne aynı limandan aynı anda ayrılıyor; rotaları arasındaki açı 120°'dir ve ikisi de düz rotada ilerliyor. Bir süre sonra teknelerden biri limandan 3 km, diğeri 5 km uzaklaşmış oluyor. Bu anda iki tekne arasındaki uzaklık kaç km'dir?
- A) 8
- B) 7
- C) √19
- D) √34
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 7
Kosinüs teoremiyle d² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos 120° = 9 + 25 + 15 = 49 olur; d = 7 km'dir. √19'u seçen öğrenci cos 120° değerini +1/2 alıp 15'i çıkarmıştır; 120° geniş açı olduğundan kosinüsü negatiftir ve karşı kenar uzar.
Orta
20Bir parktaki çeşmeden çıkan iki patika arasındaki açı 60°'dir. Kenan çeşmeden birinci patika boyunca 400 m yürüyerek banka, Elif ikinci patika boyunca 600 m yürüyerek kafeye ulaşıyor. İki patika da düz doğrultudadır. Bank ile kafe arasındaki kuş uçuşu uzaklık kaç metredir?
- A) 200√19
- B) 200√13
- C) 500
- D) 200√7
- E) 400√2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 200√7
Kosinüs teoremiyle d² = 400² + 600² − 2 · 400 · 600 · cos 60° = 160 000 + 360 000 − 240 000 = 280 000 bulunur; d = √280 000 = 200√7 m olur. 200√19'u seçen öğrenci teoremdeki çıkarma işlemini toplama olarak yazmıştır; 60° dar açı olduğundan karşı kenar √(400² + 600²)'den kısa olmalıdır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.