11. Sınıf Matematik · Geometrik Şekiller

Çokgenlerle İlgili Problemler

düzgün çokgen
dışbükey çokgen
kaplama
alan
simetri
benzerlik
problem çözme stratejisi

Çokgenlerle ilgili problemler nasıl çözülür?

Çokgenlerle ilgili problemler, veriler ve istenen belirlenip durum matematiksel bir modele dönüştürülerek, bir strateji seçilip uygulanarak ve sonuç kontrol edilerek çözülür. Bu tür problemler fayans döşeme, mimari süsleme ve tasarım gibi gerçek yaşam durumlarından gelir. Boşluksuz kaplamada bir köşede buluşan açıların toplamı 360° olmalıdır; bu nedenle tek tür düzgün çokgenle kaplama yalnızca eşkenar üçgen (6 · 60°), kare (4 · 90°) ve düzgün altıgenle (3 · 120°) yapılabilir. Düzgün beşgenin iç açısı 108° olduğu için beşgenle boşluksuz kaplama yapılamaz. Selçuklu yıldızı, merkezleri ortak iki eş kareden birinin 45° döndürülmesiyle oluşan sekiz köşeli bir motiftir. Benzer iki çokgende alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. İç açısı 135° olan düzgün çokgenin dış açısı 45°, kenar sayısı 360/45 = 8 olur. Kaplama ve maliyet problemlerinde 1 m² = 10 000 cm² olduğuna dikkat edilir.

Çokgenlerle İlgili Problemler: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, çokgen bilgilerini fayans döşeme, mimari süsleme ve tasarım gibi gerçek yaşam problemlerinde kullanmayı anlatıyor. Asıl amaç sistemli bir problem çözme stratejisi geliştirmek.

Problem çözme adımları: verileri ve isteneni belirle, durumu matematiksel bir modele dönüştür, bir strateji seç ve uygula, sonucu kontrol et, farklı çözüm yollarıyla karşılaştır.
Boşluksuz kaplamada bir köşede buluşan açıların toplamı 360° olmalıdır. Tek tür düzgün çokgenle bu yalnızca üç şekilde olur: eşkenar üçgen (6 · 60°), kare (4 · 90°) ve düzgün altıgen (3 · 120°). Düzgün beşgenin iç açısı 108° olduğundan beşgenle boşluksuz kaplama yapılamaz.
Bir köşede buluşan düzgün çokgenler: üçgen, kare ve altıgende açılar 360° eder; düzgün beşgende 324° olur ve boşluk kalır
Bal peteğindeki altıgen düzen, aynı malzemeyle en geniş alanı kaplamanın iyi bir örneğidir.
Selçuklu yıldızı, merkezleri ortak iki eş kareden birinin 45° döndürülmesiyle oluşan sekiz köşeli bir motiftir. Uç noktaları bir düzgün sekizgenin köşeleridir.
Benzer iki çokgende alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. Örnek: Merkezden köşeye uzaklıklar 1 m ve 3 m olan iki düzgün sekizgende alanlar oranı 3² = 9'dur.
İç açısı verilen düzgün çokgenin kenar sayısı dış açıdan bulunur. İç açı 135° ise dış açı 45°, kenar sayısı 360/45 = 8 olur.

Unutma: Kaplama ve maliyet problemlerinde birim karışıklığına dikkat et (cm² ile m²). 1 m² = 10 000 cm² olduğunu unutma.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Kaplama ve maliyet problemlerinde problem çözme adımlarını bir örnekle izle.

Verileri belirle: Banyo zemini 2 m × 1,5 m, fayanslar 20 cm × 20 cm kare.
Birimleri eşitle: Zemin 3 m² = 30 000 cm², bir fayans 400 cm².
Hesapla: 30 000 / 400 = 75 fayans.
Bağlama göre düzelt: Kesim kayıpları için %10 fazla alınırsa 82,5 çıkar; yarım fayans satılmadığı için 83 fayans alınır.
Kontrol et: Bir sıraya 200/20 = 10 fayans, 150/20 = 7,5 sıra sığar; 10 · 7,5 = 75 sonucu doğrular.

Günlük hayattan: Kaldırım taşlarında altıgen ve kare çok kullanılır, çünkü bir köşede birleşen açılar tam 360° eder ve arada boşluk kalmaz.

Sık yapılan hata: Alanı m², fayansı cm² ile bırakıp doğrudan bölmek. Doğrusu: Önce birimleri eşitle; 1 m² = 10 000 cm²'dir.

Derinleş

İki farklı düzgün çokgenle boşluksuz kaplama da yapılabilir: Örneğin bir köşede bir kare ve iki düzgün sekizgen buluşursa 90° + 135° + 135° = 360° olur. Okulunun bir duvarı için iki tür düzgün çokgenden oluşan bir kaplama deseni tasarla, bir köşedeki açıları hesapla ve kaç parça gerektiğini tahmin et. Tasarımını Selçuklu ve Osmanlı yapılarındaki geometrik süslemelerle karşılaştır.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.11.2.5Çokgenlerin kenar, açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerini içeren problemler
- a) Çokgenleri içeren problemlerin parçalarını (nicelik, şekil gibi) belirler.
- b) Problemin parçaları arasındaki ilişkileri belirler.
- c) Problemin bileşenlerini ve aralarındaki ilişkileri bağlama uygun olarak matematiksel temsillere dönüştürür.
- e) Geliştirdiği stratejileri kullanarak problemi çözer.
- ğ) Deneyimine dayalı olarak çözüme ulaştıran stratejilerin hangi problemlere uyarlanabileceğine ilişkin çıkarım yapar.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir aile, banyosunu yenilerken fayans satıcısından fiyat alıyor. Satıcı fayansların ölçülerini santimetre, banyonun zemin alanını ise metrekare cinsinden veriyor; aile hesaplamaya başlamadan önce birimleri eşitlemek istiyor. 1 m² kaç cm²'dir?
- A) 10.000
- B) 100
- C) 1.000
- D) 100.000
- E) 1.000.000
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 10.000
1 m = 100 cm olduğundan 1 m² = 100 cm · 100 cm = 10.000 cm²'dir. 100 yanıtı, uzunluk birimindeki dönüşüm katsayısının alan birimine aynen uygulanmasından doğar; alan iki boyutlu olduğu için katsayının karesi alınır.
Kolay
2Bir okulun koridoru farklı çokgen fayanslarla boşluksuz ve üst üste gelmeden kaplanıyor. Ustabaşı, desenin doğru olup olmadığını denetlemek için her köşede buluşan fayans açılarını ölçüp topluyor. Boşluksuz bir kaplamada bir köşede buluşan çokgen açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
- A) 180
- B) 360
- C) 270
- D) 540
- E) 720
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 360
Bir nokta etrafında boşluk ve örtüşme olmadan yer alan açılar tam bir dönüş oluşturur; toplamları 360°'dir. 180 yanıtı, bir doğru üzerindeki açıların toplamının bir nokta çevresindeki açılarla karıştırılmasından doğar.
Kolay
3Bir mimarlık öğrencisi, yalnızca eş düzgün beşgen karolarla bir avlu zeminini boşluksuz kaplamayı deniyor. Her denemede karoların köşelerde ya boşluk bıraktığını ya da üst üste bindiğini görüyor. Yalnızca düzgün beşgenlerle bir zeminin boşluksuz kaplanamamasının nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Kenar sayısı tek olduğu için
- B) Köşegenleri eşit uzunlukta olduğu için
- C) İç açıları toplamı 360°'den büyük olduğu için
- D) İç açısı 108° olup 360°'yi tam bölmediği için
- E) Dış açısı 72° olup 90°'nin katı olmadığı için
Cevabı göster
Doğru cevap: D) İç açısı 108° olup 360°'yi tam bölmediği için
Bir köşede tam sayıda eş beşgen buluşmalı ve açıların toplamı 360° olmalıdır; 360 / 108 tam sayı olmadığından (3 beşgen 324°, 4 beşgen 432°) boşluk ya da örtüşme oluşur. Kenar sayısının tek olması neden değildir; kenar sayısı tek olan eşkenar üçgen zemini boşluksuz kaplar.
Kolay
4Bir fayans ustası, bir mutfak zeminini tek tür eş düzgün çokgen fayanslarla kaplıyor. Desende her köşede tam 3 fayans boşluksuz ve üst üste gelmeden buluşuyor. Ustanın kullandığı fayans hangi çokgen biçimindedir?
- A) Düzgün altıgen
- B) Kare
- C) Düzgün beşgen
- D) Düzgün sekizgen
- E) Eşkenar üçgen
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Düzgün altıgen
Bir köşede buluşan açılar toplamı 360° olmalıdır; 3 eş açı için her biri 120°'dir ve iç açısı 120° olan düzgün çokgen altıgendir. Kare yanıtı yanlıştır; iç açısı 90° olan kareden bir köşede 3 değil 4 tane buluşur.
Kolay
5Bir mutfak tezgâhının alanı 3,5 m² olarak ölçülüyor. Fayans satıcısı ise fayans alanlarını santimetrekare cinsinden veriyor. Tezgâhın alanı kaç santimetrekaredir?
- A) 350
- B) 3 500
- C) 35 000
- D) 350 000
- E) 35
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 35 000
1 m² = 10 000 cm² olduğundan 3,5 · 10 000 = 35 000 cm² bulunur. 350 sonucu 1 m² = 100 cm² sanmaktan gelir.
Kolay
6Bir matbaa düzgün sekizgen biçimli bir logoyu büyütüyor. Büyük logonun alanı küçük logonun alanının 9 katıdır. Büyük logonun bir kenarı küçük logonun bir kenarının kaç katıdır?
- A) 9
- B) 3
- C) 81
- D) 4,5
- E) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
Benzer çokgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: k² = 9 ⇒ k = 3. 81 sonucu kareyi ters yönde almaktan gelir.
Kolay
7Bir banyo zemini 2,4 m uzunluğunda ve 1,5 m genişliğinde dikdörtgen biçimindedir. Zemin, kenarı 30 cm olan kare fayanslarla kesim yapılmadan tam olarak kaplanacak. Kaç fayans gerekir?
- A) 36
- B) 40
- C) 48
- D) 400
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 40
Uzun kenara 240 : 30 = 8, kısa kenara 150 : 30 = 5 fayans sığar; toplam 8 · 5 = 40 fayans. 400 sonucu metre ile santimetreyi karıştırmaktan gelir.
Kolay
8Bir mimarlık öğrencisi bir zemini yalnızca eş düzgün dokuzgen karolarla boşluksuz kaplamayı düşünüyor. Düzgün dokuzgenin bir iç açısı 140°'dir. Bu kaplamayla ilgili hangisi doğrudur?
- A) Bir köşede 3 karo buluşarak boşluksuz kaplama yapılır.
- B) Bir köşede 2 karo buluşarak boşluksuz kaplama yapılır.
- C) Dokuzgenin kenar sayısı tek olduğu için kaplama her zaman yapılır.
- D) Bir köşede 4 karo buluşarak boşluksuz kaplama yapılır.
- E) 360, 140'ın tam katı olmadığı için boşluksuz kaplama yapılamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 360, 140'ın tam katı olmadığı için boşluksuz kaplama yapılamaz.
Bir köşedeki açıların toplamı tam olarak 360° olmalıdır; 2 · 140° = 280° boşluk bırakır, 3 · 140° = 420° ise üst üste biner. Bu yüzden dokuzgenle tek başına kaplama olmaz.
Kolay
9Problem: "Kenarı 2 m olan düzgün altıgen biçimli bir havuz tabanı, alanı 4 cm² olan mozaik taşlarla kaplanacak. Kaç taş gerekir?" Bu problemde istenen nicelik hangisidir?
- A) Havuz tabanının kenar uzunluğu
- B) Bir mozaik taşının alanı
- C) Havuzun derinliği
- D) Gereken mozaik taşı sayısı
- E) Havuz tabanının iç açılarından biri
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Gereken mozaik taşı sayısı
Problemin sorusu kaç taş gerektiğidir; kenar uzunluğu ve taşın alanı verilenlerdir. Havuzun derinliği problemde yer almaz.
Kolay
10Arıların peteklerinde hücrelerin altıgen biçiminde olması sık sık örnek gösterilir. Bu düzenin matematiksel açıdan öne çıkan özelliği hangisidir?
- A) Aynı malzemeyle boşluksuz biçimde en geniş alanı kaplamanın iyi bir örneğidir.
- B) Altıgenlerin iç açıları 90° olduğu için boşluksuz kaplama yapar.
- C) Altıgen içbükey olduğu için hücreler birbirine kenetlenir.
- D) Altıgenin bütün köşegenleri eşit olduğu için güçlüdür.
- E) Bir köşede 4 altıgen buluştuğu için yapı sağlam olur.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Aynı malzemeyle boşluksuz biçimde en geniş alanı kaplamanın iyi bir örneğidir.
Düzgün altıgenler bir köşede 3 · 120° = 360° oluşturarak boşluksuz kaplama yapar ve aynı malzemeyle geniş alan kaplar. İç açıları 90° değil 120°'dir.
Kolay
11Düzgün altıgen biçimli bir çiçek bahçesinin bir kenarı 15 dm'dir. Bahçenin çevresi tek sıra çitle çevrilecek. Kaç desimetre çit gerekir?
- A) 75
- B) 90
- C) 60
- D) 105
- E) 45
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 90
Düzgün altıgenin 6 eşit kenarı vardır: 6 · 15 = 90 dm. 75 sonucu kenar sayısını 5 almaktan gelir.
Kolay
12Bir okul koridoru yalnızca eş kare fayanslarla boşluksuz ve üst üste gelmeden kaplanıyor. Bir köşede buluşan fayansların açıları toplamı ve fayans sayısı hangisidir?
- A) 180° ve 2 fayans
- B) 360° ve 3 fayans
- C) 360° ve 4 fayans
- D) 360° ve 6 fayans
- E) 270° ve 3 fayans
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 360° ve 4 fayans
Boşluksuz kaplamada bir köşedeki açılar toplamı 360°'dir; karenin iç açısı 90° olduğundan 4 fayans buluşur. 270° boşluk bırakan bir durumu gösterir.
Kolay
13Bir salonun zemin alanı planda 120 000 cm² olarak yazılmıştır. Döşeme ustası metrekare başına 250 TL ücret alıyor. Ustanın alacağı toplam ücret kaç TL'dir?
- A) 3 000
- B) 30 000
- C) 300
- D) 300 000
- E) 1 200
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3 000
120 000 cm² = 12 m² olduğundan ücret 12 · 250 = 3 000 TL'dir. 30 000 sonucu 1 m² = 1 000 cm² almaktan gelir.
Kolay
14Bir avlu yalnızca eş eşkenar üçgen karolarla boşluksuz ve üst üste gelmeden döşeniyor. Desenin her köşesinde kaç karo buluşur?
- A) 3
- B) 4
- C) 6
- D) 5
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6
Bir köşedeki açıların toplamı 360° olmalıdır; eşkenar üçgenin iç açısı 60° olduğundan 360 : 60 = 6 karo buluşur. 3 cevabı altıgen karolar için geçerlidir.
Kolay
15Bir duvar süslemesinde Selçuklu yıldızı kullanılıyor: merkezleri ortak iki eş kareden biri 45° döndürülerek yerleştiriliyor. Oluşan yıldızın kaç uç noktası vardır?
- A) 8
- B) 4
- C) 6
- D) 12
- E) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 8
Her kareden 4 köşe gelir ve 45° döndürme köşeleri çakıştırmaz; yıldızın 8 ucu vardır. Bu uç noktaları bir düzgün sekizgenin köşeleridir.
Kolay
16Bir öğrenciye "Düzgün altıgen biçimli bir masa örtüsünün kenarına dantel dikilecek; gereken dantel uzunluğunu bul." problemi veriliyor. Sistemli bir problem çözme sürecinde öğrencinin ilk yapması gereken hangisidir?
- A) Verilenleri ve isteneni belirlemek
- B) Sonucu kontrol etmek
- C) Farklı çözüm yollarıyla karşılaştırmak
- D) Hemen bir formül seçip hesaplamaya başlamak
- E) Bulunan sonucu başka problemlere uyarlamak
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Verilenleri ve isteneni belirlemek
Problem çözme adımları verileri ve isteneni belirlemekle başlar, sonra model kurma, strateji seçme, uygulama ve kontrol gelir. Kontrol ve karşılaştırma son adımlardır.
Kolay
17Düzgün altıgen biçimli bir avlunun alanı 90 m²'dir. Merkezden köşelere çizilen yollar avluyu eş üçgen bölgelere ayırıyor. Yan yana iki bölgeye çim ekilecek. Çim ekilecek alan kaç m²'dir?
- A) 15
- B) 30
- C) 45
- D) 60
- E) 90
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 30
Merkez köşelere birleştirilince düzgün altıgen 6 eş üçgene ayrılır. Bir üçgenin alanı 90/6 = 15 m²'dir. İki bölgenin alanı 2 · 15 = 30 m² olur.
Kolay
18Ali, düzgün dokuzgenin bir iç açısını hesaplarken 150° buluyor. Sonucunu kontrol etmek için çözümüne bir adım eklemek istiyor. Ali'nin sonucunu sınaması için en uygun kontrol hangisidir?
- A) 150°'yi köşegen sayısına bölüp sonucu yazmak
- B) Aynı işlemi aynı sırayla yeniden yapmak
- C) 9 · 150°'yi (9 − 2) · 180° toplamıyla karşılaştırmak
- D) 150°'nin 360°'yi tam bölüp bölmediğine bakmak
- E) Bulduğu açının dar açı olup olmadığına bakmak
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9 · 150°'yi (9 − 2) · 180° toplamıyla karşılaştırmak
Düzgün dokuzgenin dokuz iç açısı eşittir; bu yüzden bir açının 9 katı iç açılar toplamına eşit olmalıdır. 9 · 150° = 1350°, oysa (9 − 2) · 180° = 1260°'dir; sonuç yanlıştır, doğrusu 1260°/9 = 140°'dir. Aynı işlemi aynı sırayla yapmak aynı hatayı tekrarlayabilir. 360°'yi bölme koşulu kaplama problemlerine aittir.
Orta
19Bir müzenin girişindeki mozaik desende her köşede bir düzgün altıgen, iki kare ve bir başka düzgün çokgen boşluksuz buluşuyor. Restorasyon ekibi kırılan dördüncü parçayı yeniden üretmek için biçimini belirlemek istiyor. Bu dördüncü çokgen hangisidir?
- A) Kare
- B) Düzgün beşgen
- C) Düzgün altıgen
- D) Düzgün sekizgen
- E) Eşkenar üçgen
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Eşkenar üçgen
Bir köşedeki açılar toplamı 360° olmalıdır: 120° + 2 · 90° = 300°, kalan 60° eşkenar üçgenin iç açısıdır. Düzgün altıgen yanıtı, kalan açının hesaplanmadan desende zaten bulunan bir parçanın tekrar seçilmesinden doğar; altıgen 120° ile toplamı 420° yapar.
Orta
20Bir aile, 5 m²'lik balkon zeminini kenarı 25 cm olan kare fayanslarla kaplatacak. Usta, fayansların kesilmeden ve fire vermeden zemine tam yerleşeceğini söylüyor. Balkon için kaç fayans gerekir?
- A) 8
- B) 20
- C) 800
- D) 80
- E) 200
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 80
Bir fayansın alanı 25 · 25 = 625 cm², balkonun alanı 5 · 10.000 = 50.000 cm²'dir; 50.000 / 625 = 80 fayans gerekir. 20 sonucu, 5 m²'nin yalnızca 100 ile çarpılıp 500 cm² alınmasından ve 25'e bölünmesinden doğar; alanda dönüşüm katsayısı 10.000'dir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.