Üstel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.11.3.3Gerçek sayılarda f(x) = aˣ (a>0, a≠1) şeklinde tanımlı üstel referans

  • a) Üstel referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
  • b) Üstel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
  • c) Üstel referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer üstel fonksiyonlara dönüştürür.
  • ç) Üstel referans fonksiyon ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların grafik temsili ile cebirsel temsili arasındaki ilişkiyi ifade eder.
  • d) Üstel referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer üstel fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
  • e) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeler ve türetilen fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili örüntüleri geneller.
  • ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.

Bu konuda neler var?

• Üstel Referans Fonksiyonlar
• Üstel Referans Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonlar

1. Kolay

   1Bir paylaşım uygulamasında bir videonun izlenme sayısının, yayından x gün sonra yaklaşık f(x) = 5^x bin olduğu varsayılıyor. Analist, modeli yayından önceki günler için de (x < 0) kullanarak bütün gerçek x değerlerinde inceliyor. f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) R
   • BB) (0, ∞)
   • CC) [0, ∞)
   • DD) (1, ∞)
   • EE) [1, ∞)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) (0, ∞)

   5^x her gerçek x için pozitiftir ama hiçbir zaman 0 olmaz; x → −∞ iken değerler 0'a yaklaşır. Görüntü kümesi (0, ∞)'dur. [0, ∞) seçeneği, grafiğin x eksenine dokunduğunu sanmaktan doğar; oysa x ekseni bir yatay asimptottur.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir bankanın tanıtım broşüründe 1 TL'ye yıllık %100 faizin yıl içinde n eşit dönemde bileşik olarak işletildiği bir örnek veriliyor. Yıl sonundaki tutar (1 + 1/n)^n'dir ve n çok büyüdükçe bu tutar belirli bir sabit sayıya giderek yaklaşıyor. Bu sabit sayı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Tam olarak 2,7'ye eşit rasyonel bir sayıdır.
   • BB) Yaklaşık 3,14 değerinde irrasyonel bir sayıdır.
   • CC) Değeri 1 ile 2 arasında olan bir sayıdır.
   • DD) Yaklaşık 2,718 değerinde irrasyonel bir sayıdır.
   • EE) Yaklaşık 1,414 değerinde irrasyonel bir sayıdır.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) Yaklaşık 2,718 değerinde irrasyonel bir sayıdır.

   (1 + 1/n)^n ifadesi n büyüdükçe Euler sayısı e ≈ 2,718'e yaklaşır; e irrasyoneldir. "Yaklaşık 3,14" seçeneği π ile e'nin karıştırılmasından doğar.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir sınıfta her öğrenci 1'den farklı bir pozitif a tabanı seçip f(x) = a^x grafiğini aynı koordinat düzlemine çiziyor. Tahtadaki grafikler birbirinden çok farklı görünse de hepsinin ortak bir noktadan geçtiği fark ediliyor. Bütün grafiklerin geçtiği bu ortak nokta aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (1, 0)
   • BB) (0, 1)
   • CC) (1, 1)
   • DD) (0, 0)
   • EE) (−1, 1)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) (0, 1)

   Her a > 0 için a⁰ = 1 olduğundan bütün grafikler (0, 1) noktasından geçer. (1, 0) seçeneği, üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonunun ortak noktasının karıştırılmasından doğar; logaritma grafikleri (1, 0)'dan geçer.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir öğrenci, grafik çizim programında kaydırıcıyla a tabanını değiştirerek f(x) = a^x grafiklerini inceliyor; program yalnızca a > 0 ve a ≠ 1 değerlerine izin veriyor. Bazı a değerlerinde grafik soldan sağa yükselirken bazılarında alçalıyor. Grafiğin soldan sağa alçalması için a hangi aralıkta olmalıdır?

   • AA) (1, ∞)
   • BB) (−1, 0)
   • CC) (0, 1)
   • DD) (−∞, 0)
   • EE) (−∞, 1)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) (0, 1)

   0 < a < 1 iken x arttıkça a^x küçülür; örneğin (1/2)^1 = 1/2, (1/2)^2 = 1/4. (−∞, 1) seçeneği, tabanın pozitif olma koşulunu gözden kaçırır; negatif tabanlar için a^x her gerçek x'te tanımlı değildir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir öğretmen tahtaya beş fonksiyon yazıyor ve bunlardan hangisinin f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) biçimindeki bir üstel referans fonksiyon olduğunu soruyor. Doğru cevap aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) f(x) = 1^x
   • BB) f(x) = (−2)^x
   • CC) f(x) = (2/3)^x
   • DD) f(x) = 0^x
   • EE) f(x) = x²
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) f(x) = (2/3)^x

   Taban 2/3 pozitiftir ve 1'den farklıdır, bu yüzden koşulları sağlar. 1^x sabit fonksiyondur; negatif taban ise birçok x değerinde gerçek sayı vermez.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir internet sitesinin ziyaretçi grafiği g(x) = 2^x + 1 bin kişi ile modelleniyor ve model bütün gerçek x değerleri için kullanılıyor. g fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (1, ∞)
   • BB) (0, ∞)
   • CC) [1, ∞)
   • DD) (2, ∞)
   • EE) R
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) (1, ∞)

   2^x her zaman pozitif olduğundan 2^x + 1 her zaman 1'den büyüktür ama 1'e eşit olmaz; görüntü kümesi (1, ∞)'dur. [1, ∞) cevabı, 2^x'in sıfır olabileceği yanılgısından gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir laboratuvarda tek bir hücre her saatin sonunda 3 hücreye bölünüyor ve oluşan her hücre de aynı biçimde bölünmeye devam ediyor. 4 saat sonra kaç hücre olur?

   • AA) 12
   • BB) 64
   • CC) 27
   • DD) 243
   • EE) 81
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) 81

   Hücre sayısı her saat 3 katına çıktığından t saat sonra 3^t olur; 3⁴ = 81. 12 cevabı sayının her saat 3 arttığını (doğrusal artış) düşünmekten gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Bir öğrenci y = 2^x grafiğini kullanarak y = 2^(x − 3) grafiğini çizmek istiyor. Uygulaması gereken dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) x ekseni boyunca 3 birim sola öteleme
   • BB) y ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleme
   • CC) x ekseni boyunca 3 birim sağa öteleme
   • DD) y ekseni boyunca 3 birim aşağı öteleme
   • EE) 3 kat dikey germe
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) x ekseni boyunca 3 birim sağa öteleme

   x yerine x − 3 yazmak grafiği 3 birim sağa öteler; örneğin (0, 1) noktası (3, 1) olur. Sola öteleme 2^(x + 3) ile yapılır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Bir okul duyurusu ilk saatte 5 öğrenciye ulaşıyor ve ulaşılan öğrenci sayısı her saat 2 katına çıkıyor; x saat sonra sayı 5 · 2^x oluyor. 3 saat sonra duyuru kaç öğrenciye ulaşmış olur?

   • AA) 30
   • BB) 11
   • CC) 40
   • DD) 1000
   • EE) 80
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 40

   5 · 2³ = 5 · 8 = 40 olur. 1000 cevabı (5 · 2)³ biçiminde, yani çarpımın tamamının kuvveti alınarak bulunur; üs yalnız 2'ye aittir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir öğrenci, 3^x = 0 denklemini sağlayan x değerini grafik programıyla arıyor. Bu denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {0}
    • BB) ∅
    • CC) {1}
    • DD) {−1}
    • EE) R
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) ∅

    3^x her zaman pozitiftir ve grafiği x eksenini kesmez; fonksiyonun sıfırı yoktur. {0} cevabı 3⁰ = 1 olduğunu unutup sonucu 0 sanmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11f(x) = (1/3)^x fonksiyonu veriliyor. f(−2), f(−1), f(0), f(1) ve f(3) değerlerinden en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) f(−1)
    • BB) f(0)
    • CC) f(1)
    • DD) f(3)
    • EE) f(−2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) f(−2)

    Taban 0 ile 1 arasında olduğundan fonksiyon azalandır; en küçük x'te en büyük değeri alır: f(−2) = 9. f(3) cevabı fonksiyonu artan sanmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12Bir yatırım modelinde birikim g(x) = 4 · 2^x bin TL olarak hesaplanıyor; x yıl sayısıdır. Grafiğin y eksenini kestiği nokta, yani başlangıçtaki birikim aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (0, 1)
    • BB) (0, 8)
    • CC) (0, 2)
    • DD) (0, 4)
    • EE) (4, 0)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) (0, 4)

    g(0) = 4 · 2⁰ = 4 · 1 = 4 olduğundan nokta (0, 4)'tür. (0, 1) cevabı, k = 4 çarpanının grafiği dikey olarak gerdiğini unutmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Bir dosya sıkıştırma programında bir sayaç 3^(2x) değerini gösteriyor. Sayaç 81 değerini gösterdiğinde x kaçtır?

    • AA) 4
    • BB) 3
    • CC) 2
    • DD) 1
    • EE) 9/2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 2

    81 = 3⁴ olduğundan 3^(2x) = 3⁴ olur; üstel fonksiyon bire bir olduğu için 2x = 4 ve x = 2 bulunur. 4 cevabı 2x yerine x'in 4'e eşitlenmesinden gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir öğrenci, değeri zamanla azalan bir büyüklüğü modellemek için azalan bir üstel fonksiyon seçmek istiyor. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi azalandır?

    • AA) f(x) = 3^x
    • BB) f(x) = e^x
    • CC) f(x) = (0,4)^x
    • DD) f(x) = (5/2)^x
    • EE) f(x) = (1,1)^x
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) f(x) = (0,4)^x

    a^x fonksiyonu 0 < a < 1 iken azalandır; 0,4 bu aralıktadır. 1,1 küçük görünse de 1'den büyük olduğundan (1,1)^x artandır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir grafik programında g(x) = 3^x − 2 fonksiyonu çiziliyor. Grafik, x küçüldükçe bir yatay doğruya giderek yaklaşıyor ama onu hiç kesmiyor. Bu doğru aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) y = 0
    • BB) y = 2
    • CC) y = −3
    • DD) x = −2
    • EE) y = −2
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) y = −2

    3^x grafiği y = 0 doğrusuna yaklaşır; 2 birim aşağı ötelenince bu doğru y = −2 olur. y = 0 cevabı ötelemenin bu doğruyu da taşıdığını gözden kaçırır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir fizik kitabında sürekli büyüme ve azalma süreçlerinde e tabanlı üstel fonksiyonların kullanıldığı yazıyor. e sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) Tam olarak 2,718'e eşit rasyonel bir sayıdır.
    • BB) 2 ile 3 arasında irrasyonel bir sayıdır.
    • CC) 3 ile 4 arasında irrasyonel bir sayıdır.
    • DD) π sayısına eşit bir sayıdır.
    • EE) 1 ile 2 arasında rasyonel bir sayıdır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 2 ile 3 arasında irrasyonel bir sayıdır.

    e yaklaşık 2,718 değerinde irrasyonel bir sayıdır; bu yüzden 2 ile 3 arasındadır. 2,718 yalnızca yaklaşık değeridir, e'yi rasyonel yapmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir biyoloji kulübü beş kültürde eşit zaman aralıklarıyla ölçüm yapıyor. Ölçüm dizilerinden yalnız biri sabit oranlı değişim gösterdiği için f(x) = k · a^x biçiminde bir üstel fonksiyonla modellenebiliyor. Bu ölçüm dizisi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 2, 6, 10, 14
    • BB) 1, 4, 9, 16
    • CC) 2, 6, 18, 54
    • DD) 3, 6, 9, 12
    • EE) 2, 4, 8, 14
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 2, 6, 18, 54

    Üstel modelde ardışık ölçümlerin oranı sabittir. 2, 6, 18, 54 dizisinde 6/2 = 18/6 = 54/18 = 3'tür. 2, 6, 10, 14 ve 3, 6, 9, 12 dizilerinde fark sabittir; bunlar doğrusal değişimdir. 1, 4, 9, 16 kare sayılardır. 2, 4, 8, 14 dizisinde oranlar 2, 2 ve 7/4 olduğundan sabit değildir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Bir öğrenci grafik programında beş üstel fonksiyon çizdiriyor ve grafiği x eksenini kesen fonksiyonu arıyor. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği x eksenini keser?

    • AA) f(x) = 5^x + 2
    • BB) f(x) = (1/3)^x + 1
    • CC) f(x) = −4^x − 1
    • DD) f(x) = 5^x − 2
    • EE) f(x) = 2 · 3^x
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) f(x) = 5^x − 2

    a^x her zaman pozitiftir. f(x) = 5^x − 2 için 5^x = 2 eşitliğini sağlayan bir x vardır, çünkü 2 pozitif bir sayıdır ve 5^x bütün pozitif değerleri alır. 5^x + 2 ve (1/3)^x + 1 her zaman pozitiftir. −4^x − 1 her zaman negatiftir. 2 · 3^x de hiç sıfır olmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir laboratuvarda iki kültürde başlangıçta eşit miktarda (1 birim) madde var. Birinci kültürde madde her saat 4 katına çıkıyor: f(x) = 4^x. İkinci kültürde madde her saat dörtte birine iniyor: g(x) = (1/4)^x. Araştırmacı iki modeli geçmiş saatler (x < 0) dahil aynı düzlemde çiziyor. f ve g fonksiyonlarının grafikleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) x eksenine göre birbirinin simetriğidir.
    • BB) y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
    • CC) y eksenine göre birbirinin simetriğidir.
    • DD) Orijine göre birbirinin simetriğidir.
    • EE) y = −x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) y eksenine göre birbirinin simetriğidir.

    (1/4)^x = 4^(−x) olduğundan g(x) = f(−x)'tir; bu, grafiğin y eksenine göre yansıtılmasıdır. y = x seçeneği, ters fonksiyon simetrisiyle karıştırmaktan doğar; 4^x'in tersi (1/4)^x değil log₄ x'tir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir bilim kulübündeki üç grup, büyüme deneyinde buldukları çarpanları farklı biçimlerde yazmış: a = (1/2)^(−3), b = 2^(5/2) ve c = 4^(1,6). Öğretmen, hangi grubun en hızlı büyümeyi gözlemlediğini görmek için sayıları sıralamalarını istiyor. Bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) a < b < c
    • BB) b < a < c
    • CC) c < a < b
    • DD) b < c < a
    • EE) a < c < b
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) b < a < c

    Hepsi 2 tabanına çevrilir: a = 2³, b = 2^(2,5), c = 2^(3,2)'dir. 2^x artan olduğundan üsler sıralanır: 2,5 < 3 < 3,2, yani b < a < c. c < a < b seçeneği, 4^(1,6)'daki üssün 1,6 olarak bırakılıp 4 tabanının 2 tabanına çevrilmemesinden doğar.

    Hata mı var? Düzeltme öner