11. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler (2)
Logaritmik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri
- logaritmik fonksiyon
- logaritma
- log x
- tanım kümesi
- taban değiştirme
- artan fonksiyon
- öteleme
Logaritmik fonksiyonun özellikleri ve kuralları nelerdir?
Logaritmik fonksiyon, f(x) = logₐ x biçiminde tanımlanan, tanım kümesi pozitif gerçek sayılar ve görüntü kümesi gerçek sayılar olan bire bir, örten fonksiyondur. Tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Fonksiyonun sıfırı x = 1'dir; maksimum ya da minimum noktası yoktur. Taban 1'den büyükse fonksiyon artandır ve (0, 1) aralığında negatif, (1, ∞) aralığında pozitif değer alır; taban 0 ile 1 arasındaysa azalandır ve işaretler tersine döner. Temel kurallara göre çarpımın logaritması logaritmaların toplamına, bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir; üslü ifadede logₐ(bⁿ) = n · logₐ b, taban değiştirmede logₐ b = log b / log a kullanılır. Örneğin log₂ 8 + log₂ 4 toplamı 5'tir ve aynı sonuç log₂ 32 = 5 olarak da bulunur. g(x) = log₂(x − 3) + 1 fonksiyonunun tanım kümesi (3, ∞), sıfırı x = 7/2'dir. logₐ(b + c) ifadesi logₐ b + logₐ c'ye eşit değildir; toplamaya dönüşen kural çarpımın logaritmasıdır.
Logaritmik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri: konu anlatımı ve özeti
Bu konu logaritmik fonksiyonların grafik özelliklerini, logaritmanın işlem kurallarını ve dönüşümlerle türetilen logaritmik fonksiyonları inceliyor.
- f(x) = logₐ x fonksiyonunda (a > 0, a ≠ 1) tanım kümesi R⁺, görüntü kümesi R'dir. Fonksiyon bire bir ve örtendir, sıfırı x = 1'dir. Maksimum ya da minimum noktası yoktur; tek de çift de değildir.
- a > 1 ise fonksiyon artandır; (0, 1) aralığında negatif, (1, ∞) aralığında pozitif değer alır. 0 < a < 1 ise fonksiyon azalandır ve işaretler tersine döner.
- Temel kurallar: logₐ a = 1, logₐ 1 = 0, logₐ(b · c) = logₐ b + logₐ c, logₐ(b/c) = logₐ b − logₐ c, logₐ(bⁿ) = n · logₐ b. Taban değiştirme: logₐ b = log b / log a. Ayrıca a^(logₐ b) = b'dir.
- Örnek: log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5; aynı sonuç log₂ 32 = 5 olarak da bulunur.
- Türetilen fonksiyonlar k · logₐ(mx + r) + s biçimindedir ve mx + r > 0 olmalıdır. Örnek: g(x) = log₂(x − 3) + 1 için tanım kümesi (3, ∞)'dur. Sıfırı log₂(x − 3) = −1 eşitliğinden x − 3 = 1/2, yani x = 7/2'dir.
- Fonksiyonun değerini k ile çarpmak grafiği dikey olarak gerer; x'i m ile çarpmak grafiği yatay olarak sıkıştırır.
Unutma: logₐ(b + c), logₐ b + logₐ c'ye eşit değildir. Toplamaya dönüşen kural çarpımın logaritmasıdır.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Logaritma kurallarını, bildiğin tek bir değerden yeni değerler üreterek pekiştirebilirsin. log 2 ≈ 0,301 olsun.
- Çarpım toplama döner: log 20 = log 2 + log 10 ≈ 0,301 + 1 = 1,301.
- Kuvvet katsayıya döner: log 8 = log 2³ = 3 · log 2 ≈ 0,903.
- Bölüm çıkarmaya döner: log 5 = log (10/2) = 1 − log 2 ≈ 0,699.
Grafik için: f(x) = log₂ x fonksiyonu (1, 0) noktasından geçer, 1'den küçük x değerlerinde negatif, büyüklerde pozitiftir; x ≤ 0 için tanımsızdır.
Günlük hayattan: Telefonundaki ses düzeyi göstergesi (desibel) logaritmiktir; göstergedeki küçük bir artış, ses şiddetinde çok büyük bir artışa karşılık gelebilir.
Sık yapılan hata: log(2 + 8) ifadesini log 2 + log 8 diye açmak. Doğrusu: Toplama dönüşen kural çarpımın logaritmasıdır: log 2 + log 8 = log 16, log 10 ise 1'dir.
Derinleş
Kimya dersinde pH değerinin logaritmayla tanımlandığını öğreniyorsun: pH 1 azaldığında hidrojen iyonu derişimi 10 kat artar. Limon suyu, sirke ve maden suyu gibi güvenli ev ürünlerini öğretmeninin gözetiminde turnusol ya da pH kâğıdıyla test et. Bulduğun değerleri karşılaştırarak pH 3 ile pH 5 arasındaki farkın kaç kat olduğunu hesapla ve doğrusal bir ölçek kullanılsaydı bu sonuçları göstermenin neden zor olacağını tartış.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.11.3.5f(x)=logₐx (a>0, a≠1, x>0 ) şeklinde tanımlı logaritmik referans fonksiyonun
- a) Logaritmik referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer logaritmik fonksiyonlara dönüştürür.
- b) Logaritmik referans fonksiyon ile elde ettiği logaritmik fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
- c) Logaritmik referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer logaritmik fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
- ç) Logaritmik fonksiyonun nitel özelliklerine ve işlem özelliklerine ilişkin varsayımlarına dair örüntüleri geneller.
- d) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
- e) Genellemelerinden elde ettiği önermeleri matematiksel olarak doğrulayabileceği şekilde sunar.
- f) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.
- g) Önermelerini grafiksel olarak doğrular veya cebirsel olarak ispatlar.
Bu konuda neler var?
- Logaritmik Referans Fonksiyonlardan Türetilen Fonksiyonlar
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir öğrenci, f(x) = log₇ x fonksiyonunu kullanarak bir ölçümün referans değerden büyük ya da küçük olduğunu işaretliyor: f(x) pozitifse büyük, negatifse küçük. İşaretin değiştiği yer, fonksiyonun sıfırıdır. f fonksiyonunun sıfırı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 0
- B) 7
- C) 1/7
- D) 1
- E) −1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1
log₇ x = 0 ise x = 7⁰ = 1'dir; x > 1 için f(x) > 0, 0 < x < 1 için f(x) < 0 olur. 0 seçeneği, sıfırın yerini fonksiyon değeriyle karıştırmaktan doğar; ayrıca log₇ 0 tanımsızdır.
Kolay
2Bir ses düzeninde iki yükseltici art arda bağlanıyor: birincisi sinyali 4 kat, ikincisi 9 kat büyütüyor. Kullanılan program her yükselticinin kazancını, büyütme oranının 6 tabanındaki logaritması olarak gösteriyor ve ardışık yükselticilerin kazançlarını topluyor. Program iki yükselticinin toplam kazancını kaç olarak gösterir?
- A) log₆ 13
- B) 13
- C) 2
- D) 36
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆(4 · 9) = log₆ 36 = 2'dir; toplam büyütme 36 kat olduğundan 6² = 36 ile uyumludur. log₆ 13 seçeneği, logaritmalar toplanırken içlerin çarpılması yerine toplanmasından doğar.
Kolay
3Bir bilgisayar oyununda oyuncunun rekor puanı x ise ekranda log₃ x "yıldız" gösteriliyor; böylece çok büyük puanlar küçük sayılarla ifade ediliyor. Can bir oyunda 9⁵ puan topluyor. Can'ın ekranında kaç yıldız görünür?
- A) 15
- B) 10
- C) 25
- D) 7
- E) 45
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10
9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰ olduğundan log₃(9⁵) = 10'dur; bu, log₃(9⁵) = 5 · log₃ 9 = 5 · 2 özelliğiyle de bulunur. 15 seçeneği, 9'un 3 tabanındaki üssünün 3 sanılmasından doğar.
Kolay
4Dört öğrenci, logaritma kurallarını ders notlarına özet kartlar biçiminde yazıyor; a > 0, a ≠ 1 ve b, c > 0'dır. Öğretmen, kartlardaki eşitliklerin bazılarının yalnızca özel sayılarda sağlandığını söylüyor ve her zaman doğru olanı seçmelerini istiyor. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi her zaman doğrudur?
- A) logₐ(b + c) = logₐ b + logₐ c
- B) logₐ(b · c) = logₐ b + logₐ c
- C) logₐ(b/c) = logₐ b / logₐ c
- D) logₐ(bⁿ) = (logₐ b)ⁿ
- E) logₐ(b − c) = logₐ b − logₐ c
Cevabı göster
Doğru cevap: B) logₐ(b · c) = logₐ b + logₐ c
Logaritma çarpımı toplama dönüştürür: a^m · a^n = a^(m + n) olduğundan logₐ(b · c) = logₐ b + logₐ c'dir. logₐ(b + c) seçeneği en sık yapılan hatadır; logaritmanın toplama üzerinde dağılma özelliği yoktur.
Kolay
5Bir öğrenci √2 sayısının 2 tabanındaki logaritmasını hesaplıyor. log₂ √2 kaçtır?
- A) 2
- B) √2
- C) 1/4
- D) 1/2
- E) −1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1/2
√2 = 2^(1/2) olduğundan log₂ √2 = 1/2'dir. 2 cevabı karekökü kare ile karıştırmaktan gelir.
Kolay
6Bir mühendis iki ölçümün 10 tabanındaki logaritmalarını topluyor: log 4 + log 25. Bu toplamın değeri kaçtır?
- A) 1
- B) 29
- C) 10
- D) log 29
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2
Çarpımın logaritması kuralına göre log 4 + log 25 = log(4 · 25) = log 100 = 2 olur. log 29 cevabı logaritmaların toplamını sayıların toplamının logaritması sanmaktan gelir.
Kolay
7Bir kodlama ödevinde log₅ 125 + log₅(1/5) ifadesinin değeri isteniyor. Doğru sonuç kaçtır?
- A) 2
- B) 4
- C) 3
- D) 24
- E) 1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
log₅ 125 = 3 ve log₅(1/5) = −1 olduğundan toplam 2 olur. 4 cevabı log₅(1/5) değerini +1 almaktan gelir.
Kolay
8a = log₂ 3, b = log₂ 5 ve c = log₂ 1 sayıları veriliyor. Bu sayıların doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) a < b < c
- B) b < a < c
- C) c < a < b
- D) c < b < a
- E) a < c < b
Cevabı göster
Doğru cevap: C) c < a < b
Taban 1'den büyük olduğu için log₂ x artandır; 1 < 3 < 5 olduğundan c < a < b'dir. c = log₂ 1 = 0 olduğundan en küçüktür.
Kolay
9Bir öğrenci f(x) = log x fonksiyonunun özelliklerini listeliyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Çift fonksiyondur.
- B) Bire bir ve örten bir fonksiyondur.
- C) En küçük değeri 0'dır.
- D) Grafiği (0, 1) noktasından geçer.
- E) Tanım kümesi R'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bire bir ve örten bir fonksiyondur.
Logaritmik fonksiyon (0, ∞)'dan R'ye bire bir ve örtendir. En küçük değeri yoktur, çünkü x 0'a yaklaştıkça değerler sınırsız küçülür; grafiği (1, 0) noktasından geçer.
Kolay
10Bir sinyal yükselticisinde çıkış g(x) = 3 · log₂ x ile hesaplanıyor. Girdi 8 olduğunda çıkış kaçtır?
- A) 3
- B) 9
- C) 24
- D) 6
- E) 11
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9
log₂ 8 = 3 olduğundan g(8) = 3 · 3 = 9 olur. 24 cevabı logaritmayı almadan 3 ile 8'i çarpmaktan gelir.
Kolay
11Bir öğrenci aşağıdaki logaritma değerlerinin işaretlerini inceliyor. Hangisi negatiftir?
- A) log₂ 3
- B) log 20
- C) log₂ 0,5
- D) ln 5
- E) log_(1/2) 0,25
Cevabı göster
Doğru cevap: C) log₂ 0,5
Taban 1'den büyükken 0 ile 1 arasındaki sayıların logaritması negatiftir; log₂ 0,5 = −1'dir. log_(1/2) 0,25 = 2 pozitiftir, çünkü taban da sayı da 1'den küçüktür.
Kolay
12Bir öğrenci log 2 ≈ 0,301 değerini kullanarak hesap makinesi olmadan log 8 değerini bulmak istiyor. log 8 yaklaşık kaçtır?
- A) 2,408
- B) 0,602
- C) 0,0903
- D) 0,304
- E) 0,903
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 0,903
8 = 2³ olduğundan log 8 = 3 · log 2 ≈ 3 · 0,301 = 0,903 olur. 2,408 cevabı 0,301'i 8 ile çarpmaktan gelir; üs kuralında çarpan sayının kendisi değil üstür.
Kolay
13Bir öğrenci y = log₃ x grafiğinden y = log₃ x + 2 grafiğini elde etmek istiyor. Uygulaması gereken dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x ekseni boyunca 2 birim sağa öteleme
- B) x ekseni boyunca 2 birim sola öteleme
- C) y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleme
- D) 2 kat dikey germe
- E) y ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleme
Cevabı göster
Doğru cevap: E) y ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleme
Fonksiyon değerine 2 eklemek grafiği 2 birim yukarı öteler. Sağa öteleme log₃(x − 2) ile olur; o durumda tanım kümesi de değişir.
Kolay
14Bir hesap kartında log₅ 5 + log₇ 1 ifadesi yazıyor. Bu ifadenin değeri kaçtır?
- A) 0
- B) 2
- C) 5
- D) 1
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1
logₐ a = 1 ve logₐ 1 = 0 olduğundan toplam 1 + 0 = 1'dir. 2 cevabı log₇ 1 değerini de 1 sanmaktan gelir.
Kolay
15Bir öğrenci log₄ 8 değerini bulmak için taban değiştirme kuralını kullanıp ifadeyi log₂ 8 / log₂ 4 biçiminde yazıyor. log₄ 8 kaçtır?
- A) 3/2
- B) 2
- C) 1/2
- D) 4/3
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3/2
log₂ 8 = 3 ve log₂ 4 = 2 olduğundan log₄ 8 = 3/2 olur. 2 cevabı 8/4 bölümünü almaktan gelir; taban değiştirmede sayılar değil logaritmalar bölünür.
Kolay
16Bir yazılım f(x) = log₅(x − 2) fonksiyonunu yalnızca tanımlı olduğu x değerleri için hesaplıyor. f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [2, ∞)
- B) (−2, ∞)
- C) (2, ∞)
- D) (0, ∞)
- E) R
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (2, ∞)
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x − 2 > 0, yani x > 2. [2, ∞) cevabı x = 2'de içinin 0 olduğunu ve log₅ 0'ın tanımsız olduğunu gözden kaçırır.
Kolay
17Bir öğrenci f(x) = log_(1/3) x fonksiyonunu kullanıyor ve pozitif a, b sayıları için f(a) < f(b) olduğunu görüyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) a > b
- B) a < b
- C) a = b
- D) a · b = 1
- E) a + b = 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) a > b
Taban 0 ile 1 arasında olduğundan f azalandır: büyük x değeri küçük fonksiyon değeri verir. f(a) < f(b) ise a > b'dir. Örneğin a = 9, b = 3 için f(9) = −2 < f(3) = −1'dir. a < b yanıtı, fonksiyonu artan saymaktan gelir. a · b = 1 ve a + b = 1 eşitlikleri, verilen örnekte sağlanmadığından kesin değildir.
Kolay
18Bir laboratuvarda iki kültürdeki bakteri sayıları a ve b ile gösteriliyor. Program, sayıların 3 tabanındaki logaritmalarını yazıyor ve log₃ a − log₃ b = 2 sonucunu veriyor. Buna göre a sayısı, b sayısının kaç katıdır?
- A) 3
- B) 6
- C) 8
- D) 9
- E) 27
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 9
logₐ(b/c) = logₐ b − logₐ c kuralıyla log₃(a/b) = 2 olur. Logaritma tanımından a/b = 3² = 9 bulunur. 6 yanıtı, 3 · 2 çarpımını yapmaktan; 8 yanıtı ise tabanı ve üssü yer değiştirip 2³ almaktan gelir.
Orta
19Bir kodlama dersinde öğrenciler, 5^(log₅ 7) ve log₂ 8 ifadelerini hesaplayıp sonuçları toplayan bir program yazıyor. Programı çalıştırmadan önce sonucu kâğıt üzerinde bulup programın çıktısıyla karşılaştıracaklar. Programın vermesi gereken sonuç kaçtır?
- A) 8
- B) 12
- C) 35
- D) 10
- E) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 10
Üstel ve logaritma fonksiyonları birbirinin tersi olduğundan 5^(log₅ 7) = 7'dir; log₂ 8 = 3'tür ve toplam 10 olur. 35 seçeneği, 5^(log₅ 7) ifadesinin 5 · 7 olarak hesaplanmasından doğar.
Orta
20Bir depodaki suyun miktarı x saat sonra 12 − 3x litre oluyor ve bir izleme programı bu miktarın 4 tabanındaki logaritmasını f(x) = log₄(12 − 3x) olarak kaydediyor. Program, depoda su kalmadığında ya da miktar negatif çıktığında hesap yapamıyor. f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (4, ∞)
- B) (−∞, 4)
- C) (−∞, 12)
- D) (−4, ∞)
- E) (−∞, 4]
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (−∞, 4)
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: 12 − 3x > 0 ise x < 4'tür. (−∞, 4] seçeneği x = 4'ü içerir; o anda depoda su kalmaz ve log₄ 0 tanımsızdır.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.