11. Sınıf Matematik · Nicelikler ve Değişimler (2)

Üstel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları

ters fonksiyon
üstel fonksiyon
logaritma
log x
ln x
logaritmik referans fonksiyon
simetri

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu nedir?

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu logaritmik fonksiyondur: y = a^x ise x = logₐ y olur (a > 0, a ≠ 1, y > 0). Üstel fonksiyon f(x) = a^x, gerçek sayılardan pozitif gerçek sayılara bire bir ve örten olduğu için tersi vardır; ters fonksiyon x ile y yer değiştirilerek bulunur. Örneğin 2^5 = 32 olduğundan log₂ 32 = 5'tir. Logaritmik referans fonksiyon f(x) = logₐ x'in tanım kümesi (0, ∞), görüntü kümesi R'dir. y = a^x ile y = logₐ x grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir; bu yüzden üstel grafikteki (0, 1) noktası logaritmik grafikte (1, 0) olur. 10 tabanındaki logaritma log x, e tabanındaki logaritma ln x ile gösterilir; pH ve ses düzeyi (desibel) gibi ölçekler bu ters ilişkiye dayanır. g(x) = 3^x + 1 fonksiyonunun tersi log₃(x − 1) olup tanım kümesi (1, ∞)'dur. Ters fonksiyonun tanım kümesi, asıl fonksiyonun görüntü kümesidir.

Üstel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, üstel fonksiyonun tersinin logaritmik fonksiyon olduğunu gösteriyor. "Ne kadar sürede iki katına çıkar?" gibi soruların cevabı logaritmayla bulunur.

Üstel fonksiyon f: R → R⁺, f(x) = a^x bire bir ve örtendir, bu yüzden ters fonksiyonu vardır. Tersini bulmak için x ile y yer değiştirilir.
Tanım: y = a^x ⇔ x = logₐ y (a > 0, a ≠ 1, y > 0). Örnek: 2^5 = 32 olduğundan log₂ 32 = 5'tir.
Logaritmik referans fonksiyon f(x) = logₐ x'tir. Tanım kümesi (0, ∞), görüntü kümesi R'dir.
y = a^x ile y = logₐ x grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. Üstel grafikteki (0, 1) noktası, logaritmik grafikte (1, 0) olur.
y = 2ˣ ve y = log₂ x grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir; (0, 1) noktası (1, 0) olur
Özel adlar: 10 tabanındaki logaritma log x (onluk logaritma), e tabanındaki logaritma ln x (doğal logaritma) olarak yazılır.
Türetilmiş fonksiyonun tersi: g(x) = 3^x + 1 ise y − 1 = 3^x olur, buradan g⁻¹(x) = log₃(x − 1) bulunur. Bu ters fonksiyonun tanım kümesi (1, ∞)'dur.
pH ve ses düzeyi (desibel) gibi ölçekler bu ters ilişkiye dayanır.

Unutma: Ters fonksiyonun tanım kümesi, asıl fonksiyonun görüntü kümesidir. Logaritmanın içi her zaman pozitif olmalıdır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Logaritmayı bir "soru" olarak oku: logₐ b, "a'yı kaçıncı kuvvetine yükseltirsem b elde ederim?" sorusunun cevabıdır.

Üslü eşitliği yaz: 3⁴ = 81.
Tabanı (3), sonucu (81) ve üssü (4) belirle.
Logaritma olarak yaz: log₃ 81 = 4. Benzer şekilde 10³ = 1000 olduğundan log 1000 = 3'tür.

Ters fonksiyon örneği: g(x) = 2^x − 5 için y = 2^x − 5 yaz; y + 5 = 2^x olur, buradan x = log₂(y + 5) bulunur. Değişkenleri yer değiştirince g⁻¹(x) = log₂(x + 5) çıkar. g'nin görüntü kümesi (−5, ∞) olduğundan ters fonksiyonun tanım kümesi de (−5, ∞)'dur.

Sık yapılan hata: log₂ 8 değerini 8/2 = 4 olarak hesaplamak. Doğrusu: Logaritma bölme değil üs sorar; 2³ = 8 olduğundan log₂ 8 = 3'tür.

Derinleş

Deprem büyüklüğünü anlatan ölçekler logaritmiktir: Büyüklük 1 arttığında sismografın kaydettiği dalga genliği yaklaşık 10 kat, açığa çıkan enerji ise yaklaşık 32 kat artar. Büyüklüğü 6 ve 7 olan iki depremi bu bilgiyle karşılaştır. Haberlerde "yalnızca bir büyüklük fazla" ifadesi neden yanıltıcı olabilir? Coğrafya dersindeki bilgilerinle, depreme hazırlık planlarında bu farkın neden önemli olduğunu tartış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.11.3.4Üstel fonksiyonların ters fonksiyonlarını inceleyerek logaritmik fonksiyona
- a) Üstel fonksiyonların ters fonksiyonları ile ilgili varsayımlarda bulunur.
- b) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek üstel fonksiyonların ters fonksiyonları ile ilgili örüntüleri geneller.
- c) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
- ç) Logaritmik fonksiyonu üstel fonksiyonun ters fonksiyonu olarak ifade eden önermeler sunar.
- d) Logaritmik fonksiyonu gerçek yaşam bağlamında kullanışlılık açısından değerlendirir.

Bu konuda neler var?

Logaritmik Referans Fonksiyon

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir fizik deneyinde soğuyan suyun sıcaklık verileri incelenirken hesap makinesinde "ln" tuşu kullanılıyor. Öğretmen bu tuşun, doğal büyüme ve azalma modellerinde sıkça geçen özel bir sayıyı taban alan logaritmayı hesapladığını hatırlatıyor. ln x gösteriminde logaritmanın tabanı nedir?
- A) 10
- B) e
- C) 2
- D) 1
- E) π
Cevabı göster
Doğru cevap: B) e
ln x doğal logaritmadır ve tabanı Euler sayısı e ≈ 2,718'dir: ln x = logₑ x. 10 seçeneği, "log" tuşunun 10 tabanında hesap yapmasıyla karıştırılmasından doğar.
Kolay
2Bir deprem ölçüm programı, girilen bir değerin logaritmasını f(x) = logₐ x (a > 0, a ≠ 1) biçiminde hesaplıyor. Kullanıcı 0 ya da negatif bir değer girdiğinde program hata veriyor, çünkü hiçbir üstel ifade bu değerlere eşit olamıyor. f fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, ∞)
- B) R
- C) [0, ∞)
- D) (1, ∞)
- E) [1, ∞)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (0, ∞)
logₐ x = y ise a^y = x'tir ve a^y her zaman pozitiftir; bu yüzden logaritma yalnızca pozitif sayılar için tanımlıdır. [0, ∞) seçeneği 0'ı içerir; oysa a^y hiçbir y için 0 olmaz.
Kolay
3Bir zincir mesajda mesajı alan her kişi onu 3 yeni kişiye gönderiyor; 4. turda mesajı alan yeni kişi sayısı 3⁴ = 81 oluyor. Öğretmen, kişi sayısından tur sayısını veren eşitliği logaritma ile yazmalarını istiyor. Bu eşitliğin logaritma ile yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) log₃ 81 = 4
- B) log₄ 81 = 3
- C) log₈₁ 3 = 4
- D) log₃ 4 = 81
- E) log₈₁ 4 = 3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) log₃ 81 = 4
aᵇ = c ise logₐ c = b'dir: 3⁴ = 81 eşitliği log₃ 81 = 4 olarak yazılır; logaritma, tabanın hangi kuvvetinin 81 ettiğini, yani tur sayısını verir. log₄ 81 = 3 seçeneği, taban ile üssün yer değiştirmesinden doğar.
Kolay
4Bir öğrenci y = 2^x fonksiyonunun değer tablosunu hazırlayıp (1, 2), (2, 4), (3, 8) noktalarını işaretliyor. Ardından her noktanın koordinatlarının yerini değiştirerek (2, 1), (4, 2), (8, 3) noktalarını işaretliyor ve bunların y = log₂ x grafiği üzerinde olduğunu görüyor. y = 2^x ve y = log₂ x grafikleri neye göre birbirinin simetriğidir?
- A) x ekseni
- B) y = x doğrusu
- C) y ekseni
- D) y = −x doğrusu
- E) Orijin
Cevabı göster
Doğru cevap: B) y = x doğrusu
(a, b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği (b, a)'dır; ters fonksiyonların grafikleri bu yüzden y = x'e göre simetriktir. y ekseni seçeneği, 2^x ile 2^(−x) arasındaki simetriyle karıştırmaktan doğar.
Kolay
5Bir fizik deneyinde doğal logaritma kullanılıyor ve öğrenciler ln(e³) değerini hesaplıyor. Bu değer kaçtır?
- A) e³
- B) 1
- C) 3e
- D) 0
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 3
ln, e tabanındaki logaritmadır; e³'ün e tabanındaki logaritması 3'tür. e³ cevabı logaritmanın üssü geri verdiğini, sayıyı değil, unutmaktan gelir.
Kolay
6Bir satranç turnuvasında her turda oyuncuların yarısı eleniyor ve sonunda tek bir şampiyon kalıyor. Turnuvaya 64 oyuncu katıldığına göre şampiyonun belirlenmesi için kaç tur oynanır? (Tur sayısı log₂ 64 ile bulunur.)
- A) 32
- B) 8
- C) 6
- D) 5
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6
2⁶ = 64 olduğundan log₂ 64 = 6 tur oynanır. 32 cevabı yalnız ilk turda elenen oyuncu sayısıdır; 8 ise 64'ün karekökünü almaktan gelir.
Kolay
7Bir ilaç dozunun her saat üçte birine indiği bir modelde log₃(1/9) değeri hesaplanıyor. Bu değer kaçtır?
- A) −2
- B) 2
- C) −3
- D) 1/2
- E) −1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) −2
3⁻² = 1/9 olduğundan log₃(1/9) = −2'dir. 2 cevabı paydanın negatif üs anlamına geldiğini gözden kaçırmaktan gelir.
Kolay
8Öğretmen, f: R → (0, ∞), f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) fonksiyonunun neden ters fonksiyonu olduğunu soruyor. Doğru gerekçe aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Çift fonksiyon olduğu için
- B) Grafiği orijinden geçtiği için
- C) Periyodik bir fonksiyon olduğu için
- D) Bire bir ve örten olduğu için
- E) Bazı x değerlerinde negatif olduğu için
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Bire bir ve örten olduğu için
Bir fonksiyonun tersinin olması için bire bir ve örten olması gerekir; a^x bu koşulları R'den (0, ∞)'a sağlar. Grafiği orijinden değil (0, 1) noktasından geçer.
Kolay
9Bir bilgisayarın bellek kapasitesi f(x) = 2^x birim modeliyle hesaplanıyor; x adres biti sayısıdır. 8 birimlik bellek için kaç adres biti gerekir, yani f⁻¹(8) kaçtır?
- A) 3
- B) 256
- C) 4
- D) 16
- E) 1/8
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3
f⁻¹(8) değeri 2^x = 8 eşitliğini sağlayan x'tir; 2³ = 8 olduğundan cevap 3'tür. 256 cevabı f(8) = 2⁸ değerini, yani tersini değil fonksiyonu hesaplamaktan gelir.
Kolay
10Bir hesap makinesinde "log" tuşu 10 tabanındaki logaritmayı hesaplıyor. Ece bu tuşla log 100 değerini hesaplıyor. Ekranda hangi sayı görünür?
- A) 2
- B) 10
- C) 50
- D) 1
- E) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
10² = 100 olduğundan log 100 = 2'dir. 50 cevabı logaritmayı 100'ün yarısı, 10 ise karekökü sanmaktan gelir.
Kolay
11Bir oyunun puan tablosunda seviye, puanın 4 tabanındaki logaritmasıyla gösteriliyor. Puanı 1 olan yeni bir oyuncunun seviyesi, yani log₄ 1 kaçtır?
- A) 1
- B) 4
- C) 1/4
- D) −1
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 0
4⁰ = 1 olduğundan log₄ 1 = 0'dır. 1 cevabı logₐ a = 1 kuralıyla karıştırılmasından gelir.
Kolay
12Bir öğrenci y = 5^x ve y = log₅ x grafiklerini aynı kâğıda çiziyor ve kâğıdı bir doğru boyunca katladığında iki grafiğin üst üste geldiğini görüyor. Bu doğru aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x ekseni
- B) y = x
- C) y ekseni
- D) y = −x
- E) x = 1
Cevabı göster
Doğru cevap: B) y = x
Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir, çünkü tersi bulunurken x ile y yer değiştirir. y eksenine göre simetri, 5^x ile (1/5)^x arasında görülür.
Kolay
13Bir öğrenci azalan bir logaritmik fonksiyon arıyor. Aşağıdakilerden hangisi azalandır?
- A) f(x) = log₂ x
- B) f(x) = ln x
- C) f(x) = log_(1/3) x
- D) f(x) = log x
- E) f(x) = log₅ x
Cevabı göster
Doğru cevap: C) f(x) = log_(1/3) x
Taban 0 ile 1 arasında olduğunda üstel fonksiyon azalandır, tersi olan logaritmik fonksiyon da azalandır. ln x'in tabanı e ≈ 2,718 olduğundan artandır.
Kolay
14Bir öğrenci f(x) = log₃ x fonksiyonunun grafiğini çiziyor ve fonksiyonun alabileceği bütün değerleri belirlemek istiyor. f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, ∞)
- B) R
- C) [0, ∞)
- D) (1, ∞)
- E) [−1, 1]
Cevabı göster
Doğru cevap: B) R
Logaritmik fonksiyon, görüntü kümesi (0, ∞) olan üstel fonksiyonun tersidir; görüntü kümesi de üstel fonksiyonun tanım kümesi olan R'dir. (0, ∞) tanım kümesidir, görüntü kümesi değil.
Kolay
15Bir bilgisayar programı f(x) = 6^x fonksiyonunun ters fonksiyonunu hesaplayan bir komut içeriyor. Bu komutun hesapladığı f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 6^(−x)
- B) x⁶
- C) logₓ 6
- D) log₆ x
- E) x/6
Cevabı göster
Doğru cevap: D) log₆ x
y = 6^x ⇔ x = log₆ y olduğundan ters fonksiyon log₆ x'tir. 6^(−x) ters fonksiyon değil, y eksenine göre yansıyan fonksiyondur.
Kolay
16Bir sınıftaki öğrencilerin her biri farklı bir a tabanı (a > 0, a ≠ 1) seçerek y = logₐ x grafiğini çiziyor. Bütün grafiklerin geçtiği ortak nokta aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, 1)
- B) (0, 0)
- C) (1, 1)
- D) (−1, 0)
- E) (1, 0)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (1, 0)
Her tabanda a⁰ = 1 olduğundan logₐ 1 = 0'dır; grafikler (1, 0) noktasından geçer. (0, 1) noktası üstel grafiklerin ortak noktasıdır; logaritmada koordinatlar yer değiştirir.
Kolay
17Bir soğuma deneyinde öğrenciler bir hesap sonunda e^t = 5 eşitliğine ulaşıyor ve t'yi logaritma kullanarak yazmak istiyor. t aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- A) log 5
- B) 5/e
- C) e⁵
- D) log₅ e
- E) ln 5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) ln 5
y = a^x ⇔ x = logₐ y tanımına göre e^t = 5 ise t = logₑ 5 = ln 5'tir. log 5, 10 tabanındaki logaritmadır. log₅ e ise taban ile sayının yer değiştirmiş biçimidir: 5^t = e eşitliğinin çözümüdür.
Kolay
18Bir oyunda x. seviyedeki puan g(x) = 2^x + 3 ile hesaplanıyor; g fonksiyonunun grafiği (1, 5) noktasından geçiyor. Puanı bilinen oyuncunun seviyesini bulmak için g⁻¹ kullanılıyor. g⁻¹ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden geçer?
- A) (1, 5)
- B) (−1, −5)
- C) (1, −5)
- D) (5, 1)
- E) (5, −1)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (5, 1)
g(1) = 5 olduğundan g⁻¹(5) = 1'dir. Fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir; (a, b) noktası (b, a) noktasına gider. Bu yüzden g⁻¹ grafiği (5, 1) noktasından geçer. (−1, −5) orijine göre simetrik noktadır, ters fonksiyonla ilgisi yoktur.
Orta
19Bir mobil uygulamada x. seviyeye ulaşan kullanıcının puanı g(x) = 2^x − 3 ile hesaplanıyor. Yazılımcı, puanı bilinen bir kullanıcının seviyesini bulan ters fonksiyonu yazmak istiyor. g fonksiyonunun ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) g⁻¹(x) = log₂(x + 3)
- B) g⁻¹(x) = log₂(x − 3)
- C) g⁻¹(x) = log₂ x + 3
- D) g⁻¹(x) = log₂ x − 3
- E) g⁻¹(x) = log₃(x + 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) g⁻¹(x) = log₂(x + 3)
y = 2^x − 3 ise 2^x = y + 3 ve x = log₂(y + 3)'tür; değişkenler yer değiştirince g⁻¹(x) = log₂(x + 3) olur. log₂(x − 3) seçeneği, −3'ün karşı tarafa işareti değiştirilmeden geçirilmesinden doğar.
Orta
20Bir fidanın boyu, dikimden x hafta sonra f(x) = 3^x + 2 cm modeliyle tahmin ediliyor; model bütün gerçek x değerleri için tanımlı kabul ediliyor. Bahçıvan, ölçtüğü boydan geçen süreyi bulmak için f⁻¹ fonksiyonunu kullanacak. f⁻¹ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, ∞)
- B) (−∞, 2)
- C) R
- D) [2, ∞)
- E) (2, ∞)
Cevabı göster
Doğru cevap: E) (2, ∞)
Ters fonksiyonun tanım kümesi f'nin görüntü kümesidir. 3^x > 0 olduğundan f(x) = 3^x + 2 > 2 ve görüntü kümesi (2, ∞)'dur. (0, ∞) seçeneği, +2 ötelemesinin gözden kaçırılıp 3^x'in görüntü kümesinin alınmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.