12. Sınıf Matematik · İntegral

Belirli İntegral ve Uygulamaları

belirli integral
riemann toplamı
alt toplam
üst toplam
bölüntü
ters türev

Belirli integral nedir ve Riemann toplamıyla ilişkisi nedir?

Belirli integral, [a, b] aralığında bir eğri ile x ekseni arasındaki alana yaklaşan Riemann toplamlarının limitidir ve ∫ₐᵇ f(x) dx biçiminde gösterilir. Aralık alt aralıklara bölünür; eşit bölmede her parçanın genişliği Δx = (b − a)/n olur. Her alt aralıkta en küçük f değeri yükseklik seçilirse Riemann alt toplamı, en büyük f değeri seçilirse üst toplamı elde edilir. Örneğin f(x) = x için [0, 2] aralığı iki eşit parçaya bölünürse alt toplam 1, üst toplam 3 olur; gerçek alan 2 bu değerlerin arasındadır. F, f'nin bir ters türevi ise ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) olur; örneğin ∫₀² 3x² dx = 8'dir. Sınırlar eşitse belirli integral 0 olur, sınırlar yer değiştirirse işaret değişir; a < c < b ise ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ yazılabilir ve sabit çarpan integralin dışına alınabilir. Belirli integralin sonucu bir sayıdır, bu yüzden + c yazılmaz.

Belirli İntegral ve Uygulamaları: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, bir eğri ile x ekseni arasındaki alanı Riemann toplamlarıyla yaklaşık hesaplamayı, belirli integralin belirsiz integralle ilişkisini ve belirli integralin özelliklerini anlatıyor.

[a, b] aralığı alt aralıklara bölünür (bölüntü). Eşit bölmede her parçanın genişliği Δx = (b − a)/n olur.
Her alt aralıkta bir dikdörtgen kurulur. Yükseklik olarak en küçük f değeri seçilirse Riemann alt toplamı, en büyük f değeri seçilirse Riemann üst toplamı elde edilir.
Alt aralık sayısı arttıkça bu toplamlar eğrinin altındaki gerçek alana yaklaşır. Toplamların limiti belirli integraldir: ∫ₐᵇ f(x) dx.
F, f'nin bir ters türevi ise ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) olur. Örnek: ∫₀² 3x² dx = 2³ − 0³ = 8.
Örnek: f(x) = x için [0, 2] aralığı iki eşit parçaya bölünürse alt toplam 1 · 0 + 1 · 1 = 1, üst toplam 1 · 1 + 1 · 2 = 3 olur. Gerçek alan 2 bu iki değerin arasındadır.
f(x) = x için [0, 2] iki eşit parçaya bölünür: alt toplam 1 · 0 + 1 · 1 = 1, üst toplam 1 · 1 + 1 · 2 = 3, gerçek alan 2
Özellikler: ∫ₐᵃ f(x) dx = 0'dır. Sınırlar yer değiştirirse integral işaret değiştirir. a < c < b ise ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ yazılabilir. Ayrıca ∫ (f ± g) = ∫ f ± ∫ g ve ∫ k · f = k ∫ f'dir.

Unutma: Belirli integralin sonucu bir sayıdır, + c yazılmaz. Önce ters türevi bul, sonra üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değeri çıkar.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Belirli integrali bir toplam birikim olarak düşün.

Bir musluktan akan suyun debisi f(t) = 2t litre/dakika olsun. 1. ve 3. dakikalar arasında biriken su ∫₁³ 2t dt'dir.
Ters türev F(t) = t² olur.
Üst sınırdaki değerden alt sınırdakini çıkar: F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8 litre.
Kontrol: Debi grafiği bir doğrudur; 1 ile 3 arasındaki yamuğun alanı (2 + 6) · 2 / 2 = 8.

Günlük hayattan: Elektrik faturasındaki tüketim, gün boyunca değişen anlık gücün zamana göre birikimidir; sayaç bu belirli integrali ölçer.

Sık yapılan hata: Belirli integrale + c eklemek ya da sınırları ters çıkarmak. F(b) − F(a) işleminde sabitler birbirini götürür; sıra değişirse sonucun işareti değişir.

Derinleş

Bir gün boyunca evinizin elektrik sayacını birkaç saatte bir oku ya da bir cihazın etiketindeki gücü (watt) ve kullanım süresini not et. Saatlik tüketimi bir grafikle göster ve günlük toplamı dikdörtgenlerle (Riemann toplamıyla) yaklaşık hesapla. Ölçüm aralığını daralttıkça tahmin nasıl değişir? Bulgularına göre ailenle tüketimi azaltacak bir öneri geliştir ve etkisini hesapla.

Bu konuda neler var?

Bir Fonksiyonun Grafiği ile x Ekseni Arasında Kalan Sınırlı Bölgenin Alanının Riemann Toplamı Yardımıyla Yaklaşık Olarak Hesaplanması
Bir Fonksiyonun Belirli İntegrali ile Belirsiz İntegralleri Arasındaki İlişki
Belirli İntegralin Özellikleri

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Bir şehirde x. saatteki trafik yoğunluğu f(x) ile, f'nin bir ters türevi ise F ile gösteriliyor. Ulaşım planlamacısı, a ile b saatleri arasındaki toplam etkiyi ∫ₐᵇ f(x) dx ile hesaplamak için F'yi kullanacak. ∫ₐᵇ f(x) dx aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- A) F(a) − F(b)
- B) F'(b) − F'(a)
- C) F(b) + F(a)
- D) F(b) − F(a)
- E) f(b) · (b − a)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) F(b) − F(a)
İntegral hesabının temel teoremine göre ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)'dır. f(b) · (b − a) seçeneği, fonksiyonu aralık boyunca sabitmiş gibi düşünüp yükseklik ile genişliği çarpmaktan doğar.
Kolay
2Bir barajın 1. ile 4. saatler arasında depoladığı su miktarı ∫₁⁴ f(x) dx = 10 milyon m³ olarak hesaplanmıştır. Bir mühendis aynı integrali sınırları yer değiştirmiş hâlde, yani ∫₄¹ f(x) dx olarak tabloya yazıyor. Tabloya yazılan ∫₄¹ f(x) dx değeri kaçtır?
- A) 10
- B) 1/10
- C) 0
- D) −1/10
- E) −10
Cevabı göster
Doğru cevap: E) −10
Belirli integralde sınırların yeri değiştirilirse işaret değişir: ∫₄¹ f(x) dx = −∫₁⁴ f(x) dx = −10. 10 seçeneği, sınırların sırasının sonucu etkilemediğini sanmaktan doğar.
Kolay
3Bir elektrikli scooter, kalkıştan sonraki t. saniyede v(t) = 2t m/sn hızla ilerliyor. Kullanıcı, ilk 3 saniyede alınan yolu bulmak için hız fonksiyonunun belirli integralini, yani ∫₀³ 2t dt değerini hesaplıyor. Bu belirli integralin değeri kaçtır?
- A) 6
- B) 9
- C) 3
- D) 18
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 9
∫₀³ 2t dt = [t²]₀³ = 9 − 0 = 9'dur; scooter ilk 3 saniyede 9 m yol alır. 6 seçeneği, t = 3 anındaki hızın (v(3) = 6) alınan yol sanılmasından; 18 ise ters türevde t²/2 yerine 2t² yazılmasından doğar.
Kolay
4Bir öğrenci, hesap makinesine ∫₅⁵ (x³ + 7) dx ifadesini giriyor ve sonucun çok büyük bir sayı çıkacağını tahmin ediyor. Arkadaşı, integralin alt ve üst sınırlarına bakarak hesap yapmadan sonucu söyleyebileceğini belirtiyor. Bu belirli integralin değeri kaçtır?
- A) 0
- B) 132
- C) 7
- D) 1
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 0
Alt ve üst sınırları eşit olan belirli integralin değeri 0'dır; F(5) − F(5) = 0. 132 seçeneği, integral yerine x = 5'teki fonksiyon değerinin (5³ + 7) hesaplanmasından doğar.
Kolay
5Bir fabrikanın sabah vardiyasındaki üretim hızı f(x) ile modelleniyor. İlk 2 saatte ∫₀² f(x) dx = 3, sonraki 4 saatte ∫₂⁶ f(x) dx = 5 yüz adet üretim yapılmıştır. Buna göre ∫₀⁶ f(x) dx kaçtır?
- A) 2
- B) −2
- C) 15
- D) 8
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 8
a < c < b iken ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f olduğundan 3 + 5 = 8 bulunur. 2 yanıtı, iki parçayı toplamak yerine çıkarmaktan gelir.
Kolay
6∫₁⁴ f(x) dx = 6 olduğuna göre ∫₁⁴ 3f(x) dx kaçtır?
- A) 9
- B) 6
- C) 18
- D) 2
- E) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 18
Sabit katsayı integral dışına çıkar: ∫₁⁴ 3f(x) dx = 3 · 6 = 18. 9 yanıtı, 3'ü çarpmak yerine eklemekten gelir.
Kolay
7f(x) = 2x fonksiyonu için [0, 2] aralığı iki eşit alt aralığa bölünüyor. Riemann üst toplamı kaçtır?
- A) 2
- B) 4
- C) 8
- D) 3
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 6
f artan olduğundan her alt aralıkta en büyük değer sağ uçtadır: 1 · f(1) + 1 · f(2) = 2 + 4 = 6. 2 yanıtı alt toplamdır, 4 ise gerçek integralin değeridir.
Kolay
8Bir öğrenci [0, 6] aralığı için P = {0, 1, 3, 6} bölüntüsünü kullanıyor. Bu bölüntünün alt aralıklarının genişlikleri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 1, 3 ve 6
- B) 1, 2 ve 3
- C) 2, 2 ve 2
- D) 1, 2 ve 6
- E) 0, 1 ve 3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1, 2 ve 3
Genişlikler ardışık noktaların farklarıdır: 1 − 0 = 1, 3 − 1 = 2, 6 − 3 = 3. 1, 3 ve 6 seçeneği bölüntü noktalarını genişlik sanmaktan, 2, 2 ve 2 ise bölüntüyü eşit aralıklı sanmaktan gelir.
Kolay
9f, [a, b] aralığında pozitif ve sürekli bir fonksiyondur. Bu aralık için Riemann alt toplamı A, Riemann üst toplamı Ü ve belirli integralin değeri I'dır. Bu üç değer arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Ü ≤ I ≤ A
- B) I ≤ A ≤ Ü
- C) A ≤ Ü ≤ I
- D) I ≤ Ü ≤ A
- E) A ≤ I ≤ Ü
Cevabı göster
Doğru cevap: E) A ≤ I ≤ Ü
Alt toplamda her dikdörtgenin yüksekliği en küçük değer, üst toplamda en büyük değer seçildiği için gerçek alan ikisinin arasında kalır. I ≤ A ≤ Ü seçeneği, alt toplamın alanı aştığını varsayar.
Kolay
10∫₋₁¹ x³ dx integralinin değeri kaçtır?
- A) 2
- B) 1/2
- C) 1/4
- D) 0
- E) −1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 0
Ters türev x⁴/4 olduğundan değer 1/4 − 1/4 = 0'dır. 1/2 yanıtı, alt sınırdaki değeri çıkarmak yerine eklemekten gelir.
Kolay
11∫₂⁴ (x − 1) dx integralinin değeri kaçtır?
- A) 2
- B) 6
- C) 3
- D) 8
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 4
Ters türev x²/2 − x'tir: (8 − 4) − (2 − 2) = 4 olur. 6 yanıtı, −1 teriminin integralini almayı unutmaktan gelir.
Kolay
12Bir pompa, t. saatte 3t² + 1 ton/saat hızla su basıyor. İlk 1 saatte basılan su miktarı ∫₀¹ (3t² + 1) dt ile hesaplanıyor. Bu miktar kaç tondur?
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) 3
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
Ters türev t³ + t olduğundan değer (1 + 1) − 0 = 2 tondur. 1 yanıtı, sabit 1'in integralini almayı unutmaktan gelir.
Kolay
13Bir havuza t. saatte t² m³/saat hızla su doluyor. İlk 3 saatte dolan su ∫₀³ t² dt ile hesaplanıyor. Bu miktar kaç m³'tür?
- A) 27
- B) 3
- C) 9
- D) 6
- E) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9
Ters türev t³/3 olduğundan değer 27/3 − 0 = 9 m³'tür. 27 yanıtı, 3'e bölmeyi unutmaktan; 6 ise türev 2t'nin 3'teki değerinden gelir.
Kolay
14∫₁³ 2x dx integralinin değeri kaçtır?
- A) 4
- B) 9
- C) 8
- D) 6
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 8
2x'in bir ters türevi x²'dir; ∫₁³ 2x dx = 3² − 1² = 8 olur. 9 yanıtı, alt sınırdaki değeri çıkarmayı unutmaktan gelir.
Kolay
15Bir musluktan 2 saat boyunca sabit olarak saatte 5 ton su akıyor. Akan toplam su ∫₀² 5 dx ile hesaplanıyor. Bu integralin değeri kaçtır?
- A) 5
- B) 2
- C) 7
- D) 10
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 10
∫₀² 5 dx = 5 · 2 − 5 · 0 = 10 olur; bu, yüksekliği 5, genişliği 2 olan dikdörtgenin alanıdır. 0 yanıtı, sabitin integralini türeviyle karıştırmaktan gelir.
Kolay
16Bir öğrenci [1, 7] aralığını Riemann toplamı için 3 eşit alt aralığa bölüyor. Her alt aralığın genişliği Δx kaçtır?
- A) 2
- B) 3
- C) 6
- D) 7/3
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
Eşit bölmede Δx = (b − a)/n = (7 − 1)/3 = 2 olur. 7/3 yanıtı, aralığın başlangıcını 0 sanmaktan gelir.
Kolay
17Bir öğrenci, f(x) = x² eğrisinin altındaki alanı [0, 2] aralığında tahmin etmek için aralığı iki eşit alt aralığa bölüyor. Her dikdörtgenin yüksekliği olarak alt aralığın orta noktasındaki f değerini alıyor. Bu Riemann toplamı kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 5/2
- D) 8/3
- E) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5/2
Alt aralıklar [0, 1] ve [1, 2], genişlikleri 1'dir. Orta noktalar 1/2 ve 3/2'dir. Toplam 1 · (1/2)² + 1 · (3/2)² = 1/4 + 9/4 = 5/2 olur. 1 alt toplam, 5 üst toplamdır. 8/3 ise integralin gerçek değeridir; orta nokta toplamı bu değere yakın bir tahmindir.
Kolay
18f, [2, 6] aralığında pozitif ve azalan bir fonksiyondur. Bir öğrenci bu aralığı alt aralıklara bölerek Riemann üst toplamını hesaplayacak. Üst toplamdaki her dikdörtgenin yüksekliği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Alt aralığın sağ ucundaki f değeridir.
- B) Alt aralığın sol ucundaki f değeridir.
- C) Alt aralığın orta noktasındaki f değeridir.
- D) Alt aralığın iki ucundaki f değerlerinin ortalamasıdır.
- E) Bütün alt aralıklar için f(2) değeridir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Alt aralığın sol ucundaki f değeridir.
Üst toplamda her alt aralıkta f'nin en büyük değeri yükseklik alınır. f azalan olduğundan her alt aralıktaki en büyük değer sol uçtadır. Sağ uçtaki değer alt aralığın en küçük değeridir ve alt toplamda kullanılır. f(2) bütün aralığın en büyük değeridir, ama her alt aralığın değil.
Orta
19Bir fabrikada üretim hattının hızı, x. saatte 3x² − 2x yüz adet/saat olarak modelleniyor. Vardiya şefi, 1. saat ile 2. saat arasında üretilen toplam miktarı ∫₁² (3x² − 2x) dx ile hesaplıyor. Bu belirli integralin değeri kaçtır?
- A) 4
- B) 7
- C) 3
- D) 5
- E) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
Ters türev x³ − x²'dir: (8 − 4) − (1 − 1) = 4. 7 seçeneği, −2x teriminin integralinin unutulup yalnızca [x³]₁² = 7 hesaplanmasından doğar.
Orta
20Bir su deposuna ilk 1 saatte akış hızı f(x) = 2x ton/saat olacak şekilde artarak, sonra x > 1 için sabit f(x) = 2 ton/saat hızla su veriliyor; x ≤ 1 için f(x) = 2x'tir. Görevli, ilk 3 saatte depoya giren toplam suyu ∫₀³ f(x) dx ile hesaplıyor. Bu integralin değeri kaçtır?
- A) 6
- B) 5
- C) 4
- D) 9
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
İntegral parçalara ayrılır: ∫₀¹ 2x dx + ∫₁³ 2 dx = 1 + 4 = 5 ton. 6 seçeneği, akış hızının baştan sona sabit 2 ton/saat alınmasından; 9 ise 2x kuralının bütün aralıkta kullanılmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.