12. Sınıf Matematik · İntegral

Belirsiz İntegral

ters türev
integral sabiti
kuvvet kuralı
değişken değiştirme
türev

Belirsiz integral nedir ve nasıl hesaplanır?

Belirsiz integral, türevin tersi olan işlemdir: F'(x) = f(x) ise ∫ f(x) dx = F(x) + c yazılır ve F(x) + c ifadesine f'nin ters türevi denir. Buradaki c integral sabitidir; türevi aynı olan fonksiyonlar yalnızca sabit terimle ayrıldığı için eklenir. Bu fonksiyonların grafiklerine aynı x noktasında çizilen teğetler birbirine paraleldir. Kuvvet kuralına göre ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c olur (n ≠ −1); ayrıca ∫ k dx = kx + c'dir. Belirsiz integral doğrusal bir işlemdir; katsayılar dışarı alınabilir ve toplamın integrali integrallerin toplamıdır. Örneğin ∫ (6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + c bulunur. Değişken değiştirme yönteminde içteki ifadeye u denir; ∫ 2x · (x² + 1)³ dx integralinde u = x² + 1 alınır ve sonuç (x² + 1)⁴/4 + c olur. İntegralin türevi integrali alınan fonksiyonu verir, bu yüzden sonuç türev alınarak kontrol edilebilir.

Belirsiz İntegral: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, türevin tersi olan işlemi, yani ters türev ya da belirsiz integrali ve temel integral alma kurallarını anlatıyor.

F'(x) = f(x) ise ∫ f(x) dx = F(x) + c yazılır. F(x) + c ifadesine f'nin belirsiz integrali (ters türevi) denir; c integral sabitidir.
Türevi aynı olan fonksiyonlar yalnızca sabit terimle ayrılır. Bu fonksiyonların grafiklerine aynı x noktasında çizilen teğetler birbirine paraleldir; c bu yüzden eklenir.
İntegralin türevi integrali alınan fonksiyonu verir: d/dx [∫ f(x) dx] = f(x).
Kuvvet kuralı: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c (n ≠ −1). Ayrıca ∫ k dx = kx + c'dir.
Doğrusallık: ∫ [a · f(x) ± b · g(x)] dx = a ∫ f(x) dx ± b ∫ g(x) dx.
Örnek: ∫ (6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + c. Kontrol için türev alınırsa 6x² − 4x + 3 bulunur.
Değişken değiştirme yöntemi: İçteki ifadeye u denir ve du hesaplanır. Örnek: ∫ 2x · (x² + 1)³ dx integralinde u = x² + 1, du = 2x dx olur; sonuç (x² + 1)⁴/4 + c'dir.

Unutma: Belirsiz integralde + c sabitini yazmayı unutma. Sonucunu her zaman türev alarak kontrol edebilirsin.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Belirsiz integrali "Türevi bu olan fonksiyon hangisi?" sorusuyla düşün.

∫ 4x³ dx için sor: Türevi 4x³ olan ne? x⁴'ün türevi 4x³'tür.
Türevi sıfır olan sabitler de eklenebilir: x⁴ + 1, x⁴ − 7 … Hepsini birden x⁴ + c ile gösteririz.
Her zaman türev alarak kontrol et: (x⁴ + c)' = 4x³.
Kuvvet kuralı: Üssü bir artır, yeni üsse böl. ∫ x² dx = x³/3 + c.

Günlük hayattan: Bir aracın hız fonksiyonunu biliyorsan integral alarak konum fonksiyonunu bulursun. Ama aracın nereden yola çıktığını bilmeden konum tam belirlenmez; integral sabiti bu başlangıç bilgisidir.

Sık yapılan hata: ∫ x² dx = x³ + c yazmak. Türevle kontrol et: (x³)' = 3x², yani fazladan bir 3 var. Doğrusu x³/3 + c'dir.

Derinleş

Bir topun yalnızca yer çekimi etkisiyle hareket ettiğini ve ivmesinin −10 m/sn² olduğunu düşün. İvmenin integralinden hız, hızın integralinden yükseklik fonksiyonunu bul; topu farklı başlangıç hızlarıyla atarak integral sabitlerinin fiziksel anlamını yorumla. Bulduğun modeli bir basketbol atışı videosundaki gerçek hareketle karşılaştır: Hava direnci sonucu ne kadar değiştiriyor olabilir?

Bu konuda neler var?

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Değişken Değiştirme Yöntemi

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Selin, türevi 2x olan bir fonksiyon arıyor ve x², x² + 3 ile x² − 7 fonksiyonlarının hepsinin bu koşulu sağladığını görüyor. Bu yüzden belirsiz integralin sonucuna her zaman bir c sabiti eklendiğini fark ediyor. Belirsiz integralin sonucuna c sabitinin eklenmesinin nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) İntegralin değeri her zaman sıfırdır.
- B) Sabit sayının türevi kendisine eşittir.
- C) Türevi aynı fonksiyonlar yalnızca sabitle ayrılır.
- D) Her fonksiyonun tek bir ters türevi vardır.
- E) İntegral, türev almanın tersi değildir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Türevi aynı fonksiyonlar yalnızca sabitle ayrılır.
Sabitin türevi 0 olduğundan türevleri aynı olan fonksiyonlar birbirinden yalnızca bir sabit kadar farklıdır; c bu sabitlerin hepsini temsil eder. "Sabit sayının türevi kendisine eşittir" seçeneği yanlıştır; sabitin türevi 0'dır ve tam da bu yüzden c eklenir.
Kolay
2Bir öğrenci, ödevindeki d/dx [∫ (x³ + 2x) dx] ifadesini hesaplamak için önce integrali alıp sonra türevini almaya başlıyor. Öğretmeni, türev ve integral arasındaki ilişkiyi kullanarak sonuca tek adımda ulaşılabileceğini söylüyor. Bu ifadenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3x² + 2
- B) x³ + 2x
- C) x⁴/4 + x²
- D) x⁴ + 2x²
- E) x³ + 2x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x³ + 2x
Türev ile belirsiz integral birbirinin tersi olan işlemlerdir; integrali alınan fonksiyonun türevi fonksiyonun kendisini verir ve c sabitinin türevi 0'dır. 3x² + 2 seçeneği, integral işleminin göz ardı edilip doğrudan türev alınmasından doğar.
Kolay
3Bir mühendis, bir rüzgâr türbininin x metre/saniyelik rüzgâr hızındaki güç değişim oranını x⁴ ile modelliyor. Toplam gücü veren fonksiyonu bulmak için bu ifadenin ters türevini, yani ∫ x⁴ dx integralini hesaplıyor. ∫ x⁴ dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4x³ + c
- B) x⁵ + c
- C) x⁴/4 + c
- D) x⁵/5 + c
- E) 5x⁵ + c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x⁵/5 + c
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c kuralıyla ∫ x⁴ dx = x⁵/5 + c olur; türevi alınınca x⁴ elde edilir. 4x³ + c seçeneği, integral yerine türev alınmasından doğar.
Kolay
4Bir bahçe musluğundan, açıldığı andan itibaren her dakika sabit olarak 5 litre su akıyor. Akış hızı dakikada 5 litre olduğuna göre x dakikada toplanan su miktarı, ∫ 5 dx integraliyle bulunan fonksiyonlardan biridir. ∫ 5 dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5 + c
- B) x⁵ + c
- C) 5x² + c
- D) 5x + c
- E) 5x²/2 + c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 5x + c
Türevi 5 olan fonksiyonlar 5x + c biçimindedir; sabitin integrali sabit ile x'in çarpımıdır. 5x²/2 + c seçeneği, 5'in 5x gibi integrallenmesinden doğar.
Kolay
5Bir öğrenci ödevinde ∫ f(x) dx = x³ − 4x + c sonucunu bulmuştur. Buna göre f(2) kaçtır?
- A) 8
- B) 0
- C) 12
- D) 4
- E) 2
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 8
İntegrali alınan fonksiyon, sonucun türevidir: f(x) = 3x² − 4 ve f(2) = 12 − 4 = 8 olur. 0 yanıtı, x³ − 4x ifadesine 2 yazılarak bulunur.
Kolay
6Bir parçanın hacminin değişim hızı 6x² + 1 cm³/sn olarak veriliyor. Hacmi veren fonksiyonların ailesi ∫ (6x² + 1) dx ile bulunuyor. Bu integral aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 12x + c
- B) 6x³ + x + c
- C) 2x³ + x + c
- D) 2x³ + c
- E) 3x³ + x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2x³ + x + c
∫ 6x² dx = 6 · x³/3 = 2x³ ve ∫ 1 dx = x olduğundan sonuç 2x³ + x + c'dir. 12x + c türev almanın sonucudur.
Kolay
7Bir kumaş topunun açılan uzunluğunun değişim hızı (x + 2)² ile modelleniyor. ∫ (x + 2)² dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x³/3 + 4x + c
- B) (x + 2)³ + c
- C) 2(x + 2) + c
- D) x³ + 4x² + 4x + c
- E) x³/3 + 2x² + 4x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: E) x³/3 + 2x² + 4x + c
(x + 2)² = x² + 4x + 4 açılımının integrali x³/3 + 2x² + 4x + c'dir. x³/3 + 4x + c yanıtı, açılımdaki 4x terimini unutmaktan gelir.
Kolay
8Bir 3B yazıcıda basılan parçanın kütlesinin değişim hızı 4x³ gram/cm'dir; x, basılan yüksekliktir. Kütleyi veren fonksiyonların ailesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 12x² + c
- B) 4x⁴ + c
- C) x⁴/4 + c
- D) x⁴ + c
- E) x³ + c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x⁴ + c
∫ 4x³ dx = 4 · x⁴/4 + c = x⁴ + c olur. x⁴/4 + c yanıtı, katsayı 4'ü hesaba katmamaktan gelir.
Kolay
9∫ x⁵ dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5x⁴ + c
- B) x⁶ + c
- C) x⁵/5 + c
- D) x⁶/6 + c
- E) 6x⁶ + c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x⁶/6 + c
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c kuralıyla x⁶/6 + c bulunur. 5x⁴ + c yanıtı türev almaktan, x⁶ + c ise yeni üsse bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
10∫ (x² − 2x) dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2x − 2 + c
- B) x³/3 − x² + c
- C) x³ − x² + c
- D) x³/3 − 2x² + c
- E) x³/3 − x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: B) x³/3 − x² + c
Terim terim integral alınır: ∫ x² dx = x³/3 ve ∫ 2x dx = x²; sonuç x³/3 − x² + c olur. x³/3 − 2x² yanıtında 2x terimi için 2'ye bölme unutulmuştur.
Kolay
11Bir öğrenci, türevi f(x) = 2x + 3 olan bir fonksiyon arıyor. Aşağıdakilerden hangisi f'nin bir ters türevidir?
- A) F(x) = 2x² + 3x
- B) F(x) = x² + 3
- C) F(x) = x² + 3x − 8
- D) F(x) = 2
- E) F(x) = x² + 3x² − 8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) F(x) = x² + 3x − 8
(x² + 3x − 8)' = 2x + 3 olduğundan bu fonksiyon bir ters türevdir; sabit −8 türevde kaybolur. 2x² + 3x fonksiyonunun türevi 4x + 3'tür.
Kolay
12∫ (x² + 5)' dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2x + c
- B) x³/3 + 5x + c
- C) x² + c
- D) 2 + c
- E) x² + 5x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x² + c
Bir fonksiyonun türevinin integrali, sabit farkıyla fonksiyonun kendisidir: ∫ 2x dx = x² + c. 5 sabiti c'nin içinde kalır; x³/3 + 5x + c yanıtı türev işaretini görmezden gelir.
Kolay
13∫ 7 dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7 + c
- B) c
- C) 7x²/2 + c
- D) 7x + c
- E) x + 7 + c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7x + c
Sabit bir sayının integrali ∫ k dx = kx + c'dir; (7x + c)' = 7 ile kontrol edilir. Yalnız c yanıtı, sabitin türevi ile integralini karıştırmaktan gelir.
Kolay
14∫ 3x² dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 6x + c
- B) 3x³ + c
- C) x³/3 + c
- D) x³ + c
- E) x² + c
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x³ + c
Kuvvet kuralıyla ∫ 3x² dx = 3 · x³/3 + c = x³ + c olur; türevi alınınca 3x² bulunur. 6x + c yanıtı integral yerine türev alınmasından gelir.
Kolay
15Bir bahçedeki fidanın boyunun değişim hızı, x haftada 4x + 5 cm/hafta olarak modelleniyor. Boyu veren fonksiyonların ailesi ∫ (4x + 5) dx ile bulunuyor. Bu integralin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2x² + 5x + c
- B) 4x² + 5x + c
- C) 2x² + c
- D) 4 + c
- E) x² + 5x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2x² + 5x + c
∫ 4x dx = 2x² ve ∫ 5 dx = 5x olduğundan sonuç 2x² + 5x + c'dir. 4x² + 5x + c yanıtında üs artırıldıktan sonra yeni üsse bölme unutulmuştur.
Kolay
16x ≠ 0 olmak üzere ∫ 1/x² dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 1/x + c
- B) −2/x³ + c
- C) −1/x + c
- D) 1/(3x³) + c
- E) −1/(3x³) + c
Cevabı göster
Doğru cevap: C) −1/x + c
1/x² = x⁻² yazılır; ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(−1) + c = −1/x + c olur. −2/x³ + c yanıtı türev almaktan gelir.
Kolay
17Bir öğrenci ödevinde ∫ f(x) dx = x⁴ − 3x² + c sonucunu buluyor. Öğretmeni f'nin x = 1 noktasındaki değişim hızını soruyor. Buna göre f'(1) kaçtır?
- A) −2
- B) 0
- C) 4
- D) 6
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 6
Eşitliğin iki yanının türevi alınırsa f(x) = 4x³ − 6x olur. Bir kez daha türev alınırsa f'(x) = 12x² − 6 ve f'(1) = 12 − 6 = 6 bulunur. −2, f'(1) yerine f(1) hesaplanınca; 12 ise −6 terimi unutulunca çıkar.
Kolay
18Bir öğrenci, x'in sabit bir sayı olduğu bir hesapta t değişkenine göre ∫ (2xt + 3) dt integralini alıyor. Bu integralin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) xt² + 3t + c
- B) x²t + 3t + c
- C) 2xt² + 3t + c
- D) xt² + 3x + c
- E) x²t + 3x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: A) xt² + 3t + c
İntegral t'ye göre alındığından x sabit gibi davranır: ∫ 2xt dt = 2x · t²/2 = xt² ve ∫ 3 dt = 3t olur. Sonuç xt² + 3t + c'dir. x²t ve 3x içeren şıklar, integralin x değişkenine göre alınmasıyla çıkar. 2xt² ise üs artırılırken yeni üsse bölmenin unutulmasıyla bulunur.
Orta
19Bir depoya x. dakikada (x ≥ 1) giren suyun akış hızı (x + 1)(x − 1) litre/dakika ile modelleniyor. Teknisyen, depodaki su miktarını veren fonksiyonu bulmak için ∫ (x + 1)(x − 1) dx integralini hesaplıyor. Bu integralin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (x²/2 + x)(x²/2 − x) + c
- B) x³/3 + c
- C) x³/3 − x + c
- D) x² − 1 + c
- E) x³/3 + x + c
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x³/3 − x + c
Önce çarpım açılır: (x + 1)(x − 1) = x² − 1; ∫ (x² − 1) dx = x³/3 − x + c olur. İlk seçenek, çarpımın integralini çarpanların integrallerinin çarpımı sanmaktan doğar; bu kural yalnızca toplama ve çıkarmada geçerlidir.
Orta
20Bir 3B yazıcıda bir parçanın kesit alanının değişim hızı (2x + 1)⁴ ile modelleniyor; x, yazdırma yüksekliğidir. Mühendis toplam kesiti bulmak için ∫ (2x + 1)⁴ dx integralini değişken değiştirme yöntemiyle hesaplıyor. Bu integralin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (2x + 1)⁵/10 + c
- B) (2x + 1)⁵/5 + c
- C) 8(2x + 1)³ + c
- D) (2x + 1)⁵/2 + c
- E) 2(2x + 1)⁵/5 + c
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (2x + 1)⁵/10 + c
u = 2x + 1 alınırsa du = 2 dx ve ∫ u⁴ du/2 = u⁵/10 + c olur. (2x + 1)⁵/5 + c seçeneği, iç fonksiyonun türevi olan 2'ye bölmenin unutulmasından doğar; türevi alınınca 2(2x + 1)⁴ verir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.