Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembollerinin Kullanımı

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.9.1.2Gerçek sayı aralıklarının gösteriminde ve aralıklarla ilgili işlemlerde küme sembol

  • a) Gerçek sayı aralıkları ve bunlarla yapılan işlemlerde kullanılan küme sembol ve işlemlerini bağlamlarındaki anlamı ile tanır.
  • b) Gerçek sayı aralıkları ve bunlarla yapılan işlemlerde kullanılan küme sembol ve işlemlerinden matematiksel durum veya probleme uygun olanı belirler.
  • c) Gerçek sayı aralıkları ve bunlarla yapılan işlemlerin içerdiği küme sembol ve işlemlerini matematiksel durum veya probleme uygun şekilde kullanır.

Bu konuda neler var?

• Sayı Kümeleri

1. Kolay

   1Bir bilgisayar oyununda karakter, sayı doğrusu biçiminde çizilmiş bir köprü üzerinde yürüyor. Köprüde −2 noktasındaki tahta sağlamdır; 7 noktasındaki tahta ise kırık olduğu için oraya basılamıyor. Karakter bu iki nokta arasındaki her noktaya güvenle basabiliyor. Karakterin güvenle basabileceği x konumları hangi aralıkla gösterilir?

   • AA) (−2, 7]
   • BB) [−2, 7)
   • CC) (−2, 7)
   • DD) [−2, 7]
   • EE) (−∞, 7)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) [−2, 7)

   −2 noktasına basılabildiği için bu uç dâhildir ve köşeli parantezle, 7 noktasına basılamadığı için bu uç normal parantezle yazılır: [−2, 7). (−2, 7]'yi seçen öğrenci hangi ucun dâhil olduğunu ters çevirmiştir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Matematik dersinde Ahmet, akıllı tahtadaki bir sayı doğrusunu defterine aralık gösterimiyle aktaracak. Sayı doğrusunda −1 noktası içi boş bir daireyle, 6 noktası içi dolu bir daireyle işaretlenmiş ve bu iki nokta arasındaki bölge taranmıştır. Ahmet'in yazması gereken aralık hangisidir?

   • AA) [−1, 6)
   • BB) [−1, 6]
   • CC) (−1, 6]
   • DD) (−1, 6)
   • EE) (−∞, 6]
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) (−1, 6]

   Boş daire uç noktanın aralığa dâhil olmadığını, dolu daire dâhil olduğunu gösterir; −1 hariç, 6 dâhil olduğundan (−1, 6] yazılır. [−1, 6)'yı seçen öğrenci boş ve dolu dairenin anlamlarını karıştırmıştır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir meteoroloji uygulaması yarın sabah için sıcaklık tahminini (−3, 4] aralığı olarak °C cinsinden veriyor. Ertesi sabah beş farklı mahallede termometreler okunuyor. Aşağıdaki ölçümlerden hangisi uygulamanın tahmin ettiği aralıktadır?

   • AA) −3
   • BB) −3,5
   • CC) 4
   • DD) 5
   • EE) 4,2
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) 4

   (−3, 4] aralığı −3 < x ≤ 4 demektir; 4 dâhil olduğundan aralıktadır. −3'ü seçen öğrenci normal parantezin ucu dışarıda bıraktığını gözden kaçırmıştır; −3,5, 5 ve 4,2 ise aralığın dışındadır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir seranın uyarı sistemi, sera içindeki sıcaklık 5 °C'nin altına düştüğü anda bitkiler için don uyarısı veriyor; sıcaklık tam 5 °C iken uyarı verilmiyor. Teknisyen, uyarının verildiği sıcaklık değerlerini sistemin kılavuzuna aralık gösterimiyle yazacak. Kılavuza yazılması gereken aralık hangisidir?

   • AA) (−∞, 5]
   • BB) (5, ∞)
   • CC) [5, ∞)
   • DD) (−∞, 5)
   • EE) (−5, 5)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) (−∞, 5)

   5'ten küçük sayılar eksi yönde sınırsız uzanır; sonsuz uç ve dâhil olmayan 5 normal parantezle yazılır: (−∞, 5). (−∞, 5]'i seçen öğrenci tam 5 °C'de uyarı verilmediğini gözden kaçırmıştır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir okulda dolap numaraları A = {2, 4, 6, 8} kümesindeki öğrenciler mavi dolap kullanıyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) 5 ∈ A
   • BB) 6 ∉ A
   • CC) 2 ∉ A
   • DD) 4 ∈ A
   • EE) 9 ∈ A
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 4 ∈ A

   4 sayısı A kümesinde yer aldığı için 4 ∈ A doğrudur. 6 ∉ A ise yanlıştır, çünkü 6 kümenin bir elemanıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6Bir saksıya verilecek günlük su miktarı x litre olmak üzere 0,2 < x ≤ 0,5 koşulunu sağlamalıdır. Bu koşulu gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) [0,2; 0,5)
   • BB) [0,2; 0,5]
   • CC) (0,2; 0,5)
   • DD) (0,5; 0,2]
   • EE) (0,2; 0,5]
   Cevabı göster

   Doğru cevap: E) (0,2; 0,5]

   “<” işareti uç noktanın dâhil olmadığını, “≤” ise dâhil olduğunu gösterir; bu yüzden aralık (0,2; 0,5] olur. [0,2; 0,5) yazmak işaretlerin anlamını ters çevirmektir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Bir burs sınavı 0 ile 100 arasında puanlanıyor. Burs alabilmek için sınavdan en az 70 puan almak gerekiyor. Burs alan öğrencilerin alabileceği puanları gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) [70, 100]
   • BB) (70, 100]
   • CC) (70, 100)
   • DD) [70, 100)
   • EE) [0, 70]
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) [70, 100]

   “En az 70” ifadesi 70'in dâhil olduğunu, 100 de en yüksek puan olduğu için dâhil olduğunu gösterir; aralık [70, 100] olur. (70, 100] yazmak tam 70 alan öğrenciyi dışarıda bırakır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8(0, 5) ∩ [2, 8] işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) (2, 5)
   • BB) [2, 5]
   • CC) [2, 5)
   • DD) (0, 8]
   • EE) (0, 2)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: C) [2, 5)

   Her iki aralıkta da bulunan sayılar 2'den (dâhil) 5'e (hariç) kadardır: [2, 5). [2, 5] yazmak, 5'in (0, 5) aralığında olmadığını gözden kaçırmaktır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9Selin sayı doğrusunda [1, 4] ve [3, 7] aralıklarını farklı renklerle boyuyor. Boyanan noktaların tamamını gösteren A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

   • AA) [3, 4]
   • BB) [1, 3)
   • CC) (4, 7]
   • DD) [1, 7]
   • EE) [1, 4) ∪ (3, 7]
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) [1, 7]

   İki aralık 3 ile 4 arasında üst üste geldiği için birleşimleri kesintisiz [1, 7] aralığıdır. [3, 4] ise iki aralığın kesişimidir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Can, (1, 6) aralığını “2, 3, 4 ve 5 sayılarından oluşan küme” diye okuyor. (1, 6) gösteriminin doğru anlamı aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) 1 ile 6 arasındaki tüm gerçek sayılar
    • BB) Yalnız 2, 3, 4 ve 5 sayıları
    • CC) 1 ile 6 dâhil tüm tam sayılar
    • DD) 1 ile 6 arasındaki doğal sayılar
    • EE) Yalnız 1 ve 6 sayıları
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 1 ile 6 arasındaki tüm gerçek sayılar

    Aralık gösterimi, iki uç arasındaki bütün gerçek sayıları belirtir; 1,5 ya da √10 gibi sayılar da bu aralıktadır. Yalnız 2, 3, 4 ve 5'i almak aralığı tam sayı listesi sanmaktır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11Bir dalgıcın deniz seviyesine göre konumu metre cinsinden x ile gösteriliyor. Dalgıcın −1 metreden daha derinde olması x < −1 demektir. Bu koşulu gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (−∞, −1]
    • BB) [−∞, −1)
    • CC) (−1, ∞)
    • DD) (−∞, 1)
    • EE) (−∞, −1)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) (−∞, −1)

    x < −1 eşitsizliğinde −1 dâhil değildir ve sonsuz tarafı açık yazılır: (−∞, −1). (−∞, −1] yazmak tam −1'deki konumu da dâhil eder.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12[−2, 3) aralığında kaç tane tam sayı vardır?

    • AA) 4
    • BB) 5
    • CC) 6
    • DD) 3
    • EE) Sonsuz sayıda
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 5

    Aralıktaki tam sayılar −2, −1, 0, 1 ve 2'dir; 3 dâhil olmadığı için sayı 5 olur. 6 cevabı açık uçtaki 3'ü de saymaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13Evrensel küme gerçek sayılar kümesi R'dir. A = [2, ∞) olduğuna göre A kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (−∞, 2)
    • BB) (−∞, 2]
    • CC) (2, ∞)
    • DD) [−2, 2)
    • EE) (−∞, −2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) (−∞, 2)

    Tümleyen, evrensel kümede olup A'da olmayan sayılardır; 2 A'da olduğu için tümleyende yer almaz: (−∞, 2). (−∞, 2] yazmak 2'yi iki kümeye birden koymaktır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14Bir iş ilanında “Sektörde en az 3 yıl deneyimli” ifadesi yer alıyor. Deneyim süresi x yıl olmak üzere bu koşulu gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) (3, ∞)
    • BB) [3, ∞)
    • CC) [3, ∞]
    • DD) (−∞, 3]
    • EE) (3, ∞]
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) [3, ∞)

    “En az 3” ifadesi x ≥ 3 demektir; 3 dâhil olduğu için köşeli parantez, sonsuz tarafı ise her zaman açık yazılır: [3, ∞). [3, ∞] yazmak sonsuzu bir sayı gibi dâhil etme yanılgısıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15Bir sınıfta resim yarışmasına katılanlar A = {Ece, Can, Ali, Su}, şiir yarışmasına katılanlar B = {Can, Su, Mert} kümesidir. Resim yarışmasına katılıp şiir yarışmasına katılmayanların kümesi A \ B aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {Mert}
    • BB) {Can, Su}
    • CC) {Ece, Ali, Mert}
    • DD) {Ece, Can, Ali, Su}
    • EE) {Ece, Ali}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) {Ece, Ali}

    A \ B, A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur; Can ve Su B'de de olduğu için çıkarılır ve {Ece, Ali} kalır. {Mert} ise B \ A kümesidir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Bir okulda satranç kulübü üyelerinin numaraları A = {1, 2, 3, 4, 5}, müzik kulübü üyelerinin numaraları B = {4, 5, 6} kümesidir. İki kulübe birden üye olan öğrencilerin numaraları kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    • BB) {1, 2, 3}
    • CC) {6}
    • DD) {4, 5, 6}
    • EE) {4, 5}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) {4, 5}

    İki kulübe birden üye olanlar kesişim kümesidir: A ∩ B = {4, 5}. {1, 2, 3, 4, 5, 6} birleşim kümesidir ve en az bir kulübe üye olanları gösterir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir spor salonunu sabah grubu saat cinsinden A = [7, 10], öğle grubu ise B = [10, 13) aralığında kullanıyor. Görevli, iki grubun salonda birlikte bulunduğu zamanları A ∩ B kümesiyle göstermek istiyor. A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) {10}
    • BB) ∅
    • CC) [7, 13)
    • DD) (7, 13)
    • EE) [10, 13)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) {10}

    A kümesinin sağ ucu 10 kapalıdır, yani 10 ∈ A'dır. B kümesinin sol ucu 10 da kapalıdır, yani 10 ∈ B'dir. 10'dan küçük sayılar B'de, 10'dan büyük sayılar A'da bulunmaz. İki kümenin tek ortak elemanı 10 olduğundan A ∩ B = {10} olur. ∅, uç noktanın iki aralığa da dâhil olduğu gözden kaçırılırsa; [7, 13) ise kesişim yerine birleşim alınırsa bulunur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18Öğretmen tahtaya A = (−∞, 2) ve B = [2, ∞) aralıklarını yazıyor ve öğrencilerden bu iki aralığı aynı sayı doğrusu üzerinde boyamalarını istiyor. Boyanan noktaların tamamını gösteren A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) ∅
    • BB) {2}
    • CC) R \ {2}
    • DD) (−∞, 2]
    • EE) R
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) R

    A kümesi 2'den küçük bütün gerçek sayıları, B kümesi 2'yi ve 2'den büyük bütün gerçek sayıları içerir. Her gerçek sayı ya 2'den küçüktür ya da 2'ye eşit veya 2'den büyüktür; bu nedenle sayı doğrusunun tamamı boyanır ve A ∪ B = R olur. R \ {2}, 2'nin B kümesine dâhil olduğu unutulursa bulunur. ∅ ise bu iki kümenin kesişimidir; ortak elemanları yoktur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir serada iki ayrı sensör vardır: A sensörü sıcaklık 2 °C ya da daha düşük olduğunda, B sensörü ise sıcaklık −1 °C ile 5 °C arasında (uçlar hariç) olduğunda uyarı ışığı yakıyor. Teknisyen, en az bir sensörün uyarı verdiği sıcaklıkları tek bir aralıkla göstermek istiyor. Bu sıcaklıklar hangi aralıktadır?

    • AA) (−1, 2]
    • BB) (−∞, 5]
    • CC) (−∞, 5)
    • DD) (−∞, −1)
    • EE) (2, 5)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) (−∞, 5)

    "En az biri" birleşim demektir: (−∞, 2] ∪ (−1, 5) = (−∞, 5). (−1, 2]'yi seçen öğrenci birleşim yerine kesişimi, yani iki sensörün aynı anda uyarı verdiği bölgeyi bulmuştur.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Bir bilgisayar oyununda karakter, sayı doğrusu üzerindeki A = (−2, 3] bölgesinde kaldığı sürece güvendedir; bu bölgenin dışındaki her nokta tehlikeli bölge sayılıyor. Evrensel küme gerçek sayılar kümesidir. Tehlikeli bölgeyi gösteren küme hangisidir?

    • AA) (−∞, −2) ∪ [3, ∞)
    • BB) (−∞, −2) ∪ (3, ∞)
    • CC) (−∞, −2] ∪ (3, ∞)
    • DD) [−2, 3)
    • EE) (−∞, −2] ∪ [3, ∞)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) (−∞, −2] ∪ (3, ∞)

    Tehlikeli bölge A'nın tümleyenidir. A'da −2 yoktur, 3 vardır; tümleyende ise tersi olur: −2 dâhil, 3 hariç. Sonuç (−∞, −2] ∪ (3, ∞)'dur. (−∞, −2) ∪ [3, ∞)'u seçen öğrenci uçların durumunu A'dakiyle aynı bırakıp yalnızca yönü çevirmiştir.

    Hata mı var? Düzeltme öner