9. Sınıf Matematik · Sayılar
Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler
- üslü gösterim
- köklü gösterim
- bilimsel gösterim
- negatif üs
- rasyonel üs
- kökün derecesi
Üslü ve köklü sayılarla işlemler nasıl yapılır?
Üslü ve köklü gösterimler, çok büyük ya da çok küçük gerçek sayıları kısa yazmayı ve bunlarla kolay işlem yapmayı sağlayan matematiksel yazım biçimleridir. Üslü ifadede taban, üs kadar kez kendisiyle çarpılır; sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir ve negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini verir: 3^(−2) = 1/9. Aynı tabanlı üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır, bölünürken çıkarılır, kuvvetin kuvveti alınırken çarpılır; örneğin 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128 olur. Negatif tabanda sonucun işareti üssün tek ya da çift olmasına bağlıdır, ancak −3^4 = −81'dir çünkü üs yalnızca 3'e aittir. Bilimsel gösterimde 0,00042 sayısı 4,2 · 10^(−4) biçiminde yazılır. Kökler rasyonel üs olarak da yazılabilir: 8^(2/3) = 4. Kök dışına çıkarmada √50 = 5√2 elde edilir. Çift dereceli kökün içi negatif olamaz; √((−3)²) değeri −3 değil, 3'tür.
Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler: konu anlatımı ve özeti
Çok büyük ya da çok küçük sayıları kısa yazmak ve bunlarla rahat işlem yapmak için üslü ve köklü gösterimler kullanılır. Fizikten astronomiye, ekonomiden bilgisayar bilimine kadar pek çok alanda bu gösterimlerle karşılaşırsın.
- a sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve n pozitif tam sayı ise a^n, a'nın n kez kendisiyle çarpımıdır. Ayrıca a^0 = 1 ve a^(−n) = 1/a^n olur: 4^(−1) = 1/4, 3^(−2) = 1/9.
- Negatif tabanda sonucun işareti üssün tek ya da çift olmasına bağlıdır: (−2)^5 = −32, (−1)^6 = 1. Ancak −3^4 = −81'dir, çünkü üs yalnızca 3'e aittir.
- Aynı tabanlı çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır, kuvvetin kuvvetinde çarpılır: a^m · a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m−n), (a^m)^n = a^(m·n). Örnek: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128.
- Bilimsel gösterim, 1 ≤ |a| < 10 ve n tam sayı olmak üzere a · 10^n biçimidir: 0,00042 = 4,2 · 10^(−4), 3 500 000 = 3,5 · 10^6.
- Köklü gösterimde n, kökün derecesidir ve kök rasyonel üs olarak da yazılabilir: n. dereceden kök içindeki x^m, x^(m/n) demektir. Örnek: √16 = 4, ∛8 = 2, 8^(2/3) = 4.
- a, b ≥ 0 için √(a · b) = √a · √b kuralıyla kök dışına çıkarılır: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Kök içi aynı olan ifadeler toplanabilir: 3√2 + 5√2 = 8√2.
Unutma: Çift dereceli kökün içi negatif olamaz ve √(x²) = |x| olur; örneğin √((−3)²) = 3'tür, −3 değil.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Üslü gösterimi okurken önce tabanı ve üssü ayır, sonra üssün ne söylediğini sözle anlat.
- Pozitif üs "tabanı kendisiyle şu kadar kez çarp" demektir: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
- Sıfır üs her zaman 1 verir (taban 0 değilse): 5⁰ = 1.
- Negatif üs "tersini al" demektir; sayı negatif olmaz: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
- Kökü sadeleştirirken kök içindeki en büyük tam kare çarpanı ara: √12 = √(4 · 3) = 2√3.
Günlük hayattan: Bilgisayar belleği 2'nin kuvvetleriyle ölçülür: 2¹⁰ = 1024 bayt 1 kibibayttır. Bir bakterinin boyu ise 0,000002 m gibi çok küçük bir sayıdır ve kısaca 2 · 10⁻⁶ m yazılır.
Sık yapılan hata: √18 + √8 işlemini √26 diye yazmak. Doğrusu: önce sadeleştir, √18 = 3√2 ve √8 = 2√2; kök içleri aynı olunca topla: 5√2.
Derinleş
Bir kâğıdı kaç kez ikiye katlayabileceğini dene ve her katlamada kalınlığın nasıl değiştiğini bir tabloya yaz. Kâğıt kalınlığı yaklaşık 0,1 mm ise 42 kez katlanabilseydi kalınlık kaç kilometre olurdu? Sonucu bilimsel gösterimle yaz ve Dünya ile Ay arasındaki uzaklıkla karşılaştır. Gerçekte neden bu kadar çok katlanamadığını fizik açısından tartış.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.9.1.1Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleriyle yapılan işlemlere dair muhakeme
- a) Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleriyle yapılan işlemlere ilişkin varsayımlarda bulunur.
- ç) Elde ettiği genellemelerden üslü ve köklü gösterimlerle ilgili önermeler sunar.
- d) Üslü ve köklü gösterimlerle ilgili önermelerin kullanışlılığını problem durumlarında değerlendirir.
- e) Üslü ve köklü gösterimlerle ilgili matematiksel doğrulama yöntemlerini kullanır.
Bu konuda neler var?
- Gerçek Sayıların Üslü Gösterimi
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Bir okulun bilgisayar laboratuvarında 2⁵ bilgisayar vardır ve her birinde 2³ GB boş alan bulunmaktadır. Bilişim öğretmeni bu boş alanların toplamını, her biri 2⁴ GB kapasiteli flash belleklere tamamen yedeklemek istiyor. Yedekleme için en az kaç flash bellek gerekir?
- A) 8
- B) 32
- C) 256
- D) 16
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 16
Toplam alan 2⁵ · 2³ = 2⁸ GB'tır; bu, 2⁴ GB'lık belleklere bölünür: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴ = 16 bellek. 256'yı seçen öğrenci toplam alanı (2⁸) bulup bellek kapasitesine bölmeyi unutmuştur.
Kolay
2Fen kulübünde öğrenciler bir mercimek tanesinin çapını kumpasla 0,00708 m olarak ölçüyor. Beş arkadaş bu değeri raporlarına farklı biçimlerde yazmış; öğretmen yalnızca hem değeri doğru hem de bilimsel gösterim kuralına uygun olan yazımı kabul edecek. Öğretmenin kabul edeceği yazım hangisidir?
- A) 0,708 · 10⁻²
- B) 70,8 · 10⁻⁴
- C) 7,08 · 10⁻²
- D) 7,08 · 10⁻³
- E) 708 · 10⁻⁵
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 7,08 · 10⁻³
Bilimsel gösterimde katsayı 1 ≤ |a| < 10 olmalıdır; 0,00708 = 7,08 · 10⁻³ yazılır. 0,708 · 10⁻² ve 70,8 · 10⁻⁴ değerce doğrudur ama katsayıları kurala uymaz; 7,08 · 10⁻² ise biçimce uygun olsa da 0,0708 değerini gösterir.
Kolay
3Ece'nin bilimsel hesap makinesinin kök tuşu bozulduğu için köklü ifadeleri rasyonel üslü biçimde girmek zorunda kalıyor. Fizik ödevindeki bir formülde, x pozitif bir gerçek sayı olmak üzere x³ ifadesinin 5. dereceden kökü yer alıyor. Ece bu ifadeyi hesap makinesine hangi biçimde girmelidir?
- A) x^(5/3)
- B) x¹⁵
- C) x^(3/5)
- D) x^(−3/5)
- E) x⁸
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x^(3/5)
n. dereceden kök içindeki xᵐ ifadesi x^(m/n) biçiminde yazılır; m = 3 ve n = 5 olduğundan x^(3/5) girilmelidir. x^(5/3)'ü seçen öğrenci kökün derecesini paya, kuvveti paydaya yazarak kesri ters kurmuştur.
Kolay
4Bir harita uygulamasında her uzaklaştırma adımında ekrandaki tüm uzunluklar 5 kat küçülüyor. Mert, ekranda 1 birim uzunluğunda görünen bir yolu iki adım uzaklaştırıyor ve uygulama yolun yeni ekran uzunluğunu 5⁻² birim olarak gösteriyor. Yolun yeni ekran uzunluğu kaç birimdir?
- A) −25
- B) 1/25
- C) −1/25
- D) −10
- E) 1/10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1/25
Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersinin pozitif üssünü verir: 5⁻² = 1/5² = 1/25; iki kez 5 kat küçülme de 1/25'e karşılık gelir. −25 ya da −1/25'i seçen öğrenci negatif üssü sonucun işaretini değiştiren bir işaret gibi yorumlamıştır; uzunluk negatif olamaz.
Kolay
5Bir fabrikanın iki deposundan birinde 4 · 10⁵, diğerinde 3 · 10⁵ adet vida vardır. İki depodaki vidaların toplam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7 · 10⁵
- B) 7 · 10¹⁰
- C) 12 · 10⁵
- D) 7 · 10²⁵
- E) 12 · 10¹⁰
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 7 · 10⁵
10⁵ ortak çarpan parantezine alınır: (4 + 3) · 10⁵ = 7 · 10⁵. 7 · 10¹⁰ cevabı toplamada üslerin de toplandığı yanılgısından gelir.
Kolay
6Ayşe, matematik defterine negatif üslü ifadeler için bir örnek yazacak. Öğretmeni ondan 5⁻² ifadesinin değerini bulmasını istiyor. Ayşe'nin bulması gereken değer aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −25
- B) 1/25
- C) −10
- D) 1/10
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1/25
a⁻ⁿ = 1/aⁿ olduğundan 5⁻² = 1/5² = 1/25 olur. −25 cevabı, negatif üssün sonucu negatif yaptığı yanılgısından gelir; üs negatif olsa da sonuç pozitiftir.
Kolay
7Bir bahçede alanları 8 m² ve 18 m² olan kare biçimli iki tarh vardır. Emre, bu tarhların kenar uzunluklarını toplayarak √8 + √18 ifadesini yazıyor. Bu ifadenin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
- A) √26
- B) 6√2
- C) 5√2
- D) 4√2
- E) 13√2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5√2
√8 = 2√2 ve √18 = 3√2 olduğundan toplam 5√2 olur. √26 cevabı kök içlerinin doğrudan toplanabildiği yanılgısından gelir.
Kolay
8Bir fotokopi kâğıdının kalınlığı 0,0006 m olarak ölçülmüştür. Bu ölçümün bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 6 · 10⁻³
- B) 6 · 10⁻⁴
- C) 6 · 10⁴
- D) 0,6 · 10⁻³
- E) 60 · 10⁻⁵
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6 · 10⁻⁴
Virgül 4 basamak sağa kaydırılınca 6 elde edilir, bu yüzden 0,0006 = 6 · 10⁻⁴ olur. 0,6 · 10⁻³ aynı değeri gösterse de katsayı 1'den küçük olduğu için bilimsel gösterim değildir.
Kolay
9Zeynep hesap makinesine önce (−5)² yazıp sonucu buluyor, ardından bu sonucun karekökünü alıyor. Ekranda en son hangi sayı görünür?
- A) 5
- B) −5
- C) 25
- D) −25
- E) 1/5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
(−5)² = 25 ve √25 = 5 olur; genel olarak √(x²) = |x| eşitliği geçerlidir. −5 cevabı kare ile karekökün birbirini götürüp sayının aynen kaldığı yanılgısından gelir.
Kolay
10Bir eğitim videosu yayımlandığı ilk yıl 52 000 000 kez izlenmiştir. Bu izlenme sayısının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 52 · 10⁶
- B) 5,2 · 10⁷
- C) 5,2 · 10⁶
- D) 0,52 · 10⁸
- E) 5,2 · 10⁸
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5,2 · 10⁷
Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasında olmalıdır; 52 000 000 = 5,2 · 10⁷ olur. 52 · 10⁶ aynı değeri gösterse de katsayı 10'dan büyük olduğu için bilimsel gösterim değildir.
Kolay
11Bir formülde a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere a^(2/3) ifadesi yer alıyor. Mehmet bu ifadeyi köklü gösterimle yazmak istiyor. Doğru yazılış aşağıdakilerden hangisidir?
- A) √(a³)
- B) a²/3
- C) ∛(a²)
- D) 2 · ∛a
- E) ∛(2a)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) ∛(a²)
Rasyonel üste payda kökün derecesini, pay ise kök içindeki üssü verir: a^(2/3) = ∛(a²). √(a³) yazılışı pay ile paydanın yerini karıştırmaktan gelir.
Kolay
12Can, √49 + ∛27 işleminin sonucunu bulmak istiyor. İşlemin sonucu kaçtır?
- A) 16
- B) 10
- C) 21
- D) 12
- E) √76
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10
√49 = 7 ve ∛27 = 3 olduğundan toplam 10 olur. √76 cevabı kök içlerinin toplanabildiği yanılgısından gelir; dereceleri farklı kökler bu şekilde toplanamaz.
Kolay
13Elif, tahtaya yazılan (−6)⁰ + 3¹ işleminin sonucunu bulmaya çalışıyor. İşlemin sonucu kaçtır?
- A) 4
- B) 3
- C) 2
- D) −3
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir: (−6)⁰ = 1 ve 3¹ = 3 olduğundan toplam 4 olur. 3 cevabı (−6)⁰ değerini 0 sanmaktan gelir.
Kolay
14Bir sınıf oyununda öğrenciler (−1)⁷ ve (−1)⁸ ifadelerinin değerlerini kartlara yazıp bu iki kartın değerlerini topluyor. Toplam kaçtır?
- A) −2
- B) 2
- C) 0
- D) 1
- E) −1
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0
Negatif tabanın tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitiftir: (−1)⁷ = −1, (−1)⁸ = 1 ve toplam 0 olur. −2 cevabı iki kuvvetin de negatif olduğunu sanmaktan gelir.
Kolay
15Bir bilgisayardaki bir klasörde 2³ MB'lık bir dosya vardır. Bu dosyanın 2⁵ katı büyüklüğündeki yeni bir dosyanın boyutu kaç MB'tır?
- A) 2¹⁵
- B) 4⁸
- C) 4¹⁵
- D) 2²
- E) 2⁸
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 2⁸
Tabanları aynı üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: 2³ · 2⁵ = 2⁸. 2¹⁵ cevabı üslerin çarpıldığı yanılgısından gelir.
Kolay
16Öğretmen tahtaya (−3)³ ifadesini yazıp öğrencilerden değerini bulmalarını istiyor. Bu ifadenin değeri kaçtır?
- A) −27
- B) 27
- C) −9
- D) 9
- E) −1/27
Cevabı göster
Doğru cevap: A) −27
Negatif tabanın tek kuvveti negatiftir: (−3)³ = (−3)(−3)(−3) = −27. 27 cevabı negatif tabanın her kuvvetinin pozitif olduğunu sanmaktan gelir.
Kolay
17Bir hırdavat deposunda 2⁴ raf ve her rafta 5⁴ vida kutusu vardır. Depo görevlisi, toplam kutu sayısını çarpmayı tek tek yapmadan tek bir üslü ifadeyle yazmak istiyor. Depodaki toplam kutu sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7⁴
- B) 10⁴
- C) 7⁸
- D) 10⁸
- E) 10¹⁶
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10⁴
Toplam kutu sayısı 2⁴ · 5⁴ çarpımıdır. Üsleri aynı olan ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılır, üs aynı kalır: 2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. Sağlama: 16 · 625 = 10 000. 10⁸, tabanlar çarpılırken üslerin de toplanmasıyla; 10¹⁶, üslerin çarpılmasıyla çıkar. 7⁴ ve 7⁸ ise tabanların çarpılmak yerine toplanmasından kaynaklanır.
Kolay
18Matematik kulübünün zihinden işlem turunda Elif'e ∛(−64) + √36 işlemi soruluyor. Elif, önce her kökün değerini ayrı ayrı buluyor. İşlemin sonucu kaçtır?
- A) −10
- B) −2
- C) 2
- D) 6
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2
(−4)³ = −64 olduğundan ∛(−64) = −4'tür; tek dereceli kökün içi negatif olabilir ve sonuç negatiftir. √36 = 6'dır. Toplam −4 + 6 = 2 bulunur. 10, küp kökün işareti göz ardı edilirse (4 + 6); −10, karekök de negatif alınırsa (−4 − 6); −2, işaretler karıştırılırsa (4 − 6) elde edilir. 6 ise ∛(−64) ifadesi hesaba katılmadığında çıkar.
Orta
19Bir bahçe tasarımcısı, alanları 72 m² ve 50 m² olan kare biçimli iki çiçek tarhının birer kenarını uç uca ekleyerek düz bir sınır çizgisi oluşturuyor. Bu çizginin, alanı 18 m² olan kare biçimli çakıl alanına bitişik kısmına (çakıl alanının bir kenarı uzunluğunda) çit gerekmiyor. Çit çekilecek kısmın uzunluğu kaç metredir?
- A) 10√2
- B) 8√2
- C) 6√2
- D) √104
- E) 14√2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 8√2
Kenar uzunlukları √72 = 6√2, √50 = 5√2 ve √18 = 3√2 metredir; çit uzunluğu 6√2 + 5√2 − 3√2 = 8√2 m olur. √104'ü seçen öğrenci kök içlerini toplayıp çıkarmıştır (72 + 50 − 18); oysa yalnızca benzer köklü terimlerin katsayıları toplanabilir.
Orta
20Bir laboratuvarda hava filtresinde 6 · 10⁵ tane özdeş toz parçacığı tutulmuştur. Mikroskop ölçümlerine göre parçacıkların her birinin kütlesi 4 · 10⁻⁸ g'dır. Teknisyen, filtrede biriken toplam toz kütlesini rapora bilimsel gösterimle yazacak. Rapora yazılacak toplam kütle kaç gramdır?
- A) 2,4 · 10⁻²
- B) 2,4 · 10⁻³
- C) 2,4 · 10⁻⁴
- D) 2,4 · 10¹³
- E) 24 · 10⁻²
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2,4 · 10⁻²
6 · 4 = 24 ve 10⁵ · 10⁻⁸ = 10⁻³ olduğundan çarpım 24 · 10⁻³ = 2,4 · 10⁻² g'dır. 2,4 · 10⁻³'ü seçen öğrenci katsayıyı 24'ten 2,4'e küçültürken üssü 1 artırmayı unutmuştur.
Ders videoları
MEB'in 9. sınıf Matematik örnek ders anlatımları. Tüm videolar (7)
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.