9. Sınıf Matematik · Sayılar

Sayı Kümeleri ve İşlem Özellikleri

sayı kümeleri
doğal sayılar
tam sayılar
rasyonel sayılar
gerçek sayılar
arada olma özelliği
kapalılık

Sayı kümeleri nelerdir ve hangi işlemlere göre kapalıdır?

Sayı kümeleri, sayma ihtiyacından doğan doğal sayılardan başlayıp tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılarla genişleyen iç içe kümelerdir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Rasyonel sayılar, paydası sıfırdan farklı kesir biçiminde yazılabilen sayılardır; √2 ve π gibi sayılar ise irrasyoneldir. Arada olma özelliği, kümeden alınan iki farklı sayı arasında yine o kümeden bir sayı bulunabilmesidir; doğal sayılarda ve tam sayılarda bu özellik yoktur çünkü 2 ile 3 arasında tam sayı bulunmaz. Kapalılık, iki sayıyla yapılan işlemin sonucunun yine aynı kümede kalmasıdır. Doğal sayılar toplama ve çarpmaya göre kapalıdır ama çıkarmaya göre değildir: 3 − 5 = −2 sonucu doğal sayı değildir. Tam sayılar bölmeye göre kapalı değildir, çünkü 1 ÷ 2 = 1/2 olur. Rasyonel ve gerçek sayılar, sıfıra bölme dışında dört işleme göre kapalıdır. İrrasyonel sayılar ise çarpmaya göre kapalı değildir: √2 · √2 = 2 rasyoneldir.

Sayı Kümeleri ve İşlem Özellikleri: konu anlatımı ve özeti

Sayma ihtiyacından doğan doğal sayılardan gerçek sayılara kadar her yeni sayı kümesi, insanların yeni bir sorunu çözme isteğiyle ortaya çıktı. Bu konu N, Z, Q ve R kümelerinin birbiriyle ilişkisini, arada olma ve kapalılık özelliklerini inceler.

Doğal sayılar N = {0, 1, 2, ...}, tam sayılar Z, rasyonel sayılar Q (a/b biçimindeki sayılar, b ≠ 0), irrasyonel sayılar (√2, π gibi) ve hepsini kapsayan gerçek sayılar R vardır. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Sayı kümelerinin iç içe yapısı: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur
Arada olma özelliği: Kümeden alınan iki farklı sayı arasında yine o kümeden bir sayı bulunabiliyorsa küme bu özelliğe sahiptir.
N ve Z kümelerinde arada olma özelliği yoktur (2 ile 3 arasında tam sayı yok). Q ve R'de vardır: 1/2 ile 1 arasında örneğin 3/4 bulunur.
Kapalılık: Kümeden alınan herhangi iki sayıyla yapılan işlemin sonucu yine aynı kümedeyse küme o işleme göre kapalıdır.
N toplama ve çarpmaya göre kapalıdır, çıkarmaya göre kapalı değildir: 3 − 5 = −2 ∉ N. Z toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalıdır, bölmeye göre değildir: 1 ÷ 2 = 1/2 ∉ Z.
Q ve R, sıfıra bölme dışında dört işleme göre kapalıdır. İrrasyonel sayılar kümesi çarpmaya göre kapalı değildir: √2 · √2 = 2 rasyoneldir.

Unutma: Bir kümenin bir işleme göre kapalı olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeter, ama kapalı olduğunu göstermek için her durumu kapsayan bir gerekçe gerekir.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Sayı kümelerini iç içe geçmiş kutular gibi düşün: en içte doğal sayılar, onu tam sayılar, onu da rasyonel sayılar sarar; rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur.

Bir sayının hangi kümede olduğunu bulmak için onu en sade hâliyle yaz: √9 = 3 olduğundan doğal sayıdır, irrasyonel değildir.
Kapalılığı denerken önce küçük örneklerle başla: iki doğal sayıyı çıkar, sonuç hep doğal sayı mı? 2 − 5 = −3 olduğundan değil.
Bir karşı örnek bulduğunda kümenin o işleme göre kapalı olmadığını göstermiş olursun.

Günlük hayattan: Asansör katları tam sayılarla gösterilir (−2 otopark, 0 giriş); ama bir tarifteki 1,5 su bardağı ölçüsü tam sayı değil rasyonel sayıdır.

Sık yapılan hata: Köklü her sayıyı irrasyonel sanmak. Doğrusu: Kök içi tam kare olan √16 = 4, √0,25 = 0,5 gibi sayılar rasyoneldir; √2, √5 gibi sayılar irrasyoneldir.

Derinleş

Tarihte negatif sayılar ve sıfır uzun süre "gerçek sayı" kabul edilmedi. Hangi ihtiyaçların (borç hesabı, sıcaklık, takvim) bu sayıların kabul edilmesini sağladığını araştır. Ardından şunu düşün: Bir sayı kümesinin bir işleme göre kapalı olmaması günlük hayatta hangi soruna yol açar? Örneğin yalnızca doğal sayılarla çalışan bir banka hesabı nasıl bir sorunla karşılaşır?

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.9.1.3Farklı sayı kümelerinin özellikleri hakkında muhakeme yapabilme
- a) Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılara dair temel özelliklere (sıralama, arada olma ve işlem özellikleri) ilişkin varsayımlarda bulunur.
- ç) Elde ettiği genellemelerden sayı kümelerinin özellikleri hakkında önermeler sunar.
- d) Önermelerin kullanışlılığını problem durumlarında değerlendirir.
- e) Elde ettiği önermeleri ispatlamak ya da çürütmek için matematiksel ispat yöntemlerini kullanır.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Ayşe ile Can bir bilmece üzerinde düşünüyor: "Seçtiğin kümeden birbirinden farklı herhangi iki sayı al; aralarına her zaman yine o kümeden bir sayı yerleştirebiliyor musun?" Can 3 ile 4'ü denediğinde aralarına koyacak bir sayı bulamıyor. Bu sorunun cevabı aşağıdaki kümelerden hangisi için her zaman "evet"tir?
- A) Rasyonel sayılar
- B) Doğal sayılar
- C) Tam sayılar
- D) Pozitif tam sayılar
- E) Tek doğal sayılar
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılarda arada olma özelliği vardır: a < b ise (a + b)/2 de rasyoneldir ve ikisinin arasındadır. Tam sayıları seçen öğrenci Can'ın denediği 3 ile 4 örneğini gözden kaçırmıştır; ardışık iki tam sayı arasında başka tam sayı yoktur.
Kolay
2Bir pastane, bir tepsi pastayı sıfırdan farklı sayıda eşit parçaya bölüp paylaştırırken bölme işlemini kullanıyor. Pastacı Elif, "Bu kümeden iki sayıyı birbirine bölersem sonuç yine bu kümede kalır" cümlesinin hangi küme için her zaman doğru olduğunu merak ediyor (sıfıra bölme hariç). Aşağıdaki kümelerden hangisi bölme işlemine göre kapalıdır?
- A) Doğal sayılar
- B) Tam sayılar
- C) İrrasyonel sayılar
- D) Rasyonel sayılar
- E) Pozitif tam sayılar
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Rasyonel sayılar
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayıya bölünen rasyonel sayı yine rasyoneldir: (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc. Tam sayıları seçen öğrenci 1 ÷ 2 = 1/2 gibi tam sayı olmayan sonuçları düşünmemiştir; √2 ÷ √2 = 1 de irrasyonellerin kapalı olmadığını gösterir.
Kolay
3Bir derin dondurucunun dijital göstergesi kapak açıldıktan sonra iç sıcaklığı −7 °C olarak gösteriyor. Fen dersinde öğrenciler bu sayının N (doğal), Z (tam), Q (rasyonel) ve R (gerçek) sayı kümelerinden hangilerine ait olduğunu tartışıyor. −7 sayısı hangi kümelerin elemanıdır?
- A) Yalnız Z
- B) N, Z, Q ve R
- C) Yalnız R
- D) Z, Q ve R
- E) Q ve R
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Z, Q ve R
−7 negatif olduğundan doğal sayı değildir, ama bir tam sayıdır; Z ⊂ Q ⊂ R olduğundan Q ve R'nin de elemanıdır. Yalnız Z'yi seçen öğrenci sayı kümelerinin iç içe olduğunu, her tam sayının aynı zamanda rasyonel ve gerçek sayı olduğunu gözden kaçırmıştır.
Kolay
4Matematik kulübü, sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi gösteren iç içe dairelerden oluşan bir afiş hazırlıyor. Afişin altına bu çizimle uyumlu, her zaman doğru olan tek bir cümle yazılacak. Afişe yazılabilecek cümle hangisidir?
- A) Her rasyonel sayı bir tam sayıdır.
- B) Her gerçek sayı bir rasyonel sayıdır.
- C) Her tam sayı bir doğal sayıdır.
- D) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
- E) Her gerçek sayı bir irrasyonel sayıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
Her tam sayı a, a/1 biçiminde yazılabildiği için rasyoneldir (Z ⊂ Q). "Her rasyonel sayı bir tam sayıdır" diyen öğrenci kapsama yönünü ters çevirmiştir; 1/2 buna karşı örnektir.
Kolay
5Bir sınıf listesinde hiç devamsızlık yapmayan öğrencinin devamsızlık sayısı 0 olarak yazılmıştır. 0 sayısı aşağıdaki kümelerin hangilerinin elemanıdır?
- A) N, Z, Q ve R
- B) Yalnız Z ve Q
- C) Yalnız R
- D) Z, Q ve R
- E) Yalnız N ve Z
Cevabı göster
Doğru cevap: A) N, Z, Q ve R
N = {0, 1, 2, ...} olduğundan 0 bir doğal sayıdır; N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R olduğu için 0 dört kümenin de elemanıdır. “Z, Q ve R” cevabı 0'ı doğal sayı saymamaktan gelir.
Kolay
6Sayı doğrusunda −2 ile 3 arasında (−2 ve 3 hariç) kaç tane tam sayı vardır?
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 3
- E) Sonsuz sayıda
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4
−2 ile 3 arasındaki tam sayılar −1, 0, 1 ve 2'dir; sayı 4 olur. “Sonsuz sayıda” cevabı tam sayılarda arada olma özelliğinin olmadığını gözden kaçırmaktır; sonsuz sayıda olan rasyonel sayılardır.
Kolay
7Bir öğrenci ölçtüğü uzunlukları farklı biçimlerde not etmiştir. Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel sayıdır?
- A) √9
- B) 0,75
- C) −8
- D) √3
- E) 22/7
Cevabı göster
Doğru cevap: D) √3
√3, a/b biçiminde yazılamaz; bu yüzden irrasyoneldir. 22/7 π'ye yakın bir değer olsa da iki tam sayının oranı olduğu için rasyoneldir.
Kolay
8a ve b iki rasyonel sayı olmak üzere a + b toplamı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Her zaman bir tam sayıdır.
- B) Bazen irrasyonel bir sayıdır.
- C) Her zaman bir doğal sayıdır.
- D) Her zaman bir rasyonel sayıdır.
- E) Yalnız a = b ise rasyoneldir.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Her zaman bir rasyonel sayıdır.
Q toplama işlemine göre kapalıdır; örneğin 1/2 + 1/3 = 5/6 yine rasyoneldir. “Her zaman tam sayı” yanlıştır, çünkü bu örnekte toplam tam sayı değildir.
Kolay
9Bir hava durumu uygulamasında beş günlük sıcaklık değişimleri −1/2, −2/3, −3/5, −1/3 ve 0 olarak verilmiştir. Bu sayılardan en küçüğü hangisidir?
- A) −1/2
- B) −3/5
- C) −1/3
- D) 0
- E) −2/3
Cevabı göster
Doğru cevap: E) −2/3
Sayılar ortak paydada (30) yazılınca −15/30, −20/30, −18/30, −10/30 ve 0 elde edilir; en küçüğü −20/30 = −2/3'tür. −1/3'ü en küçük sanmak, negatif sayılarda paydası küçük olanı daha küçük saymaktan gelir.
Kolay
10Bir pasta tarifinde ölçüler kesirli ve ondalıklı sayılarla verilmiştir. Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayı olup tam sayı değildir?
- A) −5
- B) √2
- C) π
- D) −3/4
- E) 0
Cevabı göster
Doğru cevap: D) −3/4
−3/4 iki tam sayının oranıdır ama bir tam sayı değildir. −5 ve 0 rasyonel olsa da aynı zamanda tam sayıdır; √2 ve π ise irrasyoneldir.
Kolay
11Bir cetvelde 0,1 ile 0,2 arasındaki bölüm büyüteçle incelendikçe daha fazla ara değer görülüyor. 0,1 ile 0,2 arasında kaç tane rasyonel sayı vardır?
- A) Hiç yoktur
- B) Sonsuz sayıda
- C) 1
- D) 9
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Sonsuz sayıda
Q kümesinde arada olma özelliği vardır; iki rasyonel sayı arasına her zaman yeni bir rasyonel sayı yerleştirilebildiğinden sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. 9 cevabı yalnızca 0,11; 0,12; ...; 0,19 gibi iki basamaklı sayıları saymaktan gelir.
Kolay
12Bir futbol takımının averajı, attığı gol sayısından yediği gol sayısının çıkarılmasıyla bulunur. Takımların alabileceği averaj değerlerini tam olarak kapsayan en uygun küme aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Tam sayılar
- B) Doğal sayılar
- C) Pozitif tam sayılar
- D) İrrasyonel sayılar
- E) Negatif tam sayılar
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Tam sayılar
Gol sayıları doğal sayıdır, farkları ise pozitif, negatif ya da sıfır olabilir; bu yüzden averaj bir tam sayıdır. Doğal sayılar seçilirse yediği golü daha fazla olan takımın negatif averajı gösterilemez.
Kolay
13Çemberin çevresinin çapına oranı π sayısıdır. π ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
- A) π ∈ Q
- B) π ∈ Z
- C) π ∉ R
- D) π = 22/7
- E) π ∈ R ve π ∉ Q
Cevabı göster
Doğru cevap: E) π ∈ R ve π ∉ Q
π irrasyonel bir sayıdır; gerçek sayılar kümesindedir ama rasyonel sayılar kümesinde değildir. π = 22/7 yazmak yaklaşık değeri sayının kendisi sanmaktır.
Kolay
14Emre, tam sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olmadığını göstermek istiyor. Bunun için aşağıdaki işlemlerden hangisini karşı örnek olarak kullanabilir?
- A) 8 ÷ 2 = 4
- B) −6 ÷ 3 = −2
- C) 7 ÷ 2 = 3,5
- D) 0 ÷ 5 = 0
- E) 9 ÷ (−3) = −3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7 ÷ 2 = 3,5
7 ve 2 tam sayı olduğu hâlde 3,5 tam sayı değildir; tek karşı örnek kümenin kapalı olmadığını gösterir. Diğer işlemlerin sonuçları tam sayı olduğu için karşı örnek olamaz.
Kolay
15Doğal sayılar kümesinden herhangi iki sayı alınıp bir işlem yapıldığında sonuç her zaman yine bir doğal sayı oluyor. Bu işlem aşağıdakilerden hangisi olabilir?
- A) Çıkarma
- B) Bölme
- C) Karekök alma
- D) Ortalama alma
- E) Çarpma
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Çarpma
N çarpma işlemine göre kapalıdır. Çıkarma kapalı değildir, çünkü 3 − 5 = −2 doğal sayı değildir; ortalama da 1 ile 2 için 1,5 verir.
Kolay
16Babillilere ait bir kil tablette yer alan bir sayı, günümüz gösterimiyle 1,4142'ye eşittir ve √2'nin yaklaşık değeri olarak bilinir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) 1,4142 ve √2 eşit sayılardır.
- B) 1,4142 irrasyonel, √2 rasyoneldir.
- C) 1,4142 rasyonel, √2 irrasyoneldir.
- D) İkisi de irrasyonel sayıdır.
- E) İkisi de tam sayıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1,4142 rasyonel, √2 irrasyoneldir.
1,4142 sonlu bir ondalık sayıdır ve 14142/10000 biçiminde yazılabildiği için rasyoneldir; √2 ise irrasyoneldir. İki sayı eşit değildir, 1,4142 yalnızca √2'nin yaklaşık değeridir.
Kolay
17Bir sayı avı etkinliğinde öğrencilerden, tam sayı olan ama doğal sayı olmayan kartı bulmaları isteniyor. Masadaki beş kartta −9/2, −√9, −√3, 0 ve √9 sayıları yazıyor. Öğrencilerin bulması gereken kart aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −9/2
- B) −√9
- C) −√3
- D) 0
- E) √9
Cevabı göster
Doğru cevap: B) −√9
√9 = 3 olduğundan −√9 = −3'tür; −3 bir tam sayıdır ama negatif olduğu için doğal sayı değildir. √9 = 3 ve 0 doğal sayıdır. −9/2 = −4,5 rasyoneldir ama tam sayı değildir. −√3 ise irrasyoneldir. Köklü yazılan her sayı irrasyonel değildir; önce kökün değeri bulunmalıdır.
Kolay
18Bir öğrenci, sayı doğrusunda verilen iki kesrin arasına bir tam sayı yerleştirmeye çalışıyor. Beş kesir çiftinden yalnız birinde bunu başaramıyor, çünkü o iki kesir aynı ardışık iki tam sayının arasında kalıyor. Öğrencinin araya tam sayı yerleştiremediği kesir çifti aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5/3 ile 7/3
- B) 7/2 ile 9/2
- C) 9/4 ile 11/4
- D) −1/2 ile 1/2
- E) 14/5 ile 16/5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9/4 ile 11/4
9/4 = 2,25 ve 11/4 = 2,75 sayılarının ikisi de 2 ile 3 arasındadır. Tam sayılar kümesinde arada olma özelliği yoktur; 2 ile 3 arasında başka tam sayı bulunmadığından bu çiftin arasına tam sayı yerleştirilemez. Öteki çiftlerde 5/3 < 2 < 7/3, 7/2 < 4 < 9/2, −1/2 < 0 < 1/2 ve 14/5 < 3 < 16/5 olduğundan araya birer tam sayı girer.
Orta
19Bir kek tarifinde şeker miktarının bir su bardağının 2/5'inden fazla, yarısından az olması öneriliyor. Mutfakta farklı ölçü kaşıklarıyla beş ayrı miktar hazırlanmış; her miktar bardağın kesri olarak etiketlenmiş. Hangi miktar tarifteki öneriye uyar?
- A) 3/5
- B) 3/10
- C) 9/20
- D) 11/20
- E) 7/20
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9/20
2/5 = 0,40 ve 1/2 = 0,50'dir; 9/20 = 0,45 bu iki sayının arasındadır. 11/20'yi seçen öğrenci paydaları eşitlemeden payları karşılaştırmıştır; 11/20 = 0,55 yarıdan büyüktür.
Orta
20Ebru, sınıf arkadaşının "İki irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir" iddiasını çürütmek istiyor. Bunun için iki irrasyonel sayının çarpımının rasyonel çıktığı bir eşitlik bulması gerekiyor. Ebru'nun kullanabileceği karşı örnek hangisidir?
- A) √3 · √12 = 6
- B) √2 · √3 = √6
- C) π · π = π²
- D) √5 + √5 = 2√5
- E) √7 · 2 = 2√7
Cevabı göster
Doğru cevap: A) √3 · √12 = 6
√3 ve √12 irrasyoneldir, ama çarpımları √36 = 6 rasyoneldir; bu, irrasyonel sayıların çarpmaya göre kapalı olmadığını gösterir. √5 + √5 = 2√5'i seçen öğrenci çarpma yerine toplama işlemine bakmıştır; sonuç da zaten irrasyoneldir.

Ders videoları

MEB'in 9. sınıf Matematik örnek ders anlatımları. Tüm videolar (7)

9.Sınıf Matematik Dersi Örnek Ders Anlatımı Kaynak: MEB

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.