11. Sınıf Temel Matematik · Geometrik Şekiller
Dörtgenlerin Alan Bağıntıları ve Alan Özellikleri
- alan
- paralelkenarın alanı
- yamuğun alanı
- deltoidin alanı
- yükseklik
- köşegen
- sinüslü alan formülü
Dörtgenlerin alanı hangi formüllerle hesaplanır?
Dörtgenlerin alanı, dörtgenin türüne göre kenar, yükseklik ya da köşegen uzunluklarıyla hesaplanır. Kenarı x olan karenin alanı x², kenarları x ve y olan dikdörtgenin alanı x · y olur. Eşkenar dörtgende ve paralelkenarda alan, bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır. Paralelkenarın köşegenleri şekli alanları eşit dört üçgene böler; bir kenar üzerindeki nokta ile karşı kenarın uçlarının oluşturduğu üçgenin alanı paralelkenarın alanının yarısıdır. Tabanları a ve c, yüksekliği h olan yamuğun alanı (a + c) · h / 2 bağıntısıyla bulunur; yamukta köşegenler kesiştiğinde yan kenarlara dayanan iki üçgenin alanı eşittir. Köşegenleri dik olan deltoidin alanı köşegen uzunlukları çarpımının yarısıdır. Genel dörtgende köşegenler e ve f, aralarındaki açı α ise alan = (1/2) · e · f · sin α olur. Karmaşık bölgelerin alanı çoğu zaman büyük şeklin alanından dışarıda kalan üçgenlerin alanları çıkarılarak bulunur.
Dörtgenlerin Alan Bağıntıları ve Alan Özellikleri: konu anlatımı ve özeti
Bu konuda özel dörtgenlerin alan formüllerini ve köşegenlerle oluşan üçgenlerin alanları arasındaki ilişkileri öğreneceksin. Alanı A(ABCD) diye gösteriyoruz.
- Kare: Kenar x ise A = x².
- Dikdörtgen: Kenarlar x ve y ise A = x · y.
- Eşkenar dörtgen: Kenar x, yükseklik h ise A = x · h.
- Paralelkenar: A = a · hₐ = b · h_b; kenar ile o kenara ait yükseklik çarpılır.
- Paralelkenarda parçalar: Köşegenler paralelkenarı alanları eşit dört üçgene böler. Bir kenar üzerindeki nokta ile karşı kenarın uçlarının oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenar alanının yarısıdır. Bu özellikler eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede de geçerlidir.
- Yamuk: Tabanlar a ve c, yükseklik h ise A = (a + c) · h / 2. Köşegenler kesiştiğinde yan kenarlara dayanan iki üçgenin alanı eşittir: A(ADE) = A(BEC). Yan kenar BC’nin orta noktası E ise A(ADE) = A(ABCD)/2.
- Deltoid: Köşegenler dik olduğundan A = |AC| · |BD| / 2.
- Genel dörtgen: Köşegenler e ve f, aralarındaki açı α ise A = (1/2) · e · f · sin α.
Unutma: Karmaşık bir bölgenin alanını bulmak için çoğu zaman büyük şeklin alanından dışarıda kalan üçgenlerin alanlarını çıkarırsın.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
- Şeklin türünü belirle ve formülü seç: kare x², dikdörtgen x · y, paralelkenar taban × yükseklik, yamuk (a + c) · h / 2, deltoid köşegenlerin çarpımının yarısı.
- Yüksekliğin tabana dik olduğundan emin ol; eğik kenarı yükseklik sanma.
- Bölge düzensizse dikdörtgene tamamla, sonra fazlalık üçgenleri çıkar.
Günlük hayattan: Bir bahçeye ekilecek çim için alan hesaplarken bahçe yamuk biçimindeyse iki paralel kenarı ölçüp toplarsın, aralarındaki dik uzaklıkla çarpıp ikiye bölersin.
Sık yapılan hata: Paralelkenarın alanını iki kenarın çarpımı (a · b) sanmak. Doğrusu taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır; a · b yalnızca dikdörtgende doğru sonuç verir.
İpucu: Yamuk formülü, orta taban × yükseklik olarak da düşünülebilir: (a + c)/2 orta tabandır.
Derinleş
Kitaptaki 31. Örnekte 8 × 18 boyutlarındaki ABCD dikdörtgen arsanın içine DEFG parkı yapılıyor: |AE| = 6, |EB| = 12, |CF| = 3, |GD| = 14. Pisagor’dan |DE| = 10, |EF| = 13, |GF| = 5 bulunup çevre 14 + 10 + 13 + 5 = 42 birim; alan ise 144 − (24 + 30 + 6) = 84 birimkare çıkıyor. Aynı yöntemi kullanarak |CF| = 4 ve |GD| = 15 olsaydı parkın alanını hesapla. (Kontrol: |GC| = 3, |FB| = 4; 144 − (24 + 24 + 6) = 90 birimkare.)
Düşün: Kitaptaki 12. Uygulamada deltoid, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen biçimli üç eşit alanlı tarlada kenar orta noktalarıyla oluşturulan bölgeler karşılaştırılıyor. Kenar orta noktalarını birleştirerek oluşturulan dörtgenin alanı, ana dörtgenin alanının ne kadarı olabilir?
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.