12. Sınıf Matematik · Türev

Maksimum ve Minimum Problemleri

maksimum
minimum
türev
optimizasyon
ekstremum noktası
modelleme

Maksimum ve minimum problemleri türevle nasıl çözülür?

Maksimum ve minimum problemleri, en büyük ya da en küçük olması istenen büyüklüğün tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazılıp türevinin sıfıra eşitlenmesiyle çözülür. En az malzemeyle en çok hacim ya da en düşük maliyetle en yüksek kâr gibi gerçek hayat durumları bu türdendir. Fonksiyonun türevi alınır, f'(x) = 0 yapan değerler bulunur ve işaret tablosuyla noktanın maksimum mu minimum mu olduğu kontrol edilir. Değişkenin anlamlı olduğu aralık, örneğin uzunluğun pozitif olması, göz önünde tutulur. Örneğin toplamı 16 olan iki sayının çarpımı f(x) = 16x − x² olarak yazılır; f'(x) = 16 − 2x = 0 eşitliğinden x = 8 ve en büyük çarpım 64 bulunur. Çevresi 40 m olan dikdörtgende en büyük alan 100 m²'dir ve şekil karedir. Sorular çoğu zaman x'in kendisini değil, en büyük ya da en küçük değeri ister.

Maksimum ve Minimum Problemleri: konu anlatımı ve özeti

Bu konu, en büyük ya da en küçük değerin arandığı gerçek hayat problemlerini türev yardımıyla çözmeyi anlatıyor. En az malzemeyle en çok hacim ya da en düşük maliyetle en yüksek kâr gibi durumlar bu türdendir.

Önce en büyük ya da en küçük olması istenen büyüklük belirlenir. Bu büyüklük verilen koşullar kullanılarak tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazılır.
Fonksiyonun türevi alınır ve f'(x) = 0 yapan değerler bulunur. İşaret tablosuyla bu noktanın maksimum mu minimum mu olduğu kontrol edilir.
Değişkenin anlamlı olduğu aralık (uzunluk pozitif olmalı gibi) mutlaka göz önüne alınır.
Örnek: Toplamı 16 olan iki sayının çarpımı f(x) = x(16 − x) = 16x − x² olarak yazılır. f'(x) = 16 − 2x = 0'dan x = 8 bulunur. En büyük çarpım 8 · 8 = 64'tür.
Örnek: Çevresi 40 m olan dikdörtgenin kenarları x ve 20 − x olsun. Alan A(x) = 20x − x² olur, A'(x) = 20 − 2x = 0'dan x = 10 bulunur. En büyük alan 100 m²'dir ve şekil karedir.
Bir eğri üzerindeki noktanın koordinatları toplamı ya da başka bir noktaya uzaklığı gibi büyüklükler de aynı yöntemle en küçük değere indirilir.

Unutma: Bulduğun x değerini sorunun istediği büyüklüğe yerine koymayı unutma. Soru çoğu zaman x'i değil, en büyük ya da en küçük değeri ister.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Optimizasyon problemlerini dört adımda çöz.

Neyi en büyük ya da en küçük yapacaksın? Örnek: Bir duvarın önüne 24 m telle üç kenarı çevrilmiş dikdörtgen bir bahçe yapılacak; alan en büyük olsun.
Tek değişkenle yaz. Duvara dik kenarlar x ise duvara paralel kenar 24 − 2x olur. A(x) = x(24 − 2x) = 24x − 2x².
Anlamlı aralığı belirle. Uzunluk pozitif olmalı: 0 < x < 12.
Türevi sıfırla ve kontrol et. A'(x) = 24 − 4x = 0 ⇒ x = 6. Alan 6 · 12 = 72 m² olur.

Günlük hayattan: Bir fırın, kutu başına ambalaj maliyetini en aza indirmek için kutunun boyutlarını bu yöntemle seçebilir.

Sık yapılan hata: x = 6'yı bulup cevap diye yazmak. Soru alanı soruyorsa cevap 72 m²'dir; bulunan x yalnızca ara adımdır.

Derinleş

Hacmi 330 mL olan silindir biçimli bir içecek kutusu için yüzey alanını en küçük yapan yarıçap ve yüksekliği türevle hesapla. Ardından evdeki ya da marketteki gerçek kutuların ölçülerini cetvelle ölç ve hesabınla karşılaştır. Üreticiler neden en az malzeme kullanan biçimi seçmiyor olabilir? Taşıma, tutuş ve kapak gibi etkenleri ve malzeme israfının çevresel sonucunu birlikte değerlendir.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.12.4.9Gerçek yaşam durumlarında türevi kullanarak problemler çözebilme
- a) Türev bilgisininkullanılabileceği problemlerdeki matematiksel bileşenleri (problemi temsil eden fonksiyonun nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri) belirler.
- e) Belirlediği stratejiyi kullanarak problemi çözer.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1El yapımı defter üreten bir atölyenin x adet defter satışından elde ettiği kâr K(x) = −2x² + 80x TL olarak hesaplanıyor. Atölye sahibi, kârı en büyük yapacak üretim miktarını belirlemek istiyor. Kârın en çok olması için kaç adet defter satılmalıdır?
- A) 40
- B) 20
- C) 80
- D) 10
- E) 800
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 20
K'(x) = −4x + 80 = 0 ise x = 20 adettir; K' bu noktada pozitiften negatife geçer. 800 seçeneği, en büyük kârın (K(20) = 800 TL) adet sanılmasından; 40 ise kârın sıfır olduğu noktalardan birinin bulunmasından doğar.
Kolay
2Bir öğrenci, bir kutunun hacim fonksiyonunun türevini sıfır yapıp x = 4 değerini buluyor. Bu değerde hacmin en büyük mü yoksa en küçük mü olduğunu belirlemek için öğretmeninden yöntem istiyor. Öğretmenin önereceği doğru yöntem aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Hacim değerinin işaretine bakmak
- B) Türevin x = 4'teki işaret değişimine bakmak
- C) x = 4'ün tam sayı olup olmadığına bakmak
- D) Grafiğin y eksenini kestiği yere bakmak
- E) Türevin x = 4'teki değerine bakmak
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Türevin x = 4'teki işaret değişimine bakmak
Türev, kritik noktanın solunda pozitif sağında negatifse nokta maksimum, tersi ise minimumdur. "Türevin x = 4'teki değerine bakmak" bilgi vermez; türevi sıfır olarak bulunan noktada değer zaten 0'dır.
Kolay
3Defne, okul bahçesinde 20 metrelik çitle en büyük alanlı dikdörtgen bir sebze tarhı kurmak istiyor ve problemi türev yardımıyla çözmeyi planlıyor. Defter kenarına çözümün adımlarını sırasıyla yazmaya başlıyor. Defne'nin yazması gereken ilk adım aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Alan fonksiyonunun integralini almak
- B) Alanı tek değişkenli bir fonksiyonla yazmak
- C) Kenarlara rastgele değerler vermek
- D) Türevi sıfır yapan değeri bulmak
- E) Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Alanı tek değişkenli bir fonksiyonla yazmak
Önce en büyük yapılacak alan, kenarlardan biri x alınarak tek değişkenli bir fonksiyonla yazılır: A(x) = x(10 − x). "Türevi sıfır yapan değeri bulmak" da çözümün bir adımıdır ama fonksiyon kurulmadan türev alınamayacağı için ilk adım olamaz.
Kolay
4Bir bahçıvan, 20 metrelik telle dikdörtgen biçiminde bir çiçek tarhının çevresini kapatacak. Kenarlardan biri x metre alınınca tarhın alanı f(x) = −x² + 10x metrekare olarak ifade ediliyor. Tarhın alanı en çok kaç metrekare olabilir?
- A) 5
- B) 10
- C) 50
- D) 100
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 25
f'(x) = −2x + 10 = 0 ise x = 5 olur ve en büyük alan f(5) = −25 + 50 = 25 m² bulunur; tarh kare biçimindedir. 5 seçeneği, alanı en büyük yapan kenar uzunluğunun alan değeri sanılmasından doğar.
Kolay
5Bir fırında günde x yüz ekmek üretildiğinde ekmek başına maliyet C(x) = x² − 10x + 40 kuruş olarak hesaplanıyor. Ekmek başına maliyetin alabileceği en küçük değer kaç kuruştur?
- A) 5
- B) 15
- C) 40
- D) 25
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 15
C'(x) = 2x − 10 = 0 ise x = 5'tir ve C(5) = 25 − 50 + 40 = 15 kuruş olur. 5, maliyetin değil üretim miktarının değeridir.
Kolay
6Kenarları 10 cm olan kare bir kartonun dört köşesinden kenarı x cm olan eş kareler kesilip kenarlar katlanarak üstü açık bir kutu yapılacak. Kutunun hacmi x'e bağlı bir fonksiyonla yazılacak. Bu problemde x için anlamlı olan aralık aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (0, 10)
- B) (5, 10)
- C) (−5, 5)
- D) (0, 5)
- E) (0, 20)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (0, 5)
Kesilen karelerin kenarı pozitif olmalı ve tabanın kenarı 10 − 2x de pozitif kalmalıdır; bu yüzden 0 < x < 5'tir. (0, 10) aralığı, iki köşeden kesildiğini gözden kaçırır.
Kolay
7Bir serada sabah 8'den itibaren t saat sonra ölçülen sıcaklık T(t) = −t² + 8t + 10 °C olarak modelleniyor (0 ≤ t ≤ 8). Seradaki en yüksek sıcaklık kaç °C'dir?
- A) 4
- B) 26
- C) 10
- D) 18
- E) 22
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 26
T'(t) = −2t + 8 = 0 ise t = 4 saattir ve T(4) = −16 + 32 + 10 = 26 °C olur. 4 seçeneği sıcaklığın en yüksek olduğu zamanı verir.
Kolay
8x ve y pozitif gerçek sayıları için x + 2y = 8 eşitliği veriliyor. x · y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
- A) 16
- B) 4
- C) 8
- D) 12
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 8
x = 8 − 2y yazılırsa çarpım f(y) = 8y − 2y² olur; f'(y) = 8 − 4y = 0 ile y = 2, x = 4 ve çarpım 8 bulunur. 16 yanıtı, 2y yerine y alınıp x = y = 4 seçilmesinden gelir.
Kolay
9Bir okul kulübü, tanesi p TL'den tişört satacak. Yapılan ankete göre p TL fiyatla 100 − 2p tişört satılabilir; gelir R(p) = p(100 − 2p) TL'dir. Gelirin en büyük olması için tişörtün fiyatı kaç TL olmalıdır?
- A) 50
- B) 20
- C) 1250
- D) 30
- E) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 25
R(p) = 100p − 2p² için R'(p) = 100 − 4p = 0 ise p = 25 TL bulunur. 1250 TL en büyük gelirdir, fiyat değildir; 50 ise satışın sıfıra indiği fiyattır.
Kolay
10Bir sayı oyununda Ayşe, toplamı 20 olan iki gerçek sayı seçiyor ve bu sayıların çarpımı kadar puan kazanıyor. Ayşe'nin kazanabileceği en büyük puan kaçtır?
- A) 99
- B) 96
- C) 100
- D) 400
- E) 50
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 100
Sayılar x ve 20 − x ise çarpım f(x) = 20x − x² olur; f'(x) = 20 − 2x = 0 ile x = 10 ve en büyük çarpım 10 · 10 = 100 bulunur. 99, sayıları tam sayı ve farklı seçmek gerektiğini sanmaktan gelir.
Kolay
11Bir aracın 100 km'de harcadığı yakıt, hızı v km/sa iken Y(v) = v²/100 − v + 40 litre olarak modelleniyor. Yakıt tüketiminin en az olduğu hız kaç km/sa'tir?
- A) 100
- B) 25
- C) 40
- D) 15
- E) 50
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 50
Y'(v) = v/50 − 1 = 0 ise v = 50 km/sa bulunur; bu hızda tüketim 25 − 50 + 40 = 15 litredir. 15 seçeneği, hız yerine en az tüketim değerini verir.
Kolay
12Elif, dik kenarlarının uzunlukları toplamı 10 cm olan bir dik üçgen biçiminde kâğıt kesecek. Bu üçgenin alanı en çok kaç cm² olabilir?
- A) 25
- B) 50
- C) 10
- D) 24
- E) 12,5
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 12,5
Dik kenarlar x ve 10 − x ise alan A(x) = x(10 − x)/2 olur; A'(x) = (10 − 2x)/2 = 0 ile x = 5 ve alan 5 · 5/2 = 12,5 cm² bulunur. 25 yanıtı, üçgen alanında 2'ye bölmeyi unutmaktan gelir.
Kolay
13Pozitif bir x sayısı ile bu sayının çarpmaya göre tersinin toplamı f(x) = x + 1/x ile veriliyor. Bu toplamın alabileceği en küçük değer kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) 0
- E) 1/2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
f'(x) = 1 − 1/x² = 0 için x > 0 koşuluyla x = 1 bulunur ve f(1) = 1 + 1 = 2'dir. 1 yanıtı, en küçük değerin alındığı x ile değeri karıştırır.
Kolay
14Bir öğrenci, bir maksimum problemini türev yardımıyla çözmeye başlayacak. Aşağıdakilerden hangisi yöntemin ilk adımıdır?
- A) Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemek
- B) İşaret tablosu yapıp maksimumu kontrol etmek
- C) En büyük olması istenen büyüklüğü tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazmak
- D) Bulunan x değerini fonksiyonda yerine koymak
- E) Fonksiyonun grafiğini çizip tepe noktasını işaretlemek
Cevabı göster
Doğru cevap: C) En büyük olması istenen büyüklüğü tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazmak
Önce en büyük ya da en küçük olması istenen büyüklük, verilen koşullarla tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazılır; türev alma ve işaret kontrolü bundan sonra gelir. Fonksiyon kurulmadan türev alınamaz.
Kolay
15Bir sayı bulmacasında, bir sayıdan karesi çıkarılarak puan hesaplanıyor; yani x sayısı için puan f(x) = x − x²'dir. Bu bulmacada alınabilecek en büyük puan kaçtır?
- A) 1/2
- B) 1
- C) 0
- D) 1/4
- E) 1/8
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 1/4
f'(x) = 1 − 2x = 0 ile x = 1/2 bulunur ve f(1/2) = 1/2 − 1/4 = 1/4 olur. 1/2, en büyük değerin alındığı sayıdır, puan değildir.
Kolay
16Toplamları 10 olan iki gerçek sayının kareleri toplamı f(x) = x² + (10 − x)² ile hesaplanıyor. Bu kareler toplamının en küçük değeri kaçtır?
- A) 50
- B) 100
- C) 25
- D) 10
- E) 20
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 50
f'(x) = 2x − 2(10 − x) = 4x − 20 = 0 ile x = 5 bulunur ve f(5) = 25 + 25 = 50 olur. 25 yanıtı, iki karenin yalnız birini hesaplamaktan gelir.
Kolay
17P(a, b) noktası y = x² − 3x + 6 eğrisi üzerinde hareket ediyor. Bir öğrenci, P'nin koordinatları toplamını tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazıp inceliyor. a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
- A) 1
- B) 4
- C) 5
- D) 21/4
- E) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5
b = a² − 3a + 6 olduğundan toplam g(a) = a + b = a² − 2a + 6 olur. g'(a) = 2a − 2 = 0'dan a = 1 bulunur; türev burada −'den +'ya geçtiği için minimumdur. g(1) = 1 − 2 + 6 = 5'tir. 4, yalnız b değeri yazılınca; 21/4 ise toplam yerine eğrinin tepe noktası (a = 3/2) kullanılınca bulunur.
Kolay
18Bir atölyede günde x adet ürün yapıldığında kâr K(x) = −x² + 20x TL olarak hesaplanıyor. Atölyenin kapasitesi günde en çok 6 üründür, yani 0 ≤ x ≤ 6'dır. Atölyenin günlük kârı en çok kaç TL olabilir?
- A) 64
- B) 84
- C) 96
- D) 100
- E) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 84
K'(x) = −2x + 20 = 0'dan x = 10 bulunur; ancak bu değer 0 ≤ x ≤ 6 aralığının dışındadır. Aralıktaki her x için K'(x) > 0 olduğundan K artandır ve en büyük değerini sağ uçta alır: K(6) = −36 + 120 = 84 TL. 100, x = 10 kapasite sınırına bakılmadan yerine yazılınca bulunur.
Orta
19Bir koordinat düzleminde, kenarları eksenler üzerinde olan dikdörtgen biçimli bir reklam panosu tasarlanıyor; panonun bir köşesi orijinde, karşı köşesi ise y = 6 − x doğrusu üzerinde birinci bölgede bulunan P(x, y) noktasında. Panonun alanı x · y birimkaredir. Panonun alanı en çok kaç birimkare olabilir?
- A) 6
- B) 8
- C) 12
- D) 9
- E) 36
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 9
A(x) = x(6 − x) ve A'(x) = 6 − 2x = 0 ise x = 3, y = 3 olur; en büyük alan 9 birimkaredir. 36 seçeneği, x + y = 6 toplamının karesinin alan sanılmasından; 8 ise x = 2, y = 4 gibi eşit olmayan bir seçimden doğar.
Orta
20Bir terzi, 10 metrelik bir kumaşı iki parçaya ayırıp her parçadan bir kenarı o parçanın uzunluğuna eşit kare biçimli masa örtüsü dikecek. Parçaların uzunlukları x ve y metre olduğunda (x + y = 10, x > 0, y > 0) iki örtünün toplam alanı x² + y² metrekaredir. İki örtünün toplam alanı en az kaç metrekare olabilir?
- A) 50
- B) 100
- C) 25
- D) 52
- E) 58
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 50
y = 10 − x yazılınca A(x) = x² + (10 − x)² ve A'(x) = 4x − 20 = 0 ise x = 5 olur; en küçük değer 25 + 25 = 50 m²'dir. 100 seçeneği, (x + y)² = x² + y² sanılmasından doğar; 52 ise x = 4, y = 6 gibi eşit olmayan bir bölmenin denenmesinden gelir.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.