7. Sınıf Matematik · Geometrik Nicelikler (2)
Eşkenar Dörtgenin Alanı
- eşkenar dörtgen
- köşegen
- dik üçgen
- paralelkenar
Eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerle nasıl bulunur?
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları çarpılıp 2'ye bölünerek bulunur: alan = (köşegen 1 × köşegen 2) ÷ 2. Eşkenar dörtgen, dört kenarı da eşit olan bir dörtgendir ve köşegenleri birbirini dik keser, ortadan ikiye böler. Köşegenler boyunca kesilen dört eş dik üçgen yeniden dizildiğinde bir dikdörtgen oluşur; bu dikdörtgenin kenarları köşegenlerden biri ile diğerinin yarısıdır. Formül bu dönüşümden gelir. Örneğin köşegenleri 16 cm ve 20 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı 16 × 20 ÷ 2 = 160 cm²'dir. Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenar olduğundan alanı taban × yükseklik ile de hesaplanabilir. Kare de bir eşkenar dörtgen sayıldığı için köşegen formülü kare için de geçerlidir; örneğin kareli kâğıda çizilen eşkenar dörtgen de aynı yolla hesaplanır. Köşegenlerin çarpımı 2'ye bölünmezse sonuç eşkenar dörtgenin alanı değil, alanının iki katı olur.
Eşkenar Dörtgenin Alanı: konu anlatımı ve özeti
Eşkenar dörtgen, dört kenarı da eşit olan bir dörtgendir. Bu konu, eşkenar dörtgenin alanını köşegenlerini kullanarak hesaplamayı öğretir.
- Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve ortadan ikiye böler.
- Köşegenler boyunca kesilen dört eş dik üçgen yeniden dizilince bir dikdörtgen oluşur.
- Bu dikdörtgenin kenarları köşegenlerden biri ile diğerinin yarısıdır.
- Bu yüzden eşkenar dörtgenin alanı = (köşegen 1 × köşegen 2) ÷ 2 olur.
- Örnek: Köşegenleri 16 cm ve 20 cm olan eşkenar dörtgenin alanı 16 × 20 ÷ 2 = 160 cm²'dir.
Köşegenleri 16 cm ve 20 cm olan eşkenar dörtgen: köşegenler birbirini dik keser ve ortadan ikiye böler; alan 160 cm² - Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan alanı taban × yükseklik ile de bulunabilir.
- Kare de bir eşkenar dörtgendir; bu formül kare için de geçerlidir.
Unutma: Köşegenleri çarptıktan sonra 2'ye bölmeyi unutma; yoksa alanın iki katını bulursun.
Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme:
Önce temeli pekiştir
Eşkenar dörtgenin alanını bulmanın en kolay yolu köşegenleri kullanmaktır.
- İki köşegenin uzunluğunu ölç.
- Uzunlukları çarp.
- Sonucu 2'ye böl.
Örnek: Köşegenleri 12 cm ve 8 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı 12 × 8 ÷ 2 = 48 cm²'dir.
Neden 2'ye bölüyoruz? Eşkenar dörtgeni, kenarları köşegenler kadar olan bir dikdörtgenin içine çizersen dikdörtgenin tam yarısını kapladığını görürsün.
Günlük hayattan: Bazı karo ve parke desenleri eşkenar dörtgen biçimindedir; bir odaya kaç karo gerektiğini hesaplamak için tek bir karonun alanı bilinmelidir.
Sık yapılan hata: Alanı kenar × kenar ile bulmak. Doğrusu: Bu yalnızca kare için geçerlidir. Eşkenar dörtgen eğildikçe kenarı aynı kalır ama alanı küçülür.
Derinleş
Dört eşit uzunlukta çubuk ya da pipeti uçlarından birleştirerek bir eşkenar dörtgen yap. Şekli yavaşça yatırarak açılarını değiştir ve her durumda köşegenleri ölçüp alanı hesapla. Kenar uzunluğu değişmediği hâlde alan nasıl değişiyor? Alan en büyük değerine hangi şekilde ulaşıyor? Bulgunu bir tabloyla göster.
Öğrenme çıktıları
Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.
MAT.7.4.9Eşkenar dörtgen ve yamuğun alan bağıntılarına dair çıkarım yapabilme
- a) Dikdörtgen, paralelkenar ve üçgenin alan bağıntısına dair ön bilgisiyle eşkenar dörtgenin ve yamuğun alan hesabına yönelik varsayımda bulunur.
- b) Eşkenar dörtgeni ve yamuğu parçalayarak veya tamamlayarak oluşturduğu geometrik şekillerin alanlarını belirler.
- ç) Eşkenar dörtgenin ve yamuğun alan bağıntılarına dair önermeler sunar.
- d) Çeşitli geometrik şekillerin alanlarının hesaplanmasında eşkenar dörtgenin ve yamuğun alan bağıntılarının katkılarını değerlendirir.
Sorular
Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.
Kolay
1Geometri dersinde öğretmen, dört kenarı eşit olan dörtgenlere eşkenar dörtgen dendiğini hatırlatıyor ve öğrencilerden hangi dörtgen türünün bu tanımı her durumda karşıladığını bulmalarını istiyor. Aşağıdaki dörtgenlerden hangisi her zaman bir eşkenar dörtgendir?
- A) Dikdörtgen
- B) Yamuk
- C) Paralelkenar
- D) Kare
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Kare
Karenin dört kenarı her zaman eşit olduğundan her kare bir eşkenar dörtgendir. Paralelkenar seçeneği çekicidir; eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ama her paralelkenarın kenarları eşit değildir.
Kolay
2Seda, köşegen uzunlukları e ve f olan bir eşkenar dörtgeni köşegenleri boyunca kesip dört eş dik üçgen elde ediyor. Üçgenleri yeniden düzenlediğinde kenarları e ve f/2 olan bir dikdörtgen oluşturuyor. Buna göre eşkenar dörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisiyle hesaplanır?
- A) (e · f) ÷ 2
- B) e · f
- C) (e + f) ÷ 2
- D) 2 · (e + f)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (e · f) ÷ 2
Oluşan dikdörtgenin alanı e · (f/2) = (e · f) ÷ 2'dir; parçalar aynı olduğu için eşkenar dörtgenin alanı da budur. e · f seçeneği, köşegenlerin oluşturduğu dış dikdörtgenin alanıdır; bu eşkenar dörtgenin iki katıdır.
Kolay
3Ayşe, uzunlukları farklı iki çıtayı ortalarından çapraz biçimde birleştirip uçlarını iple bağlayarak dört kenarı eşit bir süs çerçevesi yapıyor. Çıtaların, çerçevenin köşegenleri olduğunu fark ediyor. Eşkenar dörtgenin köşegenleri için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
- A) Her zaman eşit uzunluktadır.
- B) Birbirini dik keser ve ortalar.
- C) Birbirine paraleldir.
- D) Birbirini 60° ile keser.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Birbirini dik keser ve ortalar.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik açıyla keser ve her biri diğerini iki eş parçaya ayırır. Köşegenlerin eşit olması yalnızca kare için geçerlidir; Ayşe'nin çıtaları farklı uzunlukta olduğu hâlde çerçeve yine eşkenar dörtgendir.
Kolay
4Mehmet, köşegen uzunlukları 8 cm ve 12 cm olan eşkenar dörtgen biçimli bir uçurtma kâğıdı kesiyor (şekil). Kâğıdın bir yüzünü boyamak için ne kadar boya gerekeceğini hesaplamak istiyor. Kâğıdın bir yüzünün alanı kaç cm²'dir?
- A) 96
- B) 20
- C) 40
- D) 48
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 48
Alan = (köşegen 1 · köşegen 2) ÷ 2 = 8 · 12 ÷ 2 = 96 ÷ 2 = 48 cm²'dir. 96 seçeneği, köşegenlerin çarpımının 2'ye bölünmesinin unutulmasından doğar.
Kolay
5Bir pencere süsü, köşegenleri 9 cm ve 4 cm olan eşkenar dörtgen biçimindedir. Ahmet süsü renkli kâğıttan kesecek. Süsün alanı kaç cm²'dir?
- A) 36
- B) 13
- C) 18
- D) 26
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 18
9 · 4 ÷ 2 = 18 cm² bulunur. 36 cevabı, köşegenlerin çarpımını 2'ye bölmemekten kaynaklanır.
Kolay
6Okan, eşkenar dörtgen biçimli bir kâğıdı iki köşegeni boyunca katlıyor ve kat izlerinin kesiştiği noktayı inceliyor. Öğretmeni, eşkenar dörtgenin köşegenleriyle ilgili her zaman doğru olan özelliği sormuştur. Aşağıdakilerden hangisi her eşkenar dörtgen için doğrudur?
- A) Köşegenlerin uzunlukları her zaman eşittir.
- B) Köşegenler birbirini dik açıyla keser.
- C) Tüm iç açıları 90° olur.
- D) Köşegenler birbirini ortadan bölmez.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Köşegenler birbirini dik açıyla keser.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve ortadan ikiye böler. Köşegenler yalnız kare olduğunda eşittir, her eşkenar dörtgende eşit değildir.
Kolay
7Öğretmen, eşkenar dörtgenin alanının taban ile yüksekliğin çarpımıyla da bulunabileceğini söylüyor. Bunun nedeninin, eşkenar dörtgenin başka bir dörtgen türünün özel bir hâli olması olduğunu belirtiyor. Eşkenar dörtgen aşağıdaki dörtgenlerden hangisinin özel bir hâlidir?
- A) Dikdörtgen
- B) Paralelkenar
- C) Kare
- D) Dik yamuk
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Paralelkenar
Eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğundan bir paralelkenardır; bu yüzden alanı taban · yükseklik ile bulunur. Her eşkenar dörtgenin açıları 90° olmadığından dikdörtgen değildir.
Kolay
8Bir mutfağın zeminine köşegenleri 30 cm ve 40 cm olan eşkenar dörtgen biçimli fayanslar döşeniyor. Usta, bir fayansın kapladığı alanı hesaplıyor. Bir fayansın alanı kaç cm²'dir?
- A) 1200
- B) 70
- C) 600
- D) 140
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 600
30 · 40 ÷ 2 = 600 cm²'dir. 1200 cevabı 2'ye bölmeyi unutmaktan, 140 ise çevreyle ilgili bir toplamadan gelir.
Kolay
9Bir bayrak süsü köşegenleri 2,5 dm ve 4 dm olan eşkenar dörtgen biçimindedir. Gizem süsü kumaştan dikecek. Süsün alanı kaç dm²'dir?
- A) 5
- B) 10
- C) 6,5
- D) 13
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5
2,5 · 4 = 10, 10 ÷ 2 = 5 dm² bulunur. 6,5 cevabı, köşegenleri toplamaktan kaynaklanır.
Kolay
10Zeynep, köşegen uzunlukları 10 mm ve 6 mm olan eşkenar dörtgen biçimli gümüş bir kolye ucu tasarlıyor. Kolye ucunun ön yüzü parlatılacak ve parlatma ücreti alana göre belirleniyor. Kolye ucunun ön yüzünün alanı kaç mm²'dir?
- A) 60
- B) 16
- C) 15
- D) 30
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 30
Alan = köşegenlerin çarpımı ÷ 2 = 10 · 6 ÷ 2 = 30 mm². 60 cevabı, 2'ye bölmeyi unutmaktan; 16 ise köşegenleri toplamaktan gelir.
Kolay
11Seda, köşegenleri 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgen biçimli bir kâğıdı köşegenleri boyunca keserek 4 eş dik üçgen elde ediyor. Her üçgenin dik kenarları köşegenlerin yarısı kadardır. Bir dik üçgenin alanı kaç cm²'dir?
- A) 96
- B) 48
- C) 14
- D) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 24
Dik kenarlar 6 ve 8 cm'dir; alan 6 · 8 ÷ 2 = 24 cm². 96 cevabı ise eşkenar dörtgenin tamamının alanıdır.
Kolay
12Bir kenarı 7 cm olan eşkenar dörtgen biçimli bir kartonda, bu kenara ait yükseklik 5 cm'dir. Ayten, eşkenar dörtgenin bir paralelkenar olduğunu bilerek alanı taban ve yükseklikle hesaplıyor. Kartonun alanı kaç cm²'dir?
- A) 35
- B) 17,5
- C) 28
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 35
Eşkenar dörtgenin alanı taban · yükseklik = 7 · 5 = 35 cm²'dir. 28 cevabı çevreyi (4 · 7), 17,5 ise üçgen gibi 2'ye bölmeyi gösterir.
Kolay
13Bir tabela, köşegenleri 20 cm ve 15 cm olan eşkenar dörtgen biçimindedir. Tabelanın ön yüzüne yansıtıcı bant kaplanacak. Kaplanacak alan kaç cm²'dir?
- A) 300
- B) 35
- C) 75
- D) 150
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 150
20 · 15 ÷ 2 = 150 cm²'dir. 75 cevabı, 2'ye bölme işlemini iki kez yapmaktan kaynaklanır.
Kolay
14Kaan, köşegenleri 10 cm ve 14 cm olan eşkenar dörtgen biçimli bir kartonun alanını 10 · 14 = 140 cm² olarak buluyor. Öğretmeni sonucun yanlış olduğunu söylüyor. Kartonun doğru alanı kaç cm²'dir?
- A) 140
- B) 24
- C) 70
- D) 35
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 70
Köşegenlerin çarpımı 2'ye bölünmelidir: 140 ÷ 2 = 70 cm². Kaan'ın bulduğu 140, köşegenlerin oluşturduğu dikdörtgenin alanıdır ve eşkenar dörtgenin 2 katıdır.
Kolay
15Bir duvar karosu kare biçimindedir ve köşegeninin uzunluğu 8 cm'dir. Selin, karenin de bir eşkenar dörtgen olduğunu düşünerek alanı köşegenlerle hesaplıyor. Karonun alanı kaç cm²'dir?
- A) 64
- B) 32
- C) 16
- D) 128
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 32
Karenin iki köşegeni eşittir; 8 · 8 ÷ 2 = 32 cm² olur. 64 cevabı, köşegeni karenin kenarı sanmaktan gelir.
Kolay
16Mehmet, bir kenarı 6 cm olan eşkenar dörtgen biçimli bir çerçevenin kenarlarına şerit yapıştıracak. Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının eşit olduğunu biliyor. Mehmet kaç cm şerit kullanır?
- A) 24
- B) 36
- C) 12
- D) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 24
Eşkenar dörtgenin dört kenarı eşittir; çevre 4 · 6 = 24 cm'dir. 36 cevabı kenarı kendisiyle çarpmaktan gelir ve bir uzunluk değildir.
Kolay
17Damla, kareli kâğıda köşegenleri 8 birim ve 12 birim olan bir eşkenar dörtgen çiziyor. Eşkenar dörtgeni köşegenleri boyunca kesip dört eş dik üçgen elde ediyor ve bu üçgenleri boşluk kalmadan, üst üste getirmeden birleştirerek bir dikdörtgen oluşturuyor. Oluşan dikdörtgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
- A) 12 birim ve 8 birim
- B) 6 birim ve 4 birim
- C) 12 birim ve 6 birim
- D) 12 birim ve 4 birim
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12 birim ve 4 birim
Her dik üçgenin dik kenarları köşegenlerin yarısıdır: 4 birim ve 6 birim. Dört üçgen birleşince bir kenarı bir köşegen (12 birim), diğer kenarı öbür köşegenin yarısı (4 birim) olan dikdörtgen oluşur; alanı 48 birimkare, yani eşkenar dörtgenin alanıdır (8 · 12 : 2 = 48). 12 ve 8 birimlik dikdörtgenin alanı 96 birimkaredir, iki katıdır; 6 ve 4 birimlik dikdörtgen yalnız iki üçgenle oluşur.
Kolay
18Bir duvar süsü, köşegenlerinden biri 0,6 m, diğeri 40 cm olan eşkenar dörtgen biçimindedir. Gizem süsün ön yüzünü kaplamak için alanını santimetrekare cinsinden hesaplıyor. Süsün ön yüzünün alanı kaç cm²'dir?
- A) 12
- B) 120
- C) 1200
- D) 2400
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1200
Uzunluklar aynı birime çevrilir: 0,6 m = 60 cm. Alan 60 · 40 : 2 = 1200 cm²'dir. 12 sonucu 0,6'yı çevirmeden kullanmaktan, 120 sonucu 0,6 m'yi 6 cm sanmaktan, 2400 sonucu köşegenlerin çarpımını 2'ye bölmeyi unutmaktan doğar.
Orta
19ABCD eşkenar dörtgeni biçimindeki bir masa örtüsünde köşegenlerin kesim noktası işaretlenmiştir (şekil). Bu noktanın A köşesine uzaklığı 5 cm, B köşesine uzaklığı 9 cm'dir. Masa örtüsünün alanı kaç cm²'dir?
- A) 45
- B) 180
- C) 90
- D) 28
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 90
Köşegenler birbirini ortaladığı için köşegen uzunlukları 2 · 5 = 10 cm ve 2 · 9 = 18 cm'dir. Alan = 10 · 18 ÷ 2 = 90 cm²'dir. 45 seçeneği, verilen yarı uzunlukların köşegen sanılmasından (5 · 9) doğar.
Orta
20Köşegen uzunlukları 14 m ve 18 m olan eşkenar dörtgen biçimli bir bahçeye (şekil) hazır çim serilecektir. Çimin metrekaresi 40 TL'dir. Bahçenin tamamı için kaç TL ödenir?
- A) 5.040 TL
- B) 10.080 TL
- C) 1.280 TL
- D) 2.520 TL
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5.040 TL
Bahçenin alanı 14 · 18 ÷ 2 = 126 m²'dir; ödenecek tutar 126 · 40 = 5.040 TL'dir. 10.080 TL seçeneği, köşegenlerin çarpımının 2'ye bölünmesinin unutulmasından doğar.
Katkıda bulun
Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.