7. Sınıf Matematik · İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler

İspat

önerme
cebirsel ifadeler
çift sayı
tek sayı
karşı örnek

Matematikte ispat nedir ve cebirle nasıl yapılır?

İspat, bir matematiksel ifadenin yalnız birkaç örnekte değil, her durumda doğru olduğunu genel olarak, genellikle harfler ve cebir kullanarak göstermektir. Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen ifadelere önerme denir; önermelerde bazen gibi belirsiz kelimeler yerine her zaman ve tüm gibi kesin kelimeler kullanılır. İspatta bir çift sayı 2a, bir tek sayı 2a + 1 şeklinde yazılır ve a bir tam sayıdır. Örneğin iki çift sayı 2a ve 2b ise toplamları 2a + 2b = 2(a + b) olur; bu toplam 2'nin katı olduğu için her zaman çifttir. Ardışık üç sayı n – 1, n ve n + 1 olarak yazılırsa toplamları 3n olur, yani ortadaki sayının 3 katıdır. Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir. Örnek denemek fikir verir ama ispat yerine geçmez, çünkü tüm sayıları tek tek denemek mümkün değildir.

İspat: konu anlatımı ve özeti

Matematikte bir ifadenin birkaç örnekte doğru çıkması, her zaman doğru olduğunu göstermez. Bu konu, bir iddianın her durumda doğru olduğunu cebir kullanarak göstermeyi, yani ispatı öğretir.

Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen ifadelere önerme denir.
Önermelerde "bazen", "çoğu zaman" gibi belirsiz kelimeler yerine "her zaman", "tüm" gibi kesin kelimeler kullanılır.
İspatta harfler kullanılır: Bir çift sayı 2a, bir tek sayı 2a + 1 şeklinde yazılabilir (a bir tam sayı).
Örnek: İki çift sayı 2a ve 2b ise toplamları 2a + 2b = 2(a + b) olur; 2'nin katı olduğu için her zaman çifttir.
Örnek: Ardışık üç sayı n – 1, n, n + 1 ise toplamları 3n olur; yani ortadaki sayının 3 katıdır.
Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.

Unutma: Örnek denemek fikir verir ama ispat yerine geçmez; genel durumu harflerle yazmalısın.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Bir iddiayı birkaç örnekle denemek ile onu ispatlamak farklı şeylerdir.

İddia: İki tek sayının toplamı her zaman çifttir.

Örneklerle deneme: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16. Bu, iddianın doğru olabileceğini düşündürür ama kanıtlamaz.
İspat: Tek sayıları 2a + 1 ve 2b + 1 diye yaz. Toplamları 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) olur. Bu sayı 2'nin katı olduğu için her zaman çifttir.

Harf kullanmak, sonsuz sayıda örneği tek seferde denemek gibidir.

Sık yapılan hata: "Üç örnekte doğru çıktı, o hâlde her zaman doğrudur." Doğrusu: Bir iddianın yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter. "Her asal sayı tektir" iddiası 2 sayısıyla çürür, çünkü 2 hem asal hem çifttir.

Derinleş

"Ardışık iki doğal sayının toplamı her zaman tektir" iddiasını n ve n + 1 kullanarak ispatla. Sonra ardışık dört doğal sayının toplamını incele: Bu toplam her zaman 2'ye bölünür mü? Her zaman 4'e bölünür mü? Önce örneklerle tahmin yürüt, sonra cebirle ispat etmeye ya da bir karşı örnek bulmaya çalış.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.7.2.3Sayılar ve özelliklerini içeren ispatlara ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme
- a) Sayılar ve özellikleriyle ilgili ilişkilere yönelik örneklere ve örüntülere dayalı varsayımlarda bulunur.
- b) Varsayımına yönelik sayı örüntülerini listeler.
- c) Elde ettiği örüntülerin, varsayımını karşılayıp karşılamadığını sınar.
- ç) Ulaştığı sonuca yönelik doğrulayabileceği matematiksel bir önermeyi sözel veya cebirsel olarak ifade eder.
- d) Sunduğu önermenin katkısına yönelik gerekçeler sunar.
- e) Sayılar ve özelliklerine ilişkin durumlarda cebirsel ispat yöntemlerini seçerek işe koşar.

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Can, "Her çift sayı 4 ile tam bölünür." diyor. Arkadaşı Lale, bu varsayımın yanlış olduğunu göstermek için tek bir sayı örneği vermenin yeteceğini söylüyor. Lale'nin verebileceği karşıt örnek aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 10
- B) 8
- C) 12
- D) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 10
10 çift bir sayıdır ama 4 ile tam bölünmez (10 ÷ 4 = 2, kalan 2); tek bir karşıt örnek varsayımı çürütmeye yeter. 8, 12 ve 16 ise hem çift hem 4'ün katıdır; bunlar varsayımı destekler, çürütmez.
Kolay
2Sınıf panosuna dört öğrenci birer cümle yazıyor. Öğretmen, belirsiz ifadeler içermeyen ve doğruluğu kesin olarak sınanabilen cümlenin matematiksel bir önerme olduğunu söylüyor. Aşağıdaki cümlelerden hangisi matematiksel bir önermedir?
- A) İki tek sayının toplamı her zaman çifttir.
- B) Bazı günler hava çok güzel olur.
- C) Matematik çoğu zaman eğlencelidir.
- D) Bu soru belki de kolay bir sorudur.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) İki tek sayının toplamı her zaman çifttir.
Önermeler kesin bir yargı bildirir; "İki tek sayının toplamı her zaman çifttir." cümlesinin doğruluğu ispatla gösterilebilir. Diğer cümlelerdeki "bazı günler güzel", "çoğu zaman eğlenceli", "belki kolay" gibi yargılar kişiye göre değişir; kesin olarak doğru ya da yanlış denemez.
Kolay
3Matematik kulübünde öğretmen tahtaya "Her kare bir dikdörtgendir." yazıyor. Bu cümlenin doğru ya da yanlış olduğunun kesin olarak söylenebildiğini, "Bugün hava güzel." gibi kişiden kişiye değişen bir yargı olmadığını belirtiyor. Öğretmenin tahtaya yazdığı türden ifadelere matematikte ne ad verilir?
- A) Varsayım
- B) Karşıt örnek
- C) Algoritma
- D) Önerme
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Önerme
Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak söylenebilen ifadelere önerme denir. Varsayım seçeneği çekicidir, ama varsayım henüz doğruluğu ispatlanmamış bir tahmindir; tahtadaki cümlenin doğruluğu ise kesindir.
Kolay
4Zeynep, çift sayılarla ilgili bir özelliği ispatlamak istiyor. Bunun için 4, 10, –6, 18 gibi bütün çift sayıları tek bir harfli ifadeyle göstermesi gerekiyor; harf olarak a'yı (a bir tam sayı) kullanacak. Zeynep her çift sayıyı aşağıdakilerden hangisi biçiminde yazabilir?
- A) a + 2
- B) 2a + 1
- C) 2a
- D) a · a
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2a
Çift sayılar 2'nin katlarıdır; a bir tam sayı olmak üzere 2'nin her katı 2a biçiminde yazılır (4 = 2 · 2, –6 = 2 · (–3)). 2a + 1 seçeneği tek sayıları gösterir; a + 2 ise a tek olduğunda tek sayı verir.
Kolay
5Mert ardışık üç tam sayının toplamını incelemek istiyor ve ortadaki sayıya n diyor. Diğer iki sayıyı da n cinsinden yazacak. Ardışık üç tam sayı aşağıdakilerden hangisiyle gösterilir?
- A) n, 2n, 3n
- B) n – 2, n, n + 2
- C) n – 1, n, n + 1
- D) n, n + 1, n + 3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) n – 1, n, n + 1
Ardışık tam sayılar birer birer artar; ortadaki n ise öncesi n – 1, sonrası n + 1'dir. n – 2, n, n + 2 ise ikişer artan sayılardır; örneğin ardışık çift sayıları gösterir.
Kolay
6Defne, “Tüm asal sayılar tektir.” diyor. Arkadaşı Yusuf, bu önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek vermenin yeteceğini söylüyor. Yusuf'un verebileceği karşı örnek aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2
- B) 3
- C) 9
- D) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 2
2 hem asaldır hem de çifttir, bu yüzden önermeyi çürütür. 9 ve 15 tek sayıdır ama asal değildir; bu nedenle önermeye karşı örnek olamaz.
Kolay
7Selin bir ispatta tüm tek sayıları tek bir harfli ifadeyle göstermek istiyor. Bunun için n harfini kullanacak ve n'nin herhangi bir tam sayı olabileceğini belirtecek. Tüm tek sayıları gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) n + 1
- B) 2n
- C) n + 2
- D) 2n + 1
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2n + 1
2n her zaman çifttir, 1 fazlası olan 2n + 1 ise her zaman tektir. n + 1 ifadesi n'ye göre bazen tek bazen çift olur; örneğin n = 3 için 4 çıkar.
Kolay
8Zeynep tek sayıların karelerini hesaplıyor: 1 · 1 = 1, 3 · 3 = 9, 5 · 5 = 25, 7 · 7 = 49. Bu örüntüye bakarak bir varsayımda bulunacak. Zeynep'in örneklerine uyan varsayım aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Bir tek sayının karesi tektir.
- B) Bir tek sayının karesi çifttir.
- C) Bir tek sayının karesi 5'in katıdır.
- D) Bir tek sayının karesi 9'dan büyüktür.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Bir tek sayının karesi tektir.
Listedeki tüm kareler tek sayıdır, bu yüzden varsayım “tek sayının karesi tektir” olur. 9'dan büyük olma varsayımı 1 ve 9 örneklerine uymaz.
Kolay
9Can, ardışık iki çift sayının toplamıyla ilgili bir ispat yazacak. Küçük olan çift sayıyı 2a (a tam sayı) olarak gösteriyor. Ardışık iki çift sayı aşağıdakilerden hangisiyle gösterilir?
- A) 2a ve 2a + 1
- B) 2a ve 2a + 2
- C) 2a ve 4a
- D) a ve a + 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2a ve 2a + 2
Ardışık çift sayılar arasında 2 fark vardır, bu yüzden 2a'dan sonra 2a + 2 gelir. 2a + 1 ise bir tek sayıdır.
Kolay
10Elif defterine “Bir sayının karesi bazen o sayıdan büyüktür.” yazıyor. Öğretmeni, bu cümleyi matematiksel bir önermeye dönüştürmek için belirsiz anlam taşıyan sözcüğü değiştirmesi gerektiğini söylüyor. Cümledeki belirsiz sözcük aşağıdakilerden hangisidir?
- A) karesi
- B) bazen
- C) sayıdan
- D) büyüktür
Cevabı göster
Doğru cevap: B) bazen
“Bazen” sözcüğü ne zaman doğru olduğunu belirtmediği için belirsizdir; önermelerde “her zaman”, “tüm” gibi kesin sözcükler kullanılır. “Büyüktür” ise kesin bir karşılaştırma bildirir.
Kolay
11Ece ardışık üç sayıyı toplayıp sonuçları listeliyor: 1 + 2 + 3 = 6, 4 + 5 + 6 = 15, 7 + 8 + 9 = 24. Bu sonuçlara bakarak bir varsayım yazacak. Ece'nin listesine uyan varsayım aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Toplam her zaman çift sayıdır.
- B) Toplam her zaman 9'un katıdır.
- C) Toplam her zaman tek sayıdır.
- D) Toplam her zaman 3'ün katıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Toplam her zaman 3'ün katıdır.
6, 15 ve 24 sayılarının hepsi 3'ün katıdır. Toplamın çift olduğu varsayımı 15 örneğiyle çürür.
Kolay
12Kaan, iki çift sayıyı 2a ve 2b biçiminde yazıp toplamlarını 2(a + b) olarak düzenliyor (a ve b tam sayı). Toplamın her zaman çift olduğunu söylemek için gerekçesini yazacak. Kaan'ın gerekçesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
- A) 2(a + b), a ile b'nin toplamıdır.
- B) 2(a + b), 2'nin bir tam sayı katıdır.
- C) 2(a + b) her zaman 4'ün katıdır.
- D) 2(a + b) ifadesinde iki harf vardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2(a + b), 2'nin bir tam sayı katıdır.
a + b bir tam sayı olduğundan 2(a + b) sayısı 2'nin katıdır, yani çifttir. 4'ün katı olması gerekmez; örneğin 2 + 4 = 6, 4'ün katı değildir.
Kolay
13Yusuf bir tek sayıyı 2k + 1 biçiminde yazıyor (k tam sayı). Bu sayının 1 fazlasının hangi biçimde yazılabileceğini görmek için ifadeyi düzenliyor. Bir tek sayının 1 fazlası aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- A) 2k + 1
- B) 2(k + 2)
- C) 2(k + 1)
- D) k + 2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2(k + 1)
(2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) olur; bu da bir tek sayının 1 fazlasının çift olduğunu gösterir. 2(k + 2) ise 2k + 4'e eşittir ve 3 fazlayı verir.
Kolay
14Mert, 2 + 4 = 6, 6 + 8 = 14 ve 10 + 12 = 22 işlemlerini yapıyor ve “İki çift sayının toplamının çift olduğunu ispatladım.” diyor. Mert'in yaptığı çalışma için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Örnekler fikir verir ama ispat yerine geçmez.
- B) Üç örnek denemek ispat için yeterlidir.
- C) Toplamlar farklı olduğu için önerme yanlıştır.
- D) Bir karşı örnek bulduğu için ispat yapmıştır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Örnekler fikir verir ama ispat yerine geçmez.
Birkaç örnekte doğru çıkması önermenin tüm çift sayılar için doğru olduğunu göstermez; genel durum 2a + 2b gibi harflerle yazılmalıdır. Mert'in bulduğu toplamlar zaten çift olduğu için karşı örnek de değildir.
Kolay
15Defne, 3'ün katı olan tüm sayılarla ilgili bir özellik ispatlayacak. Bunun için 3, 6, –9, 12 gibi sayıları tek bir harfli ifadeyle göstermesi gerekiyor (k bir tam sayı). Aşağıdaki ifadelerden hangisi 3'ün tüm katlarını gösterir?
- A) k + 3
- B) k ÷ 3
- C) 3k
- D) 3k + 1
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3k
k yerine her tam sayı yazıldığında 3k ifadesi 3'ün bir katını verir. k + 3 ise k = 1 için 4 olur ve 3'ün katı değildir.
Kolay
16Emre, “Bir sayıyı 2'ye böldüğümde bulduğum sonuç her zaman o sayıdan küçüktür.” diyor. Zeynep bunun yanlış olduğunu tek bir sayı örneğiyle göstermek istiyor. Zeynep'in kullanabileceği karşı örnek aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 8
- B) 6
- C) 1
- D) –8
Cevabı göster
Doğru cevap: D) –8
–8 ÷ 2 = –4 olur ve –4, –8'den büyüktür; bu yüzden önerme çürür. 8, 6 ve 1 için sonuç sayının kendisinden küçük çıktığından bunlar karşı örnek olamaz.
Kolay
17Öğretmen tahtaya dört önerme yazıyor. Öğrencilerden, yanlış olduğu tek bir karşıt örnekle gösterilebilecek önermeyi bulmalarını istiyor. Aşağıdaki önermelerden hangisi tek bir karşıt örnekle çürütülebilir?
- A) En az bir tek sayı 5'e tam bölünür.
- B) Her çift sayı 2'ye tam bölünür.
- C) En az bir çift sayı 7'ye tam bölünür.
- D) Her tek sayı 3'e tam bölünür.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Her tek sayı 3'e tam bölünür.
“Her” ile kurulan bir önermeyi çürütmek için onu sağlamayan tek bir örnek yeterlidir: 5 tek sayıdır ama 3'e tam bölünmez. “Her çift sayı 2'ye tam bölünür.” önermesi doğrudur, karşıt örneği yoktur. “En az bir” ile kurulan önermelerin yanlışlığı tek örnekle gösterilemez, bütün durumların incelenmesi gerekir; üstelik bu iki önerme doğrudur (5 ve 14 örnek olur).
Kolay
18Sinan, 2'den başlayan ardışık çift sayıları toplayıp şu eşitlikleri yazıyor: 2 + 4 = 2 · 3 2 + 4 + 6 = 3 · 4 2 + 4 + 6 + 8 = 4 · 5 Bu eşitliklerden bir varsayım oluşturuyor. Sinan'ın varsayımına göre 2 + 4 + 6 + … + 20 toplamı kaçtır?
- A) 90
- B) 100
- C) 110
- D) 132
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 110
Eşitliklerde toplanan terim sayısı, kendisinden 1 fazlasıyla çarpılıyor: 2 terim için 2 · 3, 3 terim için 3 · 4. 2'den 20'ye kadar 10 çift sayı vardır, bu yüzden toplam 10 · 11 = 110 olur. 90 sonucu terim sayısını 9 sanıp 9 · 10 yazmaktan, 132 sonucu terim sayısını 11 sanıp 11 · 12 yazmaktan, 100 sonucu terim sayısını kendisiyle çarpmaktan doğar.
Orta
19Emir, "İki tek sayının toplamı her zaman çifttir." önermesini ispatlamak için tek sayıları 2a + 1 ve 2b + 1 biçiminde yazıyor (a ve b tam sayı). Sonra bu iki ifadeyi toplayıp sonucu 2'nin bir katı olarak göstermeye çalışıyor. Bu iki sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi biçiminde yazılabilir?
- A) 2(a + b) + 1
- B) 4(a + b + 1)
- C) (a + b) + 2
- D) 2(a + b + 1)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2(a + b + 1)
(2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) olur; toplam 2'nin katı olduğu için her zaman çifttir. 2(a + b) + 1 seçeneği, iki tane 1'den yalnızca birinin toplanmasından doğar.
Orta
20Pınar duvar takviminde alt alta değil, yan yana duran ardışık beş günü kutu içine alıyor. Ortadaki günün tarihine n diyor ve kutudaki beş tarihin toplamını n cinsinden yazmak istiyor. Bu beş tarihin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5n
- B) 5n + 10
- C) 3n
- D) 5n + 5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 5n
Tarihler n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2'dir; toplarken –2, –1, +1 ve +2 birbirini götürür ve toplam 5n olur. 5n + 10 seçeneği, n'nin ortadaki değil en küçük sayı alınmasından doğar.

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.