Eşlik ve Benzerlik Koşulları

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

• MAT.9.4.2İki üçgenin eş veya benzer olması için gerekli olan asgari koşullarla ilgili çıkarım

  • b) İncelediği örnekler üzerinden iki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin varsayımlarına dayalı örüntüleri geneller.
  • c) İki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin varsayımları ile elde ettiği genellemeleri karşılaştırır.
  • ç) Ulaştığı genellemelerden iki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin önermeler sunar.
  • d) İki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına dair elde ettiği önermelerin farklı ve yeni durumların anlamlandırılmasına yönelik sunduğu katkıyı değerlendirir.

• MAT.9.4.5Eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarım ve teoremleri içeren problemleri çözebilme

  • e) Belirlediği stratejiyi çözüm için uygulayarak problemi çözer.

Bu konuda neler var?

• Üçgenlerin Eş Olma Koşulları
• Üçgenlerin Benzer Olma Koşulları

1. Kolay

   1Bir mimar, bir binanın üçgen biçimli cephe süslemesinin küçük bir maketini yapıyor. Maketteki üçgen ABC, gerçek süslemedeki üçgen DEF ile ABC ∼ DEF olacak biçimde eşleşmiştir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • AA) |AB| = |DE|
   • BB) m(B) = m(E)
   • CC) m(A) = m(F)
   • DD) |BC| = |EF|
   • EE) |AC| = |DF|
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) m(B) = m(E)

   Benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir; benzerlik yazımında B ile E karşılık geldiğinden m(B) = m(E)'dir. |AB| = |DE|'yi seçen öğrenci benzerliği eşlikle karıştırmıştır; maketin kenarları gerçeğiyle eşit değil, orantılıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

2. Kolay

   2Bir fotokopi makinesinde üçgen biçimli bir çizim %100 ölçekle, yani büyütme ya da küçültme yapılmadan çoğaltılıyor. Özgün çizim ile kopya arasındaki benzerlik oranı 1 olarak hesaplanıyor. Bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi söylenir?

   • AA) Eştirler.
   • BB) Benzer değildirler.
   • CC) Dik üçgendirler.
   • DD) İkizkenardırlar.
   • EE) Eşkenardırlar.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) Eştirler.

   Benzerlik oranı 1 ise karşılık gelen tüm kenarlar eşit uzunluktadır; açılar da eşit olduğundan iki üçgen eştir. Eşlik, benzerliğin oranı 1 olan özel durumudur. "Benzer değildirler" diyen öğrenci eşliği benzerliğin dışında bir durum sanmıştır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

3. Kolay

   3Bir fabrikada aynı kalıptan çıkan iki üçgen metal plakadan biri ABC, diğeri KLM olarak etiketleniyor; kalite raporunda ABC ≅ KLM yazıyor. Teknisyen, bir plakanın AC kenarının ölçüsünü diğer plakada hangi kenarla karşılaştırması gerektiğini bulacak. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi kesinlikle doğrudur?

   • AA) |AC| = |KL|
   • BB) |AB| = |LM|
   • CC) |BC| = |KM|
   • DD) |AC| = |KM|
   • EE) |AB| = |KM|
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) |AC| = |KM|

   Eşlik yazımında köşeler sırasıyla eşlenir: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Bu yüzden AC kenarı KM kenarına karşılık gelir. |AC| = |KL|'yi seçen öğrenci kenarları harf sırasına göre değil, rastgele eşleştirmiştir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

4. Kolay

   4Bir mobilya atölyesinde, aynı tasarımdaki üçgen raf desteklerinin birbirinin tıpatıp aynısı (eş) olup olmadığı kontrol ediliyor. Usta, iki desteği karşılaştırırken bazı ölçüleri yeterli buluyor. Aşağıdakilerden hangisi iki üçgenin eş olduğunu tek başına garanti eden bir koşul değildir?

   • AA) Açı-Açı-Açı (AAA)
   • BB) Kenar-Kenar-Kenar (KKK)
   • CC) Kenar-Açı-Kenar (KAK)
   • DD) Açı-Kenar-Açı (AKA)
   • EE) Açı-Açı-Kenar (AAK)
   Cevabı göster

   Doğru cevap: A) Açı-Açı-Açı (AAA)

   Açıları karşılıklı eşit olan üçgenler yalnızca benzerdir; biri diğerinin büyütülmüş hâli olabilir, bu yüzden AAA eşlik koşulu değildir. AAK'yi seçen öğrenci bu koşulun eksik olduğunu sanmıştır; iki açı eşitse üçüncü açı da eşittir ve AAK, AKA'ya dönüşür.

   Hata mı var? Düzeltme öner

5. Kolay

   5Bir üçgen bir noktası etrafında döndürülüp ardından ötelenerek yeni bir üçgen elde ediliyor. İlk üçgen ile son üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Yalnız açıları eşittir.
   • BB) Eştirler.
   • CC) Benzerlik oranı 2'dir.
   • DD) Yalnız alanları eşittir.
   • EE) Ne eş ne benzerdirler.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) Eştirler.

   Dönme ve öteleme uzunlukları ve açıları korur; bu yüzden bir üçgen ile dönüşüm altındaki görüntüsü eştir. “Yalnız açıları eşit” cevabı dönüşümün uzunlukları değiştirdiği yanılgısından gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

6. Kolay

   6ABC ve DEF üçgenlerinde |AB| = |DE|, |BC| = |EF| ve m(B) = m(E) olduğu biliniyor. Bu üçgenler hangi koşula göre eştir?

   

   • AA) AKA
   • BB) KKK
   • CC) AA
   • DD) KAK
   • EE) Eş olduğu söylenemez
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) KAK

   Eşit verilen B ve E açıları, eşit kenarların arasındadır; bu yüzden Kenar-Açı-Kenar koşulu sağlanır. AA bir benzerlik koşuludur, eşliği göstermez.

   Hata mı var? Düzeltme öner

7. Kolay

   7Kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm, 7 cm olan bir üçgen ile 7 cm, 5 cm, 6 cm olan bir üçgen veriliyor. Bu üçgenler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

   • AA) Yalnız benzerdir, eş değildir.
   • BB) AKA eşlik koşuluyla eştir.
   • CC) Eş olup olmadıkları belirlenemez.
   • DD) KKK eşlik koşuluyla eştir.
   • EE) Benzer değildir.
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) KKK eşlik koşuluyla eştir.

   Üç kenar karşılıklı eşittir; sıralamanın farklı olması önemli değildir. KKK koşuluyla üçgenler eştir. “Yalnız benzer” cevabı kenarların sırasının farklı yazılmasını farklı üçgen sanmaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

8. Kolay

   8Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm, 5 cm olan bir üçgen ile 9 cm, 12 cm, 15 cm olan bir üçgen benzerdir. Büyük üçgenin kenarlarının küçük üçgenin karşılık gelen kenarlarına oranı kaçtır?

   • AA) 6
   • BB) 9
   • CC) 12
   • DD) 3
   • EE) 1/3
   Cevabı göster

   Doğru cevap: D) 3

   9/3 = 12/4 = 15/5 = 3 olduğundan oran 3'tür. 6 cevabı karşılık gelen kenarların farkını oran sanmaktan gelir; 1/3 ise küçük üçgenin büyük üçgene oranıdır.

   Hata mı var? Düzeltme öner

9. Kolay

   9ABC ∼ DEF olmak üzere m(A) = 40° ve m(B) = 75°'dir. m(F) kaç derecedir?

   

   • AA) 40
   • BB) 65
   • CC) 75
   • DD) 115
   • EE) 105
   Cevabı göster

   Doğru cevap: B) 65

   Benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir: m(C) = 180° − 40° − 75° = 65° ve C'ye karşılık gelen F açısı da 65°'dir. 115 cevabı A ve B açılarının toplamını almaktan gelir.

   Hata mı var? Düzeltme öner

10. Kolay

    10Bir haritada üç köyü birleştiren yollar bir üçgen oluşturuyor. Haritadaki üçgen ile gerçekteki üçgen arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) Benzerdirler.
    • BB) Eştirler.
    • CC) Ne eş ne benzerdirler.
    • DD) Yalnız alanları eşittir.
    • EE) Yalnız çevreleri eşittir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Benzerdirler.

    Harita gerçek uzunlukları aynı oranda küçülttüğü için açılar korunur, kenarlar orantılı olur; üçgenler benzerdir. Eş olmaları için benzerlik oranının 1 olması gerekirdi.

    Hata mı var? Düzeltme öner

11. Kolay

    11ABC ∼ DEF olmak üzere |AB| = 4 cm, |DE| = 10 cm ve |BC| = 6 cm'dir. |EF| kaç cm'dir?

    

    • AA) 12
    • BB) 15
    • CC) 2,4
    • DD) 24
    • EE) 60
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 15

    Benzerlik oranı 10/4 = 2,5'tir; |EF| = 6 · 2,5 = 15 cm olur. 12 cevabı kenarlar arasındaki farkı (6 cm) eklemekten gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

12. Kolay

    12ABC ≅ DEF olduğu biliniyor ve ABC üçgeninin alanı 24 cm²'dir. DEF üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

    • AA) 12
    • BB) 48
    • CC) 24
    • DD) 576
    • EE) 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 24

    Eş üçgenlerin karşılıklı bütün elemanları eşit olduğu için alanları da eşittir. 48 cevabı eşliği benzerlik oranı 2 olan bir benzerlik sanmaktan gelir.

    Hata mı var? Düzeltme öner

13. Kolay

    13ABC ≅ DEF olduğu biliniyor ve m(B) = 70°'dir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

    • AA) m(D) = 70°
    • BB) m(F) = 70°
    • CC) m(E) = 70°
    • DD) m(A) = 70°
    • EE) m(E) = 110°
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) m(E) = 70°

    Eşlikte köşeler sırasıyla eşlenir; B köşesine E karşılık gelir ve m(E) = 70° olur. m(D) = 70° cevabı köşelerin yazılış sırasını gözden kaçırmaktır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

14. Kolay

    14İki üçgenin benzer olması aşağıdakilerden hangisi anlamına gelir?

    • AA) Karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılıdır.
    • BB) Karşılıklı kenarları eşit, açıları farklıdır.
    • CC) Yalnız bir açıları eşittir.
    • DD) Çevreleri ve alanları eşittir.
    • EE) Karşılıklı kenar uzunlukları farkı sabittir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılıdır.

    Benzerlikte karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır ve bu oran benzerlik oranıdır. “Kenar farkları sabit” ifadesi orantıyı farkla karıştırmaktır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

15. Kolay

    15İki ikizkenar üçgenin tepe açılarının her biri 40°'dir. Bu üçgenler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) KKK eşlik koşuluyla eştir.
    • BB) Benzer değildir.
    • CC) AA benzerlik koşuluyla benzerdir.
    • DD) Yalnız kenarları eşitse benzerdir.
    • EE) AKA eşlik koşuluyla eştir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) AA benzerlik koşuluyla benzerdir.

    Tepe açısı 40° olan ikizkenar üçgenlerin taban açıları 70° olur; açılar karşılıklı eşit olduğundan AA koşuluyla benzerdirler. Kenarlar bilinmediği için eş oldukları söylenemez.

    Hata mı var? Düzeltme öner

16. Kolay

    16Aşağıdakilerden hangisi iki üçgenin eş olduğunu göstermek için yeterli bir koşul değildir?

    • AA) Kenar-Kenar-Kenar
    • BB) Kenar-Açı-Kenar
    • CC) Açı-Açı-Açı
    • DD) Açı-Kenar-Açı
    • EE) Karşılıklı tüm kenar ve açıların eşit olması
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) Açı-Açı-Açı

    Açıları karşılıklı eşit olan üçgenler farklı büyüklükte olabilir; bu durum yalnız benzerliği gösterir. KKK, KAK ve AKA ise eşlik koşullarıdır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

17. Kolay

    17Bir marangoz, raf desteği olarak dik üçgen biçimli iki köşebent kesiyor. Birinci köşebendin dik kenarları 9 cm ve 12 cm, ikincisinin dik kenarları 15 cm ve 20 cm'dir. Marangoz, hipotenüsleri ölçmeden bu iki üçgenin benzer olduğunu göstermek istiyor. Marangoz bunu hangi koşulla gösterebilir?

    • AA) Açı-Açı benzerliği; çünkü iki üçgenin de bütün açıları ölçülmüştür.
    • BB) Kenar-Açı-Kenar benzerliği; çünkü dik kenarlar orantılı, aralarındaki açılar eşittir.
    • CC) Kenar-Kenar-Kenar benzerliği; çünkü üç kenarın oranı da hesaplanmıştır.
    • DD) Kenar-Açı-Kenar eşliği; çünkü dik açılar ve dik kenarlar birbirine eşittir.
    • EE) Benzerlik gösterilemez; çünkü dik kenar uzunlukları birbirinden farklıdır.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) Kenar-Açı-Kenar benzerliği; çünkü dik kenarlar orantılı, aralarındaki açılar eşittir.

    Dik kenarların oranları 9/15 = 3/5 ve 12/20 = 3/5'tir; yani karşılıklı iki kenar orantılıdır. Bu kenarların arasındaki açılar iki üçgende de 90°'dir. İki kenar orantılı ve aradaki açılar eşit olduğundan üçgenler Kenar-Açı-Kenar benzerlik koşuluyla benzerdir. Yalnız dik açılar bilindiği için Açı-Açı, hipotenüsler ölçülmediği için Kenar-Kenar-Kenar kullanılamaz. Kenarlar eşit değil orantılı olduğundan üçgenler eş değildir; uzunlukların farklı olması benzerliğe engel olmaz.

    Hata mı var? Düzeltme öner

18. Kolay

    18ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 6 cm ve |AC| = 7 cm; DEF üçgeninde |DE| = 6 cm, |EF| = 7 cm ve |DF| = 5 cm'dir. Elif, ABC üçgeninde B açısını açıölçerle yaklaşık 78° ölçüyor. DEF üçgeninde ölçüsü yaklaşık 78° olan açı ve bunun gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • AA) D açısı; çünkü 7 cm'lik EF kenarının karşısındadır.
    • BB) E açısı; çünkü köşe sırasında B gibi ikinci harftir.
    • CC) E açısı; çünkü 5 cm'lik DF kenarının karşısındadır.
    • DD) F açısı; çünkü 6 cm'lik DE kenarının karşısındadır.
    • EE) Böyle bir açı yoktur; çünkü kenar sırası farklı olduğundan üçgenler eş değildir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) D açısı; çünkü 7 cm'lik EF kenarının karşısındadır.

    İki üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olduğundan üçgenler Kenar-Kenar-Kenar koşuluyla eştir. Eş üçgenlerde eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. ABC üçgeninde B açısı 7 cm'lik AC kenarının karşısındadır. DEF üçgeninde 7 cm'lik kenar EF'dir ve EF'nin karşısındaki açı D açısıdır; öyleyse m(D) ≈ 78°'dir. Eşleme harflerin yazılış sırasına göre değil, eşit kenarlara göre yapılır: A ↔ F, B ↔ D, C ↔ E.

    Hata mı var? Düzeltme öner

19. Orta

    19Bir okulun bahçesine üçgen biçimli iki çiçek tarhı yapılacak. Birinci tarhın kenarları 8 m, 12 m ve 14 m; ikinci tarhınkiler 12 m, 18 m ve 21 m'dir. Bahçıvan, ikinci tarhın birincinin büyütülmüş hâli olup olmadığını öğrenmek istiyor. İki tarh için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • AA) Benzerdir; küçüğün büyüğe oranı 3/4'tür.
    • BB) Eştir; oran 1'dir.
    • CC) Benzer değildir.
    • DD) Benzerdir; küçüğün büyüğe oranı 1/2'dir.
    • EE) Benzerdir; küçüğün büyüğe oranı 2/3'tür.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: E) Benzerdir; küçüğün büyüğe oranı 2/3'tür.

    8/12 = 12/18 = 14/21 = 2/3 olduğundan KKK koşuluyla benzerdir; küçüğün büyüğe oranı 2/3'tür. "Benzer değildir" diyen öğrenci kenarlar arasındaki farkları (4, 6, 7) karşılaştırmış, benzerlikte farkların değil oranların eşit olması gerektiğini gözden kaçırmıştır.

    Hata mı var? Düzeltme öner

20. Orta

    20Matematik kulübünde öğrenciler eşlik ve benzerlik üzerine şu önermeleri tartışıyor: I. Eş iki üçgen aynı zamanda benzerdir. II. Benzer iki üçgen aynı zamanda eştir. III. Açıları karşılıklı eşit olan iki üçgenin karşılıklı kenarları orantılıdır. Kulüp danışmanı her önermeyi bir örnekle sınamalarını istiyor. Hangi önermeler doğrudur?

    • AA) Yalnız I
    • BB) I ve II
    • CC) II ve III
    • DD) I ve III
    • EE) I, II ve III
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) I ve III

    Eşlik, oranı 1 olan benzerliktir (I doğru). Bir üçgen ile onun iki kat büyütülmüş hâli benzerdir ama eş değildir (II yanlış). AA koşuluyla benzer olan üçgenlerin kenarları orantılıdır (III doğru). I ve II'yi seçen öğrenci benzerlik ile eşlik arasındaki kapsama ilişkisini iki yönlü sanmıştır.

    Hata mı var? Düzeltme öner