Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

Tales teoremi
Öklid teoremi
Pisagor teoremi
dik üçgen
hipotenüs
paralel doğrular
orantı

Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri neyi ifade eder?

Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri, üçgenlerde benzerlikten doğan ve ölçülmesi zor uzunlukları hesaplamayı sağlayan teoremlerdir. Tales teoremine göre birbirine paralel en az üç doğru iki keseni kestiğinde kesenler üzerinde oluşan karşılıklı parçalar orantılıdır; AB = 4, BC = 6 ve DE = 6 ise EF = 9 bulunur. Tales, Mısır piramitlerinin yüksekliğini ölçmek için gölgelerden yararlanmıştır. Öklid teoremi dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımının kareköküne eşit olduğunu söyler: parçalar 4 ve 9 ise yükseklik 6 olur. Pisagor teoremine göre dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: 6² + 8² = 100 = 10². Tersi de geçerlidir; 5, 12, 13 kenarlı üçgen diktir çünkü 25 + 144 = 169'dur. Pisagor teoremi her üçgende değil, yalnızca dik üçgende geçerlidir.

Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri: konu anlatımı ve özeti

Bu üç teorem benzerlikten doğar ve ölçmesi zor uzunlukları hesaplamamızı sağlar. Antik çağda gölge uzunluklarından yükseklik bulmak gibi işlerde kullanılan bu fikirler bugün de mühendislikte geçerlidir.

Tales teoremi: Birbirine paralel en az üç doğru iki keseni kestiğinde kesenler üzerinde oluşan karşılıklı parçalar orantılıdır: AB/BC = DE/EF.
Örnek: AB = 4, BC = 6, DE = 6 ise 4/6 = 6/EF eşitliğinden EF = 9 bulunur.
Üç paralel doğruyu iki kesen: AB/BC = DE/EF, yani 4/6 = 6/EF ve EF = 9 (ölçekli çizim)
Öklid teoremi: A açısı dik olan ABC üçgeninde AH hipotenüse ait yükseklik, BH = p, HC = k ise AH² = p · k, AB² = p · BC ve AC² = k · BC olur. Örnek: p = 4, k = 9 ise AH² = 36, AH = 6.
A açısı dik ABC üçgeninde hipotenüse ait yükseklik AH: p = 4, k = 9 için AH² = 36, AH = 6 (ölçekli çizim)
Öklid bağıntıları, yükseklikle oluşan ABH, CAH ve CBA dik üçgenlerinin benzerliğinden elde edilir.
Pisagor teoremi: Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan dik üçgende a² + b² = c². Örnek: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
Pisagor, Öklid bağıntılarıyla ispatlanabilir: AB² + AC² = p · BC + k · BC = (p + k) · BC = BC².
Tersi de geçerlidir: Kenarlar a² + b² = c² eşitliğini sağlıyorsa üçgen diktir; 5, 12, 13 bir dik üçgen oluşturur (25 + 144 = 169).

Unutma: Pisagor teoremi yalnızca dik üçgende geçerlidir ve c her zaman 90°'nin karşısındaki en uzun kenardır.

Bu özet yapay zekâ ile kitabın ilgili sayfalarından hazırlandı; hata içerebilir. Asıl kaynak MEB ders kitabıdır. İçerikler nasıl hazırlanıyor? · Son güncelleme: 3 Kasım 2026

Önce temeli pekiştir

Hangi teoremi kullanacağını şekle bakarak seç.

Paralel doğrular iki keseni kesiyorsa Tales: Karşılıklı parçalar orantılıdır. 3/5 = 4,5/x ise x = 7,5.
Dik üçgende hipotenüse yükseklik inilmişse Öklid: Yükseklikle ayrılan parçaları kullan.
Yalnızca dik üçgen ve kenarlar varsa Pisagor: a² + b² = c².

Pisagor'u uygularken adımlar:

Dik açıyı bul; karşısındaki kenar hipotenüs c'dir.
Hipotenüs bilinmiyorsa kareleri topla, bir dik kenar bilinmiyorsa hipotenüsün karesinden çıkar.

Günlük hayattan: 13 m'lik bir itfaiye merdiveni, alt ucu duvardan 5 m uzakta olacak biçimde yaslanırsa merdivenin üst ucu √(13² − 5²) = √144 = 12 m yüksekliğe ulaşır.

Sık yapılan hata: Dik kenarı bulurken de kareleri toplamak. Doğrusu: Dik kenar her zaman hipotenüsten kısadır; bulduğun sonuç hipotenüsten uzunsa işlemi kontrol et.

Derinleş

Eski Mısır'da 12 eşit aralıklı düğüm atılmış iplerle dik açı oluşturulduğu anlatılır. Bir iple 3-4-5 üçgeni kurarak bir duvar köşesinin ya da masa kenarının gerçekten dik olup olmadığını kontrol et. Başka hangi tam sayı üçlüleri (5-12-13 gibi) dik üçgen verir? Bu üçlüleri üreten bir kural araştır ve inşaat ustalarının bugün dik açıyı nasıl kontrol ettiğini öğren.

Öğrenme çıktıları

Bu konunun soruları MEB öğretim programındaki şu öğrenme çıktılarını ölçer.

MAT.9.4.4Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini ispatlayabilme
- a) Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerine ilişkin farklı ispatları kullanır.
- b) Kullandığı matematiksel ispat ve teoremleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.

Bu konuda neler var?

Tales Teoremi
Öklid Teoremi
Pisagor Teoremi

Sorular

Soru bankasından bu konunun soruları, kolaydan zora.

Kolaydan Zora: 3 adımda çalış Konu testini çöz

Kolay
1Okul bahçesinin dik açılı bir köşesinde, köşeden çıkan iki çitin uzunlukları 8 m ve 15 m'dir. Bahçıvan, iki çitin uç noktalarını düz bir yolla birleştirip öğrencilerin köşeyi dolaşmadan geçmesini sağlamak istiyor. Yapılacak düz yol kaç metre uzunluğunda olur?
- A) 23
- B) 17
- C) 7
- D) 11,5
- E) 289
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 17
Çitler dik kenar, yol hipotenüstür: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ve √289 = 17 m. 23 seçeneği, iki dik kenarın doğrudan toplanmasından doğar; üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan her zaman büyüktür, Pisagor bağıntısı kareler üzerinden kurulur.
Kolay
2Birbirine paralel Lale, Menekşe ve Gül sokakları, iki caddeyi kesiyor. Birinci caddede Lale ile Menekşe sokakları arası 300 m, Menekşe ile Gül sokakları arası 500 m'dir. İkinci caddede Lale ile Menekşe sokakları arası 600 m ölçülmüştür. İkinci caddede Menekşe ile Gül sokakları arası kaç metredir?
- A) 800
- B) 250
- C) 1000
- D) 1100
- E) 360
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1000
Tales teoremine göre paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı parçalar orantılıdır: 300/500 = 600/x, buradan x = 1000 m. 800 seçeneği, iki caddedeki parçalar arasındaki farkın (300 m) eklenmesinden doğar; oysa parçalar arasında toplamsal değil, çarpımsal bir ilişki vardır.
Kolay
3Ela, duvara yaslanmış bir merdivenin, duvarın ve zeminin oluşturduğu dik üçgeni defterine çiziyor. Duvar ile zeminin birleştiği köşede dik açı olduğunu biliyor ve kenarlar arasındaki ilişkiyi a² + b² = c² biçiminde yazıyor. Bu bağıntıda c harfi aşağıdakilerden hangisini göstermelidir?
- A) Merdivenin duvara değdiği yüksekliği
- B) Merdiven ayağının duvara uzaklığını
- C) Duvarın tüm yüksekliğini
- D) Merdivenle zemin arasındaki açıyı
- E) Merdivenin uzunluğunu
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Merdivenin uzunluğunu
Bağıntıda c, dik açının karşısındaki kenar olan hipotenüstür; dik açı duvarla zeminin birleştiği köşede olduğundan karşısındaki kenar merdivendir. Yükseklik ve duvara uzaklık seçenekleri dik kenarlardır; bunlar a ve b ile gösterilir.
Kolay
4Bir marangoz, raf desteği için tam dik köşe oluşturacak üç tahta çıtadan bir üçgen kurmak istiyor. Atölyede her biri üç çıtadan oluşan beş hazır takım var; çıtaların uzunlukları desimetre cinsinden aşağıdaki seçeneklerde verilmiştir. Marangozun dik köşe elde edebileceği takım hangisidir?
- A) 4, 5, 6
- B) 6, 7, 9
- C) 5, 10, 12
- D) 8, 15, 16
- E) 7, 24, 25
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 7, 24, 25
Dik üçgende en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². "8, 15, 16" takımında 8² + 15² = 289 olup 16² = 256'ya eşit değildir; 8 ile 15'in hipotenüsü 17 olmalıdır.
Kolay
5ABC üçgeninde B açısı diktir; |AB| = 6 cm ve |BC| = 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü ve uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) BC, 8 cm
- B) AB, 6 cm
- C) AC, 10 cm
- D) AC, 14 cm
- E) BC, 10 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: C) AC, 10 cm
Hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır; B açısının karşısı AC'dir ve |AC|² = 36 + 64 = 100, |AC| = 10 cm olur. BC kenarı B köşesine bitişik olduğu için dik kenardır.
Kolay
6A açısı dik olan ABC üçgeninde AH ⊥ BC, |BH| = p ve |HC| = k'dir. Aşağıdakilerden hangisi Öklid teoremiyle elde edilen bir bağıntıdır?
- A) |AH| = p + k
- B) |AH|² = p · k
- C) |AH|² = p² + k²
- D) |AB|² = p · k
- E) |AH|² = |AB| · |AC|
Cevabı göster
Doğru cevap: B) |AH|² = p · k
Hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: |AH|² = p · k. |AB|² ise p · k'ye değil, p · |BC|'ye eşittir.
Kolay
7Bir marangoz kenar uzunlukları 8 dm, 15 dm ve 17 dm olan üç çıtadan bir üçgen çerçeve yapıyor. Bu çerçeveyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Üçgen diktir, dik açı 8 dm'lik kenarın karşısındadır.
- B) Üçgen diktir, dik açı 15 dm'lik kenarın karşısındadır.
- C) Üçgen dik değildir, çünkü kenarlar ardışık değildir.
- D) Üçgen dik değildir, çünkü 8 + 15 ≠ 17'dir.
- E) Üçgen diktir, dik açı 17 dm'lik kenarın karşısındadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: E) Üçgen diktir, dik açı 17 dm'lik kenarın karşısındadır.
8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² olduğundan Pisagor teoreminin tersine göre üçgen diktir ve dik açı en uzun kenarın karşısındadır. Kenarların toplamına bakmak Pisagor bağıntısı değildir.
Kolay
8Bir telefon ekranı dikdörtgen biçimindedir; kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 8 cm'dir. Ekranın bir köşesinden karşı köşesine uzanan köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
- A) 14
- B) 12
- C) 9
- D) 10
- E) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 10
Köşegen, dik kenarları 6 ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsüdür: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ve köşegen 10 cm olur. 14 cevabı kenarları doğrudan toplamaktan gelir.
Kolay
9Pisagor teoremiyle ilgili sınıfta şu yargılar dile getiriliyor. Bu yargılardan hangisi doğrudur?
- A) Bağıntı her üçgende geçerlidir.
- B) Bağıntı yalnız dik üçgenlerde geçerlidir.
- C) Hipotenüs her zaman en kısa kenardır.
- D) Bağıntı yalnız ikizkenar üçgende geçerlidir.
- E) Dik kenarların toplamı hipotenüse eşittir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bağıntı yalnız dik üçgenlerde geçerlidir.
a² + b² = c² bağıntısı yalnızca dik üçgende geçerlidir ve c, 90°'nin karşısındaki en uzun kenardır. Dik kenarların toplamı her zaman hipotenüsten büyüktür.
Kolay
10A açısı dik olan ABC üçgeninde AH, hipotenüse ait yüksekliktir. |BH| = 3 cm ve |HC| = 12 cm olduğuna göre Öklid teoremine göre |AH| kaç cm'dir?
- A) 36
- B) 7,5
- C) 6
- D) 9
- E) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6
Öklid teoremine göre |AH|² = |BH| · |HC| = 3 · 12 = 36 ve |AH| = 6 cm olur. 36 cevabı karekök almayı unutmaktan, 7,5 cevabı iki parçanın ortalamasını almaktan gelir.
Kolay
11Yusuf, çizgili defterinin birbirine paralel üç çizgisini iki eğik doğruyla kesiyor. Birinci eğik doğru üzerinde çizgiler arasındaki parçalar |AB| = 3 cm ve |BC| = 5 cm, ikinci eğik doğru üzerinde bunlara karşılık gelen parçalardan biri |DE| = 6 cm'dir. Tales teoremine göre |EF| kaç cm'dir?
- A) 8
- B) 9
- C) 6
- D) 15
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 10
Paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı parçalar orantılıdır: 3/5 = 6/|EF| ve |EF| = 10 cm olur. 8 cevabı farkı korumaya çalışıp 5'e 3 eklemekten gelir.
Kolay
12Öğretmen, tahtaya iki keseni kesen birkaç doğru çiziyor ve öğrencilerden Tales teoremini kullanarak kesenler üzerindeki parçalar arasında orantı kurmalarını istiyor. Tales teoremini uygulayabilmek için kesilen doğrularla ilgili hangi koşul sağlanmalıdır?
- A) Doğrular birbirine paralel olmalıdır.
- B) Kesenler birbirine paralel olmalıdır.
- C) Kesenler birbirine dik olmalıdır.
- D) Oluşan parçalar eşit uzunlukta olmalıdır.
- E) Doğrular kesenlere dik olmalıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Doğrular birbirine paralel olmalıdır.
Tales teoremi, birbirine paralel en az üç doğrunun iki keseni kestiği durumda geçerlidir. Kesenlerin paralel ya da dik olması gerekmez; parçaların eşit olması da şart değildir.
Kolay
13Bir uçurtmanın ipi tamamen gergin ve 13 m uzunluğundadır. Uçurtma, ipi tutan Defne'nin elinden yatay olarak 5 m uzaktaki bir noktanın tam üstündedir. Uçurtma Defne'nin elinin bulunduğu yükseklikten kaç metre yukarıdadır?
- A) 8
- B) 12
- C) 18
- D) 13
- E) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 12
İp hipotenüs olduğundan h² + 5² = 13², h² = 169 − 25 = 144 ve h = 12 m olur. 8 cevabı uzunlukları doğrudan çıkarmaktan gelir.
Kolay
14Bir bahçedeki birbirine paralel üç çit, iki düz patikayı kesiyor. Birinci patikada çitler arasındaki parçalar x m ve 8 m, ikinci patikada bunlara karşılık gelen parçalar 6 m ve 12 m'dir. x kaçtır?
- A) 2
- B) 16
- C) 6
- D) 4
- E) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 4
Tales teoremine göre x/8 = 6/12 ve x = 4 m olur. 16 cevabı orantıyı ters kurmaktan, 2 cevabı 8 ile 6 arasındaki farkı almaktan gelir.
Kolay
15Bir kitaplığın arkasına çapraz bir destek çıtası takılacak. Kitaplığın arka yüzü dikdörtgen biçimindedir; genişliği 60 cm, yüksekliği 80 cm'dir. Çıta bir köşeden karşı köşeye uzanacağına göre uzunluğu kaç metredir?
- A) 1,4
- B) 0,7
- C) 1,2
- D) 2
- E) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: E) 1
60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 olduğundan çıta 100 cm, yani 1 m olur. 1,4 cevabı kenarları toplamaktan gelir.
Kolay
16A açısı dik olan ABC üçgeninde AH ⊥ BC'dir. |HC| = 9 cm ve |BC| = 25 cm olduğuna göre |AC| kaç cm'dir?
- A) 15
- B) 16
- C) 12
- D) 20
- E) 9
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 15
Öklid teoremine göre |AC|² = |HC| · |BC| = 9 · 25 = 225 ve |AC| = 15 cm olur. 16 cevabı |BH| = 25 − 9 değeridir.
Kolay
17Çizgili bir defterde çizgiler birbirine paraleldir ve art arda gelen çizgiler arasındaki uzaklıklar eşittir. Zehra, deftere 1. çizgiden 6. çizgiye uzanan eğik bir doğru parçası çiziyor; bu doğru parçasının uzunluğu 15 cm'dir. Doğru parçasının 2. çizgi ile 4. çizgi arasında kalan bölümü kaç cm'dir?
- A) 3
- B) 6
- C) 7,5
- D) 9
- E) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
Çizgilere dik bir doğru çizilirse çizgiler bu doğruyu eşit parçalara ayırır. Tales teoremine göre paralel doğrular iki kesen üzerinde orantılı parçalar oluşturur; dik doğru üzerindeki parçalar eşit olduğundan eğik doğru parçası üzerindeki parçalar da eşittir. 1. çizgiden 6. çizgiye 5 aralık vardır; her aralığa 15/5 = 3 cm düşer. 2. çizgi ile 4. çizgi arasında 2 aralık bulunduğundan istenen bölüm 2 · 3 = 6 cm'dir. 3 yanıtı tek aralığın, 9 yanıtı çizgilerin (2., 3., 4.) sayılmasıyla üç aralık alınmasının sonucudur.
Kolay
18Birbirine paralel dört sokak, iki caddeyi kesiyor. Birinci caddede sokaklar arasında kalan parçalar sırasıyla 40 m, 60 m ve 100 m'dir. İkinci caddede ilk iki sokak arasında kalan parça 60 m'dir. İkinci caddenin birinci sokak ile dördüncü sokak arasında kalan bölümü toplam kaç metredir?
- A) 150
- B) 240
- C) 300
- D) 350
- E) 450
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 300
Tales teoremine göre paralel doğruların iki kesen üzerinde ayırdığı karşılıklı parçalar orantılıdır. İlk parçaların oranı 60/40 = 3/2 olduğundan ikinci caddedeki her parça, birinci caddedeki karşılığının 3/2 katıdır: 60 · 3/2 = 90 m ve 100 · 3/2 = 150 m. İkinci caddenin toplam uzunluğu 60 + 90 + 150 = 300 m'dir. Aynı sonuç toplamlar üzerinden de bulunur: (40 + 60 + 100) · 3/2 = 300. 150 yanıtı yalnız son parçanın, 240 yanıtı ilk parça unutulup 90 + 150 toplamının alınmasının sonucudur.
Orta
19Bir kütüphanedeki birbirine paralel üç raf, iki eğik destek çubuğunu kesiyor. Birinci çubukta raflar arasındaki parçalar 2x − 1 dm ve 9 dm, ikinci çubukta bunlara karşılık gelen parçalar 5 dm ve 15 dm'dir. Buna göre x kaçtır?
- A) 3
- B) 1
- C) 5/2
- D) 2
- E) 14
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 2
Tales teoremine göre (2x − 1)/9 = 5/15 = 1/3 olduğundan 2x − 1 = 3 ve x = 2'dir. 14 seçeneği, oranın çapraz yanlış kurulmasından, (2x − 1) · 5 = 9 · 15 yazılmasından doğar.
Orta
205 m uzunluğundaki bir merdiven, bir evin dik duvarına yaslanıyor. Güvenlik için merdivenin yerdeki ucu duvardan 1,4 m uzağa yerleştiriliyor; zemin yataydır. Merdivenin üst ucu yerden kaç metre yüksekliğe ulaşır?
- A) 4,8
- B) 3,6
- C) 23,04
- D) 6,4
- E) 4,6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4,8
Merdiven hipotenüstür: h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04 ve h = 4,8 m. 3,6 seçeneği, kareler yerine uzunlukların doğrudan çıkarılmasından (5 − 1,4) doğar; 23,04 seçeneğinde ise karekök alınmamıştır.

Ders videoları

MEB'in 9. sınıf Matematik örnek ders anlatımları. Tüm videolar (7)

9.Sınıf Matematik Dersi Örnek Ders Anlatımı Kaynak: MEB

Katkıda bulun

Özette bir hata mı gördün, eklenmesi gereken bir bilgi ya da güzel bir soru mu var? Öner; yönetici onaylarsa sitede yayımlanır ve sana bildirim gelir.